Доказать что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечетные цифры

Доказать что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечетные цифры

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Решение

Квадрат не может оканчиваться на 3 или 7, а числа вида 10a + 1, 10a + 5, 10a + 9 сравнимы с 2a + 1 по модулю 4. Значит, при нечётном a они при делении на 4 дают остаток 3, то есть квадратами быть не могут.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	11
Название	Остатки
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	04
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.062
web-сайт
задача

Проект осуществляется при поддержке и .

Доказать что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечетные цифры

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2011/2012 учебный год

Занятие 4 (8.10.2011). Делимость-2

1. Докажите, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на d тогда и только тогда, когда их разность делится на d . 2. Докажите, что если число имеет нечетное количество натуральных делителей, то это число — точный квадрат (т.е. квадрат некоторого натурального числа). 3. Докажите, что m ( m + 1)( m + 2) делится на 6. 4. Докажите, что произведение любых k последовательных натуральных чисел делится на k !. 5. Может ли число n ! оканчиваться ровно на 5 нулей? 6. Может ли число, записываемое при помощи 100 единиц, 100 нулей и 100 двоек быть точным квадратом? 7. Докажите, что точный квадрат не может заканчиваться на две нечетные цифры. 8. Докажите, что число 20102011 нельзя представить в виде суммы двух точных квадратов. 9. Сколько различных натуральных делителей у числа а) p a , б) p 1 p 2 . p k , в) p 1 a 1 p 2 a 2 . p k a k , где p i – различные простые числа. 10. Докажите, что из любых 52 целых чисел всегда можно выбрать два таких числа, что а) их разность делится на 51; б) их сумма или разность делится на 100. 11. Найдите остаток от деления числа 2010! на 2011. 12. Постройте графики функций a) y = | x ² – 8 x |, b) y = x ² – 8| x |, c) y = | x ² – 8| x ||.

• ЗАДАЧИ
• 8 класс
• Занятие 1
• Занятие 2
• Занятие 3
• Занятие 4
• Занятие 5
• Занятие 8
• Занятие 11
• Занятие 13
• Занятие 14
• Занятие 16
• Занятие 17
• Занятие 18
• Занятие 22
• Занятие 23

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!

Доказать что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечетные цифры

Задача 1: Существует ли натуральное x, такое что x² + x + 1 делится на 1985?

Задача 2: Число x оканчивается на 5. Доказать, что x² оканчивается на 25.

Задача 3: Найти последнюю цифру числа 7 1988 + 9 1988 .

Задача 4: Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечетные цифры.

Задача 5: Найти последнюю цифру числа 1 • 2 + 2 • 3 + … + 999 • 1000.

Задача 6: На сколько нулей оканчивается число 9 999 + 1?

Решение: На один

Задача 7: Найти наименьшее натуральное N, дающее остаток 1 по модулю 2, 2 по модулю 3, … ,7 по модулю 8.

Решение: НОД (2,3,4 … ,8) – 1.

Задача 8: Доказать, что если a² + b² делиться на 7, то и ab делится на 7.

Задача 9: Доказать, что 43²³ + 23 43 делится на 66.

Задача 10: Доказать, что 43 43 + 17 17 делится на 10.

Задача 11: Найти остаток 13 16 – 2 55 • 5 15 по модулю 3.

Задача 12: Доказать, что 776 776 + 777 777 + 778 778 делится на 3.

Задача 13: Найти остаток 4 18 + 5 17 по модулю 3.

Задача 14: Найти остаток (116 + 17 17 )²¹ • 7 49 по модулю 8.

Решение: 3

Задача 15: Доказать, что для любого n a) 7 2n – 4 2n делится на 33

b) 3 6n – 2 6n делится на 35.

Задача 16: Доказать,что 1985!! + 1986!! делится на 1987.

Задача 17: Доказать, что для любого n – целое число.

Задача 18: Доказать, что при четном n 20 n + 16 n – 3 n – 1 делится на 323.

Решение: Подсказка: 323 = 17 • 19

Задача 19: Доказать, что (2 n – 1) n – 3 делится на 2 n – 3 при любом n.

Задача 20: Доказать, что n³ + 5n делится на 6 при любом n.

Задача 21: Доказать, что 2 2n – 1 + 3n + 4 делится на 9 при любом n.

Задача 22: x² ≡ y² (mod %)%239. Доказать, что x ≡ y или x ≡ – y.

Задача 23: Доказать, что делится на 17.

Задача 24: a ₁ = a ₂ = 1, a _{n + 1} = a _n a _{n – 1} + 1. Доказать, что a _n не делится на 4.

Задача 25: Доказать, что

a) Степень двойки не может оканчиваться на 4 одинаковых цифры.

b) Квадрат не может состоять из одинаковых цифр (если он не однозначный).

c) Квадрат не может оканчиваться на 4 одинаковых цифры.

Задача 26: Доказать, что n-е простое число больше 3n при n > 12.

Решение: Рассмотрите остатки по модулю 6.

Задача 27: 2 n = 10a + b, b < 10. Доказать, что ab делится на 6.

Задача 28: Доказать, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k + 3.

Задача 29: В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причем один золотой составляет 1001 грошей. Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?

Задача 30: n + 1 делится на 24. Доказать, что сумма делителей n делится на 24.

Решение: Докажите, что n – не квадрат и разбейте делители на пары.

Задача 31: a ≡ 68 (mod %)%1967, a ≡ 69 (mod %)%1968. Найти остаток a по модулю 14.

Задача 32: Доказать, что существует бесконечно много простых чисел вида 6k + 5.

Задача 33: Доказать, что 3 n + 1 не делится на 10¹ºº.

Решение: Оно не делится даже на 8.

Задача 34: p – простое число. Доказать, что остаток p по модулю 30 – простое число или 1.

Задача 35: m и n взаимно просты, b – произвольное целое число. Доказать, что числа b, b + n, b + 2n, … ,b + (n – 1)n дают все возможные остатки по модулю m.

Задача 36: Найти a) 3 последние цифры b) 6 последних цифр числа 1 999 + 2 999 + … + (10 6 – 1) 999 .

Задача 37: Доказать, что a 2n + 1 + (a – 1) n + 2 делится на a² – a + 1.

Задача 38: p и q – простые числа больше 3. Доказать, что p² – q² делится на 24.

Задача 39: Может ли m! + n! оканчиваться на 1990?

Задача 40: Доказать, что n² + 5n + 16 не делится на 169 ни при каком натуральном n.

Решение: n² + 5n + 16 = (n – 4)² + 13n.

Задача 41: При каких n n² – 6n – 4 делится на 13?

Задача 42: Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии

a) Имеется бесконечно много составных чисел.

b) Имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.

Задачная база >> Разное >> Задачник первого-второго года обучения >> Остатки

Убрать решения

1/4 финала. Вариант 1 (8)

Доказать, что если квадрат натурального числа содержит нечетное число десятков, то цифра единиц квадрата всегда равна 6.

Пусть число равно 10 a + b , где a и b — его цифры. Квадрат числа равен

100 a 2 + 20 ab + b 2 = (10 a 2 + 2 ab ) × 10 + b 2 .

Число (10 a 2 + 2 ab ) четно, а цифра десятков — нечетна, поэтому b 2 — двузначное число, у которого цифра в разряде десятков нечетна. Этому условию удовлетворяет только b = 4 и b = 6. Тогда квадрат числа оканчивается на 6.