Какая точка равноудалена от вершин треугольника

Как найти точку равноудаленную от вершин треугольника?

Здравствуйте. Правильно я поняла, что это ортоцентр — центр пересечения высот треугольника?

это будет центр описанной вокруг этого треугольника окружности. Этот центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров. Короче, найди середины 2 сторон треугольника и от этой середины проведи перпендикуляры, где они пересекутся — там и точка равноудаленная от вершин треугольника

Надо поднять перпендикуляр к плоскости треугольника из точки, указанной тт. Левиным и Ага. Любая точка этого перпендикуляра — ответ.

Центр описанной окружности. Пересечение срединных перпендикуляров.

Похожие вопросы

Решения задач ЕГЭ по математике

Задание C2 №51
Точка равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника

Добавлено 24.04.2011 19:58

Условие:

Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (угол С=90 градусов). АС=ВС=4см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 2*sqrt(3) см. Найдите расстояние от точки Е — середины стороны АВ — до плоскости ВМС.

Решение:

Поскольку треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то AE = CE = BE, а это значит, что E — это проекция точки M на плоскость ABC и ME = 2*sqrt(3).

Пусть D — середина BC.
Искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра EH, опущенного из точки E к MD.
ED = AC/2 = 2.
Отсюда MD = sqrt(ME^2+ED^2) = sqrt(12+4) = 4.

Прямоугольные треугольники EHD и MED подобны (угол D общий), значит,
ED/MD = EH/ME.
Отсюда
EH = ME/2 = sqrt(3).

Что значит точка равноудалена от вершин треугольника

Замечательные точки треугольника — это точки, расположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке рассматривать его стороны и углы.

Всего замечательных точек четыре. Две из них открыл Евклид, вписывая в треугольник окружности, третья, точка пересечения медиан, обнаружена Архимедом. Четвертая, в которой пересекаются высоты треугольника, не упоминалась в трудах Евклида, но описывалась в трудах его современников. Возможно, Евклид и Архимед просто упорядочили и записали доказательства теорем, известных задолго до них.

Особенность замечательных точек в том, что они в любом треугольнике являются пересечением трех линий, при этом их свойства не меняются:

биссектрисы пересекаются в центре вписанного круга;
перпендикуляры от середин сторон пересекаются в центре описанного круга;
высоты пересекаются в ортоцентре, точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, находятся на описанном круге;
медианы пересекаются в барицентре (он же центроид, или геометрический центр).

В XVIII веке математик Леонард Эйлер, исследуя геометрию треугольников, доказал, что три из этих точек — ортоцентр, барицентр и центр описанного круга — всегда расположены на одной линии. Она называется прямой Эйлера. Точки стали называть «замечательными» или «особенными».

Четыре замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан треугольника

В ней находится центр тяжести однородной треугольной пластины, также она является средним арифметическим положений всех точек треугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Медианы треугольника пересекаются в его геометрическом центре и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершин.

Доказательство

Обозначим точку пересечения медиан О и проведем среднюю линию треугольника $А^1В^1$ .

Отрезок $А_1В_1$ параллелен $АВ$ , поэтому углы 1, 2, 3 и 4 равны друг другу. Таким образом, треугольники $АОВ$ и $А_1ОВ_1$ подобны по двум углам, и их стороны пропорциональны. $АВ = 2А_1В_1$ , значит, $АО = 2А_1О$ и $ВО = 2В_1О$ , а точка О разделяет медианы на отрезки с отношением 2:1, считая от вершин. Аналогично она делит медиану $СС_1$ .

Точка пересечения биссектрис треугольника

Точка пересечения трех биссектрис расположена на равном расстоянии от всех сторон треугольника и находится в центре вписанного в треугольник круга.

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Проведем из точки пересечения биссектрис $АА_1$ и $ВВ_1$ отрезки $ОК$ , $ОL$ и $ОМ$ , перпендикулярные трем сторонам треугольника.

Согласно теореме о равной удаленности точек биссектрисы от сторон угла, ОК = ОМ и ОК = ОL. Соответственно, ОМ = ОL, точка О находится на равном расстоянии от сторон угла АСВ и расположена на биссектрисе. Таким образом, все три биссектрисы пересекутся в одной точке.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Линии, проходящие через середины сторон треугольника перпендикулярно к ним, пересекаются в центре круга, описанного вокруг треугольника. В остроугольном треугольнике точка пересечения перпендикуляров расположена внутри него, в тупоугольном — снаружи. Если треугольник прямоугольный, точка находится на гипотенузе.

Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, к которому он перпендикулярен.

Серединные перпендикуляры от сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Изобразим внутри треугольника АВС перпендикуляры m и n, отметим точку их пересечения О.

Согласно теореме о равной удаленности серединных перпендикуляров от концов отрезка, ОВ = ОА и ОВ = ОС. Соответственно, ОА = ОС, и точка О находится на одинаковом расстоянии от точек А и С. Таким образом, серединный перпендикуляр р к отрезку АС тоже будет проходить через точку О, и все три перпендикуляра пересекутся в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника

Высоты или их продолжения могут пересекаться как внутри треугольника, если он остроугольный, так и вне его, если он тупоугольный. Если треугольник прямоугольный, тогда ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство

Изобразим произвольный треугольник $АВС$ и прямые $AA_1$ , $BB_1$ и $СС_1$ , содержащие его высоты. Проведем через каждую вершину прямые, параллельные противоположным сторонам треугольника, получив треугольник $ A_2B_2C_2$ . Точки А, В и С окажутся серединами его сторон. $ АВ = A_2C = В_2C$ , так как эти отрезки являются противоположными сторонами параллелограммов $АВА_2С$ и $АВСВ_2$ . Соответственно, $С_2А = АВ_2$ и $С_2В = ВА_2$ .

Из построения следует, что отрезок $СС_1$ перпендикулярен $А_2В_2$ , $АА_1 \perp В_2С_2$ и $ВВ_1 \perp А_2С_2$ . Следовательно, прямые $АА_1$ , $ВВ_1$ и $СС_1$ — серединные перпендикуляры сторон треугольника $А_2В_2С_2$ , которые пересекутся в одной точке.

Примеры решения задач

Задача 1

Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D, лежащей на стороне треугольника ВС. Докажите, что точка D — середина стороны ВС.

Решение

Изобразим треугольник АВС.

Все серединные перпендикуляры должны пересекаться в одной точке, если два из них уже пересеклись, третий тоже должен проходить через точку D. Таким образом, точка D является основанием третьего серединного перпендикуляра и расположена посередине стороны ВС.

Задача 2

Биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника АВС пересекаются в точке D. Найдите углы АСD и ВСD, если известно, что угол АDB составляет $136^\circ$ .

Решение

Поскольку биссектрисы пересекаются в точке D, луч СD является биссектрисой. Тогда

$\angle АСD\;=\;\angle BCD\;=\;136^\circ\;-\;90^\circ\;=\;46^\circ$

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.25 (Голосов: 12 )

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Комплексное число — это выражение вида x=a+b\cdot i , где a и b — вещественные числа, а i — так называемая «мнимая единица». Если возвести ее в квадрат, получится отрицательное число. Таким образом, она определяется равенством i=\sqrt или i^2=-1. Извлечение корня Определение Корнем со степенью n, извлеченным из комплексного числа z называют то число w, у которого n-ая степень равна z и обозначается как \sqrt[n]z. Не существует однозначного извлечения корня из комплексного числа, так как он имеет то количество значений, которое равно его степени. Тригонометрическая форма Если число z представлено в тригонометрической форме z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right), то значения корня n-ой степени находятся по формуле: \sqrt[n]z=\sqrt[n] \cdot(\cos\left(\frac n\right)+i\sin\left(\frac n\right)). Где |z| — модуль комплексного числа, ф — аргумент, k — параметр, значения у которого 0,1,2…n-1. Если посмотреть на извлечение корня n-ой степени с точки зрения геометрии, центр окружности с радиусом \sqrt[n]z расположен в точке О (0; 0), а все полученные значения, расположенные на ней, образуют правильный n-угольник (как это представлено на чертеже выше). Алгебраическая форма Если из данного числа z нужно извлечь корень n-ой степени, а он представлен в алгебраической или показательной форме, необходимо выполнить извлечение по пунктам: Представить число в тригонометрической форме: вычислить модуль \left|z\right| и аргумент (ф). Полученные значения применить в тригонометрической форме: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right). Извлечь корни по формуле, приведенной выше. Алгоритм вычисления квадратного и кубического корня Задача на кубический корень Задача: Извлечь кубический корень \sqrt[3]z, где z=\frac12+\frac12\cdot i в алгебраической форме. Решение: Вспомним, что тригонометрическая форма записи комплексного числа выглядит так: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right). По условию мы знаем, что a=\frac12 и b=\frac12. Можем вычислить исходное значение комплексного числа: r=\sqrt =\sqrt =\sqrt =\frac1 . Теперь посчитаем аргумент исходного комплексного числа: ф=arg(z)=arc\tan\left(\frac \right)=arc\tan\left(1\right)=\frac\pi4. Далее подставим значения в тригонометрическую форму записи и получим: z=\frac 2\cdot\left(\cos\left(\frac\pi4\right)+i\sin\left(\frac\pi4\right)\right). Мы знаем, что корнем n-ой степени некоторого числа z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right) является комплексное число, определяемое следующим равенством: \sqrt[n]z=\sqrt[n] \cdot(\cos\left(\frac n\right)+i\sin\left(\frac n\right)). Воспользуемся этой формулой: Для k=0: w_1=\sqrt[3]z=\sqrt[3] >\cdot\left(\cos\left(\frac\pi \right)+i\cdot\sin\left(\frac\pi \right)\right). Для k=1 будет справедливо уравнение: w_2=\sqrt[3]z=\sqrt[3] >\cdot\left(\cos\left(\frac 3\right)+i\cdot\sin\left(\frac 3\right)\right)=\sqrt[3] >\cdot\left(\cos\left(\frac 4\right)+i\cdot\sin\left(\frac 4\right)\right). Для k=2: w_3=\sqrt[3]z=\sqrt[3] >\cdot\left(\cos\left(\frac 3\right)+i\cdot\sin\left(\frac 3\right)\right)=\sqrt[3] >\cdot\left(\cos\left(\frac \right)+i\cdot\sin\left(\frac \right)\right). Задача на квадратный корень Задача: Извлечь корень \sqrt z для заданных комплексных чисел в показательной форме: z=3\cdot e^ . Решение: Определим значение модуля и аргумента в тригонометрической форме записи: z=\left|z\right|\cdot\left(\cos\left(ф\right)+i\sin\left(ф\right)\right): r=3, ф=\frac\pi3. Подставляем ф в равенство: z=3\cdot\left(\cos\left(\frac\pi3\right)+i\sin\left(\frac\pi3\right)\right). Воспользуемся формулой \sqrt[n]z=\sqrt[n] \cdot(\cos\left(\frac n\right)+i\sin\left(\frac n\right)). Для k=0 справделиво уравнение: w_1=\sqrt z=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac\pi6\right)+i\sin\left(\frac\pi6\right)\right); Для k=1: w_2=\sqrt z=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac 2\right)+i\sin\left(\frac 2\right)\right)=\sqrt3\cdot\left(\cos\left(\frac 6\right)+i\sin\left(\frac 6\right)\right).

Ход урока

1. Проверить решение задачи № 24 по записям (с пробелами), сделанными на доске до начала урока.

Решение задачи № 24 Пусть АВα (рис. 166).

1) ВС = 40 см, BD =. ; пусть AD = х см, тогда АС=. С ΔАВ D : АВ2 = х2 -122 = х2 — 144. Из ΔАВС АВ2. Тогда х2 — 144 = (х + 26)2 — 402; 52х=. ; х =15. Следовательно, AD=. AC = 41 см.

2) BD=. BC=7 см; пусть А D =. тогда AC = 2х см.

С ΔАВ D AB2=. Из Δ АВС АВ2 = 4х2 — 49.

Тогда х2 — 1 = . ; 3х2 = . ; х2 = 16. Отсюда х = . ; следовательно, AD =. AC = 2·4 = 8 (см).

Ответ. 1) 15 см и 41 см; 2) 4 см и 8 см.

2. Математический диктант.

МО — перпендикуляр к плоскости ОАВ; AOB = 90° (рис. 167); МА и МВ — наклонные.

Вариант 1 — МО = 1 см, ОА = 3 см, MB = см;

вариант 2 — МЕ = 1 см, ОВ = 4 см, МА = см. Пользуясь рисунком, найдите:

1) длину неизвестной наклонной; (2 балла)

2) длину неизвестной проекции наклонной; (2 балла)

3) длину отрезка АВ; (2 балла)

4) расстояние от точки В до середины отрезка АВ; (2 балла)

5) расстояние от точки М до середины отрезка АВ; (2 балла)

6) расстояние от точки А до плоскости ЯЗЫКОВ. (2 балла)

Ответ. Вариант 1.1) см; 2) см; 3) см; 4) см; 5) см; 6) 3 см.

Вариант 2. 1) см; 2) 3 см; 3) 5 см; 4) 2,5 см; 5) см; 6) 3 см.

II. Восприятие и осознание нового материала

Свойство точки, равноудаленной от вершины многоугольника

Если через центр окружности, описанной вокруг многоугольника, проведено прямую, перпендикулярную к плоскости многоугольника, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.

Доведение

Пусть ABCD — четырехугольник, вокруг которого описана окружность с центром в точке О, и OS(ABC). Докажем, что SA = SB = SC = SD (рис. 168).

ΔASO = ΔBSO = ΔCSO = ΔDSO (за двумя катетами: SO — общая, АО = BO = CO = DO).

Из равенства треугольников следует, что SA = SB = SC = SD.

Если некоторая точка равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника, совпадает с центром окружности, описанной вокруг многоугольника.

Доведение

Пусть ABCD — данный четырехугольник, для точки S пространства SA = SB = SC = SD и SOАВС. Докажем, что точка О — центр окружности, описанной вокруг ABCD (рис. 168). ΔASO = ΔBSО = ΔCSO = ΔDSO (по гипотенузой и катетом: SO — совместный, AS = BS = CS = DS — по условию). Из равенства треугольников следует, что АО = BO = CO = DO, т.е. точка О — центр окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD.

Далее следует напомнить формулы для нахождения радиуса круга, описанного вокруг некоторых многоугольников, с помощью данной настенной таблицы.

1. ABC = 90°; МА = MB = МС (рис. 169). Опустите из точки М перпендикуляр на плоскость АВС.

2. ABCD — квадрат, АВ = 4 см, МА = MB = MC = MD = 5 см (рис. 170). Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

3. АВ = ВС = АС = 5 см; МА = MB = MC = 13 см (рис. 171). Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

4. ABCD — квадрат, SO( ABC ), SO = 2см, АВ = 4 см (рис. 172). Найдите расстояние от точки S до вершин квадрата.

5. Δ АВС — правильный; точка О — центр треугольника; АВ = 3см; SO(АВС); SO = см (рис. 173). Найдите расстояние от точки 5 до вершин треугольника АВС.

6. Задача 21 из учебника (с. 35).

7. Задача 20* из учебника (с. 35).

III. Домашнее задание

Задачи № 6, 17-19 (с. 34-35).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Какое свойство имеют точки, которые лежат на перпендикуляре, проведенном к плоскости многоугольника через центр окружности, описанной вокруг многоугольника?

2) Где находятся точки, равноудаленные от вершин некоторого многоугольника?

3) Через центр О правильного шестиугольника ABCDEF проведем перпендикуляр SO к плоскости АВС (рис. 174). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные:

а) расстояния от точки S до вершин шестиугольника ABCDEF разные;

б) угол OAS равен углу OCS;

в) если ОА = 1 cm, SO = 1 см, то SA = cm;

г) если SO = OB, то OSB = 60°.

4) Расстояния от точки S до всех вершин прямоугольника ABCD равны, точка О — точка пересечения диагоналей АС и BD прямоугольника ABCD. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие — неправильные: