14. Интервалы знакопостоянства квадратичной функции
Определи по рисунку интервалы, в которых значения функции положительны .
- ( 3 ; + ∞ )
- ( 1 ; + ∞ )
- ∅
- ( 1 ; 3 )
- ( − ∞ ; 1 )
Нашёл ошибку?
Вы должны авторизоваться, чтобы ответить на задание. Пожалуйста, войдите в свой профиль на сайте или зарегистрируйтесь.
Определи по рисунку интервалы в которых значения функции отрицательны
Задание 7. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-4; 9). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Известно, что производная принимает положительное значение в точках, где функция возрастает. Выберем такие целые точки на графике f(x):
Имеем 6 таких точек.
Видео по теме
- Все задания варианта
- Наша группа Вконтакте
- Наш канал
Темы раздела
- Вариант 1
- Вариант 1. Задания по ЕГЭ 2021. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов
- Решения заданий по номерам
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 15
- 16
- 17
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 15
- 16
- 17
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 17
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 15
- 16
- 17
- 19
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 19
- 19
- 19
- 19
- 13
- 15
- 17
- 18
- 19
- 19
- 3
- 14
- 15
- 15
© 2023 ЕГЭ и ОГЭ для всех
Частичное или полное копирование решений с данного сайта для распространения на других ресурсах,
в том числе и бумажных, строго запрещено. Все решения являются собственностью сайтаОпредели по рисунку интервалы в которых значения функции отрицательны
Свойства функций
- Область определения функции — это множество всех значений переменной x , которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f) . На графике область определения — это промежутки на оси ОX , над которыми (или под которыми) имеются части графика. Для нашего примера D(f) = [-8; 9,4] .
- Область значений функции — это множество всех ее значений у . Обозначают: E(f) . На графике область значений функции — это промежутки на оси OY , слева или справа от которых (в горизонтальной полосе) находятся части графика. Для нашего примера Е(f) = [-4; 4,2] .
- Функция y = f (x) называется возрастающей , если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1< x2 следует неравенство f (x1) < f (x2). Функцию можно назвать возрастающей на промежутке , если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для нашего примера функция возрастает при . Функция y = f (x) называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1< x2 следует неравенство f (x1) > f (x2). Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции. Для нашего примера функция убывает при .
- Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный). Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x , у которых соответствующие значения функции больше нуля ( y > 0 ). На графике — это части оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси ОХ . Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) > 0 . Для нашего примера функция положительна при . Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х , у которых соответствующие значения функции меньше нуля ( y .
- Нули функции — это значения переменной х , при которых у (х) = 0 . Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив уравнение f (x) = 0 . По графику нули определяют как абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ . Для нашего примера нули функции это точки х1 = -3, х2 = 2, х3 = 5.
- Четность и нечетность функции . Функция называется четной , если ее график симметричен относительно оси ОУ и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = f (x) . Т.е. функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента, из области определения, соответствуют равные значения функции. На графике четная функция имеет ось симметрии OY . Функция называется нечетной , если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = -f (x). Т.е. функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. На графике нечетная функция симметрична относительно начала координат. Произведение или частное двух четных функций — есть функция четная. Произведение или частное двух нечетных функций — есть функция четная. Произведение или частное двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная — есть функция нечетная. Функция нашего примера — ни четная, ни нечетная.
- Периодичность функции . Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т > 0 , если для любого x ϵ D(f) верно: (х — Т) ϵ D(f), (х + Т) ϵ D(f) и f (х — Т) = f (х + Т) = f (x) . Если Т > 0 является периодом функции y = f (x) , то число — период функции y = f (kx + b) . Если Т1 > 0 и Т2 > 0 — периоды соответствующих функций y = f (x) и y = g (x) , причем , где m, n ϵ N, , то любая комбинация этих функций y = a • f (x) + b • g(x), a, b ϵ Z , также периодическая, период которой равен T = HOK(T1, T2) . Функция нашего примера не является периодической.
- Точки экстремума функции ( точки максимума и минимума ). Точка х0 называется точкой минимума , если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≥ f (x0) . На графике точки минимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «ямка». Для нашего примера точки минимума — это х1 = -4,5, х2 = 3 . Точка х0 называется точкой максимума , если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≤ f (x0 ). На графике точки максимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «горка». Для нашего примера точки максимума — это х1 = -7, х2 = -1, х3 = 7 .
- Наименьшее и наибольшее значение функции . Число y = t называется наименьшим значением функции на промежутке [a, b] , если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≥ f (x) . Для нашего примера наибольшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/б = 4,2 . Число y = t называется наибольшим значением функции на промежутке [a, b] , если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≤ f (x) . Для нашего примера наименьшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/м = -4 .
Функция Область определения R R Вершина параболы (0; 0) Нули функции x = 0 Экстремумы если a < 0, то минимум в вершине
если a > 0, то максимум в вершинеОбласть значений Четность четная ни четная, ни нечетная Функция Область определения R R Область значений R [0; +∞ ) Четность нечетная четная Нули функции х =0 х =0 Экстремумы нет х = 0 — точка минимума Монотонность возрастает при х ϵ R при х ≤ 0 убывает
при х > 0 возрастаетФункция Область определения R кроме х = 0 R кроме х = 0 Область значений (-∞ ; 0) U (0; +∞ ) (0; +∞ ) Четность нечетная четная Нули функции нет нет Экстремумы нет нет Монотонность убывает при x ϵ D(f) при х < 0 возрастает
при х > 0 убываетФункция Область определения Область значений Нули функции х = 0 х = 0 Экстремумы нет нет Монотонность возрастает при х ϵ D(f) возрастает при х ϵ D(f) Функция y = a x , 0 < a < 1 y = a x , a > 1 Область определения R R Область значений ( 0; +∞ ) ( 0; +∞ ) Нули функции нет нет Экстремумы нет нет Монотонность убывает при х ϵ D ( f ) возрастает при х ϵ D ( f ) Функция y = logax, 0 < a < 1 y = logax, a > 1 Область определения ( 0; +∞) ( 0; +∞) Область значений R R Нули функции нет нет Экстремумы нет нет Монотонность убывает при х ϵ D ( f ) возрастает при х ϵ D ( f ) Функция y = sin x y = cos x Область определения R R Область значений [-1; 1 ] [-1; 1 ] Нули функции Четность нечетная четная Периодичность Экстремумы Монотонность возрастает при убывает при возрастает при убывает при Функция y = tg x y = ctg x Область определения R кроме R кроме Область значений R R Нули функции Четность нечетная нечетная Периодичность Монотонность возрастает при убывает при Функция y = arcsin x y = arcos x Область определения [-1; 1 ] [-1; 1 ] Область значений Нули функции x = 0 x = 1 Четность нечетная ни четная, ни нечетная Монотонность возрастает при x ϵ [-1; 1 ] убывает при x ϵ [ -1 ; 1 ] Функция y = arctg x y = arcctg x Область определения R R Область значений Нули функции x = 0 нет Четность нечетная нечетная Монотонность возрастает при x ϵ R убывает при x ϵ R Функция Область определения R [0; +∞ ) Область значений R [0; +∞ ) Нули функции х = 0 х = 0 Экстремумы нет нет Монотонность возрастает при х ϵ D ( f ) возрастает при х ϵ D ( f ) - Область значений функции f -1 (x) является областью определения функции f (x) . E(f -1 (x)) = D(f), E(f) = D(f -1 (x)) .
- Графики функции f (x) и обратной к ней f -1 (x) симметричны относительно биссектрисы у = х .
- Если функция f (x) монотонна на промежутке Х , то она обратима на этом промежутке.
- Если функция f (x) возрастает (убывает) в своей области определения, то и обратная к ней f -1 (x) тоже возрастает (убывает).
Перейти к выполнению теста: Тест. Свойства функций Графики функции, производной, первообразной
Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье.
Связь графика функции и производной
Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям.
Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции.
Возьмем график произвольной функции.
Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».
Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным.
В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт.
Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума.
Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке.
Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.
В точках экстремума производная равна 0.
Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х.
Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан
y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х.
Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график.
Вспомним, что:
- производная положительна на промежутках возрастания функции;
- производная отрицательна на промежутках убывания функции.
Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются.
Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у.
Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной.
Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней.
Подведем итоги:
- В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
- На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
- На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.
Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной.
Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:
- В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума.
- На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать.
- На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать.
Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания.
Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки.
В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.
Ответ: 2
Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).
Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2.
Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.
Ответ: -2
Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет.
Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой.
Связь графика функции и первообразной
Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?
Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию.
Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются.
В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу.
Было Взяли производную Стало Функция и производная f(x) f'(x) f'(x) Функция и первообразная F(x) F'(x) f(x) Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной.
При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров.
Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?
Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x).
Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным.
В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.
Ответ: 3.
Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4].
Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума.
Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0.
Ответ: 9
Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток.
Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная.
Фактчек
- Графики функции, производной и первообразной связаны между собой.
- В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
- На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
- На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.
- Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной.
Проверь себя
Задание 1.
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?- На промежутках убывания функции.
- На промежутках возрастания функции.
- В точках экстремума.
- Невозможно определить по графику.
Задание 2.
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?- На промежутках возрастания функции.
- На промежутках убывания функции.
- В точках экстремума.
- Невозможно определить по графику.
Задание 3.
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)?- Точка максимума функции.
- Точка минимума функции.
- Любая произвольная точка на функции.
- Невозможно определить по графику.
Задание 4.
Выберите верный вариант:- F(x) = f'(x)
- F(x) = f(x)
- F'(x) = f'(x)
- F'(x) = f(x)
Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4