В треугольнике abc известно что ac 26 ab bc 38 докажите что средняя линия треугольника
ЕГЭ профиль № 16
Треугольник
В треугольнике АВС известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
Решение:
Опустим высоту ВН на сторону АС, т.е. BH⟂AC
Так как MN — средняя линия, то MN || AC
→ MN ⟂ BH → △KLO — прямоугольный, тогда KO — гипотенуза и
Пусть r — радиус вписанной окружности, тогда KO = r и r > LO → MN пересекает окружность, вписанную в треугольник.
Точка Е — точка касания вписанной окружности с боковой стороной △АВС. Тогда АЕ = АН = 13 ( если к окружности из одной точки проведены две касательные, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны).
AM = BM = 38/2 = 19 (т.к. MN — средняя линия)
EM = AM — AE = 19 — 13 = 6
△KLO: KL² = KO² — LO² = KO² — (MO² — ML²) = KO² — MO² + ML² = KO² — (EM²+EO²) + ML² = KO² — EM² — EO² + ML² = r² — 6² — r² + (13/2)² = 169/4 — 36 = 25/4 → KL = 5/2
Аналогично LF = 5/2
Тогда KF = KL + LF = 5/2 + 5/2 = 5
MK = ML — KL = 13/2 — 5/2 = 8/2 = 4
FN = LN — LF = 13/2 — 5/2 = 4
Получаем MK:KF:FN = 4:5:4
Ответ: б) 4:5:4
Задание 16. ЕГЭ. В треугольнике АВС известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.
Задание. В треугольнике АВС известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
Решение:
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность, т. е. средняя линия треугольника MN пересекает окружность, если OE r.
Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти двумя способами.
Радиус, вписанной в треугольник ΔАВС окружности найдем используя формулу:
P = 2·AB + AC = 2·38 + 26 = 102
где Р – периметр треугольника ΔАВС, а r – вписанной в треугольник ΔАВС.
Площадь треугольника ΔАВС можно найти по формуле:
Из прямоугольного треугольника ΔАВH (∠H = 90 0 ) по теореме Пифагора найдем BH:
BH 2 = AB 2 – AH 2
BH 2 = 38 2 – 13 2 = 1444 – 169 = 1275
BH = 5√51
Приравнивая формулы (1) и (2) получим
Треугольники ΔABH и ΔOBT подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠ABH – общий, ∠BAH = ∠BOT), следовательно,
Найдем расстояние OE от центра окружности до средней линии треугольника MN:
Треугольники ΔMBE и ΔABH подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠ABH – общий, MN ǁ AC, ∠BME = ∠BAH – соответственные углы) с коэффициентом подобия k = 1/2, следовательно,
Сравниваем OE и r:
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
Треугольник ΔOKL – равнобедренный треугольник, так как OK = OL = r.
OE – высота и медиана треугольника ΔOKL, следовательно, KL = 2KE.
Из прямоугольного треугольника ΔOKE (∠E = 90 0 ) по теореме Пифагора найдем KE:
KE 2 = OK 2 – OE 2
MK = LN = (MN – KL)/2 = (13 – 5)/2 = 4
Тогда отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС:
MK : KL : LN = 4 : 5 : 4
Ответ: 4 : 5 : 4
В треугольнике abc известно что ac 26 ab bc 38 докажите что средняя линия треугольника
Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
а) MN – средняя линия треугольника ABC и , следовательно, . Треугольник OTF – прямоугольный: OT – катет, OF – гипотенуза, следовательно, OF > OT и OT < R, где R – радиус вписанной окружности. Отсюда следует, что MN будет пересекать вписанную в треугольник ABC окружность.
б) По условию AC=26, значит, MN=AC:2 = 13 (по свойству средней линии треугольника). Также дано, что AB=BC=38. Далее, отрезок касательной BP вычисляется как
где p – полупериметр треугольника ABC. Получаем:
Найдем длину отрезка . Так как MP – касательная, а MN – секущая, то по теореме о секущей и касательной, можно записать:
Пусть , а . Получаем уравнение:
Значение x=9 не удовлетворяет условию задачи, значит, MF=4, FZ=5, ZN=4. И окончательно, имеем:
Ответ: 4:5:4
Задание 16. Вариант 16 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов
Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АС = 26 и АВ = ВС = 38.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
а) MN – средняя линия треугольника ABC и 
, следовательно, 
. Треугольник OTF – прямоугольный: OT – катет, OF – гипотенуза, следовательно, OF OT и OT
б) По условию AC=26, значит, MN=AC:2 = 13 (по свойству средней линии треугольника). Также дано, что AB=BC=38. Далее, отрезок касательной BP вычисляется как
,
где p – полупериметр треугольника ABC. Получаем:
Найдем длину отрезка . Так как MP – касательная, а MN – секущая, то по теореме о секущей и касательной, можно записать:
Пусть 
, а 
. Получаем уравнение:
Значение x=9 не удовлетворяет условию задачи, значит, MF=4, FZ=5, ZN=4. И окончательно, имеем: