Что такое геометрическая кратность собственного значения

Приведем некоторые сведения из линейной алгебры [ 1, 2 ].

Линейная проблема собственных значений состоит в определении тех значений λ, при которых система n однородных линейных уравнений с n неизвестными

(1) A x = λ x

имеет нетривиальное решение. Такие значения λ называются собственными значениями матрицы A, а соответствующие нетривиальные решения системы (1) — собственными векторами матрицы A, соответствующими собственному значению λ.

Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.

Число λ является собственным значением матрицы A тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет характеристическому уравнению

(2) det (λ I - A) = 0

Кратность собственного значения как корня характеристического уравнения (2) называется алгебраической кратностью собственного значения. Любая матрица порядка n в поле комплексных чисел имеет n собственных значений, если каждое из них считать столько раз, какова его алгебраическая кратность.

Множество собственных векторов матрицы A, соответствующих одному и тому же собственному значению λ, при добавлении к нему нулевого вектора образует линейное подпространство, которое называется собственным подпространством матрицы A, соответствующим собственному значению λ. Максимальное число линейно независимых собственных векторов, соответствующих данному собственному значению, называется геометрической кратностью собственного значения.

Геометрическая кратность любого собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.

Если вещественная матрица имеет комплексное собственное значение, то и λ будет являться собственным значением этой матрицы, где черта означает комплексное сопряжение. Если v — собственный вектор, соответствующий комплексному собственному значению λ вещественной матрицы, то вектор, координаты которого комплексно сопряжены с соответствующими координатами вектора v, является собственным вектором этой матрицы, соответствующим собственному значению λ .

Матрица A с элементами a_{i j} называется правой или верхней (левой или нижней) треугольной, если a_{i j} = 0 при i > j ( j > i ).

Матрица A с элементами a_{i j} называется правой или верхней (левой или нижней) почти треугольной, если a_{i j} = 0 при i > j + 1 ( j > i + 1). Другое название такой матрицы — верхняя (нижняя) матрица Хессенберга.

Матрица A * называется сопряженной по отношению к матрице A, если _{i j} = < A > _{j i}.

Комплексная матрица называется эрмитовой, если она совпадает со своей сопряженной (A = A * ).

Матрица A — 1 называется обратной к матрице A, если AA — 1 = A — 1 A = I, где I — единичная матрица.

Матрица U называется унитарной, если ее сопряженная матрица U * совпадает с обратной U — 1 , т.е. UU * = U * U = I.

Вещественная унитарная матрица U называется ортогональной.

Вещественная эрмитова матрица называется симметричной.

Если A — треугольная (диагональная) матрица, то ее собственные значения совпадают с ее диагональными элементами.

Любой единичный вектор (столбец единичной матрицы) является собственным вектором диагональной матрицы.

Две матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица P, для которой имеет место равенство

(3) B = P ^-1 A P

Две подобные матрицы A и B обладают тем замечательным свойством, что они имеют одинаковые собственные значения, а собственные векторы одной из подобных матриц легко вычисляются из собственных векторов другой, а именно

(4) X = PY ,

где X — матрица собственных векторов матрицы A, Y — матрица собственных векторов матрицы B, а P — матрица преобразования подобия (3), связывающего матрицы A и B.

Если x — собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению λ, то это же верно и для вектора y = k x при любом k ≠ 0. Таким образом, даже если геометрическая кратность собственного значения λ равна 1, то собственный вектор, соответствующий λ, определен лишь с точностью до произвольного, вообще говоря, комплексного множителя. Это необходимо учитывать при тестировании подпрограмм, вычисляющих собственные векторы.

Свойства собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Собственные векторы линейного преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Аналогичное утверждение было доказано для собственных векторов матрицы (см. свойство 1).

2. Все собственные векторы линейного преобразования , принадлежащие одному собственному значению, совместно с нулевым вектором образуют линейное подпространство, инвариантное относительно преобразования , где — тождественное преобразование. Множество векторов , т.е. является линейным подпространством (собственное подпространство, отвечающее собственному значению в силу равенств отображается в коллинеарный ему вектор .

3. Для собственного значения линейного преобразования существует цепочка инвариантных подпространств

Все перечисленные в цепочке (9.8) множества , являются линейными подпространствами по свойству ядра линейного преобразования. Каждое из подпространств инвариантно относительно преобразования его образ , так как в силу перестановочности многочленов от одного и того же линейного преобразования (см. пункт 2 замечаний 9.3)

так как согласно определения ядра оператора.

Докажем включение . Если , то , при этом очевидно, что

Остальные включения доказываются аналогично.

Из цепочки (9.8) «расширяющихся» подпространств следует, что их размерности не убывают

поэтому в силу конечномерности пространства , т.е. . Покажем, что дальнейшего «увеличения» подпространств нет, т.е. для любого натурального и для некоторого пространства не совпадают: , то есть существует вектор , который не принадлежит пространству . Обозначим . Тогда, с одной стороны, , так как , поскольку . С другой стороны, , так как , поскольку . Следовательно, и и одновременно, что противоречит предположению .

Таким образом, в цепочке (9.8) размерности пространств , возрастают. Поэтому .

Корневым подпространством линейного преобразования с наименьшим натуральным показателем .

4. Если , то пространство , где — корневое подпространство, а — инвариантное относительно подпространство, в котором нет собственных векторов, принадлежащих собственному значению . Выберем вектор . Так как вектор , то существует такой вектор . Поскольку , то . Тогда . Следовательно, вектор , но , так как — корневое подпространство. Значит,

По теореме 9.1 о размерности ядра и образа получаем, что . Следовательно, пространство (см. признаки прямых сумм подпространств).

Докажем, что в нет собственных векторов, принадлежащих собственному значению и в силу (9.8) . Подпространство имеет с только один общий вектор (нулевой). Поэтому , так как . Инвариантность подпространства следует из перестановочности операторов (см. пункт 2 замечаний 9.3). В самом деле, для любого вектора существует прообраз . Поэтому в силу перестановочности операторов

поскольку и . Таким образом, инвариантность подпространства доказана, так как .

Теорема (9.5) о разложении пространства в сумму корневых подпространств

Если все различные корни характеристического уравнения линейного преобразования являются его собственными значениями, то пространство

где — корневое подпространство, соответствующее собственному значению .

В самом деле, по свойству 4 можно «отщепить» корневое подпространство , т.е. представить пространство , причем в нет собственных векторов, принадлежащих собственному значению . В пространстве определено сужение преобразования , аналогичным образом можно «отщепить» корневое подпространство , т.е. представить пространство в виде прямой суммы инвариантных подпространств: . Этот процесс следует продолжить до тех пор, пока не исчерпаются все корни характеристического уравнения.

Следствие. Если все различные корни характеристического уравнения линейного преобразования являются его собственными значениями, то существует базис пространства

где — матрицы сужений , преобразования

Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений

Алгебраической кратностью собственного значения линейного оператора (преобразования) называется кратность корня характеристического многочлена (или, что то же самое, кратность корня характеристического уравнения ).

Геометрической кратностью собственного значения линейного оператора (преобразования) называется размерность собственного подпространства , соответствующего этому собственному значению.

Теорема 9.6 о кратностях собственных значений оператора. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.

Представим пространство (см. свойство 4) и обозначим . Выбрав базис пространства , дополним его до базиса всего пространства. В этом базисе, согласно следствию теоремы 9.5, матрица , где квадратная матрица порядка является матрицей сужения преобразования , а матрица является матрицей сужения . Характеристический многочлен матрицы

где — многочлены степеней и соответственно. Так как сужение не имеет собственных значений, отличных от , то , в силу того, что и основной теоремы алгебры. Поскольку сужение не имеет собственных векторов, принадлежащих собственному значению , то . Следовательно, -алгебраическая кратность собственного значения . Тогда утверждение теоремы следует из включения (9.8): , так как .

Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений и их взаимосвязь.

Критерий диагонализируемости матрицы линейного оператора, достаточные условия диагонализируемости линейного оператора.

Критерий: Матрица Ае оператора АL(Vn) в базисе[e> имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда базисные вектораe1,e2,…en являются собственными векторами оператора А. При это матрица Ае в базисе из собственных векторов имеет вид:, гдеλ – собственные значения оператора А: Док-во: Достаточность. Если базис[e] состо из из собственных векторов оператора А, т.е.Aek = λkek, то согласно определению матрицы линейного оператора имеетAe – диагональную матрицу изλ1…n.. Необходимость. Пусть матрица Ау линейного оператора А в данном базисе [e] имеет вид диагональной матрицы изλ1…n. Тогда очевидно, для любогоi=1….n Аei =λiei, теe1,e2,…en – собственные вектора аλ1,λ2,λ3….λn – собственные значения оператора А. Чтд.

Теорема Гамильтона-Кэли

Многочлен p(λ)переменной λ называется аннулирующим для квадратной матрицы A, если при подстановке в многочлен матрицы A вместо переменной λ получаем нулевую матрицу, т.е. p(A)=O. Для любой квадратной матрицы А многочлен называется характеристическим. Теорема:Характеристический многочлен матрицы является аннулирующим для нее, т.е. Док-во: Обозначим черезматрицу, присоединенную к характеристической матрице. Тогда из теоремы следует Правые части этих равенств можно рассматривать как многочлены с матричными коэффициентами (каждый коэффициент характеристического многочлена умножается на единичную матрицу). Из равенства выше следует, что λ-матрица делится на (A-λE)слева и справа без остатка, т.е. остаток равен нулевой матрице. Пообобщенной теореме Безуостаток равен левому и правому значениям многочленапри подстановке матрицы A вместо A. Отсюда получаем=0, т.е., что и требовалось доказать.

Корневой вектор

Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1 . Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора

$A\colon L \to L$

Пусть L — линейное пространство над полем K , — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор $x \in L$ , что для некоторого $\lambda \in K$

Ax = λx

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число $\lambda \in K$ , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение $x \in L$ .

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа $\lambda \in K$ называется множество всех собственных векторов $x \in L$ , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его E_λ . По определению,

$E_<\lambda> =\ker(A-\lambda \cdot E)» width=»» height=»» /> где E — единичный оператор. Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения <img decoding=$ называется такой ненулевой вектор $x \in L$ , что для некоторого натурального числа m

$(A-\lambda \cdot E)^m x =0$

$(A-\lambda \cdot E)^<m-1> Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть x \neq 0 » width=»» height=»» />), то m называется высотой корневого вектора x . Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа <img decoding=$ называется множество всех корневых векторов $x \in L$ , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его V_λ . По определению,

$V_<\lambda> =\bigcup_^<\infty>\ker(A-\lambda \cdot E)^m = \bigcup_^<\infty>V_<m,\lambda>,» width=»» height=»» /> <img decoding=$

Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования A ( A -инвариантным подпространством), если

$AV \subseteq V$ .

Собственные подпространства E_λ , корневые подпространства V_λ и подпространства V_m,λ линейного оператора A являются A -инвариантными.

Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): (A − 1) 2 = 0 , и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
- Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
$V_<\lambda>\bigcap V_<\mu>=\ » width=»» height=»» /> если <img decoding=$ .

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в n -мерном линейном пространстве L , можно сопоставить линейному преобразованию $A\colon L \to L$ квадратную $n\times n$ матрицу и определить для неё характеристический многочлен

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей

$P_A(\lambda)=\prod_<i=1>^n(\lambda — \lambda_i )» width=»» height=»» /> где <img decoding=$ — собственные значения; некоторые из λ_i могут быть равны. Кратность собственного значения λ_i — это число множителей равных λ − λ_i в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).
- Размерность корневого пространства $V_<\lambda_i>» width=»» height=»» /> равна кратности собственного значения.</li> <li>Векторное пространство L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):</li> </ul> <img decoding=$ , то (x,y) = 0 . (Для произвольного оператора это неверно.)
- Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
- Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
- Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности | λ | = 1 .
- В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора $A\colon \C^n \to \C^n$ , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
$L=\bigoplus_<\lambda_i>E_<\lambda_i>, » width=»» height=»» /> где суммирование производится по всем λi — собственным числам A , а <img decoding=$ является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

$n \times n$

Квадратная вещественная матрица A = (a_ij) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij > 0 .

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r , которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r , все координаты которого строго положительны. Вектор e_r — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор e_r может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v₀ с положительными координатами. Положим:

$v_<k+1> = \frac>\|>» width=»» height=»» /> <img decoding=$

Последовательность v_k сходится к нормированному собственному вектору .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М .: Наука, 1966. — 576 с.
Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М .: Наука, 1970. — 564 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Что такое геометрическая кратность собственного значения