В квадрат вписали равнобедренный треугольник так как это показано на рисунке докажите что одна
Два квадрата и равнобедренный треугольник расположены так, как показано на рисунке (вершина K большого квадрата лежит на стороне треугольника). Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.
Решение
Первое решение. У равнобедренного треугольника есть ось симметрии. При симметрии относительно этой оси K переходит в C, а D переходит в A (см. левый рис.). Значит, AC образует тот же угол с основанием, что и диагональ квадрата KD, т. е. 45°. Но AB тоже образует с основанием угол 45°, как диагональ меньшего квадрата. Значит, точки A, B и C действительно лежат на одной прямой.
Второе решение (без использования симметрии). Введём обозначения так, как показано на рисунке справа и проведём отрезки AB и BC. Так как ∠ABH = 45°, достаточно доказать, что ∠KBC = ∠BCK = 45° (тогда ∠ABH + ∠HBK + ∠KBC = 45° + 90° + 45° = 180°, что равносильно утверждению задачи).
Используя равенство соответственных углов при параллельных прямых и равнобедренность треугольника AGD, получим: ∠GKC = ∠GAD = ∠GDA = ∠GCK. Следовательно, GK = GC, поэтому AK = CD. Значит, равны прямоугольные треугольники AKF и CDE (по гипотенузе и катету). Следовательно, CE = AF = BF, тогда BK = CK, откуда ∠KBC = ∠BCK = 45°, что и требовалось.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Математический праздник |
| год | |
| Год | 2018 |
| класс | |
| Класс | 7 |
| задача | |
| Номер | 4 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Задача по геометрии
Два треугольника равны, значит третий прямоугольный равнобедренный.
Проведи диагональ и докажи его подобие половине квадрата.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Задачка по геометрии
В квадрат вписали равнобедренный треугольник так, как это показано на рисунке. Докажите, что одна сторона этого треугольника параллельна диагонали квадрата.
Помогите пожалуйста решить, срочно
Голосование за лучший ответ
Равенство рёбер треугольника и равенство сторон квадрата означают, что биссектриса треугольника совпадает с диагональю квадрата. А т. к. основание равнобедренного треугольника всегда перпендикулярно биссектрисе (т. е. диагонали), значит основание параллельно второй диагонали квадрата (поскольку диагонали квадрата всегда перпендикулярны между собой).
Похожие вопросы
Помогите, пожалуйста. 1) В квадрат вписали равнобедренный треугольник так, как это показано на рисунке. Докажите, что одна сторона этого треугольника параллельна диагонали квадрата.
1. Стороны Δ BEF IBFI, IBEI, и диагональ квадрата ABCD IBDI проходят через общую точку В. Следовательно паралельными могут быть только сторона IEFI и диагональ IACI. Докажем это.
Рассмотрим четырехугольник ACFE.
В нем стороны IAEI и IFCI равны, т.к. являются соответствующими катетами равных прямоугольных треугольников: ΔABE=ΔCBF (треугольники равны по признаку равенства гипотениуз и одного из катетов: IBEI=IBFI как боковые стороны равнобедренного треугольника по условию, IABI=IBCI — как стороны квадрата).
Также ∠AEB=∠CFB как соответствующие углы равных прямоугольных треугольников.
Делаем вывод: черырхугольник ACFE — равнобедренная трапеция, следовательно ее основания паралельны, т.е. IEFI║ IACI, ч.т.д.
2. Длина отрезка IABI (все равно — т.А внутри окружности, или т.А вне окружности) будет минимальной, если т.В принадлежит лучу ОА — где О — центр окружности (см. рис «расстояние до окружности)