Как строить графики квадратных функций
Перейти к содержимому

Как строить графики квадратных функций

  • автор:

3. Построение графика квадратичной функции

Функция вида y = a x 2 + bx + c , где \(a\), \(b\), \(c\) — реальные числа, \(a\) ≠ \(0\), называется квадратичной функцией .

Графиком квадратичной функции является парабола.

Область определения функции \(D(f)\) — все действительные числа.

Рассмотрим для примера две квадратичные функции.
Пример 1. y = x 2 − 2 x − 1 (рис. \(1\)).
Пример 2. y = − 2 x 2 + 4 x (рис. \(2\)).

Область значений функции \(E(f)\) считывается с графика, она зависит от координаты \(y\), вершины параболы и направления ветвей параболы.
\(1\) пример — E ( f ) = [ − 2 ; + ∞ ) ;
\(2\) пример — E ( f ) = ( − ∞ ; 2 ] .

Параметр \(a\) определяет направление ветвей параболы:
если \(a > 0\), то ветви направлены вверх (см. пример \(1\));
если \(a < 0\), то ветви направлены вниз (см. пример \(2\)).

Параметр \(c\) указывает, в какой точке парабола пересекает ось \(Oy\).
Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо:

1) вычислить координаты вершины параболы: x 0 = − b 2 a и y 0 — которую находят, подставив значение x 0 в формулу функции;

2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы;
3) определить направление ветвей параболы;
4) отметить точку пересечения параболы с осью \(Oy\);
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента \(x\).

Решив квадратное уравнение a x 2 + bx + c = 0 , получаем точки пересечения параболы с осью \(Ox\), или корни функции (если дискриминант \(D > 0\));

если \(D < 0\), то точек пересечения параболы с осью \(Ox\) не существует; если \(D = 0\), то вершина параболы находится на оси \(Ox\).

Но не всегда точки пересечения с осью \(Ox\) являются рациональными числами; если невозможно точно вычислить корень из \(D\), то такие точки не используют для построения графика.

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида y=ax^2+bx+c, где  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

ссвободный член.

y=x^2

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:

y=x^2

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x^2при любых значениях остальных коэффициентов.

y=-x^2

График функции имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции y=-x^2симметричен графику функции y=x^2относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .

Второй параметр для построения графика функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x)— это точки пересечения графика функции y=f(x)с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции y=f(x)с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax^2+bx+cнужно решить квадратное уравнение .

D=b^2-4ac

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если  ,то уравнение ax^2+bx+c=0не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+cне имеет точек пересечения с осью ОХ. Если  ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+cимеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если  ,то график функции выглядит примерно так:

3 . Если  ,то уравнение ax^2+bx+c=0имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+cимеет две точки пересечения с осью ОХ:

x_1=<-b+sqrt<D>>/» />, <img decoding= ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

x_0=-<b/<2a></p>
<p>>» /></p>
<p><img decoding=

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax^2+bx+cс осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

y=ax^2+bx+c

1. Функция задана формулой .

y=2x^2+3x-5

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции

1. Направление ветвей параболы.

Так как  ,ветви параболы направлены вверх.

2x^2+3x-5

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена

sqrt<D>=7″ /></p>
<p>Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.</p>
<p><img decoding=

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:

x_1=<-3+7>/4=1″ />, <img decoding=

y_0=-<D/<4a></p>
<p>>=-49/8=-6,125″ /></p>
<p><strong>4</strong>. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.</p>
<p>Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:</p>
<p>  <img decoding=

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

y=2x^2+3x-5

Кррдинаты вершины параболы

x_0=-<b/<2a></p>
<p>>=-3/4 =-0,75″ /></p>
<p><img decoding=

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=a(x-x_0)^2+y_0— в этом уравнении x_0;y_0— координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции y=ax^2+bx+ca=1, и второй коэффициент — четное число.

y=2(x-1)^2+4

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

y=x^2

  • сначала построить график функции ,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение графика функции y=x^2+4x+5. В уравнении этой функции a=1, и второй коэффициент — четное число.

x^2+4x+5=x^2+4x+4-4+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1

Выделим в уравнении функции полный квадрат:

x_0=-2, y_0=1

Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

x_1=2; x_2=-1

(х-2)(х+1)=0, отсюда

x_0=<x_1+x_2></p>
<p>2. Координаты вершины параболы: /2=/2=1/2″ /></p>
<p><img decoding=

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции Подготовка к ГИА и ЕГЭот значения коэффициента ,
— сдвига графика функции Подготовка к ГИА и ЕГЭвдоль оси от значения ,

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

— сдвига графика функции вдоль оси от значения
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

  • Домашнее задание по теме «Построение графиков функций, содержащих модуль»
  • Коэффициент наклона прямой
  • Видеолекция «Построение графика функции, содержащей модуль»
  • Задачи на линейную функцию
  • Задача на нахождение наименьшего значения функции
  • Производная и касательная. Интерактивная модель

Квадратичный график

Инструкции: Используйте этот калькулятор Quadratic Graph для построения графика любой заданной вами квадратичной функции, показывая все шаги. Пожалуйста, введите квадратичную функцию, график которой вы хотите построить, в поле формы ниже.

Подробнее об этом генераторе квадратичных графов

Этот калькулятор квадратичных графиков позволит вам построить график для любой квадратичной функции, которую вы предоставите. Это может быть любая действительная квадратичная функция, например, x^2 — 3x + 1/2, но вы также можете предоставить квадратичную функцию, которая не упрощается, например, x^2 — 3x — 4 — 1/2 x^2 — 1/5, при условии, что это действительная квадратичная функция.

Как только вы введете правильное квадратичное выражение, вы можете нажать на кнопку «Вычислить», и на экране появится окно график функции будет сгенерирован, показывая этапы вычисления вершина параболы и Ось симметрии а также .

Квадратичные функции занимают главенствующее место в базовой алгебре, поскольку они часто используются в контексте решения задачи квадратные уравнения и прикладные проблемы. По сути, они являются базовыми полиномы , которые обладают множеством интересных свойств.

Квадратичный График

Как построить график квадратичной формы?

Построить график квадратичной функции просто, в том смысле, что вы знаете, что ВСЕ квадратичные функции будут иметь форму параболы. Но все же парабол бесконечно много. Нам нужно знать немного больше, чтобы определить точную параболу, которая представляет данную квадратичную функцию.

Шаги для нахождения графика квадратичной функции

Квадратичная Функция

  • Шаг 1: Четко определите заданную квадратичную функцию и при необходимости упростите ее
  • Шаг 2: После упрощения определите функцию в виде f(x) = ax² + bx + c. Обратите внимание, что a не может быть нулем
  • Шаг 3: Если a > 0, вы знаете, что график будет параболой, раскрывающейся вверх, тогда как если a 0 или a

Пример: квадратичный график

Постройте график : \(f(x) = \fracx^2 +2x — 3\)

Нам необходимо построить график заданной квадратичной функции \(f(x) = \displaystyle \fracx^2+2x-3\). Также будут вычислены координаты вершины.

Для квадратичной функции вида \(f(x) = a x^2 + bx + c\) координата x вершины вычисляется по следующей формуле:

\[x_V = \displaystyle -\frac\]

В этом случае мы имеем, что функция, для которой нам нужно найти вершину, равна \(f(x) = \displaystyle \fracx^2+2x-3\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты являются:

Подставляя известные значения \(a\) и \(b\) в формулу для x-координаты вершины, получаем:

\[x_V = \displaystyle -\frac = \displaystyle -\frac> = -3\]

Теперь нам нужно подставить значение \(x_V = \displaystyle -3\) в квадратичную функцию, чтобы получить:

\[y_V = f(x_V)\] \[ = \frac\cdot \left(-3\right)^2+2\cdot \left(-3\right)-3=\frac\cdot \left(-3\right)^2+2\cdot \left(-3\right)-3=9\cdot\frac-6-3=3-6-3=-6\]

Таким образом, координата x вершины равна \(x_V = \displaystyle -3\), а координата y вершины равна \(y_V = \displaystyle -6\). Это означает, что точка, обозначающая вершину, равна \( \displaystyle \left(-3, -6\right)\).

Графически получается следующее:

Пример квадратичного графика

Пример: квадратичный график

График: \(f(x) = \fracx^2 +3x — 2\), какой это тип квадратичного графика?

Отвечать: В этом случае мы имеем, что функция, для которой нам нужно найти вершину, равна \(f(x) = \displaystyle \fracx^2+3x-2\), из чего следует, что соответствующие коэффициенты являются:

Подставляя известные значения \(a\) и \(b\) в формулу для x-координаты вершины, получаем:

\[x_V = \displaystyle -\frac = \displaystyle -\frac> = -\frac\]

Теперь нам нужно подставить значение \(x_V = \displaystyle -\frac\) в квадратичную функцию, чтобы получить:

Таким образом, координата x вершины равна \(x_V = \displaystyle -\frac\), а координата y вершины равна \(y_V = \displaystyle -\frac\). Это означает, что точка, обозначающая вершину, равна \( \displaystyle \left(-\frac, -\frac\right)\).

Графически получается следующее:

Пример квадратичного графика

Больше квадратичных калькуляторов

Большинство всех приложений в базовой алгебре основаны на решении некоторого рода Квадратное уравнение , поэтому у него есть сильная педагогическая цель узнать об этом.

квадратичная формула является одним из самых печально известных учебных предметов в математике. Дело не в том, что кубические или квартовые уравнения не существуют, а в том, что квадратные уравнения это те, которые мы можем легко объяснить.

Построение графика квадратичной функции

Онлайн-книги

Конспект урока по алгебре в 8 классе
Бояринова Татьяна Вячеславовна , учитель математики первой категории МБОУ Берендеевская СОШ
Лысковского района Нижегородской области Тема урока: «Построение графиков квадратичных функций».

  • отработать умение строить графики функций у = ах 2 , у=а(х– x 0) 2 , у=ах 2 + y 0, у=а(х– x 0) 2 + y 0, применяя правила преобразования графиков.
  • проверить степень усвоения учащимися изученного материала;

Развивающие:

  • развитие математической культуры, логического мышления, внимания, памяти, речи учащихся;
  • развитие самостоятельности, способности к самоконтролю, самооценке.

Воспитательные:

  • воспитание стремления достигать поставленную цель;
  • воспитание чувства ответственности, уверенности в себе, умения работать в коллективе;
  • воспитание интереса к предмету.
  1. Оргмомент.
  2. Проверка домашнего задания.
  3. Выступления учащихся.
  4. Элементарные преобразования графиков квадратичной функции. Работа с программой «Математика 5-11кл. Практикум»
  5. Решение тестовых заданий.
  6. Подведение итогов урока.
  7. Сообщение домашнего задания
  1. Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку.
  2. Консультанты (дежурные) докладывают о готовности учащихся к уроку.
  3. При работе используется мультимедийный проектор и презентация, выполненнаяв программе Microsoft PowerPoint.

Тема сегодняшнего урока «Построение графика квадратичной функции». Слайд№1. Тема для вас не новая, но на прошлых уроках мы учились строить графики по пяти характеристическим точкам, а ещё раньше говорили о том, что график квадратичной функции можно строить с помощью преобразований растяжения, сжатия, сдвига (параллельного переноса) и симметрии. Сегодня мы должны всё вспомнить, привести полученные знания в систему. Вначале мы послушаем ребят, которые выполняли индивидуальные задания. Слушая их, вы проверите правильность выполнения своей домашней работы. Затем потренируемся в преобразовании графиков. В конце урока разберём тестовые задания.

Сейчас я предоставляю слово Алексейчук Ксении, она напомнит нам, как построить график квадратичной функции по пяти характеристическим точкам.

Выступление 1 ученика.

Задание. Построить график функции (Приложение 1). Слайд №2

Следующий выступающий Бойчук Юрий расскажет о построении графика квадратичной функции сжатием и растяжением вдоль оси ординат. Слайд №3

Выступление 2 ученика.

Задание. В одной координатной плоскости построить графики функций . (Приложение 2)

Теперь послушаем Бученкову Юлю, она расскажет, как построить график функции . Слайд №4

Выступление 3 ученика.

Задание. Построить график функции у=3(х+2) 2 –4 (Приложение 3)

слайд № 3 слайд № 4

Орлова Влада расскажет, как построить график функции сдвигом вдоль оси абсцисс

Выступление 4 ученика. Слайд №5

Задание. В одной координатной плоскости построить графики функций ; . (Приложение 4)

Андреева Надя расскажет, как построить график функции сдвигом вдоль оси ординат. Слайд № 6

Выступление 5 ученика.

Задание. В одной координатной плоскости построить графики функций ; . (Приложение 5)

слайд № 5 слайд № 6

Ребята рассказали о построении графика квадратичной функции с помощью преобразований сжатия, растяжения, сдвига (параллельного переноса) и симметрии. Все преобразования можно оформить в виде таблицы, которую желательно записать в тетрадь и запомнить, потому что этот материал пригодится вам при изучении алгебры в старших классах и построении более сложных графиков. Слайд №7.

Преобразования графика квадратичной функции

у = ах 2 , а > 1

Растяжение графика функции у = х 2 вдоль оси ординат в а раз

Сжатие графика функции у = х 2 вдоль оси ординат в а раз

Симметрия графика функции у = ах 2 относительно оси абсцисс

Сдвиг (параллельный перенос) графика функции у=ах 2 вправо (если х0>0) или влево (если х0 <0) вдоль оси абсцисс на |а| единиц

Сдвиг (параллельный перенос) графика функции у = ах 2 вверх (если у0>0) или вниз (если у0 <0) вдоль оси ординат на |а| единиц

Сдвиг (параллельный перенос) графика функции у=ах 2 вдоль координатных осей

  1. Далее учащимся предлагается поработать с программой «Математика 5-11кл. Практикум». Работая с этой программой ребята отрабатывают навыки преобразований графиков и написания формул квадратичной функции.

Ребята, сейчас мы с вами потренируемся выполнять преобразования графиков квадратичной функции. Вам необходимо совместить синюю параболу с красной, выполняя указанные действия. Синяя парабола задаётся формулой у = х 2 . Следуя тем преобразованиям которые вы выполняете нужно записать формулу, которой задаётся красная парабола. Помните, что вы должны выполнить наименьшее количество действий.

Выполнение заданий.

  1. Подошло время проверить ваши умения. Слайд №8.

слайд №7 слайд №8

ТЕСТ Слайды 9 — 16

1) Какая линия является графиком функции у =(х+2) 2 – 4

  1. Прямая, проходящая через начало координат.
  2. Прямая, не проходящая через начало координат.
  3. Парабола.
  4. Гипербола

2) В каких координатных четвертях расположен график функции у = -3,2 х 2 -1,8

3) Парабола получена их графика функции у = 2,5х 2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево вдоль оси х и сдвига на 6 единиц вверх вдоль оси у. Графиком какой функции является парабола?

  1. у = 2,5 (х -3) 2 +6
  2. у = 2,5 (х +3) 2 — 6
  3. у = 2,5 (х +3) 2 +6
  4. у = 2,5 (х -3) 2 — 6

4) На рисунке построены графики функций: а) у = 1,6х 2 +2, б) у = — 1,6х 2 +2, в)у=1,6(х-2) 2 , г) у = 1,6(х+2) 2 . Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой.

5) На рисунке изображен график одной из указанных функций. Выберите соответствующую формулу.

  1. у = (х-2) 2 – 4
  2. у = 0,5(х-2) 2 – 2
  3. у = 0,5(х+2) 2 – 2

6) График функции у = 3х 2 – 2 получается из графика функции у = 3х 2 сдвигом на 2 единицы масштаба:

7) Какая из перечисленных функций является ограниченной снизу?

  1. у = 3х 2 – 1
  2. у = 2х +2
  3. у = –0,5(х–1) 2
  4. у = 5–2(х+1) 2

8) Уравнение оси симметрии параболы у=2(х+1) 2 -8 имеет вид:

слайд № 9 слайд № 10

слайд № 11 слайд № 12

слайд № 13 слайд № 14

слайд № 15 слайд № 16

Все задания теста разбираются с классом. Наиболее активным учащимся можно поставит оценки.

6. На этом наш урок подходит к концу. Вы не должны забывать о том, что не всегда удобно использовать построение графика квадратичной функции по пяти характеристическим свойствам. Графики функций вида у = –ах 2 , у = а(х – х0) 2 , у = ах 2 + у0 , у = а(х – х0) 2 + у0 удобно строить с помощью преобразований сжатия, растяжения, сдвига (параллельного переноса) и симметрии. На следующем уроке мы готовимся к контрольной работе, которая покажет на сколько хорошо вы поработали в течении месяца. А сегодня на уроке хотелось бы отметить следующих учащихся …

7. Домашнее задание. Слайд № 17.

Постройте графики, применяя правила преобразования графиков функций:

у = (х+2) 2 – 4;

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *