Расчет биномиальных коэффициентов с использованием Фурье-преобразований
При решении задач комбинаторики часто возникает необходимость в расчете биномиальных коэффициентов. Бином Ньютона, т.е. разложение 
также использует биномиальные коэффициенты. Для их расчета можно использовать формулу, выражающую биномиальный коэффициент через факториалы: 
или использовать рекуррентную формулу: 
Из бинома Ньютона и рекуррентной формулы ясно, что биномиальные коэффициенты — целые числа.
Одним из методов, позволяющих значительно сократить количество вычислений, является применение Фурье преобразований и дискретных Фурье преобразований.
Наличие большого числа библиотек, реализующих Фурье преобразований (во всевозможных вариантах быстрых версий), делает реализацию алгоритмов не очень сложной задачей для программирования.
Реализованные алгоритмы являются частью библиотеки с открытым исходным кодом FFTTools. Интернет-адрес: github.com/dprotopopov/FFTTools
Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:
Разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведённого выше выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «−» в показателе экспоненты. Но все свойства будут те же, хотя вид некоторых формул может измениться.
Кроме того, существуют разнообразные обобщения данного понятия.
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.
Формулы дискретных преобразований
Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение симметричной квадратной матрицы на вектор:
Свёртка двух функций
Согласно определению, свёрткой двух функций F и G называется функция FхG:
FхG(t) = SUM F(i)*G(j)|i+j=t
Фурье-преобразования для вычисления свёртки
Одним из замечательных свойств преобразований Фурье является возможность быстрого вычисления корреляции двух функций определённых, либо на действительном аргументе (при использовании классической формулы), либо на конечном кольце (при использовании дискретных преобразований).
И хотя подобные свойства присущи многим линейным преобразованиям, для практического применения, для вычисления операции свёртки, согласно данному нами определению, используется формула
FхG = BFT ( FFT(F)*FFT(G) )
- FFT – операция прямого преобразования Фурье
- BFT – операция обратного преобразования Фурье
Биномиальные коэффициенты
Рассмотрим полином F(x)=1+x и его свёртку с самим собой n раз
Fx..xF = SUM С( i, n-1 )*x^i = BFT ( FFT(F)*. *FFT(F) ) = BFT ( FFT(F)^(n-1) )
То есть биномиальные коэффициенты С( i, n-1 ) могут быть получены из значений коэффициентов полинома (1+x)^(n-1)
Программируем:
using System; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Numerics; namespace FFTTools < public class BinomialBuilder : BuilderBase, IBuilder < /// /// Performs application-defined tasks associated with freeing, releasing, or resetting unmanaged resources. /// public void Dispose() < >public static void GetLongs(long[] array, long x = 1) < var n = array.Length - 1; if (array.Length >0) array[0] = 1; for (var i = 0; i < n; i++) array[i + 1] = x*array[i]*(n - i)/(i + 1); >public static void GetDoubles(double[] array, double x = 1.0) < var complex = new Complex[array.Length]; if (array.Length >0) complex[0] = Complex.One; if (array.Length > 1) complex[1] = x; if (array.Length > 0) < Fourier(complex, FourierDirection.Forward); complex = complex.Select( value =>Complex.Pow(value, array.Length - 1)/array.Length).ToArray(); Fourier(complex, FourierDirection.Backward); > var index = 0; foreach (var value in complex) array[index++] = value.Real; > public Bitmap ToBitmap(Bitmap source) < throw new NotImplementedException(); >> > Проверяем:
using System; using System.Linq; using Microsoft.VisualStudio.TestTools.UnitTesting; namespace FFTTools.UnitTest < [TestClass] public class BinomialUnitTest < [TestMethod] public void BinomialTestMethod() < const int count = 10; var doubles = new double[count]; var longs = new long[count]; BinomialBuilder.GetLongs(longs); BinomialBuilder.GetDoubles(doubles); Console.WriteLine( string.Join(Environment.NewLine, longs.Zip(doubles, (x, y) =>string.Format(" - = ", x, y, x - y))) + Environment.NewLine); Assert.IsTrue(doubles.Zip(longs, (x, y) => x - y).All(x => Math.Abs(x) < 0.001)); >> > Зачем?
При вычислении с помощью треугольника Паскаля трудоёмкость имеет оценку O(n^2).
При вычислении с помощью быстрых Фурье-преобразований трудоёмкость имеет оценку O(n*log n).
Примечание:
P.S.
Трудоёмкость расчета биномиальных коэффициентов может быть уменьшена до O(n):
Cn[0]=1
Cn[i+1] = Cn[i]*(n-i)/(i+1)
Доказательство:
Cn[i]*(n-i)/(i+1) = n!/((n-i)!i!) * (n-i)/(i+1) = n!/((n-i-1)!(i+1)!) = Cn[i+1]
Бином Ньютона
Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!
Система оценки: 5 балльная
Список вопросов теста
Вопрос 1
Как называются соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом?
Варианты ответов
- Сочетаниями из m элементов по n в каждом
- Перестановками из m элементов по n в каждом
- Размещениями из m элементов по n элементов
Вопрос 2
Выберите верную формулу.
Варианты ответов
Вопрос 3
Отметьте верные равенства.
Варианты ответов
Вопрос 4
С помощью чего можно легко найти биномиальные коэффициенты?
Варианты ответов
- С помощью треугольника Паскаля
- С помощью прямоугольника Паскаля
- С помощью многоугольника Паскаля
- С помощью квадрата Паскаля
Вопрос 5
Чему равна данная сумма?
Вопрос 6
Вычислите
Вопрос 7
Отметьте верные утверждения.
Варианты ответов
- Число членов многочлена, получаемого при записи разложения степени бинома, на единицу меньше показателя m степени бинома, т. е. равно m — 1.
- Показатели степени первого слагаемого бинома последовательно убывают на единицу от m до 0, а показатели второго последовательно возрастают на единицу от 0 до m.
- Биномиальные коэффициенты, равноудалённые от начала и конца разложения по формуле бинома Ньютона, равны между собой.
Вопрос 8
Чему равна данная сумма?
Вопрос 9
Какое из выражений является разложением бинома (x — 2) 4 ?
Варианты ответов
Вопрос 10
Какое из выражений является разложением бинома (1 + x) 7 ?
Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают
Продолжаем рассказывать о разных формулах и подходах из математики, которые часто применяются в ИТ и в привычных алгоритмах. Сегодня будет про бином Ньютона — про него много кто слышал, но не все представляют, что это и зачем это нужно. Сейчас разложим по полочкам.
Чтобы понять бином Ньютона, нам понадобится треугольник Паскаля.
Что такое треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля — это одно из названий треугольной таблицы чисел. Его назвали в честь математика Блеза Паскаля, но про такой треугольник математики знали тысячу лет назад.
Работает треугольник так: берём единицу (это будет вершина треугольника), а все остальные числа в каждом ряду получаем сложением левых и правых чисел, которые стоят выше. Если нарисовать, то получится так:
Такой треугольник можно продолжать бесконечно. В математике этот треугольник обладает разными полезными свойствами, но нам он нужен для биномиальных коэффициентов в биноме Ньютона. Вот теперь поговорим про бином.
Что такое бином Ньютона (просто)
Бином Ньютона — это формула, которая помогает посчитать сумму двух чисел, возведенную в какую-то степень.
Разбираем по полочкам:
- У нас есть некие числа a и b. Мы не знаем какие, потому что алгебра.
- Не зная, что это за числа, мы их складываем.
- Эту сумму почему-то очень хочется возвести в какую-то степень — в квадрат, в куб, в четвертую, хоть в девятьсот девяносто девятую — алгебре плевать на ваши чувства.
- Нам нужна формула, как это сделать. Вот эта формула и есть бином Ньютона.
Из школьной программы мы помним такую формулу: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 — это частный случай бинома Ньютона для квадрата суммы.
Может быть, вы помните сумму в кубе: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 — это тоже бином Ньютона.
А что если нам нужно возвести сумму не в квадрат, не в куб, а в сто сорок шестую степень? Какая тогда будет формула? Вот для этого нам нужна более обобщенная формула, которая опишет вообще все варианты биномов для любой степени.
Заглянуть в глаза ужасу
Вот как эта формула выглядит в общем виде:
Про знак Σ мы уже говорили — это обозначение суммы, а цифры в больших скобках — это биномиальные коэффициенты. В общем виде они считаются так:
Исходя из этой адской формулы для расчета бинома на компьютере нам нужно будет много раз посчитать факториал — это произведение всех целых чисел от единицы до заданного числа. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. А факториалы в силу своей цикличности жрут довольно много оперативной памяти. Может так получиться, что мы не сможем посчитать коэффициенты бинома, потому что закончилась оперативка.
Но, оказывается, необязательно считать факториалы — есть способ проще.
Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля (простая теория в картинках)
Тут нам приходит на помощь треугольник Паскаля. Оказывается, числа в каждом ряду — это биномиальные коэффициенты для каждой степени n:
На практике это работает так: допустим, что по ходу работы алгоритма нам нужно раскрыть скобки и вычислить (x + y)⁴. Применим сюда бином Ньютона и треугольник Паскаля:
Получается, что с помощью этого треугольника можно не считать все эти формулы с факториалами, а быстро находить нужные коэффициенты, подставлять их в формулу бинома и сразу получать ответ. Так можно разложить любой бином и получить ответ гораздо быстрее, чем вычисляя все факториалы подряд.
Где используется бином Ньютона
Кроме математики, где бином нужен для комбинаторики и разных полезных формул, он часто применяется в программировании. Например, с его помощью можно обойти ограничение на размер оперативной памяти при возведении большого числа в степень: его можно разложить на сумму двух чисел поменьше и посчитать слагаемые через бином.
Также биномиальные коэффициенты часто применяются в матрицах и операциях с векторами — а именно на матрицах построены почти все нейросети. Поэтому если мы сможем быстро находить нужный коэффициент и применять его к матрице, то сможем быстрее создавать дипфейки и генерировать реалистичные пейзажи. Строго говоря, для этого сейчас нужно просто знать команду import, потому что готовых библиотек на эту тему — вагон, без всяких биномов.
А ещё на биномиальных коэффициентах работает отдельная непозиционная система счисления — её применяют в проектах, где надо быстро перебирать много различных вариантов и их возможных сочетаний.
Что дальше
Дальше мы попробуем применить эти знания и алгоритмы на практике: напишем код, который использует бином Ньютона для решения разных хитрых бытовых задач.
Любите математику? Это для вас
Попробуйте бесплатный тренажер «Основы математики для цифровых профессий». Это все необходимые знания, чтобы закрыть пробелы в математике для айтишника.
Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Биномиальные коэффициенты
В данном очень важном приложении речь пойдёт о биномиальных коэффициентах, точнее, об их расширении на случай произвольных значений верхнего индекса. Иногда такая тема в литературе называется «расширенный треугольника Паскаля», поскольку расширение биномиальных коэффициентов влечёт за собой расширение треугольника Паскаля, который из этих коэффициентов состоит, а также рассматриваемая здесь функция(1+z)n (точнее, её разложение в ряд) называется биномиальным рядом.
Биномиальные коэффициенты.docx
Картинками
Биномиальные коэффициенты В комбинаторике биномиальный коэффициент означает, число всех возможных вариантов выборки k элементов из множества элементов n. Пример: Из множества n <1,2,3,4>, выбираем все возможные комбинации из двух элементов, k=2 Получается шесть возможных вариантов. Подставив значения в формулу, проверим полученный результат: Расширенные биномиальные коэффициенты В данном очень важном приложении речь пойдёт о биномиальных коэффициентах, точнее, об их расширении на случай произвольных значений верхнего индекса. Иногда такая тема в литературе называется «расширенный треугольника Паскаля», поскольку расширение биномиальных коэффициентов влечёт за собой расширение треугольника Паскаля, который из этих коэффициентов состоит, а также рассматриваемая здесь функция(1+z)n (точнее, её разложение в ряд) называется биномиальным рядом. Свойства биномиальных коэффициентов и доказательства основных тождеств в этом разделе не предусматривается, речь о них идёт только в контексте производящих функций. Предполагается, что читатель знаком с основными положениями комбинаторики или, по крайней мере, встречался с ними в реальной жизни. Ведь математика окружает нас со всех сторон. Числа, закономерности и разнообразные комбинации могут появиться где угодно: во время похода в магазин, расчета шансов на победу в казино, в теории управления и даже в футурологических прогнозах. В целом, все умеют считать. Но иногда комбинаторика оказывается более сложной, чем это необходимо в повседневной жизни. Скажем, при расчётах энтропии некоторой сложной физической системы, когда требуется вычислять количество допустимых конфигураций соответствующей физической модели. Так вот расширенные биномиальные коэффициенты как раз больше относятся к научным, а не повседневным расчетам. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Здесь я вынужден немного остановиться на определениях и обозначениях, чтобы не возникало недоразумений. Подготовленный читатель может пропустить этот пункт. Биномиальный коэффициент обозначается символом , или (что часто встречается в русской литературе) . Давайте сразу определимся с обозначениями. Правильное обозначение для биномиальных коэффициентов не , как учат в российских школах (и в университетах), а . К сожалению, я не знаю, по какой причине в России чаще используется обозначение , а в остальном Мире — . Поэтому учтите, что если вы пишите статью для российских журналов, вас поймут, как бы вы эти коэффициенты не обозначили, а для зарубежных журналов советую писать правильно. Читается этот символ разными способами: «число сочетаний из n по k», или просто «изn по k», а также говорят «выбор k из n». Смысл указанных выражений заключён в комбинаторной интерпретации этого символа — это число способов выбрать k объектов из nразличных объектов, причём порядок выбора не важен. Например, из множества можно выбрать два элемента десятью способами: Таким образом, В общем случае известно, что В процессе вычислений, чтобы не считать лишние факториалы, можно сразу часть множителей сократить: От этой формулы и будем отталкиваться в будущем. Именно она и является правильным определением биномиальных коэффициентов. Число n называется верхним индексом, аk — нижним. В соответствии с комбинаторной интерпретацией, числа n и k должны быть целыми неотрицательными. Наша задача будет заключаться в том, чтобы расширить определение на произвольные значения n. Биномиальные коэффициенты, упорядоченные специальным образом, образуюттреугольник Паскаля. В XVII веке французский математик, физик, философ Блез Паскаль впервые в своем «трактате об арифметическом треугольнике» наиболее полно рассказал о свойствах этого самого треугольника (хотя сам треугольник встречался в работах других математиков задолго до Паскаля). Строится этот замечательный треугольник очень просто: По краям треугольника ставятся единицы, а любое число, стоящее не с краю, вычисляется как сумма двух чисел, расположенных сверху слева и сверху справа от него. Например, 10=4+6, или 3=1+2. Итак, речь зашла о треугольнике Паскаля в связи с тем, что он как раз образован биномиальными коэффициентами: Для наших целей (и для удобства) лучше записывать треугольник, выравнивая его по левому краю: Нули появляются за счёт нуля в числителе (когда k>n). Заметьте, что в нулевом столбце ставятся единицы, так как В числителе стоит произведение нулевого числа элементов, которое по определению равно 1. Данная формула верна для любого (в том числе, комплексного) n. Ну вот, мы уже приближаемся к тому, чтобы изучить биномиальные коэффициенты для любого n. Наше расширение, вопервых, должно быть таким, чтобы формула осталась прежней (для удобства), вовторых, треугольник Паскаля, образованный биномиальными коэффициентами (с целым отрицательным значением индекса), не должен потерять своё основное свойство: оно гласит, что число в клетке (n,k) равно сумме верхнего числа и верхнего левого (когда числа выровнены по левому краю). Втретьих (что самое важное), должна остаться справедливой биномиальная теорема, утверждение которой напоминается в следующем пункте. БИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Содержание данной теоремы в классической формулировке известно еще из средних классов школы: Это выражение также носит название бином Ньютона. Коэффициенты бинома Ньютона и называются биномиальными коэффициентами. Теперь, пользуясь биномом Ньютона и треугольником Паскаля, можно посчитать, например (взяв третью строчку треугольника), Данный сайт посвящён производящим функциям, поэтому нас данная теорема интересует лишь с этой позиции. Запишем производящую функцию в следующем виде: Представленная производящая функция генерирует последовательность биномиальных коэффициентов с верхним индексом, равным n. Верхний индекс в сумме можно записать равным ∞, это ничего не меняет, когда n целое неотрицательное (почему?). Обратите внимание, что подстановка z=1 даёт замечательное тождество (ряд конечный, поэтому подстановка справедлива): которое показывает, что сумма всех чисел в nй строке треугольника Паскаля равняется двойке, возведённой в степень n. Данное разложение функции (1+z)n в ряд согласуется с формулой Тейлора, в соответствие с которой коэффициент, стоящий при zk равен Напомню, что для этой функции ряд Тейлора сходится при |z| Улучшенная реализация Можно заметить, что в приведённой выше реализации в числителе и знаменателе стоит одинаковое количество сомножителей ( ), каждый из которых не меньше единицы. Поэтому можно заменить нашу дробь на произведение дробей, каждая из которых является вещественнозначной. Однако, можно заметить, что после домножения текущего ответа на каждую очередную дробь всё равно будет получаться целое число (это, например, следует из свойства «внесениявынесения»). Таким образом, получаем такую реализацию: int C (int n, int k) < double res = 1; for (int i=1; iЗдесь мы аккуратно приводим дробное число к целому, учитывая, что изза накапливающихся погрешностей оно может оказаться чуть меньше истинного значения (например, вместо трёх). Треугольник Паскаля С использованием же рекуррентного соотношения можно построить таблицу биномиальных коэффициентов (фактически, треугольник Паскаля), и из неё брать результат. Преимущество этого метода в том, что промежуточные результаты никогда не превосходят ответа, и для вычисления каждого нового элемента таблицы надо всего лишь одно сложение. Недостатком является медленная работа для больших N и K, если на самом деле таблица не нужна, а нужно единственное значение (потому что для вычисления понадобится строить таблицу для всех до , или хотя бы ). const int maxn = . ; int C[maxn+1][maxn+1]; for (int n=0; n
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Биномиальные коэффициенты
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.