В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных.
В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность хотя бы одного выигрыша при покупке четырех билетов.
Решение от преподавателя:
Событие А – будет хотя бы один выигрышный билет из 4 купленных, противоположно событию, что все 4 купленных билета ничего не выиграют. Число способов, которыми можно выбрать 4 билета из 10, равно числу сочетаний из 10 по 4:
.
Число способов, которыми можно выбрать 4не выигрышных билета из 6 равно:
.
Используя классическое определение вероятности, находим вероятность, что среди 4 билетов не будет выигрышных:
.
Тогда вероятность, что среди будет хотя бы один выигрышный билет будет равно P=1-0,071=0,929.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Решение задач про билеты лотереи
После разобранных вероятностных задач на выбор шаров из урны и деталей из ящика, перейдем к еще одной популярной задаче на гипергеометрическую вероятность — задаче о покупке лотерейных билетов. Общая постановка задачи следующая:
В лотерее из $N$ билетов $K$ выигрышные и $N-K$ — билеты без выигрыша. Куплено $n$ лотерейных билетов. Найти вероятность того, что из них ровно $k$ выигрышных (соответственно, $n-k$ безвыигрышных) билетов.
Сначала найдем общее число исходов — это число всех различных способов выбрать любые $n$ билетов из общего числа $N$ продающихся билетов (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).
Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ выигрышных билетов из $K$ возможных — это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ невыигрышных билетов из $N-K$ возможных — $C_^$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию — $C_K^k \cdot C_^$.
Применяя классическое определение вероятности, то есть поделив число благоприятствующих событию исходов на общее число исходов испытания (покупки билетов), придем к искомой формуле:
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач про лотерейные билеты в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.
Примеры решений задач о покупке лотерейных билетов
Пример 1. Среди 100 лотерейных билетов 2 выигрышных. Вы покупаете 3 билета. Какова вероятность, что вы ничего не выиграете?
Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из купленных 3 билетов ни один не выиграет) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе элементов из некоторого множества, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.
Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 3 билета из 100 возможных. Так как порядок выбора несущественнен, используем формулу сочетаний из 100 элементов по 3: $n=C_^3$.
Теперь переходим к числу благоприятствующих нашему событию исходов. Для этого нужно, чтобы из все 3 билета были без выигрыша. Всего таких билетов $100-2=98$, значит способов выбора $m = C_^3$.
Вероятность остаться без выигрыша велика — 94,1% (при этом куплен не один, а целых 3 билета). Впрочем, любая лотерея заведома проигрышна для участника, помните об этом. Не стоит искать схемы и правила выигрыша в лотерею. Их не существует.
Пример 2. Среди 8 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу взяли 5 билетов. Определить вероятность того что среди них 2 выигрышных.
Подставляем в формулу (1) значения: $K=4$ выигрышных билета, $N-K=8-4=4$ невыигрышных билета, всего $N=8$ билетов. Выбираем $n=5$ билетов, из них должно быть $k=2$ выигрышных и соответственно, $n-k=5-2=3$ без выигрыша. Получаем нужную вероятность:
Пример 3. В лотерее 24 билета, из них 10 выигрышных и 14 пустых. Найти вероятность того, что из трех вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным.
Введем исходное событие:
$A = $ (Среди 3 вынутых билетов, по крайней мере, один окажется выигрышным),
а также противоположное ему событие, которое можно записать как:
$\overline = $ (Все три выбранные билеты будут без выигрыша).
Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы один выигрышных билет), равна:
Пример 4. В розыгрыше лотереи участвуют 100 билетов, среди которых 25 выигрышных. Какова вероятность остаться без выигрыша, приобретя 3 билета лотереи?
Подставляем в формулу (1) значения: $K=25$ выигрышных билетов, $N-K=100-25=75$ невыигрышных билета, всего $N=100$ билетов участвует в розыгрыше лотереи. Выбираем $n=3$ билета, из них должно быть $k=0$ выигрышных и соответственно, $n-k=3$ без выигрыша. Приходим к ответу:
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Полезные ссылки
- Задачи о лотерейных билетах в схеме Бернулли
- Онлайн учебник по теории вероятностей
- Решенные контрольные по теории вероятностей
- Заказать работу по теории вероятностей
Поищите готовые задачи в решебнике:
вопрос по теории вероятности!
Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди шести билетов, взятых наудачу, будут два выигрышных?
Пусть событие А – число возможных билетов (15), число возможных исходов n= C 6/15 . Для появления события А по условию необходимо что бы из шести только два будут выигрышными, два удачных билета можно выбрать по условию м1= С 6/2 способами.
Р (А) = m/n= (C 2/6)/(C 6/15)=( 720/48)/( 1307674368000/ 261273600)=15/5005=
=0.02997003
Пусть 4 выигрышных билетов составляют множество А, 11 невыигрышных — множество В.
Рассуждаем последовательно. Вероятность = число благоприятных исходов / число всех исходов.
1) Благоприятных = число наборов из 6 билетов, где 2 числа берутся из А и 4 из В. Два числа из А можно выбрать C(2;6) способами. Три числа из В — C(4;11) способами. Всего благоприятных исходов C(2;6) * C(4;11)= (6!/2!(6-2)!)*(11!/4!(11-4)!)=(6!/2!*4!)*(11!/4!*7!)=(720/48)*(39916800/120960)=
=15*330=4950
Где ошибка в двух вариантах никакого результата. (?
Дополнен 10 лет назад
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 билетов из 15 т. е. числу сочетаний из 15 элементов по 6 элементов (С6/15).
Определяем число исходов, благоприятствующим интересующему нас событию А (среди шести взятых билета 2 выиграшных) . Два выиграшных билета можно взять из 4-х С2/4 способами; при этом остальные билеты 6-2=4 должны быть невыигрышными ; взять же 4 невыиграшных билета из 15-4=11 неудачных билета можно С4/11 способами. Следовательно число благоприятствующих исходов равно С (2/4)*С (4/11)
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов.
P=C(2/4)*C(4/11)/C(6/15)=((4!/2!)*(11!/4!*7!))/(15!/6!*9!)=(6*330)/(1307674368000/261273600)=1980/5005=0,395604….
Так вроде правильно! Андрей огромное спасибо! если можешь напиши формулу по которой ты считал, результаты почему то разные.
Голосование за лучший ответ
Ошибка в самом начале. В условии ясно сказано, что «выигрышными являются четыре», поэтому нас интересуют комбинации из 2 выигрышных (из четырех возможных) и 4 невыигрышных (из 11 возможных) — всего
C(2, 4)*C(4, 11)
6 билетов из 15 можно выбрать C(6, 15) способами, следовательно вероятность равна
P=C(2, 4)*C(4, 11)/C(6, 15)=2!*2!/4!*4!*7!/11!/6!/9!*15!=2!*2!*7/9!*12*13*14*15=4*7*12*13*14*/1/2/3/4/5/6/7/8/9=13*14*/1/3/5/8/9=13*7*/1/3/4/5/9=91/540
Андрей МельниковМыслитель (6923) 10 лет назад
Считал я по той же формуле, что и Вы: C(k,n)=n!/(k!(n-k)!), но ошибся в расчетах (просто писал в ответ, не просчитав отдельно на бумажке либо в какой-нибудь программе). Ваш ответ верен:
P=1980/5005=36/91=.3956.
4.3. Решение задач
Пример 1. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 75 % небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
Решение. Пусть событие A=, событие B=, событие C=. Событие C предоставляет собой произведение событий A и B: C=AB. По условию , . Тогда по теореме умножения вероятностей (см. 2.1) искомая вероятность .
Пример 2. В первом ящике 2 белых и 10 красных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 красных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий A и B, где событие A=, событие B=. При этом A и B – независимые события. Имеем , . По теореме умножения для независимых событий (см. (6)) находим .
Пример 3. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?
Решение. Пусть событие =, =1, 2, 3, 4. События — совместные, но зависимые.
А) По формулам (8) и (4) вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух билетов
Б) по формулам (9) и (5) вероятность выигрыша хотя бы по одному из четырех билетов
Пример 4. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75, при втором – 0,8, при третьем – 0,9. Определить вероятность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы одно попадание.
Решение. А) Пусть событие A состоит в том, что будет три попадания в цель. Событие A представляет собой произведение трех событий: , где — попадание в цель при -м выстреле, . События — независимые. По теореме умножения для независимых событий (см. (7)) .
Б) Пусть событие B состоит в том, что будет хотя бы одно попадание в цель при трех выстрелах (т. е. не менее одного попадания в цель). Событие — сложное событие. События — совместные, а потому использовать аксиому сложения для вычисления вероятности события B нельзя. Представим событие B в виде суммы несовместных событий (вариантов):
По теореме умножения для независимых событий можно найти вероятность каждого варианта и все эти вероятности сложить в соответствии с аксиомой сложения. Однако такой путь решения задачи слишком сложен. Целесообразнее от события B перейти к противоположному событию =. Учитывая, что событие , по теореме умножения для независимых событий (см. (7)), найдем , откуда .
На этом примере проиллюстрирован принцип целесообразности применения противоположных событий в теории вероятностей.
Пример 5. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий -0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.
Решение. Пусть событие =, =1, 2, 3. События совместные и независимые. По условию ; ; . Событие B=: . Найдем вероятность события B. Для этого от события B перейдем к противоположному событию : , воспользовавшись формулой (9), найдем:
Пример 6. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.
Решение. а) Обозначим события: = , 1,2,3; B = . Очевидно, что событие B представляет собой совместное наступление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены, т. е. . Учитывая, что события независимы, получим .
Б) Пусть событие C = . Очевидно, что событие C можно представить в виде суммы трех несовместных событий: .
По аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий .
В) Пусть событие E = , т. е. . Тогда по формуле (7) .
Г) Пусть событие F = (т. е. хотя бы два экзамена или не менее двух экзаменов). Ясно, что событие F означает сдачу любых двух экзаменов из трех, либо всех трех экзаменов. Представим событие F в виде суммы несовместных событий: .
Тогда по аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий найдем .
Д) Пусть событие K – студент сдал хотя бы один экзамен (т. е. не менее одного экзамена). От прямого события K перейдем к противоположному событию и воспользуемся формулой (2.7). Тогда
Т. е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.
- Главная
- Заказать работу
- Стоимость решения
- Варианты оплаты
- Ответы на вопросы (FAQ)
- Отзывы о нас
- Примеры решения задач
- Методички по математике
- Помощь по всем предметам
- Заработок для студентов