Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности как считать

2.4. Что делать, если оба предела интегрирования бесконечны?

Интеграл тоже встречается на практике, и это очень интересный случай. Для его вычисления без всяких комплексов можно использовать формулу:
– предел с двумя «динамическими» переменными, и давайте рассмотрим больше такой демонстрационный интеграл:

Пример 32
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна всюду, и прямое решение таково:

Второй, более академичный способ состоит в том, чтобы разделить интеграл на две части, обычно в качестве точки «распила» выбирают ноль:

Далее разделываемся с каждой половинкой по отдельности:

после чего суммируем трофеи:

Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Знакомая геометрия:

В несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования чётностью пользоваться МОЖНО. Аналогично определённому интегралу, промежуток интегрирования выгодно споловинить, а результат – удвоить:

Переходим к ещё более любопытному случаю:
Пример 33

Подынтегральная функция всюду непрерывна, нечётна и промежуток интегрирования симметричен относительно нуля. Но пользоваться этим НЕЛЬЗЯ, поскольку интеграл от такой функции может быть вовсе не определён. Как в нашем случае – по той причине:
– что этого предела не существует. Он не определён.

Почему? Потому что переменная «а» может стремиться к «минус» бесконечности, например, БЫСТРЕЕ, чем переменная «бэ» к «плюс» бесконечности. Или наоборот.

К такому же выводу можно прийти, если распилить пациента на две части:

и выполнить мартышкин труд:

Несмотря на то, что оба интеграла по отдельности расходятся – значение итогового интеграла не определено, ибо не определена сумма . К слову, для чётной функции получаются бесконечности одного знака, и всё хорошо.

Следует отметить, что в теории рассматривается особый случай – когда обе переменные стремятся к бесконечностям с одинаковой скоростью. Это выражается пределом:

и называется сходимостью по Коши. Само же значение предела называют главным значением несобственного интеграла и обозначают так: (Valeur principale de Cauchy).

Но это имеет смысл включать в решение тогда, когда вы учитесь сильно углублённо 🙂 В «массовой» же практике такие вещи ни к чему, а посему просто даём ответ, что значение интеграла не определено.

Тонкость же состоит в том, что несобственные интегралы от некоторых нечётных функций определены и в самом деле равны нулю! А именно, это те функции, для которых «половинки» сходятся, равны по модулю и противоположны по знаку (в силу нечётности функции):

Пример 34
Исследовать сходимость несобственного интеграла.

Это пример для самостоятельного решения. Но на практике, разумеется, функция не обязана быть чётной или нечётной, пожалуйста: – используем «двойной» предел или делим интеграл на две части в удобной точке. Если оказалось, что один интеграл равен , а другой , то общего интеграла не существует.

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

© mathprofi.ru / com, 2010-2023, Высшая математика – просто и доступно!

Интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности как считать

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Конев В.В. Определенные интегралы

Интегрирование четных и нечетных функций

Определенные интегралы

Геометрические приложения

Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:

(2)

Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

(3)

Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку x = – st:

(4)

Теореиа 2. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:

Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен нулю:

(6)

Теорема доказывается аналогичным образом:

(7)

Как доказать, что тот же интеграл от минус бесконечности до бесконечности равен sqrt(pi/2)

Интеграл от нуля до бесконечность sin(x^2) dx = 1/2 sqrt (pi/2)
Как доказать , что тот же интеграл от минус бесконечности до бесконечности равен sqrt(pi/2) ?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Доказать, что предел равен бесконечности
\lim \frac = \infty Пытаюсь рассмотреть два случая, когда n = 2k и n =.

Как доказать, что корень энной степени из константы при эн к бесконечности равен один
Как доказать, что корень энной степени из константы при эн к бесконечности равен один?

Чем отличается плюс бесконечность от минус бесконечности и от бесконечности
Чем отличается плюс бесконечность от минус бесконечности и от бесконечности?

1728 / 1020 / 181
Регистрация: 03.06.2012
Сообщений: 1,220

Это интеграл Френеля. Его вычисление рассматривается в качестве одного из примеров применения равномерной сходимости у Фихтенгольца (т.2, п.522, пример 5). Кроме того, его можно вычислить с помощью теории интеграла в комплексной области: http://edu.sernam.ru/book_sm_math32.php?id=57.

Под интегралом стоит чётная функция. Поэтому интеграл по всей прямой вдвое больше интеграла по полупрямой.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Как посчитать интеграл от — бесконечности до x0 и от x0 до +бесконечности
Проблема: Warning: Infinite or Not-a-Number function value encountered. > In quad at 100 .

Как доказать, что выражение в числителе стремится к бесконечности?
Как доказать, что выражение в числителе стремится к бесконечности? Регулярные нарушения правила.

Вычеты в полюсе равен бесконечности
Добрый вечер/ночь. Возникла такая проблема: Необходимо найти особые точки, исследовать их.

Чему равен синус от бесконечности?
Выполняю преобразование Лапласа через интеграл f(t)=cos(3t) И как вычислить 1/3*sin(3t)*e-pt при.