5.3. Движение заряда в однородном магнитном поле
Сила Лоренца создает только нормальное ускорение и, соответственно, направлена к центру окружности. Следовательно, направление вращения положительно заряженной частицы таково, что вращающийся в том же направлении винт будет двигаться против направления поля. Отрицательно заряженная частица вращается в противоположном направлении (см. рис. 5.14, 5.15).
Рис. 5.14. Движение положительно и отрицательно заряженных частиц в однородном магнитном поле.
Направление магнитного поля указано точками
Если начальная скорость частицы параллельна вектору магнитной индукции, то сила Лоренца равна нулю. Частица будет продолжать двигаться в том же направлении прямолинейно и равномерно.
Наконец, в общем случае можно представить себе, что частица влетает в область однородного магнитного поля со скоростью v, составляющей угол q с направлением магнитного поля. Эту скорость можно разложить на компоненту две составляющих, одна из которых
направлена вдоль поля, а вторая
перпендикулярна полю. Соответственно, движение частицы является суммой двух движений: равномерного вдоль поля со скоростью и вращения по окружности с угловой скоростью . Траектория частицы, таким образом, является спиралью с радиусом R и шагом h (рис. 5.15):
Рис. 5.15. Движение заряженной частицы по спирали в однородном магнитном поле
Пример. В однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл движется протон. Траектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом 10 см и шагом 60 см. Определить скорость и кинетическую энергию протона. Какую ускоряющую разность потенциалов U прошел протон перед тем, как влететь в магнитное поле?
Решение. Из уравнений (5.11) находим угол между скоростью протона и полем
Как будет двигаться заряд в однородном магнитном поле если вектор скорости и вектор индукции
Если частица находится в произвольном электромагнитном поле, то на неё со стороны поля действует сила Лоренца:
F → = q E → + q [ v → , B → ] ,
где q – заряд частицы, E → и B → – напряжённость электрического и индукция магнитного поля, а v → – скорость движения частицы в данной системе отсчёта. Рассмотрим задачу о движении частицы в стационарном поле, силовые характеристики которого от времени не зависят. Если при этом вектор индукции магнитного поля B → направлен по одной из координатных осей (например, по оси Oz), то магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна этой оси. Если при этом вектор E → и начальная скорость частицы перпендикулярны вектору B → , то тогда движение частицы является плоским и происходит в плоскости хОу, перпендикулярной вектору индукции B → .
Пусть вектор напряжённости электрического поля E → направлен вдоль оси Оу, тогда проекции силы на координатные оси равны
F x = q v y B F y = q
После задания проекций силы как функций проекций скорости решается система уравнений Ньютона методом Эйлера для каждой проекции. Компоненты вектора ускорения ах и ау вычисляются по известным проекциям силы, причём на каждом шаге в эти формулы подставляются новые значения проекций скорости движущейся частицы.
При нулевой начальной скорости частицы её движение будет происходить по циклоиде, при отличной от нуля начальной скорости – по трохоиде. Кадр из данного компьютерного эксперимента приведён на рисунке. Программа данного компьютерного эксперимента на языке Delphi дана в приложении.
Если частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям, то выражения для проекций силы примут вид:
F x = q v y B F y = − q v x B ,
а величина силы Лоренца равна F = q v B , причём сила перпендикулярна направлению скорости частицы. Эта сила сообщает частице нормальное ускорение, тогда 2-й закон Ньютона примет вид:
Отсюда следует, что частица в магнитном поле будет двигаться по окружности, причём радиус окружности равен R = m v q B , а время одного оборота равно
T = 2 π R v = 2 π m q B .
Таким образом, период обращения частицы по окружности не зависит от её скорости, а зависит лишь от удельного заряда частицы.
На этом основан принцип действия циклотрона – устройства для ускорения заряженных частиц. Циклотрон представляет собой вакуумную цилиндрическую камеру, помещённую в магнитное поле, силовые линии которого параллельны оси цилиндра. Каждая частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Магнитное поле не ускоряет частицу, а лишь искривляет траекторию её движения вследствие того, что сила Лоренца, будучи перпендикулярна скорости, не совершает работы и не изменяет кинетической энергии частицы. Частицы движутся каждая по своей окружности, причём их радиусы различны из-за отличия их скоростей. Однако период их обращения одинаков. Спустя время Т частицы пролетают через ускоряющие электроды – дуанты, и в этот момент включается сильное электрическое поле, которое одновременно немного увеличивает скорость всех частиц. После однократного ускорения частицы движутся по окружности большего радиуса, однако с тем же периодом обращения, и через время Т они ускоряются ещё раз и т.д., пока радиус их траектории сравняется с радиусом камеры ускорителя, после чего специальное устройство выводит их на мишень.
.png)
Кадр из этого компьютерного эксперимента приведён на рисунке, а компьютерная программа на языке Visual Basic дана в приложении.
Как будет двигаться заряд в однородном магнитном поле если вектор скорости и вектор индукции
Сила Ампера, действующая на отрезок проводника длиной Δ с силой тока , находящийся в магнитном поле ,
может быть выражена через силы, действующие на отдельные носители заряда.
Пусть концентрация носителей свободного заряда в проводнике есть , а – заряд носителя. Тогда произведение υ , где модуль скорости упорядоченного движения носителей по проводнику, а – площадь поперечного сечения проводника, равно току, текущему по проводнику:
| . |
Выражение для силы Ампера можно записать в виде:
| . |
Эту силу называют силой Лоренца . Угол α в этом выражении равен углу между скоростью и вектором магнитной индукции Направление силы Лоренца, действующей на положительно заряженную частицу, так же, как и направление силы Ампера, может быть найдено по правилу левой руки или по правилу буравчика. Взаимное расположение векторов и для положительно заряженной частицы показано на рис. 1.18.1.
Взаимное расположение векторов и Модуль силы Лоренца численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и помноженной на заряд
Сила Лоренца направлена перпендикулярно векторам и
При движении заряженной частицы в магнитном поле сила Лоренца работы не совершает. Поэтому модуль вектора скорости при движении частицы не изменяется.
Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее скорость лежит в плоскости, перпендикулярной вектору то частица будет двигаться по окружности радиуса
Сила Лоренца в этом случае играет роль центростремительной силы (рис. 1.18.2).
Круговое движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
Период обращения частицы в однородном магнитном поле равен
Это выражение показывает, что для заряженных частиц заданной массы период обращения не зависит от скорости υ и радиуса траектории .
Угловая скорость движения заряженной частицы по круговой траектории
называется циклотронной частотой . Циклотронная частота не зависит от скорости (следовательно, и от кинетической энергии) частицы. Это обстоятельство используется в циклотронах – ускорителях тяжелых частиц (протонов, ионов). Принципиальная схема циклотрона приведена на рис. 1.18.3.
Движение заряженных частиц в вакуумной камере циклотрона
Между полюсами сильного электромагнита помещается вакуумная камера, в которой находятся два электрода в виде полых металлических полуцилиндров ( дуантов ). К дуантам приложено переменное электрическое напряжение, частота которого равна циклотронной частоте . Заряженные частицы инжектируются в центре вакуумной камеры. Частицы ускоряются электрическим полем в промежутке между дуантами. Внутри дуантов частицы движутся под действием силы Лоренца по полуокружностям, радиус которых растет по мере увеличения энергии частиц. Каждый раз, когда частица пролетает через зазор между дуантами, она ускоряется электрическим полем. Таким образом, в циклотроне, как и во всех других ускорителях, заряженная частица ускоряется электрическим полем, а удерживается на траектории магнитным полем. Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергии порядка .
Однородные магнитные поля используются во многих приборах и, в частности, в масс-спектрометрах – устройствах, с помощью которых можно измерять массы заряженных частиц – ионов или ядер различных атомов. Масс-спектрометры используются для разделения изотопов, то есть ядер атомов с одинаковым зарядом, но разными массами (например, 20 Ne и 22 Ne). Простейший масс-спектрометр показан на рис. 1.18.4. Ионы, вылетающие из источника , проходят через несколько небольших отверстий, формирующих узкий пучок. Затем они попадают в селектор скоростей , в котором частицы движутся в скрещенных однородных электрическом и магнитном полях . Электрическое поле создается между пластинами плоского конденсатора, магнитное поле – в зазоре между полюсами электромагнита. Начальная скорость заряженных частиц направлена перпендикулярно векторам и
На частицу, движущуюся в скрещенных электрическом и магнитном полях, действуют электрическая сила и магнитная сила Лоренца. При условии эти силы точно уравновешивают друг друга. Если это условие выполняется, частица будет двигаться равномерно и прямолинейно и, пролетев через конденсатор, пройдет через отверстие в экране. При заданных значениях электрического и магнитного полей селектор выделит частицы, движущиеся со скоростью .
Далее частицы с одним и тем же значением скорости попадают в камеру масс-спектрометра, в которой создано однородное магнитное поле Частицы движутся в камере в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, под действием силы Лоренца. Траектории частиц представляют собой окружности радиусов . Измеряя радиусы траекторий при известных значениях υ и можно определить отношение . В случае изотопов () масс-спектрометр позволяет разделить частицы с разными массами.
Современные масс-спектрометры позволяют измерять массы заряженных частиц с точностью выше 10 –4 .
Селектор скоростей и масс-спектрометр
Если скорость частицы имеет составляющую вдоль направления магнитного поля, то такая частица будет двигаться в однородном магнитном поле по спирали. При этом радиус спирали зависит от модуля перпендикулярной магнитному полю составляющей υ┴ вектора а шаг спирали – от модуля продольной составляющей υ|| (рис. 1.18.5).
Движение заряженной частицы по спирали в однородном магнитном поле
Таким образом, траектория заряженной частицы как бы навивается на линии магнитной индукции. Это явление используется в технике для магнитной термоизоляции высокотемпературной плазмы , то есть полностью ионизированного газа при температуре порядка 10 6 K. Вещество в таком состоянии получают в установках типа «Токамак» при изучении управляемых термоядерных реакций. Плазма не должна соприкасаться со стенками камеры. Термоизоляция достигается путем создания магнитного поля специальной конфиругации. В качестве примера на рис. 1.18.6 изображена траектория движения заряженной частицы в магнитной «бутылке» (или ловушке ).
Магнитная «бутылка». Заряженные частицы не выходят за пределы «бутылки». Магнитное поле «бутылки» может быть создано с помощью двух круглых катушек с током
Аналогичное явление происходит в магнитном поле Земли, которое является защитой для всего живого от потоков заряженных частиц из космического пространства. Быстрые заряженные частицы из космоса (главным образом от Солнца) «захватываются» магнитным полем Земли и образуют так называемые радиационные пояса (рис. 1.18.7), в которых частицы, как в магнитных ловушках, перемещаются туда и обратно по спиралеобразным траекториям между северным и южным магнитными полюсами за времена порядка долей секунды. Лишь в полярных областях некоторая часть частиц вторгается в верхние слои атмосферы, вызывая полярные сияния. Радиационные пояса Земли простираются от расстояний порядка до десятков земных радиусов. Следует вспомнить, что южный магнитный полюс Земли находится вблизи северного географического полюса (на северо-западе Гренландии). Природа земного магнетизма до сих пор не изучена.
Радиационные пояса Земли. Быстрые заряженные частицы от Солнца (в основном электроны и протоны) попадают в магнитные ловушки радиационных поясов. Частицы могут покидать пояса в полярных областях и вторгаться в верхние слои атмосферы, вызывая полярные сияния
Каталог статей
1. Заряженная частица с кинетической энергией 1 кэВ движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом 1 мм. Найти силу, действующую на частицу со стороны поля.
На движущуюся заряженную частицу магнитное поле действует силой Лоренца, равной F L = Bqv .
2. Однородное магнитное поле с индукцией В локализовано между двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно L. Какую скорость должен иметь электрон, чтобы пройти данную область поля?
На электрон, влетающий в магнитное поле, будет действовать сила Лоренца, которая по правилу левой руки будет направлена вертикально вниз. Траектория движения – окружность. Значит, для того, чтобы электрон мог пройти данную область поля, радиус окружности должен быть R ≥ L .
3. Частица массой 6 ∙ 10 – 12 кг и зарядом 3 ∙ 10 – 10 Кл движется в однородном магнитном поле с индукцией 10 Тл. Кинетическая энергия частицы 10 – 6 Дж. Какой путь пройдет частица за время, в течение которого ее скорость изменит направление на угол 180 ° ? Магнитное поле перпендикулярно скорости частицы.
Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности. Скорость в каждой точке траектории направлена по касательной к ней. Значит, направление скорости поменяется на противоположное, когда частица пройдет путь, равный половине длины окружности s = π R .
4. Электрон влетает перпендикулярно направлению магнитного поля с индукцией 28,5 мТл со скоростью 10 Мм/с. Определить изменение скорости электрона за промежуток времени 2,1 ∙ 10 – 10 с.