три последовательные стороны четырехугольника, описанного около окружности, относятся как 3:4:5. периметр этого четырехугольника равен 48 см. найдите длины его сторон/
Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2VV2AsH).
Так как в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон такого четырехугольника равны.
Пусть длина отрезка АВ = 3 * Х см, тогда ВС = 4 * Х см, СД = 5 * Х см.
АВ + СД = 3 * Х + 5 * Х = 8 * Х см.
Тогда ВС + АД = 8 * Х = 4 * Х + АД.
АД = 8 * Х – 4 * Х = 4 * Х см.
Периметр четырехугольника будет равен: Р = 2 * (АВ + СД) = 2 * 8 * Х = 16.
АВ = 3 * 3 = 9 см, ВС = 4 * 3 = 12 см, СД = 5 * 3 = 15 см, АД = 4 * 3 = 12 см.
Ответ: Стороны четырехугольника равны: 9 см, 12 см, 15 см, 12 см.
Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.
Если все стороны какого-нибудь многоугольника ( MNPQ ) касаются окружности , то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.
Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.
Теорема.
В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.
Обратная теорема.
Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.
Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.
Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.
Проведем биссектрисы BO и СO двух углов B и С. Эти прямые должны пересечься, потому что сумма углов NBO и NCO меньше 2d (так как B + C 4d). Точка пересечения биссектрис должна быть одинаково удалена от сторон AB, BС и СD. Поэтому, если эту точку возьмем за центр, а за радиус один из трех равных перпендикуляров OM, ON, OP, опущенных из O на стороны углов B и С, то окружность коснется сторон AB, BС и СD.
Докажем, что она коснется и четвертой стороны AD. Для этого предположим, что касательная, проведенная к нашей окружности из точки A, будет не AD, а какая-нибудь иная прямая, например, AE. Тогда получится описанный выпуклый четырехугольник ABСE, в котором, по доказанному выше, будем иметь:
Вычитая почленно первое равенство из второго, получаем:
т.е. разность двух сторон D ADE равна третьей стороне DE, что невозможно.
Значит, нельзя допустить, чтобы касательной к нашей окружности была прямая AE, лежащая ближе к центру O, чем AD.
Так же можно доказать, что касательной не может быть никакая прямая AE1, лежащая дальше от центра, чем AD. Значит, AD должна касаться окружности, т.е. в четырехугольник ABСD можно вписать окружность.
2. Описанный четырёхугольник
Если все стороны четырёхугольника касаются окружности, то он называется четырёхугольником, описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в четырёхугольник.
Не все четырёхугольники возможно описать около окружности, так как биссектрисы четырёх углов могут не пересекаться в одной точке, и не удастся найти центр вписанной окружности.
Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны \(a+c=b+d\) .
Так как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, и \(AB = AK + KB\), \(BC = BL + LC\), \(CD = CM + MD\), и \(AD = DN + NA\), то, очевидно, \(AB + CD = BC + AD\).
Это свойство можно использовать и как признак для определения, в какие четырёхугольники можно вписать окружность.
Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.
Самостоятельно сделай обзор четырёхугольников (параллелограмм, в том числе — квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, в том числе — равнобедренная трапеция и прямоугольная трапеция), в которые можно вписать окружность.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА. Найдите сторону правильного описаного около окружности четырехугольника,если известно что сторона вписаного в эту окружность треугольника равна 3 см.
Треугольник АВС — правильный треугольник, вписанный в окружность, MNPK — правильный четырехугольник, описанный около окружности. 1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен: R = √3а/3, где а — длина стороны треугольника. R = 3√3/3 = √3 (см). 2. Так как четырехугольник MNPK — правильный, то это квадрат. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен: r = t/2, где t — сторона квадрата. t/2 = √3; t = 2√3 (см). Ответ: t = 2√3 см.
- Связаться с нами
- Правила проекта
- Лицензионное соглашение
- Политика конфиденциальности