Заряд металлической сферы радиусом 1 м равен 10 6 кл во сколько раз уменьшится потенциал поля

Глава 18. Напряженность и потенциал электрического поля.Силовые линии электрического поля

Для характеристики создаваемого зарядами электрического поля вводятся две величины — напряженность электрического поля и его потенциал. Напряженность характеризует силу, действующую со стороны поля на внесенный в него пробный заряд. Если в какой-то точке поля на заряд действует сила , то напряженность электрического поля в этой точке равна

где — заряд, который мы взяли, чтобы «попробовать» поле в данной точке. Такой заряд называется «пробным». Пробный заряд не должен искажать распределение зарядов, создающих поле, и потому должен быть достаточно мал. В формулу (18.1) пробный заряд входит со своим знаком (не модуль), поэтому, как следует из (18.1), вектор напряженности поля в некоторой точке направлен так же, как и вектор силы, действующей в этой точке на положительный пробный заряд.

Найдем напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом . Для этого возьмем произвольный пробный заряд и поместим его в точку, находящуюся на расстоянии от заряда . Сила, действующую на пробный заряд со стороны заряда , определяется законом Кулона (17.1), (17.2). Поэтому согласно (18.1) имеем

где . Направлен вектор напряженности от заряда , если , и к нему, если .

Пусть поле создается несколькими зарядами … В этом случае его напряженность равна векторной сумме напряженностей тех полей, которые создаются каждым зарядом в отдельности. Действительно, из принципа суперпозиции следует, что на пробный заряд в этом случае действует сила . где . — силы, действующие на пробный заряд со стороны каждого заряда . Поэтому из (18.1) получаем

где . — напряженности тех полей, которые создавались бы каждым зарядом в отдельности в отсутствие других зарядов. Утверждение (18.3) называется принципом суперпозиции для полей. Формула (18.2) и принцип суперпозиции позволяют вычислить поле, создаваемое любым заряженным телом — с помощью мысленного разбиения его на точечные части и суммирования напряженностей, создаваемых всеми таким частями. Однако из-за математической сложности такой процедуры, она не входит в программу школьного курса физики. Школьник должен знать без вывода результат ее применения к заряженным сферам и плоскостям. Из формул (17.4), (17.5) получаем для напряженности поля сферы радиуса , равномерно заряженной зарядом , в точке на расстоянии от центра сферы:

где , а из формулы (17.6) для напряженности поля равномерно заряженной плоскости

где — заряд плоскости, — площадь, — поверхностная плотность зарядов плоскости.

Электрическое поле можно изобразить графически (на современном русском языке — визуализировать) с помощью силовых линий. Силовые линии — это такие воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором напряженности в этой точке. Вообще говоря, силовые линии проходят через каждую точку поля (кроме тех точек, где ), но поскольку так их нарисовать нельзя, условились проводить их с определенной густотой в зависимости от величины поля: чем гуще расположены силовые линии, тем больше величина напряженности поля.

Второй характеристикой электрического поля является его потенциал. Основная идея введения этой величины заключается в следующем. Если электрический заряд перемещается в электрическом поле (созданном другими зарядами), то со стороны поля на него действуют силы, и, следовательно, поле совершает работу. Потенциал поля — это такая функция точки поля , что работа , совершаемая полем над точечным пробным зарядом при его перемещении из точки с радиусом-вектором в точку с радиусом-вектором , равна

(именно в такой последовательности). Из формулы (18.6) следует, что работа, которую совершает поле при перемещении заряда, не зависит от формы траектории, а определяется только начальной и конечной ее точками. В частности, при перемещении тела по замкнутой траектории поле совершает нулевую работу.

Поскольку в формулу (18.6), входит разность потенциалов двух точек поля, потенциал определен с точностью до постоянной. Эту постоянную всегда можно выбрать так, что потенциал любой заданной точки поля можно сделать равным нулю. Как правило, в качестве такой точки выбирают бесконечно удаленную от зарядов точку поля, считая ее потенциал равным нулю. Из формулы (18.6) следует, что потенциал любой точки поля равен отношению работы, которую совершает электрическое поле при перемещении пробного заряда из этой точки в ту точку, потенциал которой выбран равным нулю, к пробному заряду.

Можно доказать, что если поле создается точечным зарядом , то потенциал на расстоянии от заряда при условии, что потенциал бесконечно удаленной точки принят за нуль, равен

Важно отметить, что в формулу (18.7) входит заряд со знаком (не модуль!), т.е. потенциал поля, создаваемого положительным зарядом, — положительный, отрицательным — отрицательный.

Для потенциалов справедлив принцип суперпозиции: если поле создается несколькими точечными зарядами, то потенциал любой его точке равен алгебраической сумме потенциалов (18.7), создаваемых в этой точке каждым точечным зарядом. Это правило позволяет найти потенциал поля, создаваемого протяженным заряженным телом: нужно мысленно разделить тело на малые («точечные») части, по формуле (18.7) найти потенциал поля, создаваемого каждой такой частью, а затем сложить полученные результаты.

Для решения задач ЕГЭ нужно знать (без вывода) формулу потенциала поля равномерно заряженной сферы. Пусть имеется сфера радиуса , равномерно заряженная зарядом . Тогда потенциал точки поля, расположенной на расстоянии центра сферы, равен

(точка нулевого потенциала выбрана на бесконечности).

Часто в задачах ЕГЭ по физике используется связь напряженности однородного электрического поля и разности потенциалов двух точек поля, лежащих на одной силовой линии. Для нахождения этой связи возьмем положительный пробный заряд , перенесем его из первой точки во вторую вдоль силовой линии и найдем работу, которую совершает при этом электрическое поле. Поскольку поле действует на заряд с постоянной силой , угол между перемещением и этой силой равен нулю (заряд движется вдоль силовой линии), поэтому работа сил поля равна , где — расстояние между исследуемыми точками. С другой стороны, по определению потенциала работа поля равна . Приравнивая эти работы, находим

Подчеркнем, что формула (18.9) справедлива только для однородного поля, а точки 1 и 2 должны лежать на одной силовой линии.

Рассмотрим теперь задачи.

Величина напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом (задача 18.1.1), определяется формулой (18.2)

где (ответ 1).

Размерность напряженности электрического поля (задача 18.1.2) можно найти из связи напряженности поля и потенциала (см. формулу (18.9)). А поскольку размерность потенциала в международной системе единиц СИ – вольт, из формулы (18.9) имеем:

где квадратные скобки обозначают размерность (ответ 3).

Для определения напряженности поля используют пробный заряд (см. формулу (18.1)). Однако напряженность (18.1) ни от знака, ни от величины пробного заряда не зависят (задача 18.1.3). Это связано с тем, что сила в (18.1) линейно зависит от пробного заряда , и он сокращается в (18.1). Если взять пробный заряд отрицательным, то направление вектора числителе (18.1) изменится по сравнению со случаем положительного пробного заряда, но отношение будет направлено противоположно вектору , т.е. направление вектора не изменится (ответ 4).

Для нахождения поля, созданного двумя точечными зарядами (задача 18.1.4), используем принцип суперпозиции. Напряженности полей, создаваемых в точке каждым зарядом в отдельности, показаны тонкими векторами и отмечены как и . Поскольку модули этих векторов равны, вектор их суммы направлен вертикально вниз (ответ 4).

По определению силовые линии — это такие воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором напряженности в этой точке (задача 18.1.5 — ответ 4).

Поскольку силовые линии поля в задаче 18.1.6 направлены направо, то направо направлен и вектор напряженности в каждой точке. Поэтому направо будет направлен и вектор силы, действующий со стороны этого поля на положительные точечный заряд (ответ 2).

Поскольку все траектории движения заряда I, II и III в задаче 18.1.7 начинаются и заканчиваются в тех же точках, то работа поля над зарядом при его движении по всем трем траекториям одинакова (ответ 4).

Разность потенциалов двух точек однородного электрического поля (задача 18.1.8) найдем по формуле (18.9):

Поскольку вектор напряженности электрического поля в любой точке направлен от заряда, то силовые линии поля расходятся радиально, являясь везде прямыми (см.рисунок). Таким образом, правильный ответ в задаче 18.1.9 — 1.

По определению потенциала имеем для работы поля в задаче 18.1.10

Силовые линии электрического поля строятся так, что их густота пропорциональна величине поля: чем гуще силовые линии, тем больше величина напряженности. Поэтому в задаче 18.2.1 (ответ 2).

Рисунок в задаче 18.2.2 — тот же самый, что и в предыдущей задаче, однако логика получения ответа совсем другая. Чтобы сравнить потенциалы в точках 1 и 2 перенесем из первой точке во вторую положительный пробный заряд и найдем работу поля. Так как , и если работа положительна, то , если отрицательна — наоборот. Очевидно, работа поля при перемещении положительного заряда из точки 1 в точку 2 положительна. Действительно, стрелки на силовых линиях направлены вправо, следовательно, и сила, действующая на положительный заряд, направлена вправо, туда же направлен и вектор перемещения заряда, поэтому косинус угла между силой и перемещением положителен на всех элементарных участках траектории, поэтому положительна работа. Таким образом (ответ 1), причем этот результат является следствием направления стрелок на силовых линиях, а не переменной густоты силовых линий.

В задаче 18.2.3 используем формулу для потенциала поля точечного заряда. Поскольку потенциал поля обратно пропорционален расстоянию до заряда, создающего поле (см. формулу (18.7)),

(ответ 2). Другими словами, на втрое большем расстоянии от точечного заряда потенциал его поля втрое меньше.

Очевидно, искомая в задаче 18.2.4 точка, находится между зарядами. В этой точке величины напряженностей полей и , создаваемых каждым зарядом, должны быть равны (см. рисунок). Используя формулу (18.2), получаем

где . Отсюда находим (ответ 3).

Используя принцип суперпозиции для потенциалов и формулу для потенциала поля точечного заряда (18.7), получим для искомой точки (задача 18.2.5)

где . Отсюда находим (ответ 2).

Поскольку все заряды в задаче 18.2.6 одинаковы, то напряженность поля, созданного в центре квадрата каждой парой зарядов, лежащих на одной диагонали, равна нулю. Поэтому равна нулю и напряженность электрического поля, созданного всеми четырьмя зарядами (ответ 2).

В задачах 18.2.7 и 18.2.8 используем принцип суперпозиции. Векторы напряженности полей, создаваемых верхней и нижней пластинами и соответственно показаны на рисунках (левый рисунок относится к задаче 18.2.7, правый — к 18.2.8). Из этих рисунков следует, что в области II для задачи 18.2.7 и в областях I и III для задачи 18.2.8 векторы и направлены противоположно. А поскольку величина напряженности поля плоскости не зависит от расстояния до нее (формула (18.5)), а заряды плоскостей одинаковы по величине, напряженность суммарного поля в этих областях равна нулю.

Таким образом, правильный ответ в задаче 18.2.7 — 2, в задаче 18.2.8 — 3. Отметим, что полученный результат является приближенным и справедлив в пределе бесконечно больших пластин. Для конечных пластин поле в указанных областях будет малым, но отличным от нуля, причем величина поля будет наибольшей около краев пластин.

По принципу суперпозиции для потенциалов имеем (задача 18.2.9) . Если убрать либо первый, либо второй заряды, то потенциал в исследуемой точке станет равным соответственно или . Отсюда находим (ответ 2).

Согласно формуле (18.8) потенциал поля в любой точке внутри сферы равен потенциалу на ее поверхности

где . Поэтому правильный ответ в задаче 18.2.10 — 4.

Заряд металлического шара радиусом 10 см равен 10-6 Кл. Во сколько раз изменится напряженность поля, создаваемая заря

Заряд металлического шара радиусом 10 см равен 10-6 Кл. Во сколько раз изменится напряженность поля, создаваемая заряженным шаром на расстоянии 50 см от его центра, при увеличении радиуса шара в 3 раза?
1. увеличится в 3 раза 2. уменьшится в 9 раз
3. увеличится в 3 раза 4. не изменится

Лучший ответ

Ответ. E=Q/(4*pi*e*e0*r^2); R1=0,1; R2=0,3; q=10^-6; r больше R2; Напряженность не изменится!

Источник: физика

Потенциал: задачи ЕГЭ — 1

Заряд металлической сферы радиусом 1 м равен Кл. Во сколько раз уменьшится потенциал поля, создаваемого сферой на расстоянии 60 см от центра шара, при увеличении радиуса шара в 3 раза?

Заметим, что в обоих случаях исследуемая точка – внутри сферы. А потенциал точки, лежащей внутри, равен потенциалу на поверхности сферы:

Так как потенциал зависит от радиуса сферы, то

Что, понятно, втрое меньше, чем вначале.

Ответ: в три раза.

Задача 2.

В поле положительного электрического заряда вносится равный по модулю отрицательный заряд . Как при этом изменяется напряженность и потенциал электрического поля в точке на середине отрезка, соединяющего заряды и ?

1. напряженность уменьшится
2. потенциал увеличится
3. напряженность увеличится
4. потенциал уменьшится

Так как напряженность поля – величина векторная, и направлен этот вектор от положительного и к отрицательному заряду, то напряженность поля вырастет при внесении заряда положительного знака.

Потенциал – величина скалярная, но потенциалы тоже подчиняются принципу суперпозиции. Таким образом, потенциал положительного и отрицательного заряда сложатся и исходный потенциал уменьшится. Можно еще и так рассуждать: потенциал – работа поля по переносу заряда из этой точки поля в бесконечность (туда, где потенциал равен нулю). Но при внесении отрицательного заряда эта точка нулевого потенциала оказывается уже не в бесконечности, а гораздо ближе, значит, и работа по переносу заряда будет меньше.

Задача 3. Какая из зависимостей характеризует

А) потенциал поля как функцию расстояния от поверхности заряженной сферы,

Б) потенциал поля как функцию расстояния от центра заряженной сферы до ее поверхности?

При удалении от заряженной сферы потенциал будет падать:

Поэтому для пункта A) выберем рисунок 4. А внутри сферы потенциал постоянен и равен потенциалу на поверхности, следовательно, для пункта Б) выберем рисунок 3.

Задача 4.

Какую работу совершает электрическое поле зарядов и при перемещении заряда из точки в точку ? Заряды и находятся на расстоянии друг от друга, точки и находятся на расстояниях м от зарядов и соответственно, Кл.

Будем перемещать заряд . Тогда от точки работа по перемещению заряда будет положительной, ведь мы перемещаем положительный заряд в направлении линий поля, а затем, от заряда до точки работа будет отрицательной. Вычислим обе составляющие работы и сложим их.

Так как , то полная работа равна

Задача 5.

Два одинаковых шара, заряженных разными по модулю и знаку зарядами Кл и Кл, расположены на расстоянии м друг от друга. Как относятся величины энергии электростатического взаимодействия зарядов после их кратковременного соединения проводником?

Энергия электростатического взаимодействия зависит от расстояния между шарами и от их зарядов:

Сначала она равна

Когда шары соединят проволокой, заряд быстро перераспределится таким образом, что станет одинаковым на каждом из шариков – ведь их размеры равны. Заметьте, это условие не работает в случае разных по размеру объектов! Если шары разные, то и заряд распределится не поровну, а так, что потенциалы шаров станут одинаковы.

При перераспределении зарядов электроны займут свободные места, и атомы станут нейтральными. Если отрицательный заряд был больше по модулю – то электронов больше, чем «дырок», останутся электрончики, которым «дырок» не хватит — избыток электронов поделится между шарами поровну. Аналогично, если «дырок» больше (положительный заряд больше по модулю) – то оставшиеся незакрытыми «дырки» поровну распределятся между шарами – в итоге

Тогда энергия взаимодействия между шарами будет равна

Задача 6.

На поверхности полого металлического шара радиусом см равномерно распределен заряд. Как относятся потенциалы поля в точках, находящихся на расстояниях см и см от центра шара?

Точка внутри шара обладает потенциалом таким же, как и поверхность шара:

Точка снаружи шара обладает потенциалом

Отношение потенциалов в этом случае равно

Задача 7.

Заряженный шар вследствие электростатической индукции притягивает незаряженное тело. Как изменится сила притяжения, действующая на тело:

А) если этот шар окружить незаряженной металлической сферой так, что тело останется снаружи вне сферы,

Б) если этот шар окружить заряженной металлической сферой того же знака так, что тело останется снаружи вне сферы?

2) станет равной нулю

Электростатическая индукция – это явление перераспределения свободных носителей в проводящем теле: если к такому телу поднести положительный заряд, то на стороне, обращенной к этому заряду, скопятся свободные электроны, а с противоположной стороны, следовательно, возникнет их недостаток. Таким образом, нейтральное в целом тело будет притягиваться к заряду за счет индуцированного заряда на нем: скопления электронов.

Таким образом, если мы окружим шар незаряженной сферой, то вследствие индукции заряды на ней перераспределятся: на внутренней поверхности скопятся электроны, снаружи – «дырки», и теперь уже эта сфера будет оказывать на наше незаряженное тело точно такое же воздействие: вызывать перераспределение зарядов. То есть ничего не изменится. Ответ – 1.

Если же сфера будет заряжена положительно, то картина будет такая: под влиянием расположенного внутри положительного заряда свободные электроны перетянутся на внутреннюю поверхность, а дырки – на внешнюю. Но ведь есть еще и положительный заряд внешней сферы! Он тоже скопится на внешней поверхности, и тогда суммарный заряд будет больше, чем в первом случае. То есть сила притяжения увеличится. Ответ — 3

Задача 8.

Центр сферы, заряд и точка лежат на одной прямой. Как изменится потенциал поля положительного точечного заряда в точке , если справа от этой точки расположить

А) незаряженную металлическую сферу ,

Б) металлическую сферу с зарядом ?

4) нельзя установить однозначно

По причине электростатической индукции на незаряженной сфере со стороны заряда скопятся отрицательно заряженные электроны, то есть ситуация будет такая же, как если бы мы внесли отрицательный заряд вместо сферы. Такую задачу мы уже решали: задача 2, потенциал уменьшится.

Если вносится положительно заряженная сфера, то потенциалы сложатся по принципу суперпозиции и общий потенциал вырастет.

Заряд металлической сферы радиусом 1 м равен 10 6 кл во сколько раз уменьшится потенциал поля

Пример 1.
Плоский конденсатор заряжен и отключен от источника. Определите силу притяжения пластин конденсатора.
Ответ: отключенный конденсатор — электрически замкнутая система (Q = const), поэтому , где .

Пример 2.
Вычислите силу взаимодействия обкладок сферического конденсатора, если он заполнен диэлектриком с проницаемостью = 6, а радиусы R₁ и R₂ равны соответственно 6 и 8 см. Конденсатор подключен к источнику с разностью потенциалов

Потенциальная энергия сферического конденсатора , подставляя выражение для емкости конденсатора получаем . Сила, действующая, например, на внешнюю обкладку составит

; F = 3 ·10 -3 Н.

Пример 3.
Цилиндрический конденсатор с радиусами обкладок соответственно R₁ = 10 и R₂ = 15 см, заполненный диэлектриком с проницаемостью = 4, подключен к источнику с разностью потенциалов = 3·10 2 В. Определите силу взаимодействия обкладок на единицу h = 1 м длины конденсатора.

Погонная энергия заряженного цилиндрического конденсатора есть

.

Сила взаимодействия обкладок ; F = 4,1 10 -4 Н / м.

Пример 4.
Потенциал наэлектризованного металлического шара и напряженность ЭСП на расстоянии а = 5 см от его поверхности составляют = 1,2·10 4 В; Е = 6·10 4 В / м. Определите энергию W шара.

Для определения энергии необходимо найти радиуса R шара и заряд Q на его поверхности. Находим их из известных соотношений: и . Тогда ; W = 4·10 -4 Дж.

Пример 5.
1) Сферическую тонкостенную оболочку радиуса R₁, равномерно заряженную по поверхности зарядом Q, расширили до радиуса R₂. Определите работу А₁₂, совершенную при расширении силами ЭСП.
Ответ: .
2) В центре сферической тонкостенной оболочки, по поверхности которой равномерно распределен заряд Q = 5 мкКл, расположен точечный заряд Q₀ = 1,5 мкКл. Определите работу сил ЭСП при расширении оболочки, т.е. при увеличении ее радиуса от R₁ = 50 мм до R₂ = 0,1 м.
Ответ: ; А₁₂ = 1,8 Дж.

Пример 6.
Система проводников состоит из двух концентрических тонкостенных металлических оболочек радиусов R₁ и R₂ и зарядами на оболочках соответственно Q₁ и Q₂. Определите полную энергию W системы.

Полная энергия системы двух сфер есть сумма их собственных энергий и потенциальной энергии взаимодействия , каждое из слагаемых есть:

; ; .
.

Пример 7.
1) У плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними одна из пластин заземлена. Конденсатор заряжен и отключен от источника. Определите энергию 2-ой обкладки в ЭСП первой.

Потенциал ЭСП, создаваемого 1-ой (заземленной) обкладкой в месте расположения элементарных зарядов на 2-ой обкладке, равен . Потенциальная энергия элементарных зарядов на 2-ой обкладке в ЭСП первой составит

.

2) Плоский конденсатор с пластинами площадью S = 0,02 м2 каждая и расстоянием между ними d = 0,5 см заполнен диэлектриком с = 4. Конденсатор заряжается до разности потенциалов = 0,1 кВ после чего отключается от источника. Какую работу необходимо затратить, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора?

Энергия конденсатора с диэлектриком , после извлечения диэлектрика . Искомая работа есть

; А = 2·10 -8 Дж.

3) Пусть имеется плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S. Какую работу А₁₂ против сил ЭСП надо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от d₁ до d₂, если при этом поддерживать неизменными заряд Q на обкладках.

Работа внешних сил расходуется на изменение внутренней энергии конденсатора. Здесь существенно, что по условию Q = const, поэтому энергию удобно вычислять по формуле , тогда .

Пример 8.
1) Максимальная электроемкость конденсатора настройки в радиоэлектронном устройстве равна 100 пФ (1 пФ = 1·10 -12 Ф). Путем поворота подвижных пластин электроемкость конденсатора может быть уменьшена до 10 пФ. Предположим, что конденсатор подключен к источнику с разностью потенциалов = 0,3 кВ, когда его емкость максимальна. Затем ручка настройки поворачивается, и электроемкость конденсатора становится минимальной. Какая работа совершается при повороте ручки настройки?

Энергия заряженного конденсатора с электроемкостью С равна . Искомая работа (здесь внешней силы) равна разности энергий конденсатора после и до поворота ручки настройки, т. е. ; А = -4,1·10 -6 Дж.
2) Максимальная электроемкость плоского конденсатора переменной электроемкости С₁ = 400 пФ, минимальная — С₂ = 2 пФ. Изменение электроемкости в этих пределах достигается поворотом рукоятки ротора на 180 0 , при этом подвижные пластины остаются параллельными неподвижным. Момент сил трения в подшипниках ротора М = 5,00 10 -6 Н м. Какую работу надо совершить, чтобы изменить электроемкость конденсатора от максимальной до минимальной, если конденсатор подключен к источнику с разностью потенциалов = 100 В?
Ответ: ; А=13,8 10 -6 Дж.

Пример 9.
Пластины плоского многопластинчатого конденсатора площадью S = 20 см 2 каждая разделены слюдяным диэлектриком ( = 6) толщиной d = 5 10 -5 м. При разности потенциалов на конденсаторе = 0,33 кВ энергия ЭСП в нем W = 7,7·10 -4 Дж. Определите электроемкость конденсатора и число N пластин.
Ответ: ; С=3,21·10 -8 Ф; ; ; N = 17.

Пример 10.
Число удаленных друг от друга ртутных капелек N = 100, радиусом r = 1 мм каждая заряжены до одинакового потенциала = 9 В. Капельки соединяются в одну большую радиуса R. Определите изменение W электростатической составляющей энергии капель.

Заряд на каждой капельке , и энергия всех удаленных друг от друга капелек . После слияния капель в одну заряды и объемы складываются, поэтому и , откуда .
Энергия большой капли составит . Изменение энергии ; = 8,2·10 -9 Дж.

Пример 11.
1) Заряды на обкладках двух конденсаторов с электроемкостями С₁ и С₂ равны соответственно Q₁ и Q₂. Конденсаторы соединяют параллельно одноименными обкладками. Проанализируйте ситуацию и покажите, что при соединении конденсаторов энергия батареи уменьшается. Укажите на возможные «каналы» потери энергии. На основе полученного результата проанализируйте, возможна ли ситуация, при которой энергия не теряется.

Энергия конденсаторов до их соединения равна При параллельном соединении электроемкости конденсаторов складываются, поэтому энергия ЭСП батареи составит Изменение энергии при этом составит
Уменьшение энергии произошло за счет ее излучения во внешнее пространство и превращения во внутреннюю энергию соединительных проводов (при перераспределении зарядов). Потери энергии не происходит, если Q₁C₂ = Q₂C₁. Иначе, это отвечает условию
2) Конденсатор с электроемкостью С₁ = 1 мкФ, заряженный до разности потенциалов = 0,3 кВ, подключили параллельно к незаряженному конденсатору электроемкостью С₂ = 2 мкФ. Вычислите изменение энергии системы конденсаторов после соединения их в батарею и установления в ней равновесия.

После соединения конденсаторов в батарею ее электроемкость увеличится до значения С = (С₁ + С₂), но заряд останется неизменным. Следовательно, изменение энергии составит
3) Два конденсатора с электроемкостями С₁ = 6 и С₂ = 4 мкФ соединены последовательно и вся батарея заряжена до разности потенциалов = 1·10 4 В. Затем конденсаторы отключаются от источника и соединяются в новую батарею параллельно одноименными обкладками. Определите изменение энергии батареи.

При последовательном соединении энергия . После параллельного соединения конденсаторов заряд на батарее , а ее электроемкость станет , поэтому энергия .
Изменение энергии:

; = — 5 Дж.

Пример 12.
Точечный заряд Q = 3,0 мкКл находится в центре сферического слоя из диэлектрика с проницаемостью = 3,0. Внутренний радиус R₁ cлоя составляет 0,25 см, внешний R₂ = 0,5 м. Вычислите энергию W ЭСП в таком слое.

В тонком сферическом слое толщиной dr и радиуса содержится энергия

Интегрируем далее это выражение по r в пределах от R₁ до R₂, получаем

; W = 27 мДж.

Пример 13.
Металлическому шару радиуса R₁ сообщен заряд Q. Шар окружен сферическим диэлектрическим слоем из материала с проницаемостью ; наружный радиус слоя R₂. Вся система находится в неограниченной однородной среде с проницаемостью . Определите энергию ЭСП заряженного шара. Определите энергетическую массу m ЭСП, заключенного в слое.

Разбиваем мысленно все пространство вокруг шара на сферические слои радиусов r, толщиной dr, объемом . Энергия ЭСП, заключенного в таком слое, составит , где есть объемная плотность энергии ЭСП.
Используя результаты исследования структуры напряженности E(r) такой системы и после интегрирования, получаем .
Для массы m ЭСП в слое согласно формуле Эйнштейна , имеем , где с₀ = 3,0·10 8 м / с — скорость электромагнитных волн в вакууме. Поучительны цифровые оценки: если Q = 2·10 -6 Кл, R₁ = 0,1 м, R₂ = 0,2 м, = 2, то m = 1·10 -18 кг. Это намного больше, чем массы покоящихся электрона, протона, и др.

Пример 14.
Вычислите энергию W_p ЭСП между двумя эквипотенциальными поверхностями на расстояниях R₁ = 5 и R₂ = 10 см от весьма тонкого металлического провода длиной h = 1 м, линейная плотность заряда которого = 5·10 -8 Кл / м.

Предполагаем здесь проводник достаточно длинным, поэтому краевыми эффектами пренебрегаем. В тонком воображаемом цилиндрическом слое радиуса r и толщиной dr, расположенном соосно с проводником, ЭСП обладает элементарной энергией . Интегрируя эти элементарные энергии в пределах от R₁ до R₂, получаем ; W_p = 1,6·10 -5 Дж.