Сколько шестизначных чисел можно составить из двоек, семерок и пятерки
Среди шестизначных чисел, состоящих только из цифр 2, 7 и 5, есть определенный порядок их размещения. Но первым делом надо учесть, что первая цифра не может быть 0, так как в этом случае число уже не будет шестизначным. Итак, у нас есть три возможных варианта для каждой цифры — число 2 может быть размещено на шести позициях (от единиц до миллионов), аналогично с цифрами 7 и 5.
Учитывая эти условия, получаем, что на первую позицию можно поставить одно из трех чисел — 2, 7 или 5. На каждую из оставшихся пяти позиций мы также можем поставить по одному из этих трех чисел. Таким образом, общее количество шестизначных чисел будет равно результату умножения количества возможных вариантов для каждой позиции.
Итак, число возможных вариантов на каждую позицию – 3. Общее количество шестизначных чисел, состоящих только из цифр 2, 7 и 5, равно 3^6 = 729.
Таким образом, можно составить 729 шестизначных чисел, используя только цифры 2, 7 и 5. Конечно, этот подсчет предполагает, что мы можем использовать одну и ту же цифру несколько раз в одном числе. Это исключительно теоретический результат, а в реальной жизни такие числа вряд ли встретятся.
Количество шестизначных чисел
Для того чтобы определить количество шестизначных чисел, которые можно составить из двоек, семерок и пятерок, необходимо учесть следующие правила:
- Число не может начинаться с нуля, поэтому первая цифра может быть только 2, 5 или 7.
- Остальные пять цифр могут быть любыми из трех допустимых значений: 2, 5 или 7.
- Цифры могут повторяться, так как мы ищем все возможные комбинации.
Таким образом, получаем следующие варианты:
| Первая цифра | Количество вариантов для остальных пяти цифр | Всего вариантов |
|---|---|---|
| 2 | 3 варианта | 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 варианта |
| 5 | 3 варианта | 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 варианта |
| 7 | 3 варианта | 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 варианта |
Итого, общее количество шестизначных чисел, которые можно составить из двоек, семерок и пятерок, равно 3 * 243 = 729 вариантов.
Таким образом, имеем 729 различных шестизначных чисел, состоящих только из двоек, семерок и пятерок.
Составление чисел из двоек, семерок и пятерок
Для составления шестизначных чисел из двоек, семерок и пятерок, мы можем использовать комбинации этих цифр. Таким образом, каждое из чисел может представлять собой любую комбинацию из этих трех цифр.
Для начала, определим, сколько всего разных комбинаций можно получить из двух цифр: 2 и 7. Для этого используем комбинаторику:
- Для составления однозначного числа у нас есть 2 варианта — 2 или 7.
- Для составления двузначного числа у нас есть 2 варианта для первой цифры — 2 или 7, и 2 варианта для второй цифры — 2 или 7. Таким образом, всего у нас получается 2 * 2 = 4 комбинации.
- Аналогично, для составления трехзначного числа у нас будет 2 * 2 * 2 = 8 комбинаций.
- И так далее…
Итак, для составления шестизначного числа у нас будет 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64 комбинации.
Таким образом, мы можем составить 64 различных шестизначных числа из двоек, семерок и пятерок.
Для наглядности, приведем таблицу всех возможных комбинаций:
| Порядковый номер | Комбинация |
|---|---|
| 1 | 222222 |
| 2 | 222227 |
| 3 | 222252 |
| 4 | 222257 |
| 5 | 222272 |
| … | … |
| 64 | 777777 |
Таким образом, из двоек, семерок и пятерок можно составить 64 различных шестизначных числа.
Возможные комбинации цифр
Для составления шестизначных чисел из двоек, семерок и пятерок необходимо учесть, что число не может начинаться с нуля. Поэтому первая цифра не может быть двойкой.
Рассмотрим все возможные комбинации цифр для оставшихся пяти позиций:
- Если вторая цифра является двойкой, то оставшиеся четыре позиции могут быть заполнены как двойками, семерками или пятерками, т.е. есть 3 возможности для каждой позиции. Таким образом, всего возможно составить 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 различных комбинации.
- Если вторая цифра является семеркой, то оставшиеся четыре позиции также могут быть заполнены тремя различными цифрами. Количество возможных комбинаций остается таким же — 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243.
- Если вторая цифра является пятеркой, то оставшиеся четыре позиции также могут быть заполнены тремя различными цифрами. Количество возможных комбинаций остается таким же — 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243.
Итак, всего существует 243 + 243 + 243 = 729 возможных комбинаций цифр для составления шестизначных чисел из двоек, семерок и пятерок.
Расчет общего количества шестизначных чисел
Для расчета количества всех возможных шестизначных чисел, которые можно составить из двоек, семерок и пятерок, нужно учесть, что число на каждой позиции может быть любым из трех доступных: 2, 7 или 5.
Так как количество возможных значений на каждой позиции одинаково, нужно найти общее количество комбинаций для каждой позиции и перемножить их между собой.
Общее количество комбинаций для каждой позиции можно вычислить по формуле:
Общее количество комбинаций = количество возможных значений количество позиций
В данном случае:
Количество возможных значений = 3 (2, 7, 5)
Количество позиций = 6 (так как ищем шестизначные числа)
Подставляя значения в формулу, получаем:
Общее количество комбинаций = 3 6 = 729
Таким образом, общее количество шестизначных чисел, которые можно составить из двоек, семерок и пятерок, равно 729.
Вопрос-ответ
Сколько шестизначных чисел можно составить из двоек, семерок и пятерок?
Из двоек, семерок и пятерок можно составить шестизначные числа.
Как посчитать количество шестизначных чисел, составленных из двоек, семерок и пятерок?
Для подсчета количества шестизначных чисел, составленных из двоек, семерок и пятерок, нужно использовать комбинаторику. В данном случае, у нас есть 3 различных цифры: 2, 7 и 5. Количество возможных комбинаций шестизначных чисел равно 3 в степени 6, так как каждая из шести позиций может быть заполнена одной из трех цифр. Таким образом, количество шестизначных чисел, составленных из двоек, семерок и пятерок, равно 729.
Как найти все шестизначные числа, составленные из двоек, семерок и пятерок?
Чтобы найти все шестизначные числа, составленные из двоек, семерок и пятерок, нужно воспользоваться подходом перебора. Начните с шестизначного числа, состоящего только из двоек (222222), а затем увеличивайте его до максимально возможного числа, состоящего только из пятерок (777777). При каждом увеличении числа, проверяйте, состоит ли оно только из двоек, семерок и пятерок. Если ответ положительный, добавьте это число в список шестизначных чисел. Таким образом, вы найдете все шестизначные числа, составленные из двоек, семерок и пятерок.
Можно ли составить шестизначные числа только из двоек и пятерок, без семерок?
Нет, нельзя составить шестизначные числа только из двоек и пятерок. В этом случае у вас будет всего две различные цифры, и заполнить каждую из шести позиций этими цифрами будет невозможно.
Какую роль играет комбинаторика в определении количества шестизначных чисел, составленных из двоек, семерок и пятерок?
Комбинаторика играет важную роль в определении количества шестизначных чисел, составленных из двоек, семерок и пятерок. В данном случае, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации трех различных цифр на шести позициях. Количество таких комбинаций равно 3 в степени 6, так как каждая из шести позиций может быть заполнена одной из трех цифр. Поэтому, комбинаторика помогает нам подсчитать количество шестизначных чисел, составленных из двоек, семерок и пятерок.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х разных циф
Сколько шестизначных чисел можно составить из 3-х разных циф
18.01.2009, 21:01
Здравствуйте.Как то на олимпиаде попалась задача:сколько шестизначных чисел можно составить из 3 разных цифр[от 0 до 9].0 первым быть не может.То есть такие варианты:110221,112233,121220(то есть 3 разных цифры).Помогите решить.
18.01.2009, 21:19
1) Пусть даны 3 разных цифры, среди которых нет нуля. Тогда сколько шестизначных чисел можно составить именно из этих трёх цифр?
2) То же самое с нулём.
Что-то не могу с ходу сообразить. Надо подумать.
18.01.2009, 21:25
А что тут думать?
Сколько 6-значных чисел можно составить из конкретных цифр (скажем 1,2,3)? Понятно что 
. Если затесался ноль, то 
. Теперь выбираем всеми способами три цифры.
При этом по несколько раз посчитались числа, состоящие только из двух (и только из одной) разных цифр. Ну и формула включения-исключения накручивается.
18.01.2009, 21:38
Подумав, прихожу к выводу, что вроде не очень сложно.
1) Всего существует вариантов написания числа, в котором участвуют данные три цифры (не обязательно все). Выбрав 2 цифры из трёх, имеем 
вариантов написания числа, в котором участвуют только эти 
цифры. Выбрать две цифры из трёх можно тремя способами. Таким образом, имеем число 
. Но это не точный ответ, поскольку мы по нескольку раз посчитали варианты, при которых в записи числа участвует только одна цифра. Зафиксировав цифру, видим, что существует ровно две выборки по две цифры из трёх, в которых эта цифра участвует. Так что каждое число, состоящее из одной цифры, было посчитано два раза. И точный ответ на вопрос первого пункта будет равен числу 
.
2) Во втором пункте ответ получить чуть сложнее, но можно, действуя теми же методами. Так как в данные три цифры входит ноль и его нельзя ставить на первое место, то всего шестизначных чисел, в которых участвуют данные три цифры, будет 
. Из них исключим числа, в которых не участвует одна из цифр. Если это цифра 
$» />$» />$» />, то таких чисел будет . Если же эта цифра не $» />$» />$» />, то их будет 
. Цифру, не равную нулю, можно выбрать двумя способами. И ещё остаётся два дважды посчитанных варианта, при которых число состоит из одной цифры. Таким образом, ответом на второй пункт будет число 
.
Ну теперь всё очевидно. Ответом к задаче будет число
Надеюсь, нигде не ошибся.
Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:
vlad239 писал(а):
А что тут думать?
Да я сам уже давно догадался И даже всё посчитал
комбинаторика — Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 2, 3, 3, 3?
Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 2, 3, 3, 3?
У меня получилось 50 чисел, это верный ответ?
задан 6 Янв ’17 12:47
Да, верный. Я считал по формуле для перестановок с повторениями: 6!/(1!2!3!) шестиразрядных, минус 5!/(2!3!) с нулём в начале. Можно и по-другому: ноль на одном из 5 мест, потом два места из пяти для двоек выбираем C_5^2 способами.
Элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики в основной школе [3 ed.] 9785996329885
![Элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики в основной школе [3 ed.] 9785996329885](https://dokumen.pub/img/200x200/3nbsped-9785996329885.jpg)
Захарова А. Е. Элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики в основной школе [Электронный ресурс] : учебнометодическое пособие / А. Е. Захарова, Ю. М. Высочанская. — 3-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 138 с.). — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — (Педагогическое образование). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10″. ISBN 978-5-9963-2988-5 В учебно-методическом пособии можно найти ответы на следующие вопросы: почему элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики включены в современный школьный курс математики, когда зародились данные дисциплины, каковы возможные пути, средства, методы введения элементов стохастики в обучение и т. п. Большой объем практических заданий поможет учащимся средней школы без труда освоить основы теории вероятностей, комбинаторики и статистики. Материал, изложенный в пособии, может быть полезен и школьным учителям при подготовке к урокам, и вузовским преподавателям методики обучения математике в школе, и родителям учащихся. УДК 519.2 ББК 22.17
Деривативное электронное издание на основе печатного аналога: Элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики в основной школе : учебно-методическое пособие / А. Е. Захарова, Ю. М. Высочанская. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 135 с. : ил. — (Педагогическое образование). — ISBN 978-5-9963-0498-1.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-9963-2988-5
c БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011 ○
Во все времена люди ценили математику за ее точность. Как вычислить площадь помещения, сколько заплатить за покупку, какова производительность какого-либо оборудования — на все эти вопросы математика дает точный и однозначный ответ. Но окружающий нас мир не так прост и однозначен, и результаты многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них ни располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет снег, вызовут ли вас сегодня к доске на уроке математики? Такие непредсказуемые явления и события в нашей жизни называют случайными. И как бы ни старались мы все учесть, предусмотреть, спланировать и действовать строго в соответствии с намеченной программой, на практике жизнь каждодневно убеждает нас, что невозможно исключить случай. Именно поэтому, для того чтобы активно жить и трудиться в мире, где случайности встречаются на каждом шагу, человечеству волей-неволей пришлось учитывать случай, что вызвало появление специальных разделов математики — теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики. В современной практической жизни мы постоянно сталкиваемся с необходимостью выбора, принятием решения, связанного с риском. Часто нам необходимо уметь оценить шансы на успех, степень достоверности получаемой нами информации в виде результатов социологических опросов, прогноза погоды, сведений о банковских кредитах и т. п. И каждый ученик ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями: успеет вовремя в школу или опоздает, справится ли он с контрольной работой, выиграет ли его любимый «Спартак» в предстоящей встрече? Представления о вероятности и достоверности события, о справедливых и несправедливых играх необходимы школьнику для принятия наилучшего варианта решения.
Без минимальной вероятностно-статистической грамотности сегодня трудно адекватно воспринимать социальную, экономическую и политическую информацию, принимать на ее основе обоснованные решения. Изложенный в данном пособии материал предназначен для учащихся 5–9 классов, но он может оказаться полезным учителям математики и родителям.
Роль и место вероятностно-статистического материала в современном школьном курсе математики
Включение в школьные программы элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей (стохастики) представляет собой один из важнейших аспектов модернизации содержания школьного математического образования. Именно поэтому в образовательный стандарт и школьные программы по математике основного общего образования элементы теории вероятностей, комбинаторики и статистики введены, наряду с алгеброй и геометрией, в качестве равноправной обязательной составляющей курса математики 5–9 классов. Эта линия заняла свое место наряду с такими привычными линиями, как «Выражения и преобразования», «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры». Продолжение изучения материала этой линии предполагается и в старших классах. Как же связаны между собой разделы теории вероятностей, комбинаторики и статистики? Теория вероятностей относится к тем разделам математики, которые находят широкое применение на практике. Одной из областей применения теории вероятностей являются статистические исследования. Переход от элементарных событий к произвольным событиям, операциям над ними может рассматриваться как на основе теоретико-множественных понятий, так и без привлечения понятия «множество». В первом случае, изучив операции над множествами, их наглядные модели в виде диаграмм Эйлера, ученики переходят к рассмотрению события как множества, состоящего из благоприятствующих ему элементарных событий. Изучение операций над событиями полностью аналогично изучению операций над множествами.
Решение комбинаторных задач позволяет определить и наглядно представить набор всех возможных исходов некоторого испытания, опыта (или серии испытаний). Без использования аппарата комбинаторики во многих вероятностных задачах трудно описать все элементарные события. Поэтому важно дать ученикам наглядное, компактное, запоминающееся представление о тех практических ситуациях, где используются комбинаторные принципы подсчета. Это в свою очередь дает возможность вычисления вероятности определенного случайного события, связанного с рассматриваемыми исходами. Кроме этого некоторые задачи комбинаторики помогают понять происхождение закона нормального распределения вероятностей — основы математической статистики. Особенности стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретаций результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации. По этой причине во многих случаях одну и ту же статистическую информацию разные люди могут трактовать по-разному. Методы математической статистики позволяют понять смысл и ответить на многие вопросы, связанные с информацией, представленной в виде графиков, диаграмм, таблиц и др. В требованиях к уровню подготовки выпускников основной школы говорится: «В результате изучения математики в основной школе ученик должен знать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов; уметь: · извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики; · находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные; находить вероятности случайных событий в простейших случаях; · использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией». Для внедрения указанного содержания в практику созданы реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение,
Роль и место вероятностно-статистического материала.
позволяющее включать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебный процесс. Ряд учебников содержит соответствующий материал как органическую часть курса, к другим подготовлены специальные пособия. Помимо этого есть публикации, раскрывающие методику преподавания названного материала как по конкретным учебникам, так и в общем плане.
1.1. Из истории вопроса Зарождение и развитие теории вероятностей связаны, в первую очередь, с азартными играми и относятся также к XVII в. Понятно, что основной вопрос состоял в определении ставки в игре, в поиске хода, который с наибольшей вероятностью приводил бы к выигрышу. Некоторые элементы теории вероятностей были известны задолго до этого, но только с указанного времени появились общие правила и законы, которые позволяли на основе математического анализа описывать и решать вероятностно-статистические задачи. Основателями теории вероятностей по праву считают Б. Паскаля (1623–1662) и П. Ферма (1601–1665). Не у каждой науки есть точный «день рождения». У теории вероятностей такая условная дата есть — 28 октября 1654 г., именно тогда Блез Паскаль написал своему коллеге Пьеру Ферма о том, что «зародился новый раздел математики». Ситуации, связанные с зарождением теории вероятностей, оказывают весьма заметное влияние и на современное изложение ее основ. Бросание игральных костей, подбрасывание кубика, выбор карт из колоды служат удобным, доступным и понятным средством для введения понятий и иллюстрации применения законов этой науки при решении различных задач. Многие важные результаты в теории вероятностей были получены в XVIII и XIX вв. К основателям этого раздела математики следует также отнести Я. Бернулли, П. Лапласа, К. Гаусса, П. Л. Чебышева. Но только в XX в. теория вероятностей превратилась в строгую математическую теорию. Ведущая роль в этом принадлежит нашему соотечественнику, замечательному советскому математику Андрею Николаевичу Колмогорову. Комбинаторика как раздел математики возникла в XVII в. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные
предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди всех расположений лучшие, люди столкнулись еще в древние времена. Решение таких задач было связано как с обеспечением существования племени, рода, с установлением иерархических отношений, торговлей, так и с культурой украшения жилища, одежды. Кроме того, комбинаторные задачи оказались полезными и в часы досуга. Об этом говорят многие древние рукописи, обнаруженные в Китае, Греции, Индии и др. Значительный толчок в развитии комбинаторики дали азартные игры, получившие свое распространение после крестовых походов. Наиболее широкое распространение получила игра в кости, в ходе которой на ровную поверхность выбрасывались два или три кубика с нанесенными на их грани очками. Ставку забирал тот, кто выбрасывал наибольшее количество очков. Было замечено, что некоторые суммы выпадают чаще, другие — реже. Стали составляться различные таблицы, отражающие количество способов, при которых выпадает та или иная сумма очков. Преодолевая неточности вычислений, уточняя условия подсчета, расширяя область исследования (например, переходя от случая бросания двух костей к бросанию трех костей), были получены многие важные для развития комбинаторики результаты. Очевидно, что решение комбинаторных задач напрямую связано с вопросами определения вероятности случайного события. Применением методов теории вероятностей при работе со статистической информацией занимается математическая статистика. Термин «статистика» происходит от латинского слова «статус» (status) — состояние. Первоначально, в XVIII в., когда статистика начала оформляться в научную дисциплину, данный термин связывался с системой описания фактов, характеризующих состояние государства. Статистика имеет древние корни и многовековую историю развития. Она зародилась как результат обобщения уже достаточно развитой статистической практики, вызванной потребностями развития общества, например: подсчет населения, скота, учет земельных угодий, имущества и т. д. Однако если сбор статистических данных начался в самой глубокой древности, то их обработка и анализ, т. е. зарождение статистики как науки, относятся к более позднему периоду.
Роль и место вероятностно-статистического материала.
Большое влияние на развитие математического направления в статистике России оказали работы русских математиков П. Л. Чебышева (1821–1894), А. А. Маркова (1856–1922), А. М. Ляпунова (1857–1918). К началу ХХ в. Россия была одним из признанных центров научной статистической мысли. В настоящее время статистика включает в себя большое и в то же время более определенное содержание: 1) сбор статистических сведений, т. е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей; 2) статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения; 3) разработку приемов статистического наблюдения и анализа статистических данных. Это собственно и составляет ее содержание. Теория вероятностей и математическая статистика в качестве научных теорий сформировались гораздо позже других разделов математики. По мнению Б. В. Гнеденко, сейчас уже трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть даже в недостаточно совершенной форме, о самой возможности количественной оценки уверенности в появлении случайного события. Необходимость изучения в школе элементов теории вероятностей, комбинаторики и статистики пропагандировалась в России более 100 лет назад. Так, в 1899 г. на совещании по вопросам о средней школе попечитель Московского учебного округа профессор П. А. Некрасов так высказался по поводу предложений о сокращении программы за счет изъятия теории сочетаний и бинома Ньютона: «Теория сочетаний представляет средство для одной из важнейших способностей ума — способности представлять явления в разных комбинациях. Эта способность нужна в жизни всякому». У отечественной школы есть опыт преподавания основ стохастики в период реформы 60–70 годов XX в. Однако он в основном негативный, так как материал оказался формальным, сложным для изучения и поэтому плохо усваивался. Это привело к его изъятию из школьной программы.
В настоящее время рассмотрение различных стратегий и тактик обучения элементам стохастики в средней школе имеет своих противников. Так, И. С. Ивашев-Мусатов следующим образом обосновывает свою точку зрения по этому вопросу: «…решение вероятностных задач с самого начала требует существенного привлечения интуиции и здравого смысла. Это абсолютно не присуще курсу математики в средней школе. Поэтому введение теории вероятностей в средней школе противопоказано» [5, с. 63]. Курс является новым для современной школы. Пропедевтика основных понятий на интуитивном, наглядном уровне предполагается в 5–6 классах, а в 7–9 классах — построение, изучение и применение базовых вероятностно-статистических моделей. Таким образом, определены два первых этапа работы над понятиями и методами стохастики. Эти рекомендации изложены в письме Министерства образования РФ от 23 декабря 2003 г.: «Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей целесообразно начать в 5–6 классах или в 7 классе — в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание. Необходимое время может быть найдено за счет отказа от рассмотрения с учащимися вопросов, которые не входят в обязательный минимум содержания основной школы (корень степени n, степень с дробным показателем, метод интервалов, тригонометрический материал в курсе алгебры), но сохраняется в ряде учебников и в практике работы учителей». Результаты проведенных экспериментов позволяют утверждать, что основы описательной статистики, таблицы и столбчатые диаграммы, основы комбинаторики, систематический перебор возможных вариантов на небольшом множестве предметов возможно и даже необходимо вводить уже в курс начальной школы. В настоящее время стохастическая линия в том или ином виде изложена авторскими коллективами практически всех учебников, указанных в комплекте Министерства образования и науки РФ. Они отличаются как логикой построения курса, так и характером его взаимосвязи с курсами алгебры и геометрии (представление вопросов теории вероятностей как отдельного курса и введение элементов теории вероятностей в действующие курсы алгебры и геометрии в качестве их органической части).
Роль и место вероятностно-статистического материала.
1.2. Различные трактовки основных понятий вероятностно-статистической линии Остановимся на некоторых общих вопросах. Рассмотрим различные определения вероятности. 1. Классическое определение вероятности. Если в некотором испытании существует n равновозможных исходов и m из них благоприятствуют событию А, то вероятностью Р(А) наступления события А называют отношеm ние и записывают n m Р(А) = . n 2. Статистическое определение вероятности. Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N. При этом число М называют частотой события А. Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний. 3. Геометрическая вероятность. Пусть U — некоторая фигура на плоскости, S(U) — ее площадь, А — часть U с площадью S(А). Каждая точка фигуры U — элементарное событие u. Будем считать равными вероятности попадания случайно выбранной точки u (u Î U) в фигуры A Í U, B Í U с равными площадями S(А) = S(В). Вероятность Р(А) попадания точки u в фигуру А определяется как отношение площадей S(A) Р(А) = . S(U) Аналогично строится определение геометрической вероятности, если в качестве величины, характеризующей фигуру (отрезок, дуга, трехмерное тело), рассматривается ее длина (длина отрезка, длина дуги) или объем тела. 4. Аксиоматическое определение вероятности. Рассматривается некоторое множество U = , элементы которого будем называть элементарными событиями.
Любое подмножество A = множества U назовем событием. Все множество U — это достоверное событие, пустое множество Æ — невозможное событие. Сумма А + В и произведение АВ событий определяются как сумма (объединение) и произведение (пересечение) множеств А и В. Если произведение АВ пусто, то события А и В называются несовместными. Событие A, состоящее из всех элементов ut, не входящих в А, называется противоположным событию А. События A и A удовлетворяют условиям АA= Æ, А + A = U. Теперь определим вероятность Р(А) события А. Пусть каким-либо образом заданы числа p(ut) (1 £ t £ n), удовлетворяющие условиям p(ut) ³ 0, p(u1) + p(u2) +…+ + p(un) = 1. Эти числа называют элементарными вероятностями. Вероятность Р(А) события A = определим равенством P(A) = p(ut 1 ) + p(ut 2 )+. + p(utm ). Так, определенная вероятность P(А) должна удовлетворять следующим аксиомам. Аксиома 1. Для любого события A P(А) ³ 0. Аксиома 2. Для достоверного события U P(U) = 1. Аксиома 3. Для любых попарно несовместных событий A1, A2, …, Am P(A1 + A2 +…+ Am) = P(A1) + P(A2) +…+ P(Am) . Из этих аксиом следует, что P(Æ) = 0 и P(A) = 1 – P(А). Проведем методический анализ различных подходов к определению вероятности случайного события. На начальном этапе каждый школьник должен научиться определять множество исходов испытания. При введении вероятности для испытания с конечным числом исходов можно использовать как классическое, так и статистическое определения вероятности. Однако, по мнению венгерского математика А. Реньи, классическое определение вероятности совсем не является опреде-
Роль и место вероятностно-статистического материала.
лением вероятности, а лишь описывает метод ее вычисления в простейших случаях. Так, в школьной энциклопедии [14] дается следующее разъяснение: «Если опыт таков, что он подразделяется только на конечное число элементарных событий, которые к тому же являются равновероятными, то говорят, что речь идет о классическом случае. Для опытов этого типа теорию вероятностей разрабатывал еще Лаплас. Примерами таких опытов является бросание монеты (два равновероятных элементарных события) или бросание игральной кости (шесть равновероятных элементарных событий). В классическом случае из аксиом для вероятности Р(А) события А получаем: P(A) = (Число элементарных событий, благоприятных для А)/(Число всех возможных элементарных событий). Под элементарным событием, благоприятным для A, понимают событие, осуществление которого ведет к осуществлению A. Классическое определение вероятности случайного события базируется на понятии равновероятности случайных событий, которое, в свою очередь, основывается на интуиции и здравом смысле. Конечно, каждый школьник без труда воспринимает как равновозможные события выпадение «орла» и выпадение «решки» при подбрасывании одной монеты. Но если подбрасываются две монеты, то выявление равновозможных исходов уже не такая простая задача. Анализ материала, посвященного изложению элементов теории вероятностей, у различных авторов учебников и учебных пособий характеризуется тем, что сначала вводятся понятия классической и статистической вероятности. Каждый из нас должен понимать, что классическое и статистическое определения вероятности не являются эквивалентными: первое представляет собой частный случай второго, когда имеется симметрия исходов испытания. Отметим положительные моменты введения классического определения вероятности до ее статистического определения. 1. Оно связано с опытом (испытанием), распадающимся на конечное число элементарных событий, которые к тому
же являются равновероятными. Например, мысленное подбрасывание идеальной (правильной) монеты. Этот опыт имеет два равновероятных события (исхода): выпадение орла и выпадение решки. 2. Понятия равновозможных исходов и исходов, благоприятствующих данному событию, легко моделируются на понятных, привычных для учеников объектах, в привычных условиях: при мысленном подбрасывании одной игральной кости, монеты. 3. Определение различных величин через соответствующую формулу привычно для учащихся, раскрывает содержательный смысл величин, определяющих значение вероятности указанного события в заданных условиях. Формула сразу дает возможность установить, что вероятность события в данных условиях (в условиях равновозможных исходов испытания) — это число. 4. Статистическое определение вероятности требует умения обозревать и анализировать результаты большого числа испытаний (по определению), что представляется трудным для школьника 13–14 лет. 5. Предварительное рассмотрение элементов комбинаторики позволяет на основе классического определения решать разнообразные задачи с использованием доступных наглядных средств представления равновозможных исходов испытания, с привлечением усвоенных к этому моменту понятий и формул. Вместе с тем следует понимать, что классическое определение вероятности применимо лишь в условиях опытов с конечным числом равновозможных исходов. Количество таких исходов зависит от точного указания условий опыта, понимания различимых и неразличимых объектов. Сказанное выше и опыт работы по пособиям, в которых сначала вводится классическое определение вероятности, а затем статистическое, убеждают в доступности материала при такой тактике построения курса. Проанализируем теперь статистическое определение вероятности. 1. Это определение универсально в том смысле, что классическое определение представляет собой его частный случай.
Роль и место вероятностно-статистического материала.
2. В основе статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который для школьников приводится обычно как факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями. 3. При помощи этого определения можно оценивать вероятность случайного события по относительной частоте его появления в длинной серии одинаковых опытов. Например, в результате многовековых наблюдений установлено, что мальчиков в мире рождается больше, чем девочек. 4. Статистическое определение весьма полезно для практического применения, так как построенные на его основе вероятностные методы являются результатом синтеза накопленных человечеством практических методов обработки данных и математического аппарата теории вероятностей. При рассмотрении статистического материала (при любом варианте представления триады: статистика, теория вероятностей, комбинаторика) сначала определяются простейшие числовые характеристики наборов чисел: среднее арифметическое, медиана, отклонение от среднего, дисперсия. Ученики усваивают вводимые понятия на уровне здравого смысла, без неоправданной формализации. Например, если вопросы статистики вводятся в 7 классе, то можно не рассматривать свойства среднего арифметического и дисперсии. Главным при рассмотрении различных наборов чисел является формирование представлений о случайной изменчивости и ее показателях: среднем арифметическом, медиане, отклонении от среднего, дисперсии. Происходит знакомство с различными наборами чисел: такими, для которых среднее арифметическое дает хорошее представление о соответствующем массиве наблюдений, и такими, для которых среднее арифметическое не позволяет его получить. Введенные на первом этапе статистические понятия — числовые характеристики наборов чисел — на следующем этапе получают вторую математическую трактовку как числовые характеристики случайных величин. Как сказано в книге [1], комбинаторика — количественная теория конечных множеств.
В ней рассматриваются задачи двух типов с одинаковым условием: пусть имеется некоторое конечное множество U. При этом: 1) решается вопрос об определении количества подмножеств данного множества U, которые имеют специальный вид; 2) рассматривается второе конечное множество А. Определяется количество отображений данного множества U ® A, имеющих специальный вид. В качестве примера рассмотрим шуточную задачу, бытовавшую на довоенном мехмате МГУ. Задача. В то время на велосипеды выдавались шестизначные номера. Номер считался «несчастливым», если в нем содержалась хотя бы одна цифра 8 («восьмерка» — один из дефектов велосипедного колеса). Каких номеров было больше: «счастливых» или «несчастливых»? Решение. На первый взгляд кажется, что счастливых номеров в несколько раз больше, так как 8 — лишь одна из 10 цифр. Найдем количество всех шестизначных номеров, составленных из 10 цифр: 106 = 1 000 000. Отбросим номер, составленный только из нулей: 000 000. Остается 999 999 — общее количество шестизначных номеров. Подсчитаем теперь количество «счастливых» номеров, т. е. номеров, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9: 96 = 531 441. Сюда тоже входит номер 000 000. Исключив его, получим 531 440 «счастливых» номеров. Таким образом, количество «несчастливых» номеров равно 468 559 (999 999 – 531 440). Итак, «счастливых» номеров больше, чем «несчастливых» на 62 881 (531 440 – 468 559). В процессе изучения математики в школе мы привыкаем к полной определенности, к получению однозначного точного результата при решении задач. Трудности в усвоении статистической трактовки вероятности отчасти связаны с тем, что приходится сталкиваться с явлением, противоречащим представлениям об объектах, изучаемых в курсе математики. Нам необходимо понять, что какой бы длинной ни была проведенная серия испытаний, она дает только приближенное значение
Роль и место вероятностно-статистического материала.
вероятности события, позволяет определить только степень достоверности его наступления. Следует отметить, что в результате исследований психологов Ж. Пиаже и Е. Фишбейна были получены результаты, свидетельствующие о том, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-статистической информации. К аналогичным выводам приходят и современные методисты. В результате многочисленных исследований, проведенных в старших классах некоторых лицеев и гимназий России, был сделан следующий вывод: «Даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивают развития вероятностного мышления и не избавляют от тривиальных вероятностных предрассудков и заблуждений» [4]. Согласно исследованиям психологов и методистов наиболее благоприятным для формирования вероятностно-статистических представлений является возраст 10–13 лет.
Методика формирования представлений, знаний, умений и навыков
В изучении вероятностно-статистического материала в школе можно условно выделить несколько этапов, первый из которых — пропедевтический. К нему относится работа по формированию первоначальных комбинаторных, вероятностных и статистических представлений у учащихся 5–6 классов. Содержание проводимой работы определяется следующим образом. 5–6 классы · Вероятность. Достоверное, невозможное, случайное собы-
тие. Сравнение шансов наступления случайных событий на основе интуитивных соображений; на классической, статистической основах; с помощью геометрических соображений. · Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором возможных вариантов. · Статистика. Сбор, регистрация статистических данных, представление их в виде таблиц, диаграмм. Чтение таблиц и диаграмм. Если в начальной школе комбинаторные задачи решаются перебором возможных вариантов, осуществляемых путем предметной деятельности с конкретными вещами, то в 5–6 классах можно перейти уже к кодированию предметов с помощью букв или чисел, так как вырос уровень абстрактного мышления учащихся. Постепенно можно перейти к использованию других способов перебора: «дерева» возможных вариантов, таблиц, совокупности точек и отрезков и т. п. Комбинаторные задачи уместно решать при изучении натуральных чисел и операций над ними; изучении обыкновенных, десятичных дробей и операций над десятичными дробями
Методика формирования представлений, знаний.
(5 класс); изучении делимости чисел; изучении умножения и деления натуральных и отрицательных чисел; при решении уравнений (6 класс). Психологи утверждают, что для формирования стохастических представлений наиболее благоприятен возраст 10–13 лет, что примерно соответствует 5–7 классам. Экспериментальная работа в 5–6 классах по пропедевтике комбинаторных и вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показывает, что этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции, комбинаторных и статистических представлений детей. При этом: · в пропедевтическом курсе формируются первоначальные представления всех составляющих данной линии (вероятностной, комбинаторной и статистической); · на этапе пропедевтики пока не раскрываются взаимосвязи между составляющими стохастической линии; · соответствующие определения формулируются лишь на основе рассмотрения доступных школьникам интересных и адекватных примеров; · мотивация введения того или иного понятия должна быть хорошо продумана; · при рассмотрении любого материала необходима постоянная опора на жизненный опыт учащихся; · на этапе пропедевтики надо постараться избегать неоправданного применения формул, сделать этот этап «доформульным»; · основной формой обучения служит беседа, в процессе которой внимание школьников привлекается к вероятностно-статистическим ситуациям, стимулируется выдвижение учениками предположений о свойствах рассматриваемых объектов, закономерностях массовых случайных явлений. Пример 1. На любом уроке учитель, вызвав к доске ученика А, может обсудить со школьниками следующие вопросы:
1) вместо ученика А мог бы он вызвать ученика Б или ученика С; 2) кого он может вызвать к доске вторым, третьим и т. д. Пример 2. На уроке русского языка учитель может обратить внимание учеников на фразу: «Папа ушел на работу». Он может разъяснить, что слово «работа» употреблено случайно, так как можно было сказать «на службу» или «на фирму». Пример 3. На уроках природоведения учитель говорит, что у цветков сирени бывает 3, 4 и 5 лепестков. То, что у сорванного цветка 4 лепестка — случайность, но она имеет наибольшую вероятность, так как большинство цветков в грозди сирени имеют 4 лепестка. Пример 4. На уроках труда учитель нередко дает школьникам задание выкроить (выточить, изготовить, вырезать) деталь с указанными размерами l мм. После сбора готовых изделий учитель их измеряет и объявляет, что все детали получились разных размеров, но все попадают в промежуток (l ± 6) мм, а большинство из них попадает в промежуток (l ± 2) мм. Если найти среднее арифметическое размеров всех изготовленных деталей, то окажется, что это число близко к l мм. Пример 5. После измерения в медицинском кабинете роста всех мальчиков класса классный руководитель отмечает, что все они различны, но у большинства рост не очень отличается от среднего значения всех результатов измерения. Два последних примера иллюстрируют закон нормального распределения величин, который имеет широкое распространение как в живой природе, так и в массовом производстве. Естественно, аналогичные примеры целесообразно рассмотреть и на уроках математики в 5 классе после изучения темы «Среднее арифметическое». К основным средствам формирования вероятностно-статистических представлений у школьников 11–12 лет следует отнести игры и эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, моделирование. При этом ученики могут использовать любой подручный материал: монеты, игральные кубики (кости), пуговицы, кнопки и т. п.
Методика формирования представлений, знаний.
2.1. Пропедевтика теории вероятностей, комбинаторики и статистики на материале курса математики 5–6 классов Задачи, развивающие комбинаторно-вероятностное мышление учащихся и знакомящие их с некоторыми моментами истории математики — задачи на составление фигурных чисел, магических и латинских квадратов. Подобные задачи решались еще в Древнем Китае и Римской империи. Составление и подсчет числа всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу, — основные направления пропедевтики комбинаторной составляющей подобных задач. 1. Фигурные числа В древности для подсчета элементов применялись камешки. При этом наибольший интерес представляло такое количество камешков, из которых можно составить определенную геометрическую фигуру. Такие числа стали называть фигурными. ¹ 1. На рис. 2.1 изображены первые три квадратных числа. Для построения их понадобилось 1, 4 и 9 камешков соответственно. Изобразите следующие два квадратных числа и определите, сколько камешков понадобится для каждого из них.
¹ 2. На рис. 2.2 изображены первые три треугольных числа. Для их построения понадобилось 1, 3 и 6 камешков соответственно. Изобразите следующие два треугольных числа и определите, сколько камешков понадобится для каждого из них.
Составное число можно по-разному представить в виде произведения двух чисел, каждое из которых отлично от 1: 12 = 2 ´ 6 = 3 ´ 4 = 4 ´ 3 = 6 ´ 2. Прямоугольные числа рассматриваются в качестве синонима составного числа. Каждое из них можно представить в виде прямоугольника размером m ´ n (m ¹ 1, n ¹ 1). На рис. 2.3 приведены изображения прямоугольного числа 12.
¹ 3. Приведите различные изображения прямоугольных чисел 6 и 8. Любое простое число назвали непрямоугольным. Его представляли в виде линии 1 ´ n. На рис. 2.4 изображены непрямоугольные числа 3, 5 и 7. Рис. 2.4
¹ 4. Изобразите еще три других непрямоугольных числа. 2. Магические квадраты Квадрат n ´ n назовем магическим, если в его ячейках расставляются числа от 1 до n ´ n (числа не повторяются). При этом сумма чисел по горизонтали, вертикали и по диагонали должна быть одна и та же. ¹ 1. Проверьте, существует ли магический квадрат: а) 2 ´ 2; б) 3 ´ 3. В случае утвердительного ответа изобразите соответствующий магический квадрат. Сколько существует таких квадратов?
Методика формирования представлений, знаний.
Решение. А. Нет, не существует. Если бы такой квадрат существовал, то сумма чисел по горизонтали, вертикали и по 1+ 2 + 3 + 4 диагонали была бы равна = 5. Но число 5 2 нельзя представить четырьмя способами в виде суммы двух различных слагаемых из набора: 1, 2, 3, 4 (возможны только два варианта: 5 = 2 + 3 = 1 + 4). Б. Да, существует. Определим сначала, какое число расположено в центре таблицы. Пусть это число равно а (а — число от 1 до 9). Тогда разность 15 – а должна быть представлена в виде четырех сумм из двух слагаемых, где ни одно слагаемое не повторяется. (При активном участии учеников заполняется табл. 2.1 всех таких наборов.) Таблица 2.1 Число в центральной ячейке а
Различные наборы слагаемых для числа 15 – а