Про три различных натуральных числа известно что они являются длинами сторон некоторого треугольника
Задание ЕГЭ по математике профильной
Линия заданий — 19
Наслаждайтесь интересным учебником и решайте десятки тестов на Studarium,
мы всегда рады вам! =)
10286. Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 2?
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно \( \frac \)?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 20?
Показать подсказку
а) да, например числа 4, 5 и 8
б) нет
в) \( \frac>> \)
P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке 😉
При обращении указывайте id этого вопроса — 10286.
Задача 10683 Три различных натуральных числа являются.
Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2?
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?
математика 10-11 класс 6517
Решение
Пусть с – наибольшая сторона треугольника, а-наименьшая.
Согласно «неравенству треугольника» каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
c < a+b - условие (1)
По теореме косинусов
c^2=a^2+b^2-2abcos ∠C ⇒
так как угол С- тупой, косинус тупого угла отрицательный, поэтому сумма трех положительных чисел больше сумма первых двух.
c^2 > a^2+b^2 – условие (2)
a) найдем такие с и a, что с/a=3/2
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.
Третья сторона a < b < c.
Пусть с=15; a=10; b=11
Проверяем первое условие b+a > c: 11+10 > 15 – верно
Проверяем второе условие c^2 > a^2+b^2: 225 > 100+121 — верно.
О т в е т. с=15; a=10; b=11 с/a=15/10=3/2
б) найдем такие с и a, что с/a=5/4
c-наибольшая, a – наименьшая сторона.
Пусть с=10; b=8; a=9
Проверяем первое условие b+a > c: 8+9 > 10 – верно
Проверяем второе условие 100 > 64 + 72 — неверно.
Покажем, что нет таких натуральных чисел, которые могли быть сторонами данного треугольника.
Обозначим с/a=5k/4k , k- натуральное
c=5k a=4k
4k < b < 5k ⇒ b достаточно взять от 4k+1 до 5k-1.
Пусть b — наименьшее из возможных b = 4k+1
Чтобы выполнялось второе условие c^2 > a^2+b^2:
(5k)^2 > (4k)^2+(4k+1)^2 ⇒ 7k^2+8k+1 < 0
Неравенство имеет решение на множестве (1/7;1).
Что не удовлетворяет условию к- натуральное
О т в е т. Нет таких натуральных чисел.
в) найдем наименьшее с/a, если b=18
c-наибольшая, a – наименьшая сторона. c > 18, a < 18.
Для того чтобы отношение (дробь) было наименьшим, знаменатель должен быть наибольшим.
Выберем a =17 > 18 – это наибольшее натуральное число из возможных.
Из условия c^2 > a^2+b^2 ⇒ c^2 > 17^2+18^2=289+324=613, √613 ≈24,75
c=25
О т в е т. с/а= 25/17.
Задача 4912 Про три различных натуральных числа.
Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7 ?
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7 ?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
Про три различных натуральных числа известно что они являются длинами сторон некоторого треугольника
Задание 19. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7?
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
Будем полагать, что самая большая сторона тупоугольного треугольника – это его основание AB. Тогда сумма двух других его сторон , но меньше (иначе тупой угол перейдет в прямой, а затем в острый).
а) Найдем натуральные a и b такие, что . Можно положить, например, что a=13, b=7, а . Первое условие выполняется, второе условие также выполняется, следовательно, это один из возможных вариантов.
Ответ: a=13, b=7, c=8.
б) Найдем натуральные a и b такие, что . При этом, число , так как b по условию – меньшее число. Например, выберем a=8, b=7, c=8. Проверим выполнение условий:
Второе условие не выполняется, следовательно, такие числа не подходят. Можно ли найти другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты будут соответствовать величинам , где k – натуральное число. Для выполнения второго условия лучше всего будут подходить величины a, b, c, равные
и второе условие можно записать в виде
и при последнее неравенство всегда будет положительным, то есть подобрать величины a, b, c невозможно.
в) Нужно найти наименьшее значение , при значении c=25. Для минимизации отношения, необходимо величину выбрать как можно ближе к 25 и величину также выбрать как можно ближе к 25. При этом должны выполняться условия для тупоугольного треугольника (см. выше). Первое условие легко выполняется, поэтому обратим внимание на второе условие . При максимальном значении b=24, получаем:
то есть минимальное значение должно быть равно 35. Таким образом, минимальное значение отношения, равно