Статья 75 УПК РФ. Недопустимые доказательства (действующая редакция)
1. Доказательства, полученные с нарушением требований настоящего Кодекса, являются недопустимыми. Недопустимые доказательства не имеют юридической силы и не могут быть положены в основу обвинения, а также использоваться для доказывания любого из обстоятельств, предусмотренных статьей 73 настоящего Кодекса.
2. К недопустимым доказательствам относятся:
1) показания подозреваемого, обвиняемого, данные в ходе досудебного производства по уголовному делу в отсутствие защитника, включая случаи отказа от защитника, и не подтвержденные подозреваемым, обвиняемым в суде;
2) показания потерпевшего, свидетеля, основанные на догадке, предположении, слухе, а также показания свидетеля, который не может указать источник своей осведомленности;
2.1) предметы, документы или сведения, входящие в производство адвоката по делам его доверителей, полученные в ходе оперативно-розыскных мероприятий или следственных действий, за исключением предметов и документов, указанных в части первой статьи 81 настоящего Кодекса;
2.2) полученные в ходе оперативно-розыскных мероприятий или следственных действий сведения о факте представления подозреваемым, обвиняемым специальной декларации в соответствии с Федеральным законом «О добровольном декларировании физическими лицами активов и счетов (вкладов) в банках и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации» и (или) указанная декларация и сведения, содержащиеся в указанной декларации и документах и (или) сведениях, прилагаемых к указанной декларации, за исключением случаев представления декларантом копий указанных декларации и документов и (или) сведений для приобщения к уголовному делу;
2.3) полученные в ходе оперативно-розыскных мероприятий или следственных действий сведения о факте указания подозреваемого, обвиняемого в специальной декларации, представленной иным лицом в соответствии с Федеральным законом «О добровольном декларировании физическими лицами активов и счетов (вкладов) в банках и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации», и (или) сведения о подозреваемом, обвиняемом, содержащиеся в указанной декларации и документах и (или) сведениях, прилагаемых к указанной декларации, за исключением случаев представления декларантом копий указанных декларации и документов и (или) сведений для приобщения к уголовному делу;
3) иные доказательства, полученные с нарушением требований настоящего Кодекса.
Постоянная ссылка на документ
URL документа [ скопировать ]
HTML-код ссылки для вставки на страницу сайта [ скопировать ]
BB-код ссылки для форумов и блогов [ скопировать ]
в виде обычного текста для соцсетей и пр. [ скопировать ]
Скачать документ в формате
Комментарий к ст. 75 УПК РФ
1. Допустимость — это соответствие доказательства требованиям уголовно-процессуального права, т.е. наличие у него надлежащей процессуальной формы. Отступление от этой формы может привести к недопустимости доказательства, т.е. лишению его юридической силы и невозможности использования в процессе доказывания. В части 1 коммент. статьи недопустимость доказательства связывается с нарушением лишь требований самого УПК, однако согласно ч. 2 ст. 50 Конституции РФ «при осуществлении правосудия не допускается использование доказательств, полученных с нарушением федерального закона». Конституция, таким образом, признает недопустимыми доказательства, собранные субъектами доказывания с нарушением любого федерального закона, а не только УПК. Конституционная норма в случае коллизии имеет преимущество перед отраслевой, поэтому ч. 1 ст. 75 УПК следует, на наш взгляд, толковать расширительно — в соответствии с текстом Конституции РФ. В противном случае доказательства, полученные органом дознания, например в результате незаконных оперативно-розыскных мероприятий, и оформленные с внешним соблюдением уголовно-процессуальной формы, могли бы считаться допустимыми. Например, оперативными сотрудниками органа дознания была проведена проверочная закупка наркотического вещества с последующим проникновением в жилище против воли проживающих в нем лиц без получения на то предварительного разрешения суда, несмотря на то что этого требует ч. 2 ст. 8 ФЗ «Об оперативно-розыскной деятельности». Если полученное в ходе такой закупки наркотическое вещество и обнаруженные у продавца денежные купюры были осмотрены с соблюдением процессуальных правил, то по прямому смыслу коммент. нормы УПК они должны были бы признаваться допустимыми доказательствами, ибо требования настоящего Кодекса формально нарушены не были. Однако это противоречит ФЗ «Об оперативно-розыскной деятельности» и Конституции РФ, поэтому собранные таким способом доказательства на самом деле недопустимы. Иное может привести к подмене процессуальных действий оперативно-розыскными в целях незаконного добывания будущих доказательств, когда процессуальная форма используется в качестве «ширмы» для нарушения конституционных прав личности.
Та же проблема встает в связи с применением специалистами и экспертами оборудования, инструментов, приспособлений и методик. Согласно ч. 1 ст. 13 Закона РФ от 27 апреля 1993 г. N 4871-1 «Об обеспечении единства измерений» государственный метрологический контроль и надзор, осуществляемые с целью проверки соблюдения метрологических правил и норм, распространяются, в частности, и на измерения, проводимые по поручению органов суда, прокуратуры, арбитражного суда, государственных органов управления РФ. Таким образом, экспертные методики и техника, связанные с любыми измерениями, должны соответствовать требованиям государственных стандартов в области измерений, а измерительные приборы и другое оборудование, используемое специалистами и экспертами при проведении следственных действий, должны быть сертифицированы. Нарушение этих требований должно влечь за собой признание полученных доказательств недопустимыми.
2. В ч. 2 коммент. статьи дается открытый перечень случаев, когда доказательство должно быть признано недопустимым. Так, к недопустимым доказательствам отнесены показания подозреваемого или обвиняемого, данные в ходе досудебного производства по уголовному делу в отсутствии защитника и не подтвержденные им в суде (п. 1 ч. 2 ст. 75). Это положение служит важной гарантией против самооговора и признания вины обвиняемым и подозреваемым под воздействием физического или психического насилия, применение которого благодаря данной норме практически теряет всякий смысл. Обращает на себя внимание то, что условие отсутствия защитника включает в себя и отказ от защитника самим обвиняемым или подозреваемым. Таким образом ставится преграда попыткам недобросовестных следователей и работников органов дознания склонить обвиняемого и подозреваемого к формально добровольному отказу от защитника, за которым обычно стоит вынужденный отказ от защитника либо незаконная попытка «обменять» признательные показания на облегчение положения обвиняемого, подозреваемого (обещание не применять в качестве меры пресечения заключение под стражу, содействовать прекращению уголовного преследования и т.п.). При этом запрещено воспроизводить показания подозреваемого, обвиняемого, данные в ходе досудебного производства по уголовному делу в отсутствие защитника и не подтвержденные им в суде, путем допроса в качестве свидетеля, дознавателя или следователя, производившего дознание или предварительное следствие .
См.: Определение КС РФ от 6 февраля 2004 г. N 44-О «По жалобе гр. Демьяненко В.Н. на нарушение его конституционных прав положениями статей 56, 246, 278 и 355 УПК РФ» // РГ. 2004. 7 апр. N 71.
3. В п. 2 ч. 2 коммент. статьи подтвержден запрет на показания потерпевшего или свидетеля, если они основаны на догадке, предположении, слухе, а также показания свидетеля, который не может указать источник своей осведомленности. В то же время в отличие от показаний свидетеля законодатель не счел необходимым объявить недопустимыми показания потерпевшего, если тот не может указать источник своей осведомленности. Собственно показания без ссылки на источник осведомленности — это и есть показания «по слуху». На наш взгляд, в данном случае имеет место пробел в правовом регулировании. Учитывая общий принцип непосредственности исследования доказательств, запрещающий использовать данные, первоисточник которых неизвестен, следует прийти к выводу, что на самом деле законодатель в отношении показаний потерпевшего должен был иметь в виду то же самое ограничение на использование показаний по слуху, что и в отношении свидетеля. Поэтому представляется, что этот запрет по аналогии закона правомерно распространять и на показания потерпевшего.
Догадки и предположения, на которых запрещается основывать показания свидетеля, — это логические умозаключения, которые свидетель делает из каких-либо известных ему фактов. Однако они не могут иметь непосредственного доказательственного значения, ибо доказательствами считаются только сведения о фактах, но не сделанные из них умозаключения. Последние относятся к содержанию оценки доказательств, на которую согласно закону уполномочены лишь судьи, присяжные заседатели, а также прокурор, следователь, дознаватель (ч. 1 ст. 17). От догадок и предположений следует отличать сообщаемые свидетелем сведения, которые имеют вероятностную форму: например, о том, что, как ему показалось, в руке подозреваемого был нож, хотя наверняка утверждать этого он не может; о том, что скорость наблюдавшегося им автомобиля составляла приблизительно 60 — 70 км/ч, но сказать точнее он затрудняется, и т.п. Такие данные допустимы в качестве доказательственной информации, хотя, как и любые иные, подлежат критической оценке в совокупности со всеми другими доказательствами по делу с точки зрения их достоверности. Напротив, если, например, свидетель, появившийся на месте дорожно-транспортного происшествия уже после аварии, утверждает, что, по его мнению, автомобиль двигался по встречной полосе дороги, поскольку на это указывали увиденные им следы колес, то его показания в части движения транспортного средства по встречной полосе являются лишь предположением и доказательственной роли не играют. Впрочем, это, на наш взгляд, не означает, что подобную информацию вообще не следует фиксировать в протоколе следственного действия. Иногда она может иметь важное ориентирующее значение для построения версий и собирания доказательств, а в дальнейшем помогает оценить всесторонность и полноту проведенного следствия.
4. Недопустимыми согласно п. 3 ч. 2 настоящей статьи являются и все иные доказательства, полученные с нарушением требований УПК. Часто полагают, что любое процессуальное нарушение, т.е. отступление буквально от всякого предписания, содержащегося в нормах закона, касающихся собирания и проверки доказательств, ведет к утрате полученных таким путем сведений качества допустимости. Следует, однако, учесть, что в комментируемой статье речь идет о нарушении требований Кодекса в целом, а не отдельных его предписаний. Если закон предусматривает средства и способы, с помощью которых можно нейтрализовать последствия нарушения отдельных его предписаний, доказав, что они не повлияли на соблюдение принципов уголовного судопроизводства, то при успешном применении таких средств и способов уже нельзя сказать, что такое доказательство использовано для доказывания в нарушение закона. Так, например, непредупреждение свидетеля о его праве не давать показания против себя и своих близких, несомненно, является весьма серьезным процессуальным нарушением. Однако, если будет доказано (в том числе и объяснениями самого свидетеля), что это никак не повлияло на добровольность данных им показаний, а значит, и на сохранение равенства сторон, суд, как нам представляется, вправе признать полученные показания допустимыми.
Так, по уголовному делу в отношении Ц. его защитник требовал признать недопустимым протокол осмотра места происшествия на том основании, что присутствующему в ходе осмотра Ц. не было разъяснено его право не свидетельствовать против себя, предусмотренное ст. 51 Конституции РФ. Верховный Суд РФ признал доводы защитника несостоятельными в связи с тем, что Ц. отказался давать какие-либо пояснения, т.е. реально воспользовался не разъясненным ему правом .
См.: Кассационное определение СК по УД Верховного Суда РФ от 16 августа 2006 г. N 7-О06-15.
Нельзя утверждать, что такое доказательство использовано судом в нарушение закона, так как именно с помощью средств и способов, предусмотренных законом, процессуальное нарушение было нейтрализовано. Нарушения, поддающиеся опровержению, следует, на наш взгляд, считать устранимыми, или опровержимыми. Напротив, если установлено, что искажение процедуры привело к реальному ущербу для принципов состязательного судопроизводства, ее результаты в любом случае должны считаться юридически ничтожными, а допущенные нарушения неустранимыми. Нельзя устранить, например, такое нарушение, как получение от обвиняемого признательных показаний путем применения к нему пыток или жестоких, бесчеловечных или унижающих человеческое достоинство видов обращения. В результате такого нарушения процесс перестал отвечать требованиям справедливой судебной процедуры, где стороны должны находиться в равном положении. Возместить правосудию столь жестокий урон невозможно. Вместе с тем не все процессуальные нарушения (даже неустранимые), допущенные в ходе производства по делу, являются существенными для получения доказательств. Так, присутствие в зале, где происходит судебное следствие, лиц в возрасте до 16 лет является процессуальным нарушением (ч. 6 ст. 241), но несущественным для получения доказательств, а потому не может уничтожить их допустимости.
5. Согласно ч. 1 ст. 125 «постановления дознавателя, следователя, прокурора об отказе в возбуждении уголовного дела, о прекращении уголовного дела, а равно иные их действия (бездействие) и решения, которые способны причинить ущерб конституционным правам и свободам участников уголовного судопроизводства либо затруднить доступ граждан к правосудию, могут быть обжалованы в суд по месту проведения предварительного расследования». В соответствии с ч. 2 ст. 50 гл. 2 («Права и свободы человека и гражданина») Конституции конституционным правом является, в частности, исключение из процесса доказательств, полученных с нарушением закона. Следовательно, незаконные действия или бездействие органов расследования и прокурора, а также их решения при получении доказательств, принятые с нарушением закона (о приобщении к делу, о принудительном освидетельствовании, осмотре против воли лиц и т.д.), могут быть обжалованы в суд с требованием об исключении соответствующих незаконно полученных доказательств. Представляется, что отказ в удовлетворении ходатайств о собирании относящихся к делу доказательств также можно обжаловать в суд, поскольку это нарушает, во-первых, конституционное право (ч. 4 ст. 29 Конституции) свободно искать информацию, а во-вторых, международные нормы и стандарты (например, право иметь достаточные возможности для подготовки своей защиты; право на очную ставку (подп. b и d п. 3 ст. 6 Конвенции о защите прав и основных свобод человека). Следует, однако, отметить, что в настоящее время судебная практика, к сожалению, как правило, отвергает такое буквальное, толкование названных норм. См. об этом. коммент. к ст. 125 настоящего Кодекса.
6. Согласно ч. 3 ст. 14 все сомнения в виновности обвиняемого, которые не могут быть устранены в порядке, установленном настоящим Кодексом, толкуются в пользу обвиняемого. На наш взгляд, это правило распространяется и на толкование сомнений в отношении допустимости доказательств. Так, если следователь, прокурор, дознаватель, суд получили оправдывающее обвиняемого доказательство с нарушением законного порядка, оно по ходатайству стороны защиты должно быть признано допустимым, ибо в любом случае порождает определенные сомнения в виновности обвиняемого (так называемая асимметрия при оценке доказательств). Бремя доказывания при ошибках обвинения не может быть возложено на обвиняемого. Иначе должен решаться вопрос, когда сторона защиты представила доказательства, полученные ей самой с нарушением закона. В этих случаях доказательства могут быть признаны недопустимыми при условии, если факт нарушения закона стороной защиты вне всякого сомнения доказан обвинителем. Основанием для этого вывода может служить не только ч. 1 ст. 75 УПК, но и конституционная норма, устанавливающая, что каждый имеет право свободно искать, получать, передавать, производить и распространять информацию только законным способом (ч. 4 ст. 29 Конституции РФ). Однако принятие судом подобных доказательств не исключает их оценки с точки зрения достоверности, в том числе и с учетом характера нарушений, допущенных при их собирании.
Источник комментария:
Под ред. А.В. Смирнова «КОММЕНТАРИЙ К УГОЛОВНО-ПРОЦЕССУАЛЬНОМУ КОДЕКСУ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ПОСТАТЕЙНЫЙ), 5-е издание
Что такое невязка в математике
Невязка в математике — это разность между реальными и ожидаемыми значениями в математической модели или уравнении. Узнайте, как определить и использовать невязку для оценки точности математических расчетов и моделей.
Невязка — это разность между ожидаемым значением и фактическим значением в математическом расчете или модели. Она используется для оценки точности результатов и определения степени согласованности между теоретическими и экспериментальными данными.
Невязка может возникать в различных областях математики, включая алгебру, геометрию, анализ и статистику. Она является инструментом для проверки математических моделей и формул на практике, а также для поиска ошибок в вычислениях и измерениях.
Примеры невязки могут быть разнообразными. Например, при решении уравнений методом конечных разностей в численном анализе, невязкой является разность между значениями, полученными численно, и точными значениями, которые можно получить аналитически. В статистике, невязка может выражаться в отклонении между наблюдаемыми и предсказанными значениями.
Невязка играет важную роль в математике, так как позволяет оценить точность и достоверность результатов. Она помогает исследователям и инженерам проверить свои расчеты и модели на ошибки и улучшить их точность. Также невязка является основой для разработки методов оптимизации и уточнения результатов в различных областях науки и техники.
Определение невязки в математике
Невязка может быть вычислена для различных математических объектов, таких как уравнения, системы уравнений, алгоритмы или численные методы. Она обычно выражается в виде разности между фактическим и ожидаемым значением, и может быть положительной или отрицательной величиной.
Оценка невязки позволяет определить, насколько точно выполняется условие или решение, и может быть полезной для проверки корректности математических вычислений. Более низкая невязка указывает на большую точность вычислений, в то время как более высокая невязка указывает на возможное отклонение или погрешность.
Примером невязки может быть оценка точности численного решения уравнения или системы уравнений. После решения уравнения численным методом, невязка может быть вычислена путем подстановки полученных значений обратно в уравнение и вычисления разности между левой и правой частями уравнения.
Как вычислить невязку в математике
Для вычисления невязки в математике необходимо знать точное решение задачи и приближенное решение, полученное с помощью некоторого метода или алгоритма. Невязка определяется как разность между точным значением и приближенным значением:
Невязка = Точное значение — Приближенное значение
Например, рассмотрим уравнение: 2x + 3 = 7. Предположим, что мы нашли приближенное решение этого уравнения, равное x = 2. Чтобы вычислить невязку, необходимо подставить найденное приближенное значение в уравнение и вычислить разность:
2 * 2 + 3 — 7 = 4 + 3 — 7 = 7 — 7 = 0
Таким образом, невязка в данном примере равна нулю, что означает, что приближенное решение является точным решением уравнения.
Вычисление невязки позволяет оценить точность полученного решения и определить, насколько оно близко к точному решению. Чем меньше невязка, тем более точное приближенное решение было получено.
Невязка в линейной алгебре
Для нахождения невязки в линейной алгебре необходимо вычислить разность между произведением матрицы системы на вектор неизвестных и вектором правых частей уравнений:
невязка = A * x — b
где A — матрица системы уравнений, x — вектор неизвестных, b — вектор правых частей уравнений.
Полученная невязка должна быть близкой к нулю, чтобы решение системы уравнений было точным. Если невязка значительно отличается от нуля, это может говорить о наличии ошибок в решении или неточности вычислений.
Невязка в линейной алгебре является важным инструментом для анализа точности решений систем уравнений. Она позволяет контролировать и оптимизировать вычисления и улучшать результаты.
Примеры невязки в математике
Пример 2: Рассмотрим систему линейных уравнений:
Решение данной системы состоит из двух переменных: x и y. Если найденные значения подставить обратно в исходные уравнения и получить ненулевые результаты, это будет означать наличие невязки в решении.
Невязка в численных методах
Невязка может быть вычислена для различных типов задач, таких как решение систем линейных уравнений, нахождение корней уравнений, интегрирование функций и других. Она позволяет оценить точность численного метода и его сходимость.
Для численных методов существует несколько способов вычисления невязки. Один из наиболее распространенных методов – это вычисление невязки как нормы разности между точным и приближенным решениями. Норма может быть выбрана в зависимости от постановки задачи, например, это может быть евклидова норма или максимальная норма.
При анализе численных методов и выборе наиболее подходящего метода для решения задачи невязка играет важную роль. Чем меньше невязка, тем точнее численное решение. Поэтому важно учитывать невязку при проведении численных вычислений и выборе метода.
Использование невязки в математических моделях
В математических моделях невязка представляет собой разность между реальными и вычисленными значениями. Например, если мы имеем математическую модель, описывающую движение объекта, то невязка будет представлять разность между фактическими и расчетными значениями позиции или скорости объекта в заданный момент времени.
Использование невязки позволяет визуально представить расхождение между реальными и вычисленными данными, что позволяет идентифицировать проблемные области модели и принять меры для их исправления. Например, если невязка в модели движения объекта превышает заданный порог, это может указывать на наличие ошибок в начальных данных или недостаточной точности расчетов.
Использование невязки также позволяет оценить точность методов численного решения математических уравнений. Если невязка велика, это может указывать на неправильный выбор метода решения или необходимость уточнения начальных условий. Анализ невязки позволяет выбрать наиболее подходящий метод решения и определить оптимальные параметры модели.
Таким образом, использование невязки является неотъемлемой частью работы с математическими моделями. Она позволяет оценить точность решения, выявить ошибки и неточности, а также определить оптимальные параметры модели. Использование невязки помогает сделать модель более точной и надежной, что особенно важно при прогнозировании и анализе сложных систем.
Видео по теме:
Вопрос-ответ:
Что такое невязка в математике?
Невязка в математике — это разность между ожидаемым и фактическим результатом вычислений или решения уравнения. В общем случае, невязка показывает, насколько велика погрешность в решении задачи или вычислениях.
Как можно выразить невязку численно?
Невязку можно выразить численно с помощью абсолютной или относительной погрешности. Абсолютная погрешность — это просто разность между ожидаемым и фактическим значением. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к ожидаемому значению.
Какие примеры невязки существуют в математике?
Примеры невязки в математике включают неверные результаты численных вычислений, неправильные решения уравнений, аномальные значения функций при подстановке в уравнения, ошибки в моделях и т. д. Невязка может возникнуть из-за округления чисел, ошибок ввода данных или неправильного выбора метода решения задачи.
Как невязка влияет на точность решения задачи?
Невязка напрямую связана с точностью решения задачи. Чем больше невязка, тем больше погрешность в решении. Невязка может указывать на необходимость уточнения метода решения или наличие ошибок в исходных данных. Чтобы достичь более точных результатов, необходимо минимизировать невязку.
Как можно уменьшить невязку в математических вычислениях?
Существует несколько способов уменьшить невязку в математических вычислениях. К ним относятся использование более точных методов решения, увеличение числа итераций, уменьшение погрешности округления чисел, проверка вводимых данных на ошибки, использование более точных формул и т. д. В целом, следует стремиться к минимизации ошибок на каждом этапе вычислений.
Что такое невязка в математике?
Невязка в математике — это разность между точным значением и приближенным значением, полученным при решении математической задачи. Она показывает, насколько приближенное решение отклоняется от точного решения. Используется для оценки точности численных методов и аппроксимации функций.
Значение невязки при решении уравнений
Значение невязки может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, больше или меньше полученное значение точного решения. Чем меньше невязка, тем более точное решение уравнения.
Примером использования невязки может быть решение системы линейных уравнений. После подстановки найденных значений в исходные уравнения можно вычислить невязку для каждого уравнения. Если все невязки близки к нулю, то решение системы является точным. В противном случае, большие значения невязки указывают на недостаточную точность решения.
Значение невязки также важно при численном решении дифференциальных уравнений или при аппроксимации функций. Оно позволяет оценить точность численного метода и определить, насколько хорошо полученное решение соответствует действительности.
Таким образом, значение невязки является важным инструментом в математике, который позволяет оценить точность решения уравнений и численных методов. Оно помогает установить, насколько близким является полученное значение к истинному и определить необходимость корректировки результатов.
Как уменьшить невязку в математике
Невязка в математике может возникать, когда результат вычисления или измерения не совпадает с ожидаемым или идеальным значением. Важно уметь уменьшать невязку, чтобы получить более точные и надежные результаты.
Вот несколько способов, которые помогут уменьшить невязку в математике:
| 1. Проверьте входные данные | Первым шагом в уменьшении невязки является тщательная проверка входных данных. Убедитесь, что все входные параметры и измерения точны и соответствуют требованиям задачи. |
| 2. Используйте более точные методы вычисления | Если результаты вычислений не соответствуют ожидаемым, возможно, необходимо использовать более точные методы, такие как численные методы или методы приближения. |
| 3. Проверьте условия задачи | Убедитесь, что все условия задачи выполняются и не возникает никаких дополнительных факторов, которые могут привести к невязке. Иногда небольшие изменения в условиях могут значительно повлиять на результаты. |
| 4. Улучшите точность измерений | Если невязка связана с измерениями, можно попробовать улучшить точность измерительных инструментов или использовать более точные методы измерения. |
| 5. Проведите повторные расчеты | Если невязка остается значительной, можно попробовать провести повторные расчеты и убедиться, что ошибки не были допущены в процессе вычислений. |
Уменьшение невязки в математике является важным шагом в достижении более точных результатов и улучшении качества работы. Следуя этим советам, вы сможете уменьшить невязку и повысить точность своих вычислений.
Вычисление приращений координат и оценка точности хода
Приращения координат (прямая геодезическая задача) вычисляют по формулам (8.3).
Запишем схему передачи координат с начальной точки хода на конечную в виде системы уравнений и составим суммы этих уравнений:
Поскольку значения Хн, Хю YH, YK являются исходными (известными), то по результатам вычислений можно получить невязки в приращениях координат:
Эти невязки могут быть получены и как разности координат:
где XD‘ и Yd‘ — вычисленные значения координат точки D.
Общая линейная (абсолютная) невязка хода составляет
Очевидно, что сама абсолютная (линейная) невязка не всегда может являться непосредственным критерием качества измерений, поскольку длины ходов могут быть различными при одном и том же значении абсолютной невязки. В связи с этим для оценки точности теодолитных ходов пользуются относительной невязкой, определяемой по формуле
где Xd — длина теодолитного хода (периметр — для замкнутого хода; сумма горизонтальных проложений).
Критерием качества работ является выполнение условия
Величина допустимой относительной невязки /отн доп определяется соответствующими инструкциями, а также техническим заданием, устанавливающими необходимую точность построения съемочного обоснования. Так, для технических теодолитных ходов в зависимости от условий измерений, особенно длин линий, величина относительной допустимой невязки (погрешности) может находиться в пределах от 1:1000 до 1:3000.
Пример 8.7. Оценка качества теодолитного хода.
Исходные данные см. в табл. 8.7 (ведомость координат).
В ведомости координат выполнены вычисления приращений координат и получены их суммы по всему ходу: 2ЛХ= —56,65 м; 2АК= +620,19 м. Теоретические разности координат: (Хк — -Хн) = D-XA) = 56,516 м; [YK-YH) = (YD-YA) =620,295 м; Невязки: fx= -56,65 — (-56,516) = -0,314 м; fY= + 620,19-( +620,295) = = — 0,105 м; /АБС=0,1702 м; /отн= 1/(618,47/0,1702) = 1/4000. (Значение знаменателя относительной невязки можно округлять до пятидесяти единиц). Если заданная допустимая относительная невязка равна, например, 1:2000, то необходимое качество построения съемочного обоснования обеспечено.
Методы наискорейшего спуска и минимальных невязок
Коэффициент ак найдем из условия Петрова—Галеркина (6.17): 
или 
Примем в качестве одномерных подпространств вектор невязки, т.е. = W
Схема решения задачи в этом случае называется методом скорейшего спуска.
Если выбрать в качестве одномерных пространств V (k) = R^ k) и W w = AR^ k) , то получим
Данный метод решения называется методом минимальных невязок.
З.З. Методы подпространств Крылова. Метод сопряженных градиентов
В рассмотренных выше методах наискорейшего спуска и минимальных невязок выбираются одномерные подпространства ^ и JK (т = 1). Как правило, такой выбор приводит к медленной скорости сходимости, что делает эти методы пригодными лишь для решения систем ЛАУ небольшой размерности или в специальных случаях. В настоящее время широкое распространение получили проекционные итерационные методы, в которых в качестве JK используют подпространства особого типа, называемые подпространствами Крылова. Размерность этих подпространств больше единицы (т > 1).
В некоторых источниках методы подпространств Крылова называют вариационными итерационными методами.
Идею использования подпространств определенного вида в 1931 г. предложил русский кораблестроитель и математик А.Н. Крылов. Подпространство Крылова размерностью т, порожденное матрицей А и вектором V, определяется как
Иными словами, подпространством Крылова называется множество всевозможных линейных комбинаций векторов V, АV, А 2 V, . А т ~ 1 V. В качестве вектора Vобычно выбирается невязка начального приближения V— Л (0) , тогда условие (6.21) можно записать в виде
Идею применения подпространств вида (6.22) можно понять при рассмотрении итерационного процесса Ричардсона, в котором новое приближение находится по формуле
где невязка R (k ~ l) = В + АХ (к ~ 1) .
Подставив значение невязки в (6.23), получим
Умножим обе части уравнения (6.23) на (—А) и прибавим В:
где Е — единичная матрица.
Выразим невязку на к-й итерации через невязку начального приближения:
Подставив (6.26) в (6.24), получим
На основании (6.27) можно сделать вывод, что Jfl® получается из за счет уточнения-поправки 5 (Л) , т.е.
т.е. поправка ищется в подпространстве Крылова.
Методы подпространств Крылова хорошо зарекомендовали себя при решении систем ЛАУ. Все они обладают следующими важными свойствами:
1) могут применяться для решения систем с несимметричными матрицами;
- 2) являются численно-устойчивыми благодаря использованию процедуры ортогонализации;
- 3) эффективны для решения систем ЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, поскольку наиболее трудоемкой их операцией является умножение матрицы на вектор.
Напомним постановку задачи: дана система ЛАУ (6.1) с симметричной положительно определенной матрицей и задано начальное приближение 2^ 0) . Также заданы два подпространства y’cR’ 1 и
с R» . Требуется найти решение X е Т . Матрица А называется положительно-определенной, если для всех ненулевых векторов Xвыполнется условие > 0. Для того чтобы матрица А была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры были положительны.
В общем виде алгоритм метода сопряженных градиентов строится следующим образом.
Шаг 1. Принимается к = 0.
Шаг 2. По заданному начальному приближению ^ 0) вычисляется невязка /? (0) = В- Л^ 0) . Начальное приближение, как правило, принимается равным 0:2^ 0) = 0.
Шаг 3. В качестве направления движения выбирается Р] =
Шаг 4. Вычисляется номер текущей итерации к = к+ 1.
Шаг 5. Вычисляется коэффициент
Шаг 6. Находится новое приближение
Шаг 7. Вычисляется новая невязка
Шаг 8. Проверяется условие окончания итерационного процесса. Выполнение данного условия означает завершение алгоритма.
Шаг 9. Если условие окончания итерационного процесса на шаге 8 не выполнено, вычисляется коэффициент
Шаг 10. Определяется новое направление движения
Шаг 11. Осуществляется переход к шагу 4.
Метод сопряженных градиентов в случае положительно определенной матрицы А размерностью пхп при отсутствии ошибок округления позволяет получить решение не более чем за п итераций.
Это следует из того, что после выполнения (п — 1) шагов п ненулевых невязок составят ортогональный базис Л (0) , /? (|) , . в К п . Таким образом, после п шагов вследствие ортогональности невязок имеем Л (я) X Л (,) при / = 0, 1,1). Это означает, что вектор RS n) ортогонален полному базису пространства. Известно, что полному базису ортогонален только нулевой вектор, из чего следует, что & п) = 0. Нулевое значение вектора невязки означает, что достигнуто решение.
Из приведенного выше утверждения можно сделать вывод, что метод сопряженных градиентов теоретически можно рассматривать как прямой метод. Однако с учетом погрешностей вычислений целесообразно рассматривать его как итерационный (приближенный). На практике приемлемую точность решения можно получить за число итераций, существенно меньшее по сравнению с п.
Для улучшения сходимости метода зачастую применяют предобус- ловленный метод сопряженных градиентов.
При использовании предобусловливания вида со~ 1 АХ= со~ [ В матрица ог 1 А в общем случае не будет симметричной и положительно определенной; следовательно, к преобразованной системе нельзя применить метод сопряженных градиентов. Однако если матрицы А и В являются симметричными положительно определенными, матрица co — U также будет симметричной и положительно определенной относительно скалярного произведения (X, У)ш = (соХ, Y). Действительно,
из чего следует, что матрица со -1 является симметричной относительно скалярного произведения (X, У)ю = (caY, Y). Ее положительная определенность следует из соотношения (оT l AX, X) = > 0.
Следовательно, система аг ] АХ= ctr’i? может быть решена с помощью метода сопряженных градиентов, в случае замены всех скалярных произведений (. . ) на (. . )(0. Ниже приведен алгоритм предобусловленного метода сопряженных градиентов.
Шаг 1. Принимается к = 0.
Шаг 2. По заданному начальному приближению вычисляется невязка /? (0) = В- АХ° Начальное приближение, как правило, принимается равным 0:2^ 0) = 0.
Шаг 3. Решается система со^ 0) = /? (0) .
Шаг 4. В качестве направления движения выбирается Р, = ^ 0) .
Шаг 5. Вычисляется номер текущей итерации к = к + 1.
Шаг 6. Находится новое приближение
Шаг 7. Вычисляется новая невязка
Шаг 8. Проверяется условие окончания итерационного процесса. Выполнение данного условия означает завершение алгоритма.
Шаг 9. Если условие окончания итерационного процесса на шаге 8 не выполнено, решается система
Шаг 10. Определяется новое направление движения
Шаг 11. Осуществляется переход к шагу 5.
Таким образом, метод сопряженных градиентов является одним из наиболее эффективных методов решения систем ЛАУ (обеспечивает решение задачи за число итераций, не превосходящее число неизвестных) с положительно определенной матрицей.
Основным недостатком данного метода можно считать то обстоятельство, что вследствие накопления погрешностей может нарушаться ортогональность базисных векторов, что приводит к ухудшению сходимости; однако при этом метод гарантирует сходимость за конечное число шагов. При хорошем начальном приближении число итераций резко сокращается; сокращение числа операций имеет место также и при хорошем предобусловливании. Необходимо подчеркнуть, что предобусловливание является абсолютно необходимым, в противном случае вследствие ошибок в определении базиса свойство конечности числа итераций при отыскании решения будет утеряно.
Вопросы для самопроверки
- 1. В чем заключается идея итерационных методов решения систем ЛАУ?
- 2. Каковы основные преимущества итерационных методов решения систем ЛАУ при решении систем высокого порядка?
- 3. Что называется расщеплением матрицы? Перечислите известные вам методы решения систем ЛАУ, основанные на расщеплении матрицы.
- 4. Дайте общее определение условия сходимости итерационных методов.
- 5. Что такое невязка?
- 6. Перечислите некоторые из существующих критериев окончания итерационного процесса.
- 7. Каким требованиям должна удовлетворять матрица А системы ЛАУ, чтобы для ее решения было возможно применение метода сопряженных градиентов?
- 8. Почему метод сопряженных градиентов относится к методам крыловского типа?
- 9. Для чего в итерационных методах применяется предобусловливание?
ПРИЛОЖЕНИЯ. Цикл лабораторных работ