Распишите, пожалуйста, по пунктам, что нужно сделать для того, чтобы найти дисперсию любого ряда чисел. 7 класс.
В решении допущена ошибка. В числовом ряду нет числа 6. Соответственно, неверно вычислена величина среднего арифметического и другие заданные показатели.
Геннадий 6 лет назад
Дисперсия числового ряда — это среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего арифметического. Пусть числовой ряд: 5, 9, 13, 4, 3, 18. 1. В первую очередь необходимо найти среднее арифметическое этих чисел. Среднее арифметическое — это сумма чисел, деленная на их количество. А = (5 + 9 + 13 + 6 + 3 + 18)/6 = 54/6 = 9. 2. Затем нужно найти квадраты отклонений каждого числа от среднего арифметического. То есть, для числа 5 квадрат отклонения будет равен: (5 — 9)^2 = (-4)^2 = 16. Тогда: (9 — 9)^2 = 0^2 = 0; (13 — 9)^2 = 4^2 = 16; (4 — 9)^2 = (-5)^2 = 25; (3 — 9)^2 = (-6)^2 = 36; (18 — 9)^2 = 9^2 = 81. 3. Найдем среднее арифметическое квадратов отклонений (дисперсия): D = (16 + 0 + 16 + 25 + 36 + 81)/6 = 29.
2. Дисперсия
Дисперсия набора чисел — среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического.
Для вычисления дисперсии ряда \(8\); \(6\); \(0\); \(10\) чисел заполним таблицу.
Среднее арифметическое:
4 + 0 + 36 + 16 4 = 14
Дисперсия характеризует разброс данных.
Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений.
Чем больше дисперсия, тем больше разброс значений.
Есть более рациональный способ нахождения дисперсии. Для этого достаточно вычислить средний квадрат значений числовых данных и квадрат их среднего арифметического.
Формула нахождения дисперсии: S 2 = x 2 ¯ − x ¯ 2 , где
S 2 — дисперсия;
x 2 ¯ — средний квадрат значений чисел ряда;
x ¯ 2 — квадрат среднего арифметического ряда.
В соответствии с формулой можем дать дисперсии ещё одно определение.
Дисперсия набора чисел — разность квадрата среднего арифметического от среднего квадрата значений.
Рассчитаем дисперсию числового ряда, приведённого выше, но уже с использованием формулы S 2 = x 2 ¯ − x ¯ 2 . Заполним таблицу.
Среднее арифметическое:
Среднее арифметическое:
Дисперсия: S 2 = 50 − 6 2 = 50 − 36 = 14 .
Во втором способе вычислений дисперсии (по формуле) меньше вычислений.
применение дисперсии:
— в медицинской диагностике (определение состава тканей, анализа биологических жидкостей);
— в физике (оценка точности измерений, экспериментов);
— астрономия (измерения до галактик и звёзд).
Как найти дисперсию?
Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая — значения сравнительно близки друг к другу, если большая — далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).
Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии — среднеквадратическое отклонение $\sigma(X)=\sqrt$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.
Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: «Дисперсия — это второй центральный момент случайной величины» (напомним, что первый начальный момент — это как раз математическое ожидание).
Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
- Формула дисперсии случайной величины
- Примеры вычисления дисперсии
- Онлайн калькулятор для дисперсии
- Видео. Полезные ссылки
Формула дисперсии случайной величины
Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле: $$ D(X)=M(X-M(X))^2, $$ которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде: $$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2. $$
Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.
Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид: $$ D(X)=\sum_^-\left(\sum_^ \right)^2. $$ Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом: $$ D(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x^2 dx — \left( \int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx \right)^2. $$
Пример нахождения дисперсии
Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.
Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения: $$ x_i \quad 1 \quad 2 \\ p_i \quad 0.5 \quad 0.5 $$ и $$ y_i \quad -10 \quad 10 \\ p_i \quad 0.5 \quad 0.5 $$
Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором — дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии: $$ D(X)=\sum_^-\left(\sum_^ \right)^2 =\\ = 1^2\cdot 0.5 + 2^2 \cdot 0.5 — (1\cdot 0.5 + 2\cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25. $$ $$ D(Y)=\sum_^-\left(\sum_^ \right)^2 =\\ = (-10)^2\cdot 0.5 + 10^2 \cdot 0.5 — (-10\cdot 0.5 + 10\cdot 0.5)^2=100-0^2=100. $$ Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $\sigma(X)=0.5$, $\sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором — на 10 единиц от среднего 0.
Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения: $$ x_i \quad -1 \quad 2 \quad 5 \quad 10 \quad 20 \\ p_i \quad 0.1 \quad 0.2 \quad 0.3 \quad 0.3 \quad 0.1 $$
Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины: $$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2. $$ В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание: $$ M(X)=\sum_^ =-1\cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 +5\cdot 0.3 +10\cdot 0.3+20\cdot 0.1=6.8. $$ Потом математическое ожидание квадрата случайной величины: $$ M(X^2)=\sum_^ = (-1)^2\cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.2 +5^2\cdot 0.3 +10^2\cdot 0.3+20^2\cdot 0.1=78.4. $$ А потом подставим все в формулу для дисперсии: $$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16. $$ Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.
Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x \in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.
Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины: $$ D(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x^2 dx — \left( \int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx \right)^2. $$ Вычислим сначала математическое ожидание: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx = \int_^ \frac \cdot x dx = \int_^ \frac dx = \left.\frac \right|_0^6=\frac = 4. $$ Теперь вычислим $$ M(X^2)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x^2 dx = \int_^ \frac \cdot x^2 dx = \int_^ \frac dx = \left.\frac \right|_0^6=\frac = 18. $$ Подставляем: $$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2. $$ Дисперсия равна 2.
Подробно решим ваши задачи на вычисление дисперсии
Вычисление дисперсии онлайн
Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.
- Введите число значений случайной величины К.
- Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
- Нажмите на кнопку «Вычислить».
- Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.
Видео. Полезные ссылки
Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию
Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Полезные ссылки
Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала — еще примеры решений задач по теории вероятностей.
А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:
43. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение
При анализе результатов наблюдений полезно иметь сведения о разбросе данных в ряду. Некоторое представление об этом даёт размах ряда, но он является слишком грубой оценкой. Поэтому известные вам статистические показатели дополняют ещё одним понятием, называемым дисперсией.
Разъясним смысл понятия дисперсия на примере.
Пусть имеется ряд данных
Среднее арифметическое этого ряда равно:
Для каждого члена ряда найдём его отличие, или, как говорят, его отклонение от среднего арифметического:
Нетрудно подсчитать, что сумма отклонений равна нулю:
(-1) + (-3) + 2 + (-2) + (-3) + 7 = 0.
Вообще для любого ряда данных сумма отклонений от среднего арифметического равна нулю и потому не может характеризовать разброс данных в ряду.
Для того чтобы судить о разбросе данных в некотором ряду, поступают следующим образом: составляют ряд квадратов отклонений и вычисляют среднее арифметическое этого ряда, которое называют дисперсией заданного ряда данных.
Дисперсия является мерой разброса чисел в ряду.
В приведённом примере дисперсия ряда равна:
Рассмотрим такой пример. При подготовке к соревнованиям по стрельбе из пистолета спортсмены Петров и Смирнов произвели по 8 серий выстрелов. Подсчитывая для каждой серии, состоящей из 10 выстрелов, число попаданий в цель, получили такие данные:
Петров: 10, 10, 9, 7, 10, 7, 10, 9;
Смирнов: 10, 9, 10, 9, 10, 8, 8, 8.
Для каждого ряда данных найдём среднее арифметическое:
Вычислим дисперсию для каждого ряда данных.
Для ряда результатов, показанных Петровым, имеем
Для ряда результатов, показанных Смирновым, имеем
Мы видим, что, хотя среднее арифметическое числа попаданий в обоих случаях одинаково, разброс данных во втором ряду меньше. Следовательно, Смирнов показал на тренировке более стабильный результат.
Одна из особенностей дисперсии состоит в следующем: если в ряду, содержащем большое число данных, есть лишь несколько данных, значительно отличающихся от среднего арифметического этого ряда, то дисперсия такого ряда обычно бывает невелика.
Необходимо отметить, что дисперсия как характеристика ряда данных имеет существенный недостаток. Он заключается в следующем. Если величины измеряются в каких-либо линейных единицах, например, в метрах, часах, килограммах и т. п., то дисперсия измеряется в квадратах этих единиц, т. е. в мерах, некоторые из которых не имеют реального смысла. Поэтому, при оценке разброса данных дисперсию часто заменяют другим показателем, называемым средним квадратичным отклонением.
Для результатов стрельбы, показанных Петровым и Смирновым, дисперсия, согласно расчётам, равна соответственно 1,5 и 0,75. Среднее квадратичное отклонение в первом случае равно 
, а во втором оно равно 
.
Среднее квадратичное отклонение принято обозначать греческой буквой а (сигма). В рассмотренном примере σ1 = ≈ 1,2, σ2 = ≈ 0,9.
Упражнения
- Для ряда чисел 5, 6, 8, 10, 7, 2 найдите:
Пользуясь калькулятором, найдите для каждого ряда данных:
а) среднее арифметическое месячных температур;
б) отклонения температур от среднего арифметического;
в) дисперсию.