Как найти функцию по точкам
Перейти к содержимому

Как найти функцию по точкам

  • автор:

Как найти функцию по точкам

Argument ‘Topic id’ is null or empty

Сейчас на форуме

© Николай Павлов, Planetaexcel, 2006-2023
info@planetaexcel.ru

Использование любых материалов сайта допускается строго с указанием прямой ссылки на источник, упоминанием названия сайта, имени автора и неизменности исходного текста и иллюстраций.

ООО «Планета Эксел»
ИНН 7735603520
ОГРН 1147746834949
ИП Павлов Николай Владимирович
ИНН 633015842586
ОГРНИП 310633031600071

Аппроксимация функции одной переменной

Калькулятор использует методы регрессии для аппроксимации функции одной переменной.

Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.

Если не ввести значения x, калькулятор примет, что значение x меняется от 0 с шагом 1.

Аппроксимация функции одной переменной

Значения x, через пробел
Значения y, через пробел
Линейная аппроксимация
Квадратичная аппроксимация
Кубическая аппроксимация
Аппроксимация степенной функцией
Показательная аппроксимация
Логарифмическая аппроксимация
Гиперболическая аппроксимация
Экспоненциальная аппроксимация
Точность вычисления
Знаков после запятой: 4
Рассчитать
Линейная регрессия
Коэффициент линейной парной корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Квадратичная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Кубическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Степенная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Показательная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Логарифмическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Гиперболическая регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Экспоненциальная регрессия
Коэффициент корреляции
Коэффициент детерминации
Средняя ошибка аппроксимации, %
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
Загрузить
Ссылка Сохранить Виджет

Линейная регрессия

Коэффициент линейной парной корреляции:

Средняя ошибка аппроксимации:

Квадратичная регрессия

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c:

Коэффициент корреляции:
,
где

Средняя ошибка аппроксимации:

Кубическая регрессия

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c и d:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Степенная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Показательная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Гиперболическая регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Логарифмическая регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Экспоненциальная регрессия

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Вывод формул

Сначала сформулируем задачу:
Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений).
Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным.
На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций.

Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.

Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов. В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.

Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей:

Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b.
S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных.

Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений:

Для функции вида частные производные равны:
,

Подставив производные, получим:

Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше.
Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.

Как по точкам найти функцию

Во многих случаях данные статистики или измерений какого-либо процесса бывают представлены в виде набора дискретных значений. Но для того, чтобы на их основе построить непрерывный график, нужно по этим точкам найти функцию. Сделать это можно путем интерполяции. Для этого хорошо подходит полином Лагранжа.

Как по точкам найти функцию

Статьи по теме:

  • Как по точкам найти функцию
  • Как найти экстремум
  • Как найти вертикальную асимптоту

Вам понадобится

  • — бумага;
  • — карандаш.

Инструкция

Определите степень полинома, который будет использован для интерполирования. Он имеет вид: Кn*Х^n + К(n-1)*Х^(n-1) +. + К0*Х^0. Число n здесь на 1 меньше количества известных точек с различными Х, через которые должна проходить результирующая функция. Поэтому просто пересчитайте точки и отнимите от полученного значения единицу.

Определите общей вид искомой функции. Поскольку Х^0 = 1, то она примет вид: f(Хn) = Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +. + К1*Х + К0, где n — найденное на первом шаге значение степени полинома.

Начните составление системы линейных алгебраических уравнений с целью нахождения коэффициентов интерполирующего полинома. Исходный набор точек задает ряд соответствий значений координат Хn искомой функции по оси абсцисс и оси ординат f(Хn). Поэтому поочередная подстановка величин Хn в полином, значение которого будет равно f(Хn), позволяет получить нужные уравнения:
Кn*Хn^n + К(n-1)*Хn^ (n-1) +. + К1*Хn + К0 = f(Хn)
Кn*Х(n-1)^n + К(n-1)*Х(n-1)^ (n-1) +. + К1*Х(n-1) + К0 = f(Х(n-1))
.
Кn*Х1n + К(n-1)*Х1^ (n-1) + . + К1*Х1 + К0 = f(Х1).

Представьте систему линейных алгебраических уравнений в удобном для решения виде. Вычислите значения Хn^n. Х1^2 и Х1. Хn, а затем подставьте их в уравнения. При этом значения (также известные) перенесите в левую часть уравнений. Получится система вида:
Сnn*Кn + Сn(n-1)*К(n-1) +. + Сn1*К1 + К0 — Сn = 0
С(n-1)n*Кn + С(n-q)(n-1)*К(n-1) +. + С(n-1)1*К1 + К0 — С(n-1) = 0
.
С1n*Кn + С1(n-1)*К(n-1) +. + С11*К1 + К0 — С1 = 0
Здесь Сnn = Хn^n, а Сn = f(Хn).

Решите систему линейных алгебраических уравнений. Используйте любой известный способ. Например, метод Гаусса или Крамера. В результате решения будут получены значения коэффициентов полинома Кn. К0.

Найдите функцию по точкам. Подставьте коэффициенты Кn. К0, найденные в предыдущем шаге, в полином Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +. + К0*Х^0. Данное выражение и будет являться уравнением функции. Т.е. искомая f(Х) = Кn*Х^n + К(n-1)*Х^ (n-1) +. + К0*Х^0.

Совет полезен?
Статьи по теме:

  • Как найти наклонную асимптоту
  • Как найти фокус на параболе
  • Как найти точку пересечения двух графиков

Добавить комментарий к статье
Похожие советы

  • Как найти эксцентриситет
  • Как строить график координат
  • Область сходности ряда: как найти ее координаты
  • Как найти стационарные точки функции

Как найти k и b по графику линейной функции?

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти \(k\) и \(b\) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

пример нового 9 задание ЕГЭ

Новое задание ЕГЭ с линейной функцией

В статье я расскажу про два простых способа найти \(k\) и \(b\), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

    Линейная функция пересекает ось \(y\) в точке \(b\).
    Примеры:Как определить b по линейной функцииНо не советую определять так \(b\), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом. Примеры:В каких случаях b не надо определять

  • Если функция возрастает, то знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то \(k=0\). Примеры:Как определить знак k у линейной функции
  • Чтоб конкретнее определить \(k\) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить \(k\) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.
    Примеры:Как найти k у линейной функции
  • пример 9 задания ЕГЭ

    Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

    решение 9 задания ЕГЭ

    \(b=3\) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит \(k

    Достроим прямую до прямоугольного треугольника. Вершинами будут жирные точки, которые нам дали в задаче.

    решение 9 задания ЕГЭ

    Способ 1 быстрее способа 2, но не во всех ситуациях помогает. Поэтому важно владеть и вторым способом тоже.

    Способ 2

    Вы обращали внимание, что в задачах ЕГЭ на прямых всегда жирно выделяют 2 точки? Так вот, чтобы найти формулу линейной функции, достаточно подставить координаты этих точек в формулу \(f(x)=kx+b\) и решить получившуюся систему уравнений.

    Новое задание ЕГЭ с линейной функцией

    Обозначим жирные точки какими-нибудь буквами и найдем их координаты.

    решение 9 задания ЕГЭ

    \(A(-2;2)\) и \(B(2;-5)\) подставим эти значения вместо \(x\) и \(f(x)\) в формулу \(f(x)=kx+b\):

    Теперь найдем \(k\) и \(b\), решив эту систему.

    Для этого сложим уравнения друг с другом, чтобы исчезло \(k\):

    Теперь подставим найденное \(b\) во второе уравнение системы и найдем \(k\):

    Получается \(f(x)=-1,75x-1,5\). Остается последний шаг – вычислим при каком иксе функция, то есть \(f(x)\), равна \(16\):

    пример нового 9 задание ЕГЭ

    Чтоб решить задачу, нам понадобятся формулы каждой из двух функций. Давайте формулу нижней функции найдем с помощью способа 1, а формулу верхней с помощью способа 2. Начнем с нижней функции.

    решение 9 задания ЕГЭ

    Теперь перейдем к функции \(g(x)\). Найдем координаты точек \(D\) и \(E\): \(D(-2;4)\), \(E(-4;1)\). Можно составить систему:

    Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать \(b\):

    \(g(x)=1,5x+7\). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем \(f(x)\) и \(g(x)\).

    Шпаргалка как найти k и b

    Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *