В ящике есть 4 вида носков носков бесконечно много сколько нужно изъятий чтобы получить пару

В ящике есть 4 вида носков носков бесконечно много сколько нужно изъятий чтобы получить пару

1. Восемь кроликов посадили в семь клеток. Докажите, что есть клетка, в которой оказалось по крайней мере два кролика.

Решение. Если бы ни в какой клетке не было двух кроликов, то всего их было бы не больше, чем клеток, то есть, максимум 7. Но кроликов 8, противоречие.

2. За победу в математической регате команда из 4 человек получила 10 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения: а) «кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты»; б) «кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты»; в) «двум людям досталось по крайней мере две конфеты»; г) «каждому досталась хотя бы одна конфета».

Ответ. а) и б) верны, в) и г) нет.

а) Если бы никому не досталось две конфеты, то конфет всего было бы не больше 4. Но их 10, противоречие.

б) Если бы никому не досталось три конфеты, то конфет всего было бы не больше 2·4 = 8. Но их 10, противоречие.

в, г) Теоретически, все конфеты мог забрать, например, один человек.

3. а) В темной комнате стоит шкаф, в котором лежат 24 чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное количество носков нужно взять из шкафа, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? б) Какое минимальное количество носков нужно взять, чтобы заведомо можно было составить хотя бы одну пару носков черного цвета? в) Как изменится решение задачи, если в ящике лежат 12 пар чёрных и 12 пар синих ботинок и требуется составить пару одного цвета (как в пункте а) и пару черного цвета (как в пункте б)? Ботинки, в отличие от носков, бывают левыми и правыми.

Ответ. а) 3; б) 26; в) 25 и 37.

а) Если взять только два носка, то они могут оказаться разных цветов, и составить из них пару не получится. А из трёх носков два точно будут одного цвета.

б) Если взять 25 носков, то 24 из них могут оказаться синими, и составить чёрную пару не получится. Если же взять 26 носков, то синих среди них не может быть больше 24 синих, поэтому точно будут два чёрных.

в) Если взять 24 ботинка, то все они могут оказаться левыми, и составить пару из них не получится. Разобьём мысленно все 48 ботинок на пары. Пар будет 24. Если взять 25 ботинок, то два из них точно будут из одной пары.
Если взять 36 ботинок, то 24 из них могут оказаться синими, а остальные 12 — левыми чёрными, и составить из них чёрную пару не получится. Если взять 37 ботинок, то хотя бы 13 из них будут чёрными, а значит, будет точно хотя бы один чёрный левый и хотя бы один чёрный правый.

4. В лесу растут миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что есть две ёлки с одинаковым количеством иголок.

Решение. У ёлки может быть 0, 1, 2, . 600000 иголок. 600001 возможный вариант, а ёлок больше (1000000). Значит, какой-то вариант точно повторяется, т.е. найдутся две ёлки с одинаковым количеством иголок.

5. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

Решение. Если такого класса нет, то учеников в школе не может быть больше, чем 33·30 = 990 < 1000, противоречие.

6. В квадратном ковре со стороной 4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать коврик со стороной 1 метр, в котором дырок не будет.

Решение. Разобьём ковёр на 16 маленьких ковриков размером 1×1. Так как дырок всего 15, хотя бы один квадратик окажется без дырок. Его и можно вырезать.

7. В финальном матче школьного чемпионата по баскетболу команда 5А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде по баскетболу 5 игроков.)

Решение. Предположим, что такие два игрока не найдутся. Тогда все пять игроков забили разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего не забил, второй забил один мяч, третий — два, четвёртый — три, пятый — четыре. Тогда всего игроки забили 10 мячей. Если же кто-то забил больше, чем мы предположили, то и всего мячей было забито больше. Но поскольку по условию игроки забили 9 мячей, наше предположение неверно. Значит, есть два игрока, забившие поровну.

8. Верно ли, что в вашей аудитории есть по крайне мере два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой аудитории? Верно ли это для любой аудитории Малого мехмата?

Решение. Да, верно. Проведём рассуждения сразу для любой аудитории.
Пусть в аудитории n человек, и у всех из них разное количество друзей. Друзей может быть 0, 1, 2, . ( n − 1). Всего n возможных вариантов. А так как человек тоже n , то все эти варианты используются. Значит, есть человек, у которого 0 друзей, т. е. который ни с кем не дружит. И есть человек, у которого ( n − 1) друг, т.е. который дружит со всеми. Однако этого быть не может, т.к. эти два человека должны одновременно и дружить, и не дружить друг с другом. Получаем противоречие. Значит, два человека с одинаковым количеством друзей всегда найдутся.

Дополнительные задачи

9. Каждая клетка таблицы 2011×2011 покрашена в один из 2010 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Всегда ли можно за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет?

Решение. Возьмём любую строку. Так как цветов 2010, а клеток в строке — 2011, есть по крайней мере две клетки одного цвета. Значит, мы можем перекрасить всю строку в этот цвет. Воспользуемся этим и покрасим каждую строку в какой-нибудь цвет. Теперь у нас есть 2011 строк, покрашенные в 2010 цветов. Значит, по крайней мере две строки покрашены в один цвет (допустим, красный). То есть, в любом столбце есть две красные клетки. Покрасим все столбцы в красный цвет — все клетки доски будут покрашены в один цвет.

10. Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в четыре цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее, чем в три цвета?

Решение. Нельзя.
Предположим, что существует раскраска таблицы 5×5, удовлетворяющая условию. Рассмотрим эту таблицу.

В каждом столбце найдется цвет, в который покрашены по крайней мере две клетки этого столбца. Назовем такой цвет преобладающим для данного столбца (возможно, у какого-то столбца будет два преобладающих цвета). Аналогично, какой то цвет (назовем его 1) будет преобладающим для двух столбцов. Поскольку от перестановки строк и столбцов ничего не зависит, будем считать, что это столбцы a и b. Также можем считать, что в первом столбце цветом 1 покрашены клетки a4 и a5. Тогда клетки b4 и b5 должны быть покрашены какими-то двумя различными цветами, отличными от цвета 1. Пусть они покрашены цветами 2 и 3, а поскольку цвет 1 — преобладающий для столбца b, можем считать, что клетки b2 и b3 покрашены цветом 1. Рассмотрим клетку a3. Выбрав 3 и 4 строку и столбцы a и b, мы получим, что клетка a3 не может быть покрашенной цветами 1 и 3. Выбрав 3 и 5 строку и столбцы a и b, мы получим, что клетка a3 не может быть покрашенной цветами 1 и 2. То есть клетка a3 покрашена цветом 4. Но из аналогичных рассуждений мы получаем, что и клетка a2 покрашена цветом 4. То есть квадрат, состоящий из клеток a3, a2, b3 и b2, покрашен в два цвета — противоречие.

• ЗАДАЧИ
• 5 класс
• Занятие 0
• Занятие 1
• Занятие 2
• Занятие 3
• Занятие 4
• Занятие 5
• Занятие 6
• Занятие 7
• Занятие 8
• Занятие 9
• Занятие 10
• Занятие 11
• Занятие 12
• Занятие 13
• Занятие 14
• Занятие 15
• Занятие 16
• Занятие 17
• Занятие 18
• Занятие 19
• Занятие 20
• Занятие 21
• Занятие 22
• Занятие 23
• Занятие 24
• Занятие 25

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!

Три неординарные задачи на сообразительность

Иногда нужно отвлечься и отдохнуть от программирования. Мы представляем вам 3 неординарные задачи на проверку сообразительности. Задачи не простые, так что наберитесь терпения.

#1: Носки из ящика

В ящике вашего комода лежат носки: 6 черных, 6 белых, 7 красных и 7 зеленых. Вы собираетесь на работу и хотите надеть любую пару, но есть два условия:

• доставать носки из ящика нужно по одному и не глядя;
• вы не можете выйти в носках разного цвета.

Вопрос: сколько максимально раз вам придется доставать носки, пока не получится подходящая пара?

Ответ ( показать ):

В общем случае правильное решение можно записать так: n+1, где n – это число имеющихся цветов. У нас в ящике носки четырех цветов. Максимальное несовпадение – это если первые четыре взятые вами носка будут разными. И тогда очевидно, что пятый, каким бы он ни был, составит пару одному из предыдущих.

#2: Слуги короля Осьминога

Во дворце короля Осьминога работало много слуг. Они были разных цветов и имели 6, 7 или 8 ног. Причем слуги с 7-ю ногами всегда лгали, а остальные, шести- и восьминожки, говорили только правду.

Как-то раз встретились четверо слуг и начали считать, сколько у них всего ног:

• Красный сказал: «У нас у четверых вместе 28 ног».
• Жёлтый ответил: «Нет, 27 ног».
• Зелёный возразил: «Нет, 26 ног».
• Последним высказался синий: «Нет, 25 ног».

Вопрос: Кто из слуг сказал правду?

Ответ ( показать ):

Правду сказал желтый осьминог.

Предположим и попробуем доказать, что кто-то один из слуг сказал правду. А поскольку остальные трое не согласны с ним (одинаковых ответов нет), значит, они все врут.

Начнем проверять по очереди. Допустим, прав красный. Тогда у него либо 6, либо 8 ног (слуги с семью ногами – лжецы). Проверяем оба варианта: 6+7+7+7=27, 8+7+7+7=29. Но красный утверждал, что ног 28, т. е. он в любом случае солгал.

Оценив таким же образом высказывания каждого слуги, приходим к выводу, что правду сказал только желтый.

3#: Плавание в ветреную погоду

Парусник при попутном ветре проплывает 1 км за 2 мин. Обратно он возвращается со встречным ветром и преодолевает то же расстояние за 3 мин.

Вопрос: Как быстро парусник пройдет эту дистанцию в полный штиль?

Ответ ( показать ):

Многие рассуждают следующим образом: ветер помогает паруснику по пути в одну сторону и мешает по пути в другую. Значит, его скорость можно не учитывать. Тогда парусник проплывает 2 км за 5 мин (2+3). То есть скорость его равна ⅖ км в минуту.

Но такой вывод не верен, поскольку ветер подгонял парусник только 2 минуты, а тормозил его на протяжении 3 минут.

С попутным ветром парусник прошел 1 км за 2 мин, значит, за 3 мин он преодолел бы 1.5 км, а в обратную сторону, как говорится в условии, 1 км.

Поэтому для расчета нужно брать скорость 2,5 км за 6 мин, ведь в таком случае мы делаем условия справедливыми: ветер помогает и мешает паруснику одинаковое количество времени. В итоге скорость судна при полном штиле будет равна 2,5/6, т. е. 5/12 км в минуту.

Больше интересных новостей

Разработать план эвакуации жителей Сан-Франциско

Решаем задачи, встречающиеся на собеседованиях

Получение курсов валют в реальном времени

Задача от Apple про кассира-программиста

Комментарии (1)

Богдан 14 декабря 2022 в 17:59

Парусник в полньій штиль не сдвинется с места.

Александр 12 сентября 2023 в 08:54

В ящике есть 4 вида носков носков бесконечно много сколько нужно изъятий чтобы получить пару

Интересная логическая задача, про разноцветные носки

Итак в домашнем шкафу для белья лежит: 4 белых носка, 8 черных носков, 3 коричневых носка и 5 серых носков.

Какое самое минимальное количество носков необходимо достать из шкафа, чтобы получить как мимнимум одну пару одинаковых носков.

Смотреть на носки нельзя.

Ниже приведен правильный ответ!

Правильный ответ:

Необходимо достать 5 носков.

Т.к. мы имеем четыре разных вида носков, то пятый вытащенный носок в любом случает образует пару с одним из тех, который мы уже достали из шкафа.

Как вытащить носки одинакового цвета, не заглядывая в комод

Логическая задача для программистов. Как, не заглядывая в комод, вытащить носки одинакового цвета с наименьшим количеством попыток.

Предположим, у вас в ящике комода лежит 40 синих носков и 40 коричневых. Какое минимальное количество носков вам надо вытащить из ящика, не заглядывая в него, чтобы гарантированно получить пару носков одного цвета?

Решать эту задачу следует пошагово, начиная с двух носков. Если вытащить из ящика всего два носка, то они могут быть разных цветов, но третий носок гарантированно составит пару одного цвета.

Стратегия такова: для полной убежденности в результатах своих действий надо исходить из наихудшего варианта развития событий. Наихудший вариант первых двух попыток будет заключаться в том, что вы вытащите два разных
носка, скажем, первым вы достанете синий, а вторым — коричневый. Но с третьей попытки вы обязательно вынете из комода либо синий, либо коричневый носок, и он гарантированно составит пару одному из первых двух.