В чем заключается метод численного дифференцирования для расчета напряженности поля ех

2.2.3. Расчет напряженности поля, созданного заряженным телом простой формы

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их всегда можно свести к совокупности точечных зарядов. Методика расчета напряженности состоит из двух частей:

Первая (дифференцирование) заключается в разбиении заряженных тел на малые области, каждая из которых может считаться точечным зарядом, и применении к ним формулы напряжённости электростатического поля точечного заряда.
Вторая (интегрирование) заключается в векторном суммировании напряжённостей электростатических полей.

.Задача 2.8. Вычислить напряжённость поля, создаваемого тонким стержнем длиной ℓ, несущим равномерно распределённый по длине заряд с линейной плотностью + τ в точке, равноудалённой от концов стержня, находящейся на расстоянии r₀ от его середины. Решение. Выделим на стержне бесконечно малый участок , заряд которого можно считать точечным (рис. 27, а): (1) Воспользуемся формулой напряжённости поля точечного заряда в дифференциальном виде: (2) Сделаем геометрические преобразования. Из (см. рис. 27, а): (3) Из (рис. 27, б): (4) Так как угол мал, то Из (см. рис. 27, а): . (5) Подставив в формулу (4) а и r из (5) и (3), получим: (6) Подставив r из (3) и из (6) в формулу (2), получим: . (7) Так как вектор, то. Из рис. 27, а: . Чтобы найти полную напряжённость, нужно проинтегрировать её составляющие: . Модуль напряжённости . Для половины стержня угол φ изменяется от 0 до α, а для всего стержня – от α до – αТак как , то. Так как , то. Из на рис. 27, а выразим : . Окончательно получим: . Задача 2.9. На тонком кольце равномерно распределен заряд с линейной плотностью заряда+ τ.Определить напряженность электростатического поля в точке, расположенной на оси кольца и удаленной на расстояниеа от плоскости кольца. Решение. Выделим на кольце элемент длины(рис. 28). ЗарядdQ=τ,находящийся на выделенном участке, можно считать точечным. Напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядомdQ: , где – расстояние от элементадо заданной точки. Выразим вектор через проекцииина оси координат: . Напряженность найдем интегрированием вдоль длины окружностиℓ: . Так как кольцо симметрично относительно заданной точки, то все проекции на ось х скомпенсируют друг друга, то есть интеграл . Тогда , где . Из рис. 28: ; . С учетом того, что длина окружности ℓ = 2πR, а коэффициент, окончательно получим: .

2.3. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности

Электростатическое поле обладает потенциальной энергией, поэтому наряду с напряженностью поля для описания полей используется такая характеристика поля, какпотенциал. Потенциал электростатического поля φ – СФВ, являющаяся энергетической характеристикой поля и численно равная потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный точечный заряда: (2.10) За единицу измерения потенциала в СИ принимают 1 Вольт [φ] = 1В = . Потенциал не зависит ни от потенциальной энергии W_П ни от заряда q₊, а является характеристикой поля.  Подчеркнем, что, в отличие от напряженности, потенциал – не векторная, а скалярная величина. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Потенциал поля, созданного положительным зарядом, положителен, а потенциал поля, созданного отрицательным зарядом, отрицателен. Для потенциала справедлив принцип суперпозиции: потенциал поля, созданного в данной точке системой положительных и отрицательных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности с учетом их знаков: . (2.11) Численное значение потенциала зависит от выбора нулевого уровня φ. Нулевой уровень потенциала – геометрическое место точек поля, потенциал которых принимается равным нулю и выбирается произвольно: в бесконечности, на поверхности Земли и т. д. Потенциал поля, созданного точечным зарядом Q на расстоянии r от него: . (2.12) Для графического изображения распределения потенциала пользуютсяэквипотенциальными поверхностями – поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же значение. Форма эквипотенциальных поверхностей может быть разная, например, для точечного заряда эквипотенциальные поверхности – концентрические сферы (рис. 29). Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей характеризует напряженность поля в разных точках. Чем гуще эквипотенциальные поверхности, тем больше напряженность поля.

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИДДЕРСА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Подберезная Ирина Борисовна, Павленко Александр Валентинович, Большенко Ирина Александровна, Троценко Игорь Викторович

Рассмотрены вопросы применения и модификации метода численного дифференцирования Риддерса при решении задач электротехнических расчетов. Представлены результаты работы алгоритма при различных параметрах дробления шага дифференцирования. Исследована проблема выбора оптимального шага численного дифференцирования и влияния величины шага на погрешность вычисления производной. Выполнена оценка влияния ошибки в задании значения функции на погрешность в конечных разностях. Приведен пример численного дифференцирования в тестовой задаче расчета квазистационарного магнитного поля .

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON THE APPLICATION OF THE METHOD OF NUMERICAL DIFFERENTIATION OF RIDDERS IN SOLVING PROBLEMS OF ELECTRICAL CALCULATIONS

The questions of application and modification of the method of numerical differentiation of Ridders in solving problems of electrotechnical calculations are considered. The results of the algorithm operation are presented for various parameters of differentiation step splitting. The problem of choosing the optimal step of numerical differentiation and the influence of the step size on the error in calculating the derivative is studied. An assessment of the influence of an error in setting the value of a function on the error in finite differences is made. An example of numerical differentiation in the test problem of calculating a quasi-stationary magnetic field is given.

Текст научной работы на тему «О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИДДЕРСА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ»

ISSN1560-3644 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2022. № 4

ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4

Научная статья УДК 004.94

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИДДЕРСА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ

И.Б. Подберезная, А.В. Павленко, И.А. Большенко, И.В. Троценко

Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия

Аннотация. Рассмотрены вопросы применения и модификации метода численного дифференцирования Риддерса при решении задач электротехнических расчетов. Представлены результаты работы алгоритма при различных параметрах дробления шага дифференцирования. Исследована проблема выбора оптимального шага численного дифференцирования и влияния величины шага на погрешность вычисления производной. Выполнена оценка влияния ошибки в задании значения функции на погрешность в конечных разностях. Приведен пример численного дифференцирования в тестовой задаче расчета квазистационарного магнитного поля.

Ключевые слова: численное дифференцирование, метод Риддерса, численные расчеты, магнитное поле

Благодарности: статья подготовлена на основе результатов исследований, полученных в ходе выполнения государственного задания на проведение научных исследований в рамках проекта «Энергоустановки на водородных топливных элементах для малых беспилотных аппаратов: моделирование, разработка, исследование», при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, научный код FENN-2020-0022.

Для цитирования: Подберезная И.Б., Павленко А.В., Большенко И.А., Троценко И.В. О применении метода численного дифференцирования Риддерса при решении задач электротехнических расчётов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2022. №° 4. С. 11-19. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2022-4-11-19

ON THE APPLICATION OF THE METHOD OF NUMERICAL DIFFERENTIATION OF RIDDERS IN SOLVING PROBLEMS OF ELECTRICAL CALCULATIONS

LB. Podbereznaya, A.V. Pavlenko, I.A. Bolshenko, I.V. Trotsenko

Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia

Abstract. The questions of application and modification of the method of numerical differentiation of Ridders in solving problems of electrotechnical calculations are considered. The results of the algorithm operation are presented for various parameters of differentiation step splitting. The problem of choosing the optimal step of numerical differentiation and the influence of the step size on the error in calculating the derivative is studied. An assessment of the influence of an error in setting the value of a function on the error in finite differences is made. An example of numerical differentiation in the test problem of calculating a quasi-stationary magnetic field is given.

Keywords: numerical differentiation, Ridders method, numerical calculations, magnetic field

Acknowledgments: the article was prepared based on the results of research obtained in the course of fulfilling the state task for conducting scientific research within the framework of the project «Power plants on hydrogen fuel cells for small unmanned vehicles: modeling, development, research», with the support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, scientific code FENN-2020-0022

For citation: Podbereznaya I.B., Pavlenko A.V., Bolshenko I.A., Trotsenko I.V. On the Application of the Method of Numerical Differentiation of Ridders in Solving Problems of Electrical Calculations. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2022; (4): 11—19. (In Russ.) http://dx.doi.org/10.17213/15 60-3644-2022-4-11-19

ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.

TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4

При моделировании электротехнических устройств часто возникает необходимость численного вычисления производной [1-3]. Известно, что любой алгоритм численного дифференцирования является неустойчивым к ошибкам, вносимым в вычисления округлением или усечением. В особой степени это обстоятельство проявляется вблизи точек разрыва или других особенностей функции. В этом случае может быть использован метод Риддерса [4], обеспечивающий до 7 — 8 верных значащих цифр первой производной при условии, что точка, в которой она вычисляется, не слишком близка к какой-либо особенности функции. Несмотря на высокую точность метода Риддерса, бывают случаи, когда точки дифференцирования оказываются вблизи точек разрыва или других особенностей функции. В этом случае целесообразно использовать модифицированный алгоритм метода Риддерса. Для того чтобы показать основные моменты модификации, рассмотрим элементы классической реализации метода. Разложим некоторую функцию

F (I)( x) в ряд Тейлора в точке х: F(x + И) = F

Производные функции F(x) в точке x численным методом определяются по формуле дифференцирования с центральной разностью

Банк моделей и методов для расчета электростатических полей Морозов Вячеслав Александрович

Морозов Вячеслав Александрович. Банк моделей и методов для расчета электростатических полей : диссертация . кандидата технических наук : 05.09.05.- Новочеркасск, 2003.- 137 с.: ил. РГБ ОД, 61 03-5/3217-0

1 Состояние вопроса. постановка задач исследования 9

1.1 Описание объектов исследования 9

1.2 Обзор моделей и методов моделирования электростатических полей 19

2 Математические модели электростатических полей 36

2.1 Постановка основных задач расчета электростатических полей 36

2.2 Банк математических моделей и численных методов для расчета электростатических полей 37

2.3 Модель Максвелла 41

2.4 Математическая модель с использованием скалярного электрического потенциала 42

2.5 Математическая модель на основе интегральных уравнений I и II рода 45

2.6 Математическая модель на основе интегральной формулы Грина 53

2.7 Математическая модель на основе векторного и интегрального тождеств (обобщенная постановка задачи) 54

2.8 Комбинированные математические модели 56

3 Методы моделирования электростатических полей 60

3.1 Метод конечных разностей 60

3.2 Метод конечных элементов 60

3.3 Метод граничных элементов на основе ИУ I и II рода 63

3.4 Метод граничных элементов на основе интегральной формулы Грина 65

3.5 Метод граничных элементов на основе модели электростатического поля электрета 67

3.6 Комбинированные методы 68

4 Структура и алгоритмические особенности программного комплекса 72

5 Примеры применения банка моделей и методов 78

5.1 Экспериментальная проверка некоторых моделей и методов 78

5.1.1 Определение емкости пластин сложной формы 78

5.1.2 Определение плотности заряда термоэлектрета 79

5.2 Моделирование электростатического поля емкостного датчика частоты вращения 80

5.3 Моделирование электростатического поля и расчет характеристик емкостного электромеханического преобразователя 86

5.4 Моделирование электростатического поля и расчет характеристик полоскового волновода 95

5.5 Расчет поля и «плавающих» потенциалов в электростатическом датчике частоты вращения на электретах 106

Обзор моделей и методов моделирования электростатических полей
Модель Максвелла
Метод конечных элементов
Моделирование электростатического поля емкостного датчика частоты вращения

Введение к работе

Современное состояние научных исследований в области анализа электростатических полей характеризуется все более широким использованием численных методов, так как существующие аналитические методы не всегда обеспечивают решение поставленных задач. Стремление учесть возможно большее число факторов, влияющих на формирование поля в электротехнических устройствах (ЭТУ), обуславливает необходимость разработки численных алгоритмов, позволяющих с требуемой точностью произвести расчет двухмерных и трехмерных полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах при сложных формах поверхностей их раздела.

Очевидно, что построение единой универсальной математической модели для анализа полей во всех устройствах практически невозможно. В каждом конкретном случае для исследуемого ЭТУ приходится решать проблему выбора математической модели и метода ее реализации. Для конкретной задачи модель любого типа и любой метод можно так приспособить, что они будут выглядеть предпочтительнее всех других. Но, если инструмент создается для целого класса задач, то при выборе модели и метода можно руководствоваться лишь их внутренними предпосылками для задач того или иного вида, следующими из их достоинств и недостатков. Например, модели в виде интегральных уравнений эффективны для кусочно-однородных сред и труднее реализуются в случае, когда среды неоднородные или нелинейные. В отношении многих моделей и методов упомянутые предпосылки известны. Поэтому их достаточно было лишь систематизировать. Однако для некоторого класса задач вопрос о достоинствах и недостатках известных методов является открытым, а сами модели и методы нуждаются в совершенствовании и модификациях.

Модернизация существующих и создание новых устройств связаны с необходимостью выполнения большого объема вычислений. Учитывая современный уровень развития средств вычислительной техники, эфективным подходом при решении практических задач электротехники является создание

5 программных комплексов, в физическом плане охватывающих широкий круг ЭТУ.

Диссертационная работа посвящена построению банка математических моделей электростатических полей и численных методов, разработке на его основе программного комплекса для решения на ЭВМ ряда задач электростатики. Такой комплекс позволяет в значительной степени заменить физические эксперименты на численное моделирование и, в итоге, сократить сроки, повысить качество проектирования новых ЭТУ. Использование банка обеспечивает сокращение времени и повышение точности расчета характеристик устройств различного назначения за счет рационального выбора модели и метода в каждом конкретном случае и применения модифицированных численных алгоритмов.

Научная новизна. Новыми научными результатами, полученными в диссертационной работе, являются: математическая модель, позволяющая осуществлять расчет двухмерных и трехмерных электростатических полей, созданных зарядами электретов; методика дискретизации расчетной области для МГЭ, основанная на использовании корней многочленов Лежандра, Чебышева, применение которой дает возможность уменьшить размерность системы алгебраических уравнений по сравнению с равномерной дискретизацией при одинаковой точности решения; алгоритм КМКГЭ с применением интерполяционных полиномов для аппроксимации потенциалов, позволяющий повысить точность моделирования электростатических полей; методика нахождения распределения плотности электрических зарядов на противоположных сторонах поверхностей тонких незамкнутых проводников сложной формы в кусочно-однородных средах.

Практическая ценность результатов работы состоит в создании программного комплекса для расчета электростатических полей и характеристик ЭТУ различного принципа действия, в котором практически реализован подход на основе банка моделей и методов. В рамках данного комплекса рациональный выбор математической модели и численного метода для рассматриваемого ЭТУ происходит на основе информации о типе и принципе действия устройства, геометрии и электрических свойствах среды. Разработанный программный продукт может быть полезен как в научных и инженерных расчетах, так и в учебных целях.

Апробация работы. По основным результатам работы сделаны доклады на конференциях аспирантов и сотрудников ЮРГТУ (НПИ), 41 и 47 Международных научных коллоквиумах (Технический Университет Ильменау (Германия), 1996г., 2002г.), Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 1997 г.), II Международной научно-практической конференции (Новочеркасск, 2001 г.).

Публикации. По результатам работы опубликовано 6 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка литературы и приложений. Ее содержание изложено на 137 страницах и проиллюстрировано 49 рисунками и 3 таблицами.

В первом разделе диссертационной работы определен класс рассматриваемых ЭТУ (емкостные датчики частоты вращения, емкостные электромеханические преобразователи, полосковые волноводы), сделан обзор моделей и методов расчета электростатических полей с указанием их достоинств и недостатков, сформулирована цель и задачи исследования.

Во втором разделе диссертационной работы в наиболее общей постановке сформулированы задачи электростатики, предложен банк математических моделей и численных методов, обеспечивающий рациональный выбор модели и метода для расчета электростатического поля ЭТУ на основе информации о типе и принципе действия устройства, его геометрии и электрических свойствах среды. При этом выбранная математическая модель определяет метод ее численной реализации. Банк содержит: модель Максвелла, модель с использованием скалярного электрического потенциала, модель на основе

7 интегральных уравнений (ИУ) I и II рода, модель на основе интегральной формулы Грина, модель на основе векторного и интегрального тождеств, комбинированные модели.

При исследовании электростатических полей емкостных электромеханических преобразователей, в конструкциях которых используются тонкие металлические полоски, пластины или незамкнутые оболочки, возникает необходимость знать распределение заряда на этих проводящих поверхностях. Метод, с помощью которого может быть исследован вопрос о распределении зарядов по поверхностям тонких незамкнутых проводников, изложен в работе Гринберга Г.А. [26] для некоторых частных случаев: проводящих пластин, расположенных в плоскости, разделяющей два диэлектрических полупространства; тонкой проводящей сферической оболочки; цилиндрических пластинок в плоскопараллельном поле. На основе рассмотренной теории область применимости метода распространена на бесконечно тонкие незамкнутые проводники сложной формы, находящиеся в кусочно-однородных средах.

Предложена математическая модель с использованием потенциалов простого и двойного слоев, которая позволяет производить расчет двухмерных и трехмерных электростатических полей и характеристик ЭТУ, содержащих электреты.

В третьем разделе диссертационной работы рассмотрены численные методы, входящие в банк: метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ) на основе ИУ I и II рода, МГЭ на основе интегральной формулы Грина, комбинированный метод конечных и граничных элементов (КМКГЭ).

Для систем, состоящих из проводников и электретов, рассмотрено построение дискретной модели на основе МГЭ. Предложена модификация алгоритма КМКГЭ для расчета электростатических полей в системах, содержащих проводники и нелинейные диэлектрики, взаимное положение которых изменяется, что характерно для большинства емкостных

8 электромеханических преобразователей.

В четвертом разделе диссертационной работы описаны структура и алгоритмические особенности программного комплекса для анализа электростатических полей и характеристик ЭТУ, состоящего из следующих программ, реализованных на объектно-ориентированном языке программирования высокого уровня Borland Delphi версии 6.0:

Программа для расчета плоскопараллельных линейных, нелинейных, анизотропных электростатических полей и характеристик ЭТУ.

Программа для расчета трехмерных линейных электростатических полей и характеристик ЭТУ.

Программа для расчета характеристик емкостных датчиков частоты вращения, емкостных электромеханических преобразователей, симметричных полосковых волноводов.

При проектировании программного комплекса использовались принципы и методология разработки систем автоматизированного проектирования и пакетов прикладных программ. Основная панель с кнопками «быстрого» запуска (программы 1,2) или многоуровневое меню (программа 3) обеспечивают выполнение всех этапов моделирования. Для облегчения работы все кнопки снабжены всплывающими подсказками. Программы содержат файлы справочной помощи с полным руководством пользователя и описанием используемых математических моделей и численных методов.

В пятом разделе диссертационной работы приведена экспериментальная проверка некоторых моделей и методов, рассмотрены примеры применения банка моделей и методов, модифицированных вычислительных алгоритмов для расчета электростатических полей и характеристик ЭТУ различного назначения и принципа действия: емкостных датчиков частоты вращения, емкостных электромеханических преобразователей, полосковых волноводов.

Обзор моделей и методов моделирования электростатических полей

Современное состояние научных исследований в области анализа электростатического поля характеризуется все более широким использованием вычислительной техники, вследствие чего оказывается возможным повысить как степень сложности решаемых проблем, так и точность получаемых данных.

Существующие аналитические методы расчета поля применимы при решении задач в областях простой геометрии с однородной либо кусочно-однородной средой. Для получения аналитических решений иногда упрощают геометрию области и входящих в нее тел, а также изменяют свойства материалов, переходя от реальных, обладающих нелинейными характеристиками, к идеальным, т.е. линейным [25]. Широко используются такие аналитические методы, как метод разделения переменных, метод зеркальных изображений, метод конформных преобразований.

Сущность метода разделения переменных, применяемого обычно тогда,когда поверхности, на которых заданы граничные условия, являются координатными поверхностями в декартовых координатах или в какой-либо системе криволинейных координат (цилиндрических, сферических и т.д.), состоит в том, что подлежащее интегрированию дифференциальное уравнение записывают в соответствующих координатах и пытаются искать частные решения этого уравнения в форме произведения функций, зависящих каждая только от одной из переменных [26].

Идея метода зеркальных изображений заключается в замене влияния границы на приложенное поле простой системой токов или зарядов, расположенной позади граничной поверхности; результирующее поле находят путем суммирования приложенного и отображенного полей [27].

Конформное преобразование наиболее действенный метод аналитического определения полей, описываемых уравнением Лапласа, позволяющий учесть влияние границ гораздо более сложной конфигурации, чем другие аналитические методы. Для того, чтобы поле могло быть определено методом конформного преобразования, необходимо найти уравнение преобразования, связывающее данную конфигурацию границ с некоторой более простой, для которой решение известно или легко находится [27].

Учитывая то, что существующие аналитические методы не всегда могут обеспечить точное решение поставленной задачи, в настоящее время все более актуальной становится проблема разработки общих численных алгоритмов, позволяющих с необходимой точностью произвести расчет полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах при сложных формах поверхностей раздела сред.

Одним из универсальных численных методов решения краевых задач для электростатических полей является МКР. В литературе можно встретить другое название МКР — метод сеток. МКР основан на численном решении уравнений Пуассона или Лапласа [28]. В [25, 29] подробно рассмотрен процесс замены дифференциального уравнения (уравнения Лапласа) кусочно-разностным ана логом, а в [30] рассмотрен МКР для решения внутренних краевых задач электростатики на основе уравнения Пуассона. Использование интегрального соотношения при получении разностных схем для краевых задач, описывающих распределение электромагнитных полей в сложных неоднородных областях, электрофизические характеристики элементов которых резко отличаются, показано в [31]. Примеры численных алгоритмов для решения двухмерных задач МКР в случае нелинейной среды приведены в [32].

Можно выделить следующие основные достоинства МКР [33]:1. Граничные условия могут быть заданы в любой форме как в виде значений самой рассчитываемой функции на границах поля, так и в виде значений производной функции по нормали к границе.2. Сходимость результатов расчета тщательно исследована и обоснована в работах многих математиков по численному интегрированию дифференциальных уравнений (Коллатца, Люстерника, Микеладзе, Милна, Саутвелла и других).3. Метод сеток применим к расчету полей в нелинейных средах при какой угодно заданной аналитически или графически закономерности изменения параметров среды в зависимости от значений и направлений рассчитываемых величин поля.

Однако, несмотря на свою универсальность, реализация МКР может привести к принципиальным трудностям при решении некоторого класса задач [34]:1. Если область, в которой исследуется поле, является неограниченной, то при использовании МКР следует искусственно ограничивать область, что приводит к трудно учитываемым погрешностям и к сомнениям в точности получаемых результатов.2. При сложной форме границы раздела сред возникают трудности, связанные с разностной аппроксимацией краевого условия. Это приводит к тому, что точность метода сеток тем ниже, чем ближе граница раздела сред, а наибольший интерес представляет распределение поля именно у границы раздела сред.

В окрестности граничных поверхностей сложной конфигурации либо применяется сетка с неравномерным шагом и алгебраизация уравнений Максвелла для приграничных шаблонов выполняется с пониженным порядком аппроксимации [35], либо реальные граничные поверхности приближенно заменяются кусочно-прямыми, участки параллельны координатным осям [36]. В обоих случаях точность расчета понижается.

Еще одним недостатком МКР является то, что возможное повышение порядка точности разностной схемы достигается применением более точных квадратурных формул и формул для аппроксимации производных, а это приводит к более сложной системе алгебраических уравнений [37].

В работе [38] для определения характеристического импеданса и фазовой скорости в закрытом полосковом волноводе применяется уравнение Лапласа, для решения которого предлагается МКР. Однако выбранная математическая модель и численный метод не обеспечивают эффективное решение задачи, так как для достижения требуемой точности используется очень мелкая конечно-разностная сетка, что приводит к резкому увеличению размерности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и времени ее решения.

МКЭ в настоящее время является одним из основных методов структурного анализа в целом ряде областей науки и техники [39-41]. Обзор теории электромагнитного поля с попыткой указать, какие задачи могут быть решены МКЭ, наиболее полно приведен в [41]. В этой работе подробно рассматриваются математические модели для описания электромагнитных полей в коаксиальных линиях, полосковых волноводах и т.д. Следует особо выделить работу [25], где отдельная глава посвящена МКЭ — приводится характеристика метода, одновременно обозначается круг задач, решение которых оптимально можно получить МКЭ. Несколько параграфов раскрывают теорию, связанную с системами алгебраических уравнений (САУ). Далее следует изложение теории расчета дифференциальных характеристик электрических и магнитных полей. Наибольший практический интерес представляет глава, посвященная расчету элек

Модель Максвелла

Электростатическое поле представляет собой частный случай электромагнитного поля, когда источниками поля являются неподвижные электрические заряды. Для анализа электростатического поля применяется общая теоретическая модель — система уравнений Максвелла, в которой полагают

В этом случае основные уравнения электростатики имеют вид [71 ]где Е — вектор электрической напряженности; D — вектор электрического смещения; р — объемная плотность свободного заряда; є — диэлектрическая проницаемость, которая в зависимости от свойств среды может быть тензором или скаляром.

В случае анизотропных сред материальное уравнение, связывающее Е и D, записывается так:где г — тензор, который можно представить в декартовой системе координат матрицей вида

В системе уравнений (2.1) неизвестной функцией является электрическая напряженность Е , которая в случае трехмерного электростатического поля имеет три составляющие — Ех, Е , Ez. Для их однозначного определения при решении прикладных задач должны быть заданы граничные условия, включая условия на границе раздела сред [31]. На границах раздела, сред с различными диэлектрическими свойствами справедливы следующие условия:

На бесконечности векторы Е и D стремятся к нулю (в трехмерных полях) или ограничены (в двухмерных полях).Введение скалярного потенциала дает возможность вывести уравнения, составляющие основу математической теории электростатического поля. Напряженность электрического поля Е определяется через потенциал U выражением [29]так как rot grad U = 0. Зная распределение потенциала, всегда можно определить проекции Ех, Е , Е, на координатные оси. Воспользовавшись вторымуравнением системы (2.1) и (2.4), получаем:

В частном случае однородной среды с постоянной диэлектрической проницаемостью уравнение (2.5) упрощается и принимает вид [29]где А — оператор Лапласа; его координатное выражение [71]: в декартовой системе координатУравнение (2.6) называется уравнением Пуассона. Если в рассматриваемой области р = о, то имеем уравнение Лапласа

Решение уравнения Пуассона может быть получено лишь тогда, когда р задана как функция координат точек во всем пространстве. Решение уравнений (2.6) и (2.7) производится при заданных граничных условиях следующего вида [28]:а) граничное условие первого рода или условие Дирихлегде Г- граница поля; /, — известная (заданная) функция;б) граничное условие второго рода или условие Неймана

Для однозначности решения задают также характер поведения U на бесконечности. Для трехмерного электростатического поля потенциал должен равномерно стремиться к нулю на бесконечности. В случае двух независимых переменных (плоскопараллельное поле) потенциал должен быть ограничен на бесконечности. Требование обращения в нуль на бесконечности в данном случае является слишком сильным, так как при нем задача может оказаться вообще неразрешимой [30].

При внесении в электростатическое поле каких-либо незаряженных диэлектриков, на них возникают электрические заряды. Такое явление получило название поляризации диэлектриков [72]. Эффект поляризации выражается в том, что в объеме диэлектрика возникают диполи с моментами р, различными в разных точках диэлектрической среды.Если число диполей в объеме диэлектрика достаточно велико, то дискретное их распределение может быть заменено непрерывным распределением с объемной плотностью моментов диполей, определяемой выражением [29]

Здесь Pj — сумма векторов моментов диполей, заключенных в объеме дк.Вектор Р носит название вектора поляризации и является функцией точки объема, занятого поляризованным диэлектриком. Потенциал, созданный всем объемом диэлектрика в некоторой точке M(x,y,z), равенВ случае плоскопараллельного электростатического полягде D — область на плоскости, занятая диэлектриком.Выражениям (2.12), (2.13) можно придать несколько иной вид [29]. Для (2.12) имеем

В (2.14) S- поверхность, ограничивающая объем V; Рп — составляющая вектора поляризации, нормальная к S. Формула (2.14) определяет потенциал объемно-поляризованной среды. Такой потенциал представляется в виде суммы потенциалов, из которых один обусловлен поверхностными зарядами, распределенными на S с плотностью a = Рп, а другой — объемными зарядами, заключеннымивнутри диэлектрика и имеющими плотность р = -div Р .Если диэлектрик соприкасается с другим диэлектриком, то на поверхности их раздела возникают заряды, обусловленные поляризацией обоих диэлектриков. Плотность таких поверхностных зарядов на границе раздела двух диэлектриков (рис. 2.4) равна а = (Рп). — (Рп )е.

В последнее время широкое распространение получил МИУ, основанный на идее Г.А. Гринберга о возможности замены реального поля некоторым эквивалентным, образованным зарядами, распределенными по поверхностям проводников и границам раздела однородных диэлектриков. При расчете поля МИУ решение ищется в виде потенциала простого слоя зарядов. Это решение в46 силу физичности постановки задачи удовлетворяет уравнению Лапласа или Пуассона (при наличии объемного заряда). Соблюдение краевых условий обеспечивается введением соответствующих ИУ. Для поверхности проводников записывается условие Дирихле (2.8) в виде ИУ I рода, а для границ раздела диэлектриков — условие непрерывности нормальной составляющей вектора электрического смещения в виде ИУ II рода [28].

Пусть электростатическое поле образовано несколькими проводниками, находящимися в кусочно-однородной среде (рис. 2.5). Проводники могут быть объемными и тонкими незамкнутыми. Все проводники имеют заданный потенциал или заряд. Для расчета поля в области, представленной на рис. 2.5, используем ИУ I и II рода, рассматривая их совокупность как единую математическую модель.

Метод конечных элементов

Аппроксимация поверхностей тел, граничных и краевых условий, особенно при криволинейных поверхностях, представляет собой сложную задачу при использовании МКР. Эта задача решается проще, если расчетная область разбивается на элементы конечного размера. МКЭ можно трактовать как способ аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, представляющей собой множество значений заданной функции в некотором конечном числе точек области ее определения в совокупности с кусочными аппроксимациями этой функции на некотором конечном числе подобластей — конечных элементов. Аппроксимация функции на каждом конечном элементе единственным образом определяется значениями этой функции в конечном числе предварительно выбранных точек [42].

Рассмотрим электростатическое поле, которое в расчетной области описывается уравнением (2.5) и зависит только от двух пространственных координат х, у. В п. 2.7 получено интегральное тождество, соответствующее задаче расчета поля в ограниченной контуром Г области D, при граничном условии первого, второго или третьего рода.

Представим искомую функцию в видепгде (pj(x,y),j=\, 2, .. , п — полная система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям и требованиям гладкости (одновременно система базисных и аппроксимирующих функций) [43].

Так как функция р может быть выбрана произвольным образом, то используем в качестве ф базисные функции из (3.1). Тогда (2.36) с учетом (3.1) преобразуется к виду

Разобьем область D на треугольные элементы. В качестве ф,. выберем финитные функции МКЭ. Тогда вместо (3.1) можно записать

Производную — также можно аппроксимировать с помощью финитныхфункций МКЭ [39]: В (3.3), (3.4) N — количество узлов в области D; N — количество узлов на границе области D. Заменяя U(x,y) и dU/dn(x,y) их выражениями, вместо (3.2) будем иметь

Так как используемые в процессе аппроксимации базисные функции определены кусочным образом с применением различных выражений для разных элементов, из которых составлена область, то входящие в уравнение (3.5) определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каждому элементу:

Внутреннее суммирование в (3.7), (3.8) ведется по всем узлам, принадлежащим -му элементу, а внешнее — по всем элементам, содержащим узел /. Вычисление интегралов р , p jA), $?jk\ %f\ у]кр приведено в приложении 1.

Практическая реализация МКЭ имеет свою специфику. Граница Г области D может состоять из частей Г,, Г2, на каждой из которых заданы граничныеусловия первого, второго рода (чаще всего эти условия однородные).

Граничные условия первого рода учитываются следующим образом. Интегрирование по расчетной области D производится за исключением тех узлов, в которых заданы эти условия. При этом интегралы у\кр обращаются в нуль, таккак соответствующие им базисные функции cpf и (р равны нулю на той части границы, где заданы граничные условия первого рода.

Если расчетная область обладает симметрией, целесообразно рассматривать ее половину. При этом на оси симметрии будут выполняться нулевые граничные условия второго рода. Полученные уравнения (3.7), (3.8) преобразуются к системам алгебраических уравнений МКЭ относительно неизвестных потенциалов Uj. Такие системы решают на ЭВМ, применяя как прямые, так иитерационные методы. При использовании любого из них стремятся в максимальной мере учесть особенности матриц коэффициентов: их симметричность и полосовую структуру. Учет этих особенностей позволяет не только сократить объем требуемой для хранения коэффициентов памяти ЭВМ, но и значительно снизить число выполняемых ЭВМ операций [25].

В последние годы широкое применение для расчета электростатических полей получил метод, основанный на интегральных уравнениях — МГЭ.

Рассмотрим методику применения МГЭ на примере расчета электростатического поля, образованного несколькими проводниками, среда между которыми кусочно-однородная. Используем следующую математическую модель: для поверхности проводников запишем ИУ I рода (2.15), а для границ раздела диэлектриков — ИУ II рода (2.18). Численное решение ИУ заключается в их ал-гебраизации, то есть сведении к СЛАУ.

Согласно концепции МГЭ [43], границы раздела сред и поверхности проводников покроем сеткой граничных элементов, имеющих вид треугольников, четырехугольников или других геометрических фигур. Интегралы (2.15) и (2.18) заменим суммами интегралов по граничным элементам. Функцию а накаждом элементе будем считать постоянной — она может быть вынесена за знакинтеграла. Далее применим метод коллокации, помещая точки наблюдения М,либо в узлы, либо в геометрические центры граничных элементов, и вычислимполучившиеся интегралы. Тогда уравнение (2.15) сведется к системеа уравнение (2.18) к системе

В (3.9), (3.10) обозначены: /VM — количество граничных элементов на поверхностях проводников; Идюл — количество граничных элементов на поверхностях раздела сред; Nsum = NM + Идиэл;Sj — площадь граничного элемента с номером,/.Поступая аналогичным образом для случая двух независимых переменных, можно записать:7=1При этом

Моделирование электростатического поля емкостного датчика частоты вращения

Рассмотрим емкостный датчик частоты вращения, эскиз которого приведен на рис. 5.3 [16]. Вращающийся ротор с диэлектрической проницаемостью zr = є, є0 окружен снизу и сверху металлическими пластинами заряженного конденсатора 2 и 4, а справа и слева — двумя электродами 1 и 3. Между пластинами конденсатора существует разность потенциалов, равная (U4 -U2) В. При вращении ротора потенциалы электродов 1 и 3 изменяются и называются «плавающими» потенциалами [16]. Изменяется также электрическая емкость датчика.

В схемах с такими датчиками происходит преобразование входной не электрической величины (угла поворота оси ротора) в электрическую выходную величину (частоту, ток, напряжение), функционально зависящую от входной величины [15]. Во многих случаях очень важно знать некоторые электрические характеристики датчиков (емкость, разность потенциалов) для проектирования более сложных устройств. Поэтому сформулируем следующую задачу [84]: осуществить расчет поля емкостного электростатического датчика частоты вращения и определить его емкость и разность потенциалов между электродами в зависимости от положения диэлектрического ротора.

Рис. 5.3 Эскиз емкостного датчика частоты вращения Перейдем к идеализации нашего объекта, которая позволит построить математическую модель приемлемой сложности. При этом будем учитывать следующие требования к моделям [75]. Модель должна быть достаточно полной для того, чтобы быть полезной для изучения объекта. В то же время, она должна быть достаточно простой для того, чтобы допускать возможность ее анализа известными математическими методами и имеющимися вычислительными средствами. Из большого числа факторов, действующих на изучаемое явление, требуется выделить определяющие, отбросив второстепенные, несущественные.

Для нашей задачи примем следующие допущения:- толщина пластин конденсатора и электродов равна нулю, длина их в направлении оси Oz бесконечна, следовательно, электростатическое поле является плоскопараллельным, то есть все величины, характеризующие поле, зависят только от аргументов х и у; поле будем рассматривать в одном сечении, лежащем в плоскости хОу; — при данных скоростях вращения ротора (до 10000 об/мин) пренебрегаем токами смещения в диэлектрике [76].

В нашем случае для расчета поля целесообразно использовать математическую модель на основе ИУ I и II рода и МГЭ, так как, уравнения составляются только для пластин конденсатора, электродов, границы ротора и, как следствие, сокращается размерность задачи; при вращении ротора не требуется перестраивать сетку граничных элементов; результатом расчета являются величины, непосредственно определяющие вектора поля, то есть, исключается операция численного дифференцирования.

Область, занятую диэлектриком, обозначим , с границей Г, часть плоскости с 80 — S2 (рис. 5.4), то есть рассмотрим кусочно-однородную среду. Заменим кусочно-однородную среду однородной с проницаемостью є = є0 и награнице Г введем простой слой фиктивных зарядов поверхностной плотности а, который должен обеспечить для нормальной составляющей напряженности скачок, определяемый соотношением [34] srE = Е0Е , где (1) и (2) — индексы, соответствующие областям 5, и S2 соответственно.где / — обозначает принадлежность к нижней или верхней пластинам конденсатора (/=2,4); N єГт; МеГ(; U M) — потенциал пластины с номером /;для электродов 1 и 3где j — обозначает принадлежность к правому или левому электроду (/=1,3); М є Гj; UJ(M) — потенциал электрода с номером,/ (неизвестен).

Для определения потенциалов электродов 1 и 3 (задан их заряд) составим 2 дополнительных уравненияВ (5.5) Qj — полный заряд электрода с номером у.

Запишем ИУ II рода для границы диэлектрического ротора Построим дискретную модель для уравнений (5.3)-(5.6) на основе МГЭ и метода коллокации (помещаем точки наблюдения в геометрические центры граничных элементов). Тогда для уравнений (5.3), (5.4) будем иметь:где NSUIII — общее количество граничных элементов в расчетной области; 7V2, N4 — количество граничных элементов на пластинах конденсатора 2 и 4 соответственно; Nx, N3 — количество граничных элементов на электродах 1 и 3; со,.определяются формулой (3.15).

Для уравнения (5.6) будет справедлива дискретная модельгде /Уэл — количество граничных элементов на проводниках; Идиэл — количество граничных элементов на диэлектрике; у/у вычисляются по формулам (3.16); а для уравнения (5.5) дискретная модельВ (5.10) индекс / принимает те же значения, что и в (5.8).СЛАУ, полученная на основе (5.7)-(5.10) имеет размерность Nsum +2. Для расчетов использовались следующие исходные данные [16]: гг = 4,9є0, U2 =0 В, UA= 100 В, диаметр датчика — 0,042 м, геометрия ротора и проводников задана.

На рис. 5.5 приведены зависимости разности потенциалов (t/, -U3) как функции положения ротора 0, полученные МКЭ (1) [16] и МГЭ (2).дают практически одинаковый результат. Но если в МГЭ интегрирование происходит только по границе, то в МКЭ

Моделирование и проектирование электронно-оптических систем оборудования для электронной литографии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.27.07, доктор технических наук Балашов, Владимир Николаевич

Оглавление диссертации доктор технических наук Балашов, Владимир Николаевич

1. ПРОБЛЕМА СОЗДАНИЯ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ОБОРУДОВАНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ЛИТОГРАФИИ

1.1. Традиционные методы и математические модели

оптики пучков заряженных частиц

1.2. Электронно-оптические системы оборудования

для электронной литографии

1.3. Постановка задачи исследования

2. ПРЯМЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИ-

2.1. Постановка прямой задачи моделирования ЭОС

2.2. Моделирование ЭОС в параксиальном приближении

2.3. Моделирование геометрических ошибок изображения ЭОС

2.4. Классификация геометрических ошибок изображения

3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИ-

3.1. Постановка и методы решения обратных задач моделирования и проктирования ЭОС

3.2. Задача синтеза электронной линзы по заданному осевому полю

3.3. Синтез дефлектора с однородным полем для электронной линзы с подвижной оптической осью

3.4. Синтез осесимметричной магнитной линзы без сердечника

3.5. Синтез дефлектора с подвижной оптической

осью и косинусоидальным распределением тока в

3.6. Синтез корректирующего мультиполя с подвижной оптической осью

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С

4.1. Электронные линзы с синтезированным магнитным полем

4.2. Распределение продольной компоненты вектора индукции магнитного поля в линзе с синтезированным полем

4.3. Распределение поперечной компоненты вектора индукции магнитного поля в линзе с синтезированным полем

4.4. Распределение поля в мультипольном корректоре осевой симметрии поля в линзе с синтезированным полем

5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА И

МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

5.1. Постановка задач расчета и моделирования полей в магнитных и электростатических ЭОС

5.2. Расчет и моделирование полей в магнитных ЭОС

на основе метода конечных элементов

5.3. Расчет и моделирование полей в электростатических ЭОС на основе метода конечных элементов

5.4. Расчет и моделирование полей в электростатических ЭОС на основе метода конечных разностей

5.5. Метод вложенных сеток

5.6. Специальный численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

5.7. Специальные методы численного дифференцирования и вычисления интегралов обратного преобразования Фурье

6. ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБОРУДОВАНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ЛИТОГРАФИИ

6.1. Формирование электронных пучков с изменяемой геометрией сечения на мишени

6.2. Функциональная схема ЭОС с изменяемой геометрией электронного пучка на мишени

6.3. Современные технические требования к ЭОС субмикронного электронного литографа

6.4. Моделирование объективной системы электронного литографа на основе многощелевой магнитной линзы

6.4.1. Оптимизация конструкции объективной системы методами теории аберраций третьего порядка

6.4.2. Оптимизация конструкции объективной системы методом прямого решения дифференциального уравнения для ошибок изображения

6.5. ЭОС установки субмикронной электронной литографии на основе объектива с подвижной оптической осью

Основные результаты и выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и проектирование электронно-оптических систем оборудования для электронной литографии»

Основной тенденцией в развитии современной микроэлектроники является повышение степени интеграции сверхбольших интегральных микросхем. Российская Государственная программа развития электронной техники предусматривает выход отечественной электроники на уровень мировых стандартов, необходимый для сохранения и развития экономического и оборонного потенциала России. Эта программа предусматривает в частности разработку субмикронных технологий для производства СБИС, содержащих до 10 млрд. элементов на кристалл и характерными размерами элементов 0.1 — 0.3 мкм.

Основу современной технологии для производства СБИС составляют электронные литографы (синтезаторы изображения), позволяющие создавать рисунок топологии или на технологическом шаблоне (маске) или непосредственно на кристалле СБИС.

К сожалению, в последние годы в России работы в области создания электронно-лучевого оборудования для прецизионных технологий практически приостановлены в связи с финансовыми трудностями, а основные предприятия, выпускающие подобное оборудование, оказались за пределами границ России. Вместе с тем актуальность продолжения работ в этом направлении подтверждается их соответствием Федеральной программе «Критические технологии» и Президентской программе «Национальная технологическая база».

Производительность и технологические возможности электронных литографов в значительной мере определяются техническими характеристиками электронно-оптической системы (ЭОС), формирующей электронный зонд и позиционирующей его в нужную точку поля экспонирования. Максимальная производительность достигается в установ-

ках, использующих фигурный электронный зонд с изменяемой геометрией сечения и равномерной плотностью тока в зонде. Производительность установки растет вместе с увеличением размеров поля экспонирования. В том случае, когда размеры поля экспонирования равны размерам кристалла СБИС, появляется возможность существенно упростить установку за счет упрощения конструкции пре-цизионно точного координатного стола, системы точного измерения координат и системы совмещения.

В настоящее время сделаны только первые попытки создания оборудования для электронной литографии с большим полем экспонирования, равным или превышающим размеры кристалла СБИС, при этом основные сложности связаны с созданием электронно-оптической системы. Реальной перспективой развития такого оборудования является применение нового типа электронных линз — электронных линз с синтезированным магнитным полем, включающих электронные линзы с подвижной, наклонной и криволинейной оптическими осями. Это позволяет увеличить размеры поля экспонирования до размеров кристалла СБИС, отказаться от применения точных механических систем и повысить производительность производства СБИС.

Этапы создания нового поколения субмикронных электронных литографов (синтезаторов изображения) включают разработку теоретических основ моделирования и конструирования, существенно отличающихся от таковых, принятых в общем машиностроении, теоретическое и практическое освоение новейших достижений электронной оптики, вычислительной математики, материаловедения, технологии вакуумного машиностроения и других отраслей знания, значительное повышение культуры производства, соблюдение «вакуумной экологии» и другие научно-технические мероприятия.

Современное развитие исследований в данной области достигло некоторого предела, обусловленного учетом уже ставшего традиционным круга факторов и ограничений, присущих традиционным математическим моделям. Отсутствие прогресса в достижении требуемых характеристик качества изображения показывает, что необходим глубокий анализ закономерностей взаимодействия электронного пучка и электромагнитного поля, основанный на методах и моделях, адекватно отражающих свойства ЭОС. Особенно остро отсутствие адекватных моделей ощущается в теории электронных линз с синтезированным полем.

Работа посвящена разработке научных основ численного моделирования и проектирования ЭОС оборудования для субмикронной электронной литографии (синтезаторов изображения) нового поколения на основе электронных линз с синтезированным магнитным полем. Особое внимание в работе уделено исследованию и разработке метода формирования подвижного осесимметричного магнитного поля и созданию на его базе метода проектирования электронных линз с синтезированным магнитным полем, позволяющим не только перемещать сфокусированный электронный пучок в пределах кристалла СБИС, но и изменять угол падения электронного пучка на кристалл. Предложен метод проектирования таких ЭОС, основанный на решении задач синтеза корректирующих элементов, создающих необходимое распределение корректирующего магнитного поля.

Работа также посвящена исследованию и разработке траекторно-го метода определения величин геометрических ошибок (аберраций) изображения, создаваемого ЭОС произвольной сложности, не требующего вывода аберрационных интегралов, а также численному моделированию для проекта ЭОС установки для субмикронной электронной

литографии с изменяемой геометрией электронного пучка, полем экспонирования 10 х 10 мм и разрешением 0.2 мкм.

Теоретические исследования ЭОС проведены в рамках математического аппарата оптики пучков заряженных частиц и, в частности, включают применение метода возмущений для преобразования нелинейных дифференциальных уравнений траекторий пучка заряженных частиц в систему линейных уравнений, применение преобразований Фурье и методов решения некорректных задач при решении интегральных уравнений первого рода в задачах синтеза, метода конечных разностей при построении оптимизированных численных схем решения системы дифференциальных уравнений и уравнения Лапласа.

Компьютерное моделирование ЭОС проведено на основе пакета программ, разработанного на основе типовых и оригинальных численных методов вычислений.

Решена проблема формирования подвижных осесимметричных магнитных полей, позволившая в частности решить задачу формирования о се симметричного фокусирующего поля в окрестности подвижной оптической оси электронной линзы с синтезированным магнитным полем.

Эта проблема решена путем создания достаточно точной математической модели, связывающей конструктивные параметры основной магнитной системы, положение и форму подвижной оси симметрии поля, конструктивные параметры и режимы возбуждения корректоров, создающих осевую симметрию магнитного поля.

Разработан компьютерный метод определения величины геометрических ошибок (аберраций) изображения, создаваемых ЭОС произвольной сложности и не требующий вывода аберрационных интегралов. Основу метода составляет устойчивая численная схема решения системы дифференциальных уравнений траекторий электронного пучка в стати-

ческих электромагнитных полях по методу возмущений.

Решена задача синтеза корректоров осевой симметрии магнитного поля в окрестности подвижной оси электронной линзы с синтезированным полем. Корректорами осевой симметрии являются мульти-польные элементы первого (магнитные дефлекторы), второго (магнитные квадруполи) и последующих порядков с подвижной осью симметрии поля, совпадающей с подвижной оптической осью линзы.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций работы обеспечивается строгим использованием адекватного математического аппарата, проверкой разработанных методов и созданных на их базе компьютерных программ путем решения модельных задач, обширным численным экспериментом и сопоставлением полученных результатов с экспериментом и результатами работ других авторов.

Результаты исследований и разработок использованы в процессе создания специального электронно-оптического технологического и контрольно-аналитического оборудования в ГП «Научно-исследовательский институт электронной и ионной оптики» (ГП НИМ ЭИО, Москва), в частности при разработке и изготовлении субмикронных электронных литографов системы ГОЛ, созданных в рамках Постановления Совета Министров СССР N0 720 и совместного приказа Министров электронной и оборонной промышленности СССР.

Практическая значимость работы состоит в разработке компьютерного метода моделирования и проектирования ЭОС на основе электронных линз с синтезированным магнитным полем для суб-

микронного электронного литографа с изменяемой геометрией сечения электронного пучка, полем обработки 10 х 10 мм и разрешением 0.2 мкм.

Теоретические разработки, связанные с созданием новых математических моделей и основанных на них методов проектирования, позволили решить крупную научную проблему создания ЭОС на базе электронных линз с синтезированным полем, имеющую важное прикладное значение для создания нового поколения оборудования для субмикронной электронной литографии.

Основными результатами диссертационной работы можно считать решение проблемы создания подвижных осесимметричных магнитных полей и разработку траекторного метода определения величин геометрических аберраций изображения, создаваемого ЭОС произвольной сложности, не требующего вывода аберрационных интегралов.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Решение проблемы формирования подвижных осесимметричных магнитных полей в неосесимметричных технических системах и, в частности, решение задачи формирования осесимметричных полей в окрестности подвижной оптической оси электронной линзы с синтезированным магнитным полем.

2. Траекторий метод определения величин геометрических ошибок (аберраций) изображения, создаваемых ЭОС произвольной сложности, на основе устойчивой численной схемы решения системы дифференциальных уравнений траекторий электронного пучка в статических электромагнитных полях.

3. Решение задачи синтеза корректоров осевой симметрии магнитного поля в окрестности подвижной оси электронной линзы с синтезированным полем на основе решения некорректных задач для ин-

тегральных уравнений первого рода, связывающих заданные распределения электромагнитных полей и искомые распределения токов возбуждения в обмотках мультиполей.

4. Результаты компьютерного моделирования для проекта ЭОС субмикронного электронного литографа с изменяемой геометрией сечения электронного пучка, полем обработки 10 х 10 мм и разрешением 0.2 мкм.

Основные положения диссертационной работы доложены на VI -XV Всесоюзных и всероссийских конференциях по электронной оптике и электронной микроскопии (1982 -1996 гг.), на III — IX Всесоюзных и всероссийских симпозиумах по растровой электронной микроскопии и аналитическим методам исследования твердых тел (1986 -1996 гг.), на I и II Всероссийском семинаре Проблемы теоретической и прикладной электронной оптики (1995, 1997 гг).

Большую помощь при работе над диссертацией оказали научные сотрудники кафедры ТСЭ МГИЭМ, СКВ МГИЭМ и НИМ ПМТ при МГИЭМ.

Постановка задач компьютерного моделирования и анализ результатов проведены автором.

Программная реализация и расчеты на ЭВМ выполнены автором совместно с сотрудниками СКВ МГИЭИ, НИИ ПМТ и ГП НШ ЭИО.

Совместные изобретения и публикации автор использовал лишь в той степени, которая соответствует его личному творческому вкладу в указанные работы.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность д.ф.-м.н., проф. Васичеву Б.Н. и доц. к.ф.-м.н. Дицману С.А. за многолетнюю помощь и поддержу в работе.

Общий объем диссертации 300 стр., с рисунками на 56 стр. Список литературы состоит из 186 наименований.

1. ПРОБЛЕМА СОЗДАНИЯ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБОРУДОВАНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ЛИТОГРАФИИ

Оборудование для электронной литографии составляет один из основных и наиболее сложных классов оборудования в современной технологии производства субмикронных интегральных микросхем. Из всего известного множества направлений электронной литографии выберем направление создания субмикронных однопучковых электронных литографов (синтезаторов изображения) с изменяемой формой сечения электронного зонда в плоскости экспонирования, предназначенные для создания рисунка топологии на поверхности технологического слоя СБИС или на поверхности технологического шаблона (маски).

Функциональная схема современного однопучкового электронного литографа (синтезатора изображения) включает следующие основные конструктивные узлы и системы:

— Электронно-оптическую систему (ЭОС), предназначенную для создания субмикронного электронного зонда и его позиционирования в нужную точку кристалла СБИС для экспонирования электронрезис-та, образующего защитную маску;

— Вакуумную рабочую камеру с прецизионным координатным столом и лазерным интерферометром, входящим в систему точного измерения координат и систему совмещения;

— Компьютерную рабочую систему управления, включающую подсистемы управления ЭОС и прецизионным координатным столом с учетом показаний лазерного интерферометра, включенного в цепь обратной связи;

— Транспортно-загрузочную систему, позволяющую загружать не-

экспонированные полупроводниковые пластины (шаблоны) на координатный стол и выгружать их после экспонирования;

— Вакуумную систему, предназначенную для откачки вакуумных объемов литографа;

— Систему электропитания, включающую систему прецизионных источников питания электронных линз ЭОС;

— Компьютерную вспомогательную систему управления, предназначенную для запуска электронного литографа в работу и поддержания рабочего режима всех его систем во время проведения технологического процесса.

Принята следующая классификация электронных литографов.

1. По способу сканирования электронного пучка в пределах поля экспонирования:

2. По типу электронного зонда, формируемого ЭОС:

— с фигурным (прямоугольным) электронным зондом с изменяемой геометрией и равномерным распределением плотности тока в зонде;

— с фигурным (квадратным или круглым) электронным зондом с постоянной геометрией и равномерным распределением плотности тока в зонде;

— с круглым зондом и гаусовым распределением плотности тока в зонде.

3. По типу объективной системы ЭОС, осуществляющей перемещение электронного зонда в пределах поля экспонирования:

— с одноярусным отклонением;

— с двухярусным отклонением;

— со ступенчатым отклонением;

— с одноярусным отклонением и дефлектором, помещенным в поле фокусирующей линзы;

— с подвижной перемещаемой оптической осью.

4. По способу экспонирования:

— экспонирование на неподвижном координатном столе, работающем в старт-стопном режиме;

— экспонирование на движущемся координатном столе.

Электронные литографы относятся к уникальному классу оборудования для высоких технологий, в котором сосредоточены высшие технологические достижения человечества сразу во многих областях. Это, в частности, высшие достижения в электронной оптике, математическом моделировании, технологии магнитных материалов, прецизионной механике, лазерной интерферометрии, цифровой и аналоговой электронике, электроприводе, вакуумной технике и вакуумной механике, компьютерной технике, алгоритмам и программам управления. Такое положение оправдывает выделение проблемы создания электронно-оптических систем (ЭОС) оборудования для электронной литографии в отдельную научную проблему и посвятить настоящую работу исследованию этой проблемы.

Исследования и разработки в области создания ЭОС для электронной литографии сосредоточены в рамках теоретических исследований, связанных с созданием математических моделей новых конструктивных элементов, и компьютерным моделированием ЭОС, так как экспериментальные исследования в этой области трудоемки и требуют значительных финансовых затрат. Высокая сложность литографического оборудования и субмикронной технологии в целом приводит к тому, что путь установки для электронной литографии от идеи до

работающего в технологической линейке серийного образца затягивается на многие годы. Основным способом ускорения цикла создания такого оборудования является компьютерное моделирование и в первую очередь компьютерное моделирование ЭОС.

Проведем анализ основных теоретических и технических проблем, связанных с созданием ЭОС оборудования для электронной литографии.

1.1. Традиционные методы и математические модели оптики пучков заряженных частиц.

Изучение пучков заряженных частиц, движущихся в электромагнитных полях, является предметом исследования электронной оптики. Традиционная модель и методы исследования в электронной оптике являются развитием методов классической механики и базируются на ее математическом аппарате.

Считается, что электронная оптика как наука появилась после вывода основных уравнений для траекторий С1] и создании теории аберраций электронных линз [2, 3].

Первая попытка систематического изложения электронной оптики в полном объеме была предпринята В.Глазером [4]. Эта книга долгие годы стала основным учебником для студентов и справочником для специалистов. Теоретические основы оптики подробно изложены в [5, 6] и многих других работах советских и зарубежных авторов. Первой монографией на русском языке, содержащей оригинальное систематическое изложение электронной оптики, является [7]. В материал этой книги включены оригинальные подходы к электронной оптике [81.

Современное изложение классической электронной оптики можно найти в [9, 10]. Эти книги охватывают практически все основные разделы электронной оптики и содержат обширный библиографический материал.

В оригинальной книге советских авторов [11] изложены современные подходы к оптике электростатических электронных и ионных линз, а в [12] — современные методы численной оптимизации эмиссионных электронно-оптических систем (ЭОС).

Приведем краткое изложение традиционной модели и методов электронной оптики, основанных на математическом аппарате классической механики [13].

Электшнно-оптический показатель преломления. Математические методы оптики пучков заряженных частиц базируется на классической механике, в которой движение заряженных частиц в электромагнитных полях подчиняются принципу наименьшего действия. В оптике практически не учитываются квантово-механические свойства заряженных частиц, что можно делать при разрешении ЭОС на уровне межатомных расстояний.

Не уменьшая общности, рассмотрим для простоты нерелятивистскую теорию, с достаточной точностью описывающую оптические свойства электронных пучков до энергий порядка 500 кВ. Запишем функцию .Яагранжа для заряженной частицы, движущейся в стационарном электрическом и магнитном поле [13]

Ъ(х(г),у(г),й(г)) = — + еи — е(А,у) (1.1)

где е и т — заряд и масса заряженной частицы, V — ее скорость, Щх,у,й) и А(х,у,й) — соответственно скалярный и векторный по-

тенциалы электромагнитного поля, I — время..

Линейный интегральный функционал от функции Лагранжа следу ющего вида

Принцип наименьшего действия утверждает, что на действительной траектории движения заряженной частицы х(Ю, у(-Ь),

значение интеграла действия (1.2) минимально.

Переходя в интеграле (1.2) от независимой переменной 1; (время) к новой независимой переменной б (длина дуги траектории) ПО], получим

пе = (гну — е(А,в)) (1.4)

называется электронно-оптическим показателем преломления. В этой формуле в — единичный вектор, касательный к траектории заряженной частицы.

Принцип наименьшего действия в форме (1.3) совпадает с принципом Ферма световой оптики. Эта связь приводит к глубоким аналогиям между световой оптикой и оптикой пучков заряженных частиц [4,9,10,131.

Точные уравнения траекторий. В оптике пучков заря-

женных частиц считается, что частицы пучка движутся преимущественно вдоль оси ъ системы. Другими словами предполагается, что

продольная скорость частицы существенно превышает поперечные компоненты скорости ж Уу. Это предположение не выполняется только в эмиссионных системах и электронных зеркалах, в которых все три компоненты скорости заряженной частицы вблизи катода соизмеримы. Оптика электронных пучков в эмиссионных систем имеет ряд особенностей, которых мы касаться не будем С12].

С учетом этого предположения перейдем в интеграле (1.3) к новой независимой переменной г и запишем интеграл действия для траекторий пучка заряженных частиц, движущихся в стационарном электромагнитном поле [4,9,10].

в котором функция Лагранжа имеет следующий вид Р(х,у,2) = /и(1+х’г+у’2) — /2е/т (Ахх’+ А^ + Аа) (1.6)

Действительные траектории заряженных частиц можно найти, применяя к функционалу (1.5) основную теорему вариационного исчисления. В соответствии с ней необходимо найти решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа следующего вида

Уравнения (1.7) представляют собой точные уравнения траекторий заряженных частиц, движущихся с нерелятивистскими скоростями в стационарных электромагнитных полях. Учитывая связь между потенциалами и векторами индукции магнитного и напряженности

электрического полей [4,9,10]

Е = II, В = |41фГо1; А перепишем уравнения (1.7) в следующем виде

х»= -(1 + х’2+ у’2) (Е,, — х’Е^/ги +

+ /е(1 + х,2+ у,2)/2гаи [(1+х,2)Ву — у’ (х’Вх + В2)] (1.8)

у» = -(1 + х’2+ у’2) (Е — уТЕ„)/21Г +

+ / е(1 + х,2+ у,2)/2ши [(1+у’2)Вх — х'(У’Ву + В^)] где Е . Е . Ест и Впг, В. В^ — компоненты векторов Е и В, е и ш —

заряд и масса заряженной частицы.

Система точных уравнений (1.8) является нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Как известно ее решения не создают идеальное изображение предмета в плоскости изображения, другими словами, не обладают оптическими свойствами [4,9,101.

Система параксиальных уравнений. Оптическими свойс-

твами обладает близкая к (1.7) линейная система параксиальных

уравнений [4, 9, 101

Заключение диссертации по теме «Оборудование производства электронной техники», Балашов, Владимир Николаевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Решена проблема формирования подвижных осесимметричных магнитных полей, позволившая в частности решить задачу формирования осесимметричного фокусирующего поля в окрестности подвижной оптической оси электронной линзы с синтезированным магнитным полем.

Основным преимуществом такой линзы при создании ЭОС с большим полем сканирования является возможность уменьшения геометрических и хроматических аберраций отклонения.

Электронные линзы с синтезированным полем открывают возможность реализации нового класса электронно-зондового технологического и контрольно — аналитического оборудования, позволяющего проводить исследования или обработку электронным зондом на неплоских поверхностях с глубоким рельефом, а также создавать оборудование для электронной литографии, предназначенное для производства трехмерных (объемных) интегральных микросхем.

2. Разработан компьютерный метод определения величины геометрических ошибок (аберраций) изображения, создаваемых ЭОС произвольной сложности и не требующий вывода аберрационных интегралов. Основу метода составляет устойчивая численная схема решения системы дифференциальных уравнений траекторий электронного пучка в статических электромагнитных полях по методу возмущений.

Математическая модель, положенная в основу этого метода, остается точной в произвольной области, занятой электромагнитным полем и сохраняет все физические (не математические) понятия оптики пучков заряженных частиц, включая физическое понятие аберраций как геометрических искажений (ошибок) изображения предмета.

3. Решена задача синтеза корректоров осевой симметрии магнитного поля в окрестности подвижной оси электронной линзы с синтезированным полем. Корректорами осевой симметрии являются муль-типольные элементы первого (магнитные дефлекторы), второго (магнитные квадруполи) и последующих порядков с подвижной осью симметрии поля, совпадающей с подвижной оптической осью линзы.

Задачи синтеза сведены к решению некорректной задачи для интегрального уравнения первого рода, связывающего заданное распределение магнитного поля и искомое распределение токов возбуждения в обмотках мультиполей. Решение обратных задач в такой постановке можно считать доказательством возможности или невозможности реализации конструктивного элемента ЭОС с заданными свойствами.

4. Разработан компьютерный метод моделирования и проектирования ЭОС на основе электронных линз с синтезированным магнитным полем для субмикронного электронного литографа с изменяемой геометрией сечения электронного пучка, полем обработки 10 х 10 мм и разрешением 0.2 мкм.

5. Результаты исследований и разработок использованы в процессе создания специального электронно-оптического технологического и контрольно-аналитического оборудования в ГП «Научно-исследовательский институт электронной и ионной оптики» (ГП НИИ ЭИО, Москва), в частности при разработке и изготовлении субмикронных электронных литографов системы ПЭЛ, созданных в рамках Постановления Совета Министров СССР N0 720 и совместного приказа Министров электронной и оборонной промышленности СССР.

В заключение отметим, что исследования, проведенные в настоящей работе, имеют несколько направлений.

Первое направление, связанное с исследованием и оптимизацией сложных ЭОС установок для электронной литографии путем решения прямых задач моделирования, начато нами в середине 80 годов.

— Здесь нами в частности предложен универсальный траекторный метод вычисления величины геометрических аберраций изображения сложных ЭОС, отличный от традиционного метода аберраций. Суть метода состоит в решении системы нелинейных дифференциальных уравнений траекторий электронного пучка методом возмущений на основе специального устойчивого численного метода, сохраняющего инварианты, присущие исходной системе, что позволило отказаться от вывода аберрационных интегралов. Широкое применение этого метода позволило установить ряд новых закономерностей, поставить и решить ряд задач по оптимизации ЭОС, в частности задач оценки качества изображения в ЭОС установок для электронной литографии, построенных с использованием электронных линз с подвижной оптической осью.

В результате исследований, в частности, были созданы новые базовые элементы электронной оптики:

— однополюсная линза с наклонной оптической осью [174], и

— электростатическая линза с подвижной оптической осью [169].

Исследования и разработки в этом направлении также были внедрены при создании электронно-оптических систем субмикронного электронного литографа, электронно-оптической системы для аналитического электронного микроскопа с равномерным распределением плотности тока в зонде [163] и установки для исследования электронно-стимулированных технологических процессов в производстве изделий микроэлектроники [164].

Второе направление исследований, связанное с решением обратных задач (задач синтеза), начато в конце 80 годов. Задачи синтеза конструктивных элементов ЭОС сведены к решению интегрального уравнения первого рода, связывающего заданное распределение электромагнитного поля и токи в обмотках возбуждения или потенциалы на электродах, создающие это поле. Главной отличительной особенностью полученных решений является использование аппарата интегральных преобразований Фурье, позволившего построить решения в произвольных областях, а не в малой окрестности геометрической оси ЭОС. Так было найдено решение ряда задач синтеза конструктивных элементов ЭОС, имеющих как самостоятельное значение, так и послуживших основой метода проектирования электронных линз с синтезированным магнитным полем.

Третье направление состоит в исследовании и разработке методов создания подвижных осесимметричных магнитных полей, основанных на решении задач синтеза. Новая математическая модель электронной линзы с синтезированным магнитным полем связывает заданные конструктивные параметры фокусирующей магнитной линзы, заданную форму криволинейной оптической оси и конструктивные параметры корректирующих элементов линзы (дефлекторов перемещения оптической оси и мультипольных корректоров осевой симметрии поля), обеспечивающих движение электронного пучка вдоль заданной оптической оси в локально осесимметричном поле С171,172,176,177].

В частном случае новая математическая модель позволяет проектировать электронные линзы с подвижной прямолинейной и наклонной оптическими осями.

Основным техническим преимуществом электронной линзы с синтезированным полем является возможность уменьшения геометрических и хроматических аберраций отклонения в зондовых ЭОС с большим полем сканирования, позволяющих проводить исследования или обработку электронным зондом на неплоских поверхностях с глубоким рельефом. ЭОС этого типа позволяют, в частности, создавать оборудование для электронной литографии, предназначенное для производства трехмерных (объемных) интегральных микросхем.

Четвертое направление состоит в разработке специальных численных методов решения задач моделирования и проектирования ЭОС, учитывающих некорректность и неустойчивость части задач, жесткость систем дифференциальных уравнений и другие особенности.

Так, в частности, построен эффективный численный метод, реализованный в виде компьютерных программ. Многолетний опыт использования вычислительной техники для анализа взаимодействия электронных пучков и электромагнитных полей позволил нам разработать единый подход для решения данного класса задач, основанный на построении численных методов, сохраняющих инварианты дифференциальной задачи, что обеспечивает достоверность получаемых результатов.

В дальнейшем предполагается более детально исследовать ЭОС с синтезированным полем и, в частности, исследовать связь между формой оптической оси и геометрическими ошибками , а также поставить и решить задачу оптимизации формы оптической оси в линзе с синтезированным полем.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Балашов, Владимир Николаевич, 1998 год

1. Н. Busch. // Arch. Electrotech. , 1927, v. 18, р. 583-594.

2. W. Glaser.// Ann. Physik (Leipzig), 1933, v. 18, p. 557 -585.

3. W. Glaser.//Z. Physik, 1935, v. 97, p. 177 — 201.

4. V. Glaser. Grundlagen der Electronenoptik. Wien: Springer — Verlag, 1952. Русский перевод:

В. Г лазер. Основы электронной оптики. М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы. 1952, 763 с.

5. Р. А. Sturrock. Static and Dynamic Electron Optics, Cambridge: Cambridge University Press, 1955, 214 c.

6. H.Bush, E.Bruche, eds. Beitrage zur Elektronnenoptik. Barth, Leipzig, 1937.

7. В. М.Кельман, С. Я Явор. Электронная оптика. М,-Л.:Из-во АН СССР, 1959, 328 с.

8. Г, А. Гринберг.// ДАН СССР, 1943, т. 38, с. 78 — 90.

9. M.Szilgyi. Electron and Ion Optics. N.-Y.: Plenum Press, 1988. Русский перевод:

E Силадьи. Электронная и ионная оптика. М.: Мир, 1990, -638 с.

10. Р. W. Hawkes,E. Kasper. Principles of Electronoptics. N. -Y.: Academc Press, 1989. Русский перевод:

ПХокс, Э. Каспер. Основы электронной оптики. М.: Мир, 1993. Том. 1, 551 е., Том. 2, 477 с.

11. JL А. Баранова, С. Я Явор. Электростатические электронные линзы. М.: Наука, 1986,

12. В. П. Ильин, В. А. Катетов, Ю. В. Куликов, М. А. Монастырский. Численные методы оптимизации эмиссионных электронно-оптических систем. Новосибирск: Наука, 1987,

13. H.Goldstein. Classical Mechanics. Cambridge: Addison -Wesley Press, 1959. Русский перевод:

Г. Голдстейн. Классическая механика. Е : Наука, 1975, с. 415.

14. Н. Bush, Е. Bruche, eds. Beitrage zur Elektronnenoptik. Barth, Leipzig, 1937.

15. E. Kasper. // Optik, 1985, v. 69, p. 117 — 125.

16. E. Kasper.// Optik, 1987, v. 77, p. 3 — 12..

17. A. S. Householder. The Theory of Matrices in Numerical Analysis. N.-Y.: Blaisdeil, 1964.

18. V. Scherle. //Optik, 1983, v. 53, p. 217 — 226.

19. V. Scherle. //Optik, 1984, v. 67, p. 307 — 314.

20. H.C.Chi, E. Munro. // Optik, 1982, v. 60, p. 371 — 390.

21. H.C.Chi, E. Munro.// Optik, 1982, v. 61, p. 123 — 145.

22. R.W.Moses. Lens Optimization by Direct Application of the Calculus of Variations. In: Image Processing and Computer-aided Design in Electron Optics, p. 250 — 272. London, N. -Y.: Academic Press, 1973.

23. A. H Тихонов, И. Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979 г. -285 с.

24. М. М.. Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962 г. -91 с.

25. М. В. Урев. О продолжении магнитного поля с оси симметрии в пространство. // Радиотехника и электроника, No 4, 1993, с. 772 — 778.

26. А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Из-во Московского университета, 1989 г. -197 с.

27. В. В. Иванов. Методы вычисления на ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1986 г. — 583 с.

28. G. Dahlquist. Convergence and stability in the numerical integration ordinary differential eguations. //Math, scand. , n. 4, 1956, p. 31 — 35.

29. B. Lindberg. Characterization of optimal Stepsize sequences for methods for still differential equations. //SIAM J. Numer. Anal., v. 14, n. 5, 1977. p. 859 — 887.

30. V. K. Zvorykin, G. A. Morton, E.G.Romberg, J. Hiller, A. W. Vance. Electron Optics and the Electron Microscope. N.-Y.: Wiley, 1945.

31. IL П. Касьянов. // ЖТФ, т. 226 п. 1, 1952 г. с. 80-83.

32. R. W.Moses. // Rev. Sci. Instrum. , v. 41, n. 5, 1970. p. 729 — 740.

33. R.W.Moses. //Rev. Sci. Instrum., v. 42, n. 6, 1971. p. 828 — 831.

34. R. W. Moses.// Rev. Sci. Instrum., v. 42, n. 6, 1971, p. 832 — 839.

35. H.Rose, R.W.Moses.// Optik, v. 37, n. 3, 1973. p. 316 -337.

36. W. Tretner. // Optik, v. 13, n. 3, 1959. p. 155 — 184.

37. M. Szilagui. Reduction of Aberrations of Electron Optical Systems. Budapest: Hungarian Academy of Sciences, 1977.

38. M. Szilagui. //Optik, v. 48, n. 2, 1977. p. 215-224.

39. M. Szilagui, S. I. Yakowith, M. 0. Dull.// Appl. Phus. Lett. • v. 44, n. 1, 1984. p. 7-9.

40. I.E.Dennis. Proc. //IEEE, v. 72, n. 12, 1984. p. 1765 -1776.

41. M. Szilagui. // Vac. Sei. Techno 1. , v. Bl, n. 4, 1983. p. 1137 — 1140.

42. G. N. Piass.// J. Appl. Phys. , n. 13, 1942. p. 49 — 55.

43. I. R. Asley. // Proc. IEEE, v. 60, n. 1, 1983. p. 115 — 119.

44. С. И. Молоковский, Ф. Д. Сушков. Интенсивные электронные и ионные пучки. М.: Энергия, 1972 г.

45. Р. Т. Hirstein, D.S.Kino, V. Е. Waters. Spase-Charge Flow. N. -Y.: McGraw-Hill Book Kompany, 1967. Русский перевод:

П. Т. Кирштейн и др. Формирование электронных пучков. М.: Мир, 1970 г.

46. В. Т. Овчаров. Некоторые вопросы теории и расчета электронных пучков. Дисс. на соискание уч. ст. д-ра тех. наук. М. , 1965 г.

47. Б. Н Васичев. Растровая электронная микроскопия и электронная литография. //»ОМП», 1978 г. , N 9, стр.65.

48. E. Munro. Electron beam litography — In: Applied charged particle optics, supplement 13B/ Ed. A. Septier — New York, London, Toronto, Sydney, San-Francisco: Acad. Press, 1980, p. 74-132.

49. E. Goto, T. Soma. MDL (Moving objective lens) Formulation of deflective aberration free system.//Optik, v. 48, n. 3, 1977. p. 255 — 259.

50. H. Ohiwa. Design of electron beam scanning systems using the moving objective lens.//J. Vac. Sci. Technol. v. 15, n. 3, 1978. p. 849 — 853.

51. E. Goto, T. Soma, M. Jdesawa. Design of Variable-aperture Proection and Scaning System for electron beain //J. Vac. Sci. Technol. v. 15, n. 3, 1978. p. 883 — 887. n. 4,

1978. p. .883 — 886.

52. H. Ohiwa. Moving objective lens and the Fraundhofer condition for pre-deflection.// Optik, v. 53, n. 1,

53. H. C. Pfeiffer. Advansed deflections consept fo lsrge area high resolution e-beam lithography.// J. Vac. Soi. Technol. v. 19, n. 4, 1981. p. 1058 — 1063.

54. W. Knauer. A method to reduce deflection aberrations in electron beam lithography systems. // J. Vac. Sci. Technol. v. 19, No 4, 1981. -p. 1142 — 1148.

55. M. A. Sturams,H. C. Pfeiffer. -In: Mi croc ircu it Engineering 83 (eds. Ahmed H. , Cleaver J. R. A. , Jones G. A. C.), N. -Y.: Academic Press, 1983.

56. Zhong-wei Chen, Pei-yong Oiu, Jian-kun Vang. Optik, v. 64, n. 4, 1983. p. 341 — 347.

57. Б. E Васичев. Оценка производительносьти электронно-лучевых установок с программным управлением.// «ОМП», No 3, 1984 г. , стр. 39-42.

58. В. А. Жуков, А, Б. Абрамянц. Синтез магнитных объективов растровых электронно-оптических систем. //ЖГФ, т. 56, в. 10, 1986 г. — с. 1962 -1966.

59. T. Hosokawa, Y. Takeuchi, H. Ohshiba.//Optik, v. 58, п. 4, 1981. p. 241 — 250.

60. В. Lencova. Deflection aberrations of multi-stage deflection systems. Optik, v. 58, п. 1, 1981. p. 25 — 35.

61. А. В. Бицадзе. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. : Наука. 1966 г.

62. В. А. Кондратьев. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. //Труды Моск. матем. об-ва. -1967. Т. 16. с. 137-142.

63. V. R. Vasow, G.E. Forsythe. Fi ni te-Di fferense Methods for Partial Differential Equations. N.-Y. : Wiley, 1960. Русский перевод: В. Вазов, Дж. Форсайт. Разностные методы решения уравнений в частных производных. М. : ИЛ, 1963 г.

64. В. П. Ильин. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск: Из-во НГУ, 1970 г.

65. В. Я Иванов, В. П Ильин. Решение смешанных краевых задач для уравнения Лапласа методом интегральных уравнений. // Типовые программы решения задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. -С. 5 — 35.

66. М. А. Монастырский. Интегральные уравнения в задачах оптимизации электронно-оптических систем. I. Обще соотношения (трехмерный случай) // Численные методы решения задач электронной оптики. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1980.

67. М. А. Монастырский. Интегральные уравнения в задачах оптимизации электронно-оптических систем. II. Осесиммет-ричный случай // Численные методы решения задач электронной оптики. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1980. — С. 121-136.

68. JL Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнение и вариационное исчисление. М. : Наука, 1969 г. — 424 с.

69. В. H Ильин. Численные методы решения задач электронопти-ки. Новосибирск: Наука, 1974 г.

70. E. Munro. // J. Vac. Sci. Technol. , V 12, 1975, p. 1146.

71. А. А. Самарский. Введение в теорию разностных схем. Е : Наука, 1982 г.

72. А. А. Самарский, В. В. Аедреев. Разностные методы для решения эллиптических уравнений. М. : Наука, 1976 г.

73. А. А. Самарский. Теория разностных схем. М. : Наука. 1982

74. Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. М. : Мир, 1977 г.

75. В. В. Шайдуров. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989 г.

76. Г. И. Марчук, В. И. Агошков. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981 г.

77. A. Septer, ed. Applied Charges Particle Optics. I— III (Advances in Electronics and Electron Physics, 13A-C), N.-Y: Academic, 1980 — 1983.

78. J. Rouse, H. Zhi, E.Monro. Aberrations of electron focusing and deflection systems in the presence of three dimensional parturbation fields. J. Vac. Sci. Technol.. B9( 6), 1991. — p. 2934 — 2939.

79. 0. C. Zenkiewicz. The Finite Element Method in Engineering Science. N.-Y.: McGraw-Hill, 1971.

80. M.V. K. Chari, P.P.Silvester, eds. Finite Elements in Electrical and Magnetic Field Problems. Chichester: Wiley, 1980.

81. K. Amboss. Design of fast deflection coils for an electron-beam microfabrication system.// J. Vac. Sci. Technol. v. 12, No 6, 1975. -p. 1152 — 1157.

82. H. C. Pfeiffer. New Imagin and Deflection Consept for Probe-Forming Microfabrication System.// J. Vac. Sci. Technol. v. 12, No 6, 1975. -p. 1170 — 1174.

83. M. Idesawa at all. Triple slit scheme for high current variable-shaped beam forming. J. Vac. Sci. Technol. , v. 16, No 6, 1979. — p. 1672 — 1675.

84. H. С. Pfeiffer. Variable spot shaping for electron beam lithography.// J. Vac. Sci. Technol. v. 15, No 3, 1978. -p. 887 — 893.

85. G. A. C. Jones, G.Owen. Design aspects of scanning electron-beam microfabrication instruments having 10×10 mm field coverage normal substrate incidentce, and high troughput.// J. Vac. Sci. Technol. v. 15, No 3, 1978. -p. 895 — 899.

86. E. W. Weber, A. D. Moore. Variable spot-shaped e-beam lithographies tool.// J. Vac. Sci. Technol. v. 16, No 5, 1979. -p. 1780 — 1786.

87. F. R. Brewer, ed. Electron beam technology in microelectronic fabrication. N.-Y. : Academic Press, 1980. -362 p.

88. К. А. Валиев. Проблемы создания элементной базы сверхвысокой степени интеграции для ЭВМ. // Микроэлектроника,

Т. 9, вып. 6, 1980 г. -с. 483 — 490.

89. Г. X Сатаров, И,Г,Блинов, Г.О.Горячева. Современное состояние электронно-лучевого оборудования. // Микроэлектроника, т. 9, вып. 4, 1980 г. -с. 310 — 318.

90. В. П. Деркач, М. С. Кухарчук. Электронная литография как эффективное средство для освоения субмикронных размеров элементов СБИС.// Микроэлектроника, Т. 9, вып. 6, 1980 г. -с. 498 — 516.

91. В. Lencova. On the design of electron beam deflection systems. Optik, v. 79, No 1, 1988. p. 1 — 12.

: 28592. С. Т. Но, М. С. Michail, М. С. Stickle and all. The high-performance beam deflection system of EL-3. //J. Vac. Sei. Technol. v. 19, No 4, 1981. -p. 1069 -1074.

93. R. D.Moore, G. A. Caccoma, H.C.Pfeiffer at all. EL-3: A high throughput, high resolution e-beam lithography tool. // J. Vac. Sei. Technol. v. 19, No 4, 1981. -p. 950

94. F. Fujinami, T. Matasuda, K. Takamoto and all. Variably shaped electron-beam lithography system EB-55: 1. System design.//J. Vac. Sei. Technol. v. 19, No 4, 1981. -p. 941

95. N. Saitou, S. Ozasa, T. Komoda at all. Variably shaped electron-beam lithography system EB-55: 2. Electron optics.// J. Vac. Sei. Technol. v. 19, No 4, 1981. -p. 1087 — 1093.

96. J.Kelly, T. Groves, H. P. Kuo. A high current, highspeed electron beam litography column.// J. Vae. Sei. Technol. , V. 19, N 4, 1981.- p. 936-940.

97. Б. E Васичев. Электронно-лучевые установки и электронно-литография.// ОМП, No 12, 1982 г.-С. 47 — 53.

98. R. D. Moore. EL Systems: High throughput electron beam lithography tools. // Solid State Technol. Vol.26, n. 9, 1983. — p. 127 — 132.

99. D.E.Davis, S. I.Gille, S.L.Silverman and W. Strickel. EL-3 application to 0. 5 mm semiconductor lithography. //J. Vac. Sci. Technol. B. v. 1, No 4, 1983. -p. 1003 -1006.

100. V. Bogli and H. Beneking Nanometer scale fabrication in a 100 keV e-beam system. // Microelectronic Engeneering

3, 1985, -p. 117-123.

101. D. Stephani et al. A field emission e-beam system for nanometer lithography. // J. Vac. Sci. Technol. B. v. 1, No

4, 1983, p. 1011 — 1016.

102. E. Kratschmer et al. High resolution 100 keV e-beam lithography, in H. Ahmed et al. (eds.), Proc. of Microcircuit engeneering 83, Cambridge England. London: Academic Press, 1983, p. 15 — 18.

103. K. Kuroda. Electron beam column for 50×50 mm deflection area.// J. Vac. Sci. Technol. В. , V 2, N 1, 1984, p. 68-72.

104. В. К. Попов, С. E Ячменев. Расчет и проектирование устройств электронной и ионной литографии. М., «Радио и связь», 1985, с. 128.

105. В. К Попов, С. Н. Ячменев. Электронная литография (Аналитический обзор). -Обзоры по эл. технике. Сер. 7, вып. 19 (1151), 1985 г.

106. Б. К Васичев и др. Анализ производительности электронно-лучевого литографического оборудования. // Обзоры по электронной техн. , сер. 7, Технология, орг. пр. и обор, вып. 14(1219), изд. ЦНИИ»Электроника», 1986 г., стр. 1-44.

107. E. de Chambosi, A. Frichet, M. Chart i er, H.Ja The, J. Trotel. FEPG electron-beam lithography system.//J. Vac. Sei. Technol. B. v. 4, n. 1, 1986. p. 78 — 82.

108. M. Easig, H.C.Pfeiffer. Kritical Keller optical system. //J. Vac. Sei. Technol. B. v. 4, n. 1, 1986. p. 83 — 85.

109. N. Saituo, S. Hosoki, M. Okumura, T. Matsuzaka, G. Matsuoka, and M. Chyama Electron optical column for highspeed nanometric lithography.// Microelectronic Engeneering, No 5, 1986. -p. 123-131.

110. Бабин С. В., Давыдов А. В. , Ерко А. И. Исследовательский комплекс для электронно-лучевой литографии. // Приборы и техника эксперимента, N 2, 1987, с. 191-196.

111. D.S. Alles, С. J. Biddfick, J. H. Brüning, J. Т. Clemens at al., EBES4; A new electron-beam exposure system, J. Vac. Sei. Technol. , В 5, 1987, -p. 47 — 52.

112. M. C. R. Tomson, R.Liu and all. The EBES4 electron beam column. J. Vac. Sei. Technol. , B5, 1987. — p. 53 — 56.

113. V. Ar ben, K. Muller. Physical and technological limits of optical and X-ray lithography. Microcircuit Engineering, 1987, — p. 53 — 60.

114. A. N. Broers. Practical methods for sub-micron lithography. Conf. Microcircuit Engineering, 1984, -p. 3 — 20.

115. J. F. P. Brouwers. A A fast electron beam blancer for the HISEL lithography system, graduation report. Particle Optics Research Group, Delft Uni. of Technology, 1991.

116. T. H. R. Chang, R. Vismanathan. Deflection distortion in scanning electron beam systems. J. Vac. Sci. Technol. V. 15, 1978, — p. 878 — 882.

117. N. W. Collins at all. Simulated annealing-an annotated bibliography. American J. of Math, and Management Sci. V. 8, 1988, — p. 209 — 306.

118. R.D.Coyne, 0. W. Otto. Sub-half micrometer resist processes for the AEBLE-150. SPIE Vol. 773. Electron-beam, X-Ray and ion-beam Lithographies, VI, 1087, — p. 183 — 188.

119. D.E.Davis, J. E. Liberman, H. C. Pfeiffer, M. A. Sturans. Trideflection electron beam system. European patent application 0. 389.389, 1990.

120. E. de Chambost, B. Allanos, A. Frichet, J. Perrocheau. Experimental results from a fast electron beam pattern generator: A variable shaped beam machine. J. Vac. Sci. Technol. , B. 4, 1986. — p. 73 — 77.

121. A. Delong, V. Kolarik. A 1:1 MIM cathode electron -projection stepper. Microelectronic Engineering, 11, 1990, 359 — 362.

122. N. K. Eib, R. J. Kvitek. Thermal distribution and the effect on resist sensitivity in electron beam direct write. J. Vac. Sci. Technol. , B7, 1989. — p. 1502 — 1506.

123. M.Fujnami, N. Shinazu, T. Nosokava, A. Shibajama. EB-60: An advanced direct wafer exposure electron-beam lithography system for high-throughput, high-precision submicron pattern writing. J. Vac. Sci. Technol. , B5, 198?. — p. 61 65.

124. T.R. Groves, H. C. Pfeiffer, T.H.Newman, F. Hohn. EL-3 system for quarter-micron electron beam lithography. J. Vac. Sci. Technol. , B6, 1988. — p. 2028 — 2032.

125. K. Hattkri at all. Triangular shaped beam technique in EB exposure system EX-7 for ULSI pattern formation. Proc. of 1989 Int. Symp. on Microprocess Conference ( In Japanese J. Appl. Phys. series 3), 1989. — p. 59 — 63.

126. C. T. Ho, ms. Michail, v. Stickel. The high performance beam deflection system of the EL-3. J. Vac. Sci. Technol. , Vol. 19, 1981. — p. 1069 — 1073.

127. H. J. King, P. E. Merrit at all. An electron beam lithography system for submicron VHSIC device fabrication, J. Vac. Sci. Technol., B3(l), 1985. — p. 106 — 111.

128. L. H. Veneclassen. A high speed EBL column designed to minimize beam interactions. J. Vac. Soi Technol. , B3, 1985. — p. 185 — 189.

129. B. Lencova. Design of a strong objective lens with large field of view for electron litography. Poster at: Wetenschappellijke vergabering I0P/F0M, Veldhoven, November 21-22, 1989.

130. F. Murai, S. Okazaki at all. The effect of acceleration voltage on linewidth control with a wariable-shaped electron beam system. J. Vac. Sci. Technol. , B5, 1987. -p. 105 — 109.

131. K. Nacamura at all. A high speed, high precision electron beam lithography system (system design), J. Vac. Sci. Technol. , B3, 1985. — p. 94 — 97.

132. Y. Nakajama at all. Electron-beam cell proection lithography: A new high throughput electron beam direct writing technology using a tailored Si aperture. J. Vac. Sci. Technol. , B8, 1990. — p. 1836 — 1840.

133. R.J.Nielsen, J. H. Drunner at all. A hydrolic X-Y stage system for application in electron beam exposure systems. J. Vac. Sci. Technol. , B5, 1987. — p. 57 — 60.

134. S. Okayama, K. Shimizu, H. Kawakatzu. Variable spot shaping by means of quadrupole lenses. Froseeding of the 10-th Int. sumposium on electron and ion beam sciense and technology, 83-2, 1983. — p. 58 — 69.

135. S. Okayawa. A new type of quadrupole lens for electron-beam lithography. In: Nuclear instruments & methods in physics research, A298, 1990, — p. 488 — 495. Elsevier Science Publishers B. V. , North Holland.

136. H. Shaeffer, H. Schaafer, and all. Electron optical design of an E-beam comb probe printer. Microelectronics Engineering, 9, 1989. — p. 205 — 208.

137. H. Sheffer at all. Advances of a multi E-beam comb probe printer. Microelectronics Engineering, 10, 1990.

138. M. A. Sturans, H. C. Pfeiffer. Design of eddy-current compensating high speed toroidal deflection yokes. Proceeding of the 9-th Int. Symp. on electron and ion beam sciense and technology, 1980. — p. 33 — 43.

139. S. Tamamushi at all. The electron beam column for a high-dose and high-voltage electron beam exposure system EX-7. J. Vao. Sci. Technol. , B8, 1990. — p. 209 — 212.

140. R. Yoshicavwa at all. A high dose and high accuracy variable shaped electron beam exposure system for quartermicron device fabrication. J. Vac. Sci. Technol. , B5, 1987. — p. 70 — 74.

141. Chen Z. W., Jones G. C. A new high voltage electron beam lithography system for manometer scale fabrication //J. Vac. Sci. Technol. B. V 6, No 6, 1988. -p. 2009 — 2013.

142. Sturans M. A. , Pfeiffer H. C. Recent advances with the variable axis immersion lens.// J. Vac. Sci. Technol. B. V 6, No 6, 1988. -p. 1995 — 1998.

143. V. Bogl, P. Unger, H. Beneking, B.Niemann, P. Guttmann, W. Meyer-ilse. Electron beam lithography and nanometer structures: fabrication of microzone plates. // Optical Engeneering, V. 27, No 2, 1988, -p. 143 — 149.

144. K. W. Rhee, et all. Patterning tungsten films with an electron beam lithography system at 50 keV for x-ray mask applications.// J. Vac. Sci. Techno 1. B. V 9, No 6,1991. -p 3292 — 3296.

145. M. Gesley. MEBES IY thermal-field emission tandem optics for electron lithography. // J. Vac. Sci. Techno 1. B. V. 9, No 6, 1991. -p. 2949 — 2954.

146. Y. Sohda, Y. Nakayama and N. Saitou. Electron optics for high throughput electron beam lithography system. // J. Vac. Sci. Techno 1. B. V. 9, No 6, 1991, -p 2940 -2943.

147. T. Takigawa, H. Vada at all. Advanced e-beam lithography.

J. Vac. Sci. Technol. , B9(6), 1991. — p. 2981 — 2985.

148. J.Hartley, T. Growes, H. Pfeiffer. Performance of EL-3+ mask make. J. Vac. Sci. Technol. ,B9(6), 1991. — p. 3015 — 3018.

149. T. Vatanabe at all. Reliability enhancements for the direct wafer exposure electron beam sustem EB-60. J. Vac. Sci. Technol. ,B9(6), 1991. — p. 3028 — 3032.

150. M. Gesley. 100 kV field emission optics for nanolithography. // J. Vac. Sci. Technol. B. V. 10, No 6, 1992. -p. 2451 — 2458.

151. K. Ishii, T. Matsuda. Sub-100-nm-Scale Patterning Using a Low-Energy Electron Beam. Jap. // J. Appl. Phys. , V. 31, 1992. — p. L 744 — L 746.

152. Т. Takigawa at all. Performanse of the EX-8D e-beam lithography. J. Vac. Sci. Techno 1. , Bll(6), 1993.

153. R. Butsh, H. Pfeiffer at all. El-4 electron-beam lithography system. J. Vac. Sci. Technol. , Bll(6), 1993.

154. R. Butsch at all. Perfomance enhancements IBM’s EL-4 electron-beam lithography sustem. J. Vac. Sci. Technol. , B13(6)> 1995. — p. 2478 — 2482.

155. Проспект фирмы «Jenoptik-RAITH» Electron Beam Lithography System ZRM 23 — ELPHY-III. 1995

156. Y. Someda, Y. Shada at all. Triangular-variaable-shaped beam using the cell projection method. J. Vac. Sci. Technol., B14(6), 1996. — p. 3742 — 3746.

157. X. R.Jiang, J. E. Barth, Kruit. Combined calculation of lens aberration space charge aberrations and statistical coulomb affects in charge particle optical columns. J. Vac. Sci. Technol., B14(6), 1996. — p. 3747 — 3752.

158. P. W. H. de Jager, P. Kruit. Optical design of a combined ion and electron beam system for nanotechnology. J. Vac. Sci. Technol., B14(6), 1996. — p. 3753 — 3758.

159. H. Yasuda at all. Multielectron beam blanking aperture array system SYNAPSE-2000. J. Vac. Sci. Technol. , B14(6), 1996. — p. 3813 — 3820.

160. В. Е Балашов, Б. Е Васичев. Метод расчета ошибок изображения в электронно-оптических системах установок для электронной литографии. // Известия АН СССР Сер. физическая, т. 48, п. 12, 1984 г. , с. 2414 — 2417.

161. В. Е Балашов, Б. Е Васичев, Л В. Монахов. Динамика электронного пучка в линейном СВЧ ускорителе высокоэнергетич-ных микрозондовых приборов. // Известия АН СССР Сер. физическая, т. 48, п. 2, 1984 г. , с. 294 — 298.

162. В. Е Балашов, Б. Е Васичев, А. А. Мельников. Многокритериальная оптимизация электронно-оптических систем установок для электронной литографии. // Радиотехника и электроника т. 31, п. 5, 1986 г., с. 989 — 992.

163. В. Е Балашов, Б. Е Васичев, Ю. С. Смирнов, С. М. Калашников. Электронно-оптическая система микрозондовой аналитической установки с равномерным распределением плотности тока в зонде. // Известия АН СССР Сер. физическая, т. 52, п. 7, 1988 г. , с. 1406 — 1408.

164. В. Е Балашов и др. Электронно-лучевая установка для исследования радиационно-стимулированных процессов в полупроводниках. // Приборы и техника эксперимента п. 3, 1988 г. , с. 227 — 230.

165. В. Е Балашов, Б. Е Васичев. Метод расчета распределения плотности тока в обмотке отклоняющей системы в электронной линзе с подвижной оптической осью. // Известия АН СССР Сер. физическая, т. 54, п. 2, 1990 г. , с. 346 -349.

166. В. Е Балашов, Б. Е Васичев. Обратная задача расчета электронных линз. // Известия АН СССР Сер. физическая, т. 54, п. 2, 1990 г. , с. 350 — 352.

167. В. Е Балашов, Б. Е Васичев. Метод расчета СВЧ электрон-нооптических систем. // Известия АН СССР Сер. физическая, т. 55, п. 8, 1991 г. , с. 1643 — 1646.

168. В. Е Балашов, Б. Е Васичев. Корректный метод расчета электронно-оптических систем. // Известия АН СССР Сер. физическая, т. 55, п. 8, 1991 г., с. 1639 — 1642.

169. В. Е Балашов, С. Ю. Шахбазов, Т. С. Филипчук. Расчет электростатических линз с подвижной оптической осью. // Радиотехника и электроника, N8, 1992, с. 235 — 237.

170. В. Е Балашов, Б. Е Васичев. Типовые электронно- и ионно-оптические системы элионного оборудования для электронной и ионной литографии. Из-во МИЭМ, 1992 г. — с. 177.

171. В. Е Балашов. Нелинейная теория электронной линзы с криволинейной оптической осью. // Известия РАН Сер. физическая, т. 57, п. 8, 1993 г. , с. 110 -114.

172. В. Е Балашов. Электронная линза с подвижной оптической осью с нелинейной коррекцией аберраций. // Известия РАН Сер. физическая, т. 57, п. 8, 1993 г. , с. 115 — 117.

173. В. Е Балашов, Т. С. Филипчук, В.А.Трофимов, С. Ю. Шахбазов. Расчет электростатических линз с подвижной оптической осью.// Известия РАН Сер. физическая, т. 57, п. 8, 1993 г. , с. 118 — 122.

174. В.Н.Балашов, А.В.Суворинов, В.Н.Жураковский, С.Ю.Шахба-зов. Объективная система для низковольтного РЭМ с большим полем сканирования. //Известия РАН, Сер. физическая, т. 57, п. 8, 1993 г., о. 123 — 126.

175. В.Н.Балашов, В.А.Трофимов, С.Ю.Шахбазов. Метод расчета ошибок изображения электроннооптических систем любой сложности.// Известия РАН, Сер. физическая, т. 57, п. 8, 1993 г., с. 127 — 130.

176. В.Н.Балашов. Проектирование электронных линз с подвижной оптической осью путем решения обратных задач. //Известия РАН, Сер. физическая, т. 60, п. 2, 1996 г., с. 169 — 173.

177. В.Н.Балашов, Б.Н.Васичев. Перспективы создания электронно- литографического оборудования для производства заказных интегральных микросхем.//Прикладная физика, п. 3, 1996 г., с. 55 — 60.

178. В.Н.Балашов, А.В.Суворинов, С.Ю.Шахбазов. Принципы построения и оптимизации электронно-оптических систем низковольтных РЭМ.// Известия РАН, Сер. физическая, т. 59, п. 2, 1995 г., с. 60 — 63.

179. В.Н.Балашов, Б.Н.Васичев, Л.Б.Розенфельд и др. Устройство для управления электронно-лучевой установкой микролитографии. //Авторское свидетельство N 1387784, 1985 г./

180. В.Н.Балашов, Б.Н.Васичев, В.А.Плясунов и др. Способ легирования полупроводниковых материалов.//Авторское свидетельство N 1498303, 1989 г./

181. В.Н.Балашов, Б.Н.Васичев, Л.Б.Розенфельд и др. Устройство для магнитной фокусировки и отклонения электронного пучка.//Авторское свидетельство N 1326098, ‘1985 г./

182. В.Н.Балашов, Л.Б.Розенфельд, Ю.С.Смирнов, А.М.Филачев, В.В.Шабаров. Радиационно-технологический комплекс.//Свидетельство N 3060 на полезную модель по заявке N 95117180 от 16.10.1996 г./

183. В.Н.Балашов, Л.Б.Розенфельд, Ю.С.Смирнов, В.М.Семены-чев> А.М.Филачев, В. В.Шабаров. Радиационно-технологический комплекс.//Свидетельство N 3059 на полезную модель по заявке N 95117179 от 16.10.1996 г./

АКТ О ВНЕДРЕНИЙ

АКТ О ВНЕДРЕНИИ

Основные результаты диссертации Балашова Владимира Николаевича «Моделирование и проектирование электроннооптических систем оборудования для электронной литографии» внедрены в ГП НИИ ЭИО при создании электронного литографа ПЭЛ-1, разработанного и изготовленного в рамках Постановления СМ СССР N0 720 по совместному приказу Министров электронной и оборонной промышленности СССР.

Главный конструктор, д. ф. -м. н.

Ученый секретарь, к. ф. -м. н.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.

Моделирование и разработка широкоугольных электронно-оптических систем прецизионного электронно-лучевого оборудования
Разработка системы автоматизированного проектирования миниатюрных электронно-оптических систем
Исследование влияния неточности изготовления на дополнительные аберрации магнитных быстродействующих отклоняющих систем и квадрупольных линз
Корпускулярная оптика статических ионно-оптических систем со средней плоскостью
Ионно-оптические системы для электромагнитной спектрометрии высокоэнергетичных ионов
Моделирование процессов пространственной эволюции релятивистских пучков заряженных частиц в газовых средах и внешних полях
Поляризационные эффекты в оптике неоднородных прозрачных сред
Разработка литографических методов и спецоборудования для создания СБИС и транзисторных структур с субмикронными размерами элементов
Средства и методы высокоинформативного энерго- и масс-анализа вещества
Исследование и разработка устройств оптики заряженных частиц электростатических ускорителей

Digital Science & Education LP (Company number LP022131), 85 Great Portland Street, First Floor, London, United Kingdom, W1W 7LT

В чем заключается метод численного дифференцирования для расчета напряженности поля ех

2.2.3. Расчет напряженности поля, созданного заряженным телом простой формы

2.3. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности

ON THE APPLICATION OF THE METHOD OF NUMERICAL DIFFERENTIATION OF RIDDERS IN SOLVING PROBLEMS OF ELECTRICAL CALCULATIONS

Текст научной работы на тему «О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ РИДДЕРСА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ»

Банк моделей и методов для расчета электростатических полей Морозов Вячеслав Александрович

Обзор моделей и методов моделирования электростатических полей

Модель Максвелла

Метод конечных элементов

Моделирование электростатического поля емкостного датчика частоты вращения

Оглавление диссертации доктор технических наук Балашов, Владимир Николаевич

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Оборудование производства электронной техники», 05.27.07 шифр ВАК

Разработка системы автоматизированного проектирования миниатюрных электронно-оптических систем 2004 год, кандидат технических наук Данильчев, Сергей Сергеевич

Корпускулярная оптика статических ионно-оптических систем со средней плоскостью 1999 год, доктор физико-математических наук Спивак-Лавров, Игорь Феликсович

Ионно-оптические системы для электромагнитной спектрометрии высокоэнергетичных ионов 1988 год, кандидат физико-математических наук Назаров, Александр Геннадьевич

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование и проектирование электронно-оптических систем оборудования для электронной литографии»

Похожие диссертационные работы по специальности «Оборудование производства электронной техники», 05.27.07 шифр ВАК

Поляризационные эффекты в оптике неоднородных прозрачных сред 2006 год, доктор физико-математических наук Садыков, Наиль Рахматуллович

Средства и методы высокоинформативного энерго- и масс-анализа вещества 2007 год, доктор физико-математических наук Трубицын, Андрей Афанасьевич

Исследование и разработка устройств оптики заряженных частиц электростатических ускорителей 1999 год, кандидат технических наук Бажал, Сергей Владимирович

Заключение диссертации по теме «Оборудование производства электронной техники», Балашов, Владимир Николаевич

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Балашов, Владимир Николаевич, 1998 год

Добавить комментарий Отменить ответ