Какой должна быть длина математического маятника, чтобы период его колебаний был равен 1с?
Период колебаний математического маятника можно рассчитать по формуле: T = 2Π * sqrt ( l / g ), где Т — период колебаний маятника ( Т = 1 с ), l — длина математического маятника, g — ускорение свободного падения ( g = 10 м/с2 ). Выразим и рассчитаем длину математического маятника: T = 2Π * sqrt ( l / g ). T2 = 22 * Π2 * l / g. l = T2 * g / 4Π2 = 12 * 10 / ( 4 * 3,142 ) = 0,25 м. Ответ: Длина математического маятника должна быть равна 0,25 м.
Савин 6 лет назад
Найдите, какой длины должна быть нить математического маятника, чтобы период его колебаний был равен одной секунде?
Период колебаний математического маятника
Период T малых собственный колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:
где L – длина нити, g — ускорение свободного падения. Из формулы следует, что с увеличением длины нити период возрастает.
Расчет длины нити маятника
При известной длине нити легко найти период прямой подстановкой значений в формулу. Найти длину нити по известному периоду колебаний немного сложнее:
- нужно избавиться от корня в правой части формулы;
- выразить длину нити через период Т и ускорение свободного падения g;
- подставить значения величин и выполнить расчет.
Если возвести обе части исходной формулы в квадрат, то получится равенство T 2 = 4п 2 * (L / g).
Формула для определения длины нити:
L = T 2 g / 4п 2 = (1 c 2 * 9,8 м/c 2 ) / (4 * 3,14 2 ) = 9,8 / (4 * 9,86) = 0,248 м.
Ответ: Длина нити математического маятника с периодом колебаний в 1 с равна 0,248 м.
Как выразить длину из формулы периода математического маятника?
2. Траєкторія — це: а) лінія, яка описує тіло під час руху; б) довжина траєкторії, описана тілом за певний проміжок часу; в) лінія, описана тілом за п … евний проміжок часу. 3.В чому вимірюється частота коливань: 1 Iron
1.Частота коливань — це: а) фізична величина, яка дорівнює кількості обертів за одиницю часу; б) фізична величина, яка дорівнює часу, за який матеріал … ьна точка, що рівномірно рухається по колу, здійснює один оберт; в) фізична величина, яка дорівнює кількості коливань за одиницю часу.
Формула периода колебаний математического маятника
Математический маятник — это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.
Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.
Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.
Формула для периода колебаний математического маятника
Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($\overline$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:
где $L$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:
Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).
Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:
Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:
Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.
Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.
Примеры задач с решением
Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485\cdot ^$м равен T=1 c?\textit<>
Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:
Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:
Вычислим искомое ускорение:
Ответ. $g=9,81\frac$
Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$
Решение. Сделаем рисунок.
1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:
2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.
Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:
Ответ. 1) $T_1=2\pi \sqrt>$; 2) $T_1=2\pi \sqrt>$
Формулы математического маятника
Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:
где $\varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.
Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$
где $\alpha $ — начальная фаза колебаний; $_0$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая частота.
Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:
Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
Максимальная величина кинетической энергии:
где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<\omega >_0x_m$ — максимальная скорость.
Примеры задач с решением
Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:
Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
Ответ. $h=\frac$
Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit<>
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
Выразим из нее ускорение:
Проведем вычисления ускорения силы тяжести:
Ответ. $g=9,87\ \frac$