Определение выпуклого четырехугольника
Статья поможет разобраться в свойствах и видах выпуклых четырехугольников. Научит отличать их от невыпуклых фигур. Вы узнаете, как определить, равны фигуры друг другу или нет, найдете ссылки на подробные доказательства всех пунктов равенства.
Что такое выпуклый четырехугольник
Определение
Это почти любой знакомый нам четырехугольник. Потому что в обычной общеобразовательной школе изучают только выпуклые фигуры.
Основные свойства
Для начала проверьте наличие четырех вершин, из которых три не лежат на одной прямой. Также должно быть четыре отрезка, которые эти вершины последовательно соединяют. Если все это есть, значит перед нами четырехугольник.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Дальше нужно отличить выпуклый от невыпуклого. Сделать это очень легко — достаточно просто посмотреть на данную вам фигуру: вся она должна быть расположена с одной стороны от любой из своих сторон. На рисунке ниже видно, что для невыпуклой фигуры это условие невыполнимо.
Виды выпуклых прямоугольников
Существуют две большие группы.
1 вид — параллелограммы:
- квадрат,
- прямоугольник,
- ромб,
- параллелограмм.
2 вид — трапеции:
- произвольная,
- прямоугольная,
- равнобедренная.
Свойства диагоналей, признаки выпуклости
Можно сказать, что это, за небольшим исключением, одно и то же, поэтому объединим их в один блок.
1 свойство
Пересечение всех диагоналей.
Примечание
Точка пересечения должна быть общая. Если хотя бы одна диагональ не пересекается с остальными в одной точке, то этот четыреугольник невыпуклый.
В основе этого свойства лежит соответствующая теорема, но здесь мы ее подробно не рассматриваем.
2 свойство
Любая из диагоналей разделит четырехугольник на 2 треугольника. Можно воспользоваться рисунками, данными в первом блоке статьи, и мысленно провести одну диагональ в каждой из фигур. Результат будет подтверждением написанного в этом пункте.
Еще один признак выпуклости
Если сложить градусные меры всех углов фигуры, получится величина, равная 360º.
Признаки равенства
Выпуклые четырехугольники равны, если у них соответственно равны:
- четыре стороны и один угол;
- три стороны и два угла между ними;
- три стороны и два угла, которые не лежат между этими сторонами;
- три стороны и два противолежащих угла;
- три угла и две стороны между ними;
- три угла и две смежные сороны, которые не лежат между этими углами;
- три угла и две смежные стороны, причем одна из них лежит между этими углами;
- фигуры равны, если площадь одной равна площади другой.
Подробные доказательства по каждому пункту с иллюстрациями можно найти здесь: https://yadi.sk/i/V0X_9c1DY1Wehg
Сумма квадратов диагоналей
Если сумма квадратов диагоналей и сумма квадратов всех сторон фигуры равны, то это параллелограмм. Это свойство относится ко всем видам параллелограмма (ромб, квадрат, прямоугольник, собственно параллелограмм).
Насколько полезной была для вас статья?
Что такое выпуклый четырехугольник и как определить сумму его углов
Если на плоскости имеются четыре точки, из которых никакие три не принадлежит одной прямой, то их можно попарно соединить отрезками. В результате получится фигура с четырьмя углами, содержащая две диагонали, при пересечении которых получится выпуклый четырехугольник.
Виды
Существует несколько видов фигур с четырьмя углами, но не все они являются выпуклыми. Слева рисунок отображает выпуклый четырехугольник, все его внутренние точки находятся в одной полуплоскости относительно прямой l, на которой лежит сторона AD. Для среднего данное условие выполняется, но его нельзя считать выпуклым, потому что его стороны пересекаются. Такие четырехугольники называются самопересекающимися. Правый тоже не является выпуклым, так как две его точки B и C лежат в разных полуплоскостях относительно разбиения прямой l.
На основании вышесказанного дадим определение. Выпуклым четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые последовательно их соединяют. Главное условие: никакие три точки не должны одновременно лежать на одной прямой, а соединяющие отрезки пересекаться.
Виды выпуклых четырехугольников:
- прямоугольник;
- параллелограмм;
- трапеция;
- ромб;
- квадрат.
Перечисленные отношения между множествами фигур упрощают доказательства теорем (предложений, выражающих свойства). Например, если теорема доказана для параллелограмма (будет ли параллелограмм выпуклым? и т.д.), то она будет верна и для любого соответствующего подмножества фигур. Если же доказана более общая теорема для выпуклого четырехугольника, то она будет верна и для параллелограмма, и для трапеции.
Свойства
- сумма углов — 360 градусов;
- диагонали могут пересекаться в одной точке.
Если сумма углов равна 360, это следствие более общего случая – четырехугольника, не имеющего пересекающихся отрезков. Но для выпуклого обычно проводят отдельное и очень простое доказательство. Если внутри выпуклого четырехугольника провести диагональ, то она разобьет его на два треугольника. Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180. Сложив все получившиеся углы, получаем величину 360.
Если взять средние точки всех сторон произвольного выпуклого четырехугольника и построить на них новый, то он окажется параллелограммом (Теорема Вариньона).
Доказательство на следующем фото. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет на каждой из сторон точку, делящую эту сторону пополам. Рассмотрим отрезок FG. Это средняя линия треугольника DAB, параллельная диагонали DB. Это следует из подобия треугольников DAB и FAG.
Аналогично проводятся рассуждения для треугольников DBC и EHC. Из чего следует параллельность DB и EH. Поскольку отрезки FG и EH параллельны диагонали DB, то и сами параллельны.
Аналогично доказывается, что отрезки FE и GH параллельны. Так как противолежащие стороны EFGH попарно параллельны, значит, это параллелограмм.
Обратите внимание! Теорема Вариньона справедлива для всех четырехугольников, невыпуклых и самопересекающихся. Если взять середины диагоналей, то можно построить еще два параллелограмма. Центры всех трех параллелограммов окажутся на одной прямой.
Если выпуклый четырёхугольник имеет свойство взаимной перпендикулярности своих диагоналей, то суммы квадратов его противоположных сторон у него равны. Это доказывается при помощи теоремы Пифагора, как показано на следующем чертеже:
Квадрат каждой из сторон выражается через сумму квадратов отрезков диагоналей, ограниченных вершинами и точкой пересечения. Для удобства мы обозначаем их малыми буквами латинского алфавита, совпадающими с названием вершин. Затем выписываем выражения для сумм квадратов противолежащих сторон:
В правой части каждого из выражений стоит одна и та же сумма слагаемых. Следовательно, равны и правые части между собой, что доказывает теорема.
Вписанные и описанные
Часто требуется проверить, не лежат ли вершины четырехугольника на окружности, или существует ли окружность, вписанная в 4-угольник. Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной – на пересечении биссектрис внутренних углов.
Если сумма противоположных углов составляет 180, то рядом с ними можно описать окружность, другими словами, существует окружность, на которой лежат все вершины четырехугольника. Его называют вписанным (подразумевается, что в окружность). Верно и обратное утверждение, то есть выраженное в теореме условие необходимое и достаточное.
Расчет площади
Площадь, которую имеет любой выпуклый четырёхугольник, равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Докажем это правило.
Здесь опять поможет теорема Вариньона (мы имеем “большой” параллелограмм, о котором сразу не было сказано). Проведем прямые, параллельные диагоналям, через вершины A, B, C, D исходного прямоугольника. Мы получим параллелограмм EFGH. Его площадь равна сумме площадей параллелограммов AFBO, BGCO, CHDO, DEAO. Но каждый из перечисленных делится своей диагональю на пару треугольников с равными площадями. С другой стороны, в силу параллельности диагоналей ADCD сторонам внешнего параллелограмма, мы можем применить формулу площади:
Полезное видео
Подведем итоги
Фигуру, состоящую из четырех углов, можно часто увидеть в обычной жизни, такую форму обычно имеют земельные участки, здания, параллелограммы служат для построения векторных базисов на плоскости. Не случайно 4-угольники хорошо изучены и установлено большое число свойств, связанных с ними.
Признаки прямоугольника
В этой статье мы поговорим о признаках прямоугольника. Выделим основные и рассмотри каждый в отдельности.
Определения
Основная часть доказательств основывается на том, что в четырехугольнике сумма углов равна 360 градусам.
Всего насчитывается 7 признаков прямоугольника. Для того, чтобы их применять нужно, прежде всего, вспомнить определения:
Прямоугольник это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, у которого все стороны попарно равны и параллельны.
Для того, чтобы определить выпуклый четырехугольник или нет нужно последовательно проводить через каждую из сторон фигуры линию. Если в каждом из 4 случаев (поскольку сторон 4) вся фигура будет оставаться по одну сторону от линии, то четырехугольник выпуклый.
Признаки
Перед нами параллелограмм. Как доказать, что он является прямоугольником? Воспользоваться одним из признаков:
- Параллелограмм является прямоугольником, если один из углов – прямой.
В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, если один из углов – прямой, то противоположный ему угол так же прямой, а два оставшихся равны между собой. Сумма всех углов четырехугольника 360 градусов.
Два угла прямые, значит остается 360-90*2=180. Эта сумма двух равных углов, значит, каждый из оставшихся углов прямой: 180/2=90. Если все углы параллелограмма прямые, то это прямоугольник.
Этот признак работает только для параллелограммов. В случае с четырехугольниками прямой угол может быть и у прямоугольной трапеции.
- Если вокруг параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник.
Для того, чтобы вокруг четырехугольника описать окружность, необходимо, чтобы противоположные углы в сумме давали 180 градусов. Противоположные углы в параллелограмме равны, значит 180/2=90 градусов составляет каждый угол. Значит это прямоугольник.
- Если в четырехугольнике все углы равны, то он является прямоугольником. Для этого признака необязательно убеждаться, что перед вами параллелограмм. В любом четырехугольнике сумма углов равна 360. Если все углы равны, то 360/4=90 градусов составляет каждый из углов. Вот и получается, что в любом случае это прямоугольник.
- Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник. Для доказательства нужно провести две диагонали и рассмотреть получившиеся треугольники. Треугольники АВD и АСD равны по трем сторонам. Основание у них общее, диагонали равны, а третья сторона это две противоположные стороны параллелограмма, которые так же равны между собой. Равны треугольники, значит, равны и их части: смежные углы параллелограмма равны, значит, все углы параллелограмма равны между собой. Перед нами прямоугольник.
- Если в четырехугольнике три угла прямые, то он является прямоугольником. Если посчитать, то четвертый угол в таком случае будет равен: 360-90*3=90, то есть и четвертый угол будет прямым.
- Если квадрат диагонали равен сумме квадратов двух смежных сторон. В этом случае диагональ является гипотенузой, а стороны катетами прямоугольного треугольника по теореме, обратной теореме Пифагора (это один из признаков прямоугольного треугольника).
Это существенные признаки прямоугольников. Существуют так же дополнительные, которые сводятся к уже перечисленным. И главное, помните, что в математике важны определения. Признаки прямоугольного прямоугольника – неправильная формулировка. Прямоугольник всегда был, есть и будет прямоугольным.
Что мы узнали?
Мы разобрались как можно доказать, что параллелограмм или четырехугольник является параллелограммом, вспомнили некоторые определения и ознакомились с ведущим методом определения прямоугольника – по углам.
Выпуклый четырехугольник
Подробнее
Подробнее
Подробнее
Определения
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.
Различают выпуклые и невыпуклые четырехугольники.
Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.
В школьном курсе рассматриваются только выпуклые четырехугольники. Поэтому далее “выпуклый четырехугольник” будем сокращенно называть “четырехугольник”.
Теорема
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) .
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) и проведем его диагональ \(AC\) . Она разбила четырехугольник на два треугольника. Сумма углов любого треугольника равна \(180^\circ\) , следовательно:
\[\begin 360^\circ=180^\circ+180^\circ=(\angle DAC+\angle D+\angle ACD) + (\angle CAB+\angle B+\angle ACB)=\\ =\angle D+\angle B +(\angle DAC+\angle CAB)+(\angle ACD+\angle ACB)=\angle D+\angle B+\angle A+\angle C \end\]
Теорема Вариньона
Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.
Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.
Проведем диагонали четырехугольника \(ABCD\) . Рассмотрим \(\triangle ABC\) : \(MN\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(MN\parallel AC\) .
Рассмотрим \(\triangle ADC\) : \(PK\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(PK\parallel AC\) .
Таким образом, \(MN\parallel AC\parallel PK\) .
Аналогичным образом доказывается, что \(MP\parallel BD\parallel NK\) .
Следовательно, по определению \(MNKP\) – параллелограмм.
Теорема
Если в четырехугольнике \(ABCD\) диагонали взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны: \[AB^2+CD^2=BC^2+AD^2\]
Доказательство
По теореме Пифагора:
Из равенств видно, что \(AB^2+CD^2=x^2+a^2+y^2+b^2=BC^2+AD^2\)
Замечание
Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:
Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.
Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.