Найдите все простые числа p, такие, что p+10 и p+14 также являются простыми. В ответе укажите количество найденных чисел p.
Если р = 3, то р + 10 = 13 и р + 14 = 17 — простые числа.
Сравним остатки от деления чисел р, р + 10 и р + 14 при всех остальных р.
Т.к. р простое число, то остаток от деления на 3 равен 1 или 2.
Но 10 даст при делении на 3 остаток 1, а 14 даст при делении на 3 остаток 2, следовательно, либо р + 10, либо р + 14 будет делится на 3, и, следовательно, других простых чисел, кроме р = 3, для которого р + 10 и р + 14 простые числа не существует.
Найдите все простые p такие что число p 17 также будет простым
Найдите все такие простые числа p, что число p² + 11 имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).
Решение
Заметим, что p² + 11 = (p – 1)(p + 1) + 12. Если p ≥ 5 и простое, то числа p – 1 и p + 1 чётны, и одно из них кратно 3. Поэтому произведение (p – 1)(p + 1) делится на 12, следовательно, p² + 11 также делится на 12, а значит, имеет не менее семи делителей (6 делителей числа 12 и само число p² + 11 > 12). Осталось проверить p = 2 и p = 3. При p = 2 число p² + 11 = 2² + 11 = 15 имеет четыре делителя (1, 3, 5, 15); при p = 3 число p² + 11 = 3² + 11 = 20 имеет шесть делителей (1, 2, 4, 5, 10, 20).
Ответ
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Всероссийская олимпиада по математике |
| год | |
| Год | 1995 |
| Этап | |
| Вариант | 4 |
| Класс | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 95.4.9.5 |
Проект осуществляется при поддержке и .
алгебра — Найти все простые числа p такие, что 2p+1 и 4p+1 тоже простые
Как найти все простые числа p такие, что 2p+1 и 4p+1 тоже простые? Ответ понятен, единственное такое число 3, не понятно как это доказать.
ответ Надо рассмотреть случаи трёх остатков от деления на 3 для числа p. Если остаток нулевой, то p=3. Если остаток равен 1, то 2p+1 кратно 3, что невозможно. Если остаток равен 2, то 4p+1 кратно 3. (вчера)falcao
А не могли бы вы пояснить, почему именно трёх остатков и именно при делении на 3, а не на 5, к примеру?
поясните, пожалуйста, ответ
задан 22 Дек ’13 17:36
Квант
31 ● 1 ● 2 ● 13
100% принятых
Здесь каких-либо особых хитростей нет. Бывает так, что приходится рассматривать остатки и при делении на 5. Но здесь идея достаточно прозрачная. Естественна попытка доказать, что какое-то число не простое за счёт того, что оно заведомо на что-то делится. Например, в другой задаче могло оказаться, что число чётно, и не равно 2, откуда делается вывод, что оно не простое. Но здесь числа 2p+1 и 4p+1 нечётны, и делимость на 2 не работает. Делимость на 3 рассматривается просто как следующий случай, и там всё сразу получается. А остатков от деления на $%n$% всегда $%n$%.
(22 Дек ’13 17:43) falcao
А таким образом мы доказываем, что только тройка является решением этой задачи?
(22 Дек ’13 17:46) Квант
@Квант: да, именно так. Поскольку все натуральные числа бывают в точности трёх видов, мы для каждого из случаев смотрим, что получается. Вот более наглядное объяснение. Если $%p$% даёт при делении на 3 в остатке 0, то оно принимает значения 3, 6, 9, . . Простое число тут только одно — это 3. Второй случай: $%p$% даёт в остатке 1, то есть значения равны 4, 7, 10, . (1 исключена, так как это и не простое число, и не составное). Посмотрим на числа $2p+1$%: это 9, 15, 21, . — простых тут нет. Наконец, для третьего случая p = 2, 5, 8, . значения 4p+1 равны 9, 21, 33, . кратны 3.
(23 Дек ’13 4:16) falcao
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
задан
22 Дек ’13 17:36
показан
10033 раза
обновлен
23 Дек ’13 4:16
Найдите все простые числа p такие,чтобы числа p+10 и p+14 также являлись простыми числами
1. Проверим условие задачи для первых двух простых чисел:
p + 10 = 2 + 12 — составное число;
p + 10 = 3 + 10 = 13 — простое число;
p + 14 = 3 + 14 = 17 — простое число.
2. Любое простое число, превосходящее 3, можно представить в виде:
p = 6k ± 1, где к ∈ N;
p + 10 = 6k — 1 + 10 = 6k + 9 = 3(2k + 3) — составное число;
p + 14 = 6k + 1 + 14 = 6k + 15 = 3(2k + 5) — составное число.
Ответ. Единственное простое число, удовлетворяющее условию задачи: 3.