Ортогональные преобразования квадратичных форм
Как мы установили (см. 8.2), матрица А квадратичной формы при переходе к новому базису изменяется по формуле А’ = U T AU, где U — матрица перехода. Бели рассматривается евклидово пространство, а старый и новый базисы выбраны ортонормированными, то матрица перехода U является ортогональной и мы имеем дело с ортогональным преобразованием квадратичной формы, т.е, преобразованием А’ = U T AU, в котором матрица U ортогональна.
Теорема 8.1. При ортогональном преобразовании квадратичной формы характеристическое уравнение ее матрицы не изменяется.
◄ Пусть А — матрица заданной квадратичной формы. При ортогональном преобразовании эта матрица изменяется по формуле А’ = U T AU, где U — ортогональная матрица. Согласно свойству 7.2, ортогональная матрица U имеет обратную, причем U -1 = U T . Поэтому А’ = U T AU = U -1 AU, И мы видим, что матрицы А’ и А подобны. Согласно теореме 5.2, характеристи-ческие уравнения подобных матриц совпадают. ►
Теорема 8.2. Любую квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду.
◄ Матрица А данной квадратичной формы является симме-трической. Но любая симметрическая матрица, согласно следствию 6.4, подобна диагональной, т.е. существует такая невырожденная матрица Р, что матрица А’ = Р -1 АР является диагональной. Нам надо лишь убедиться, что в качестве Р можно выбрать ортогональную матрицу. Тогда А’ = Р T АР и диагональная матрица А’ является матрицей квадратичной формы, полученной из исходной при помощи ортогонального преобразования. Диагональный вид А’ равнозначен каноническому виду квадратичной формы. Чтобы выяснить характер матрицы Р, нужно вспомнить теорему 6.5, из которой и было выведено упомянутое следствие 6.4.
Рассмотрим произвольное n-мерное евклидово пространство Ε (n — количество переменных в квадратичной форме) и некоторый ортонормированный базис b в этом пространстве. Матрица А является матрицей некоторого самосопряженного оператора А в базисе b. Согласно теореме 6.6, существует такой ортонормированный базис е, что матрица А’ оператора А в этом базисе является диагональной. Согласно формуле преобразования матрицы линейного оператора, имеем А’ = Р -1 АР (см. теорему 4.6), где Р — матрица перехода из базиса b в базис е. Так как оба базиса ортонормированные, матрица Р является ортогональной. ►
Теорема доказана, но подход, который мы использовали в доказательстве, позволяет сделать и другие выводы, о которых в формулировке теоремы речь не идет. Во-первых, диагональными элементами матрицы А’ квадратичной формы канонического вида, получающейся в результате ортогонального преобразования, являются собственные значения матрицы А квадратичной формы. Из этого следует, что мы можем записать матрицу А’ канонического вида, не находя соответствующего ортогонального преобразования.
Во-вторых, находя ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, мы фактически ищем базис из собственных векторов соответствующего самосопряженного оператора. Действительно, если квадратичная форма и самосопряженный оператор имели в исходном ортонормированием базисе одинаковую матрицу, то и в новом ортонормированием базисе их матрицы будут совпадать.
Мы предполагаем, что квадратичная форма представляет собой запись функции, заданной в евклидовом пространстве, через координаты вектора в некотором ортонормированном базисе. На самом деле такая интерпретация носит чисто вспомогательный характер, помогающий смотреть на процесс с геометрической точки зрения, но она никак не используется в самом алгоритме построения ортогонального преобразования. Достаточно лишь записать матрицу квадратичной формы и применить к этой матрице процедуру приведения к диаго-нальному виду (см. 7.4).
Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисления ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.
Пример 8.4. Квадратичную форму f(x,у) = х 2 1 — 4x1x2 от двух переменных мы приводили к каноническому виду методом Лагранжа (см. пример 8.3). Теперь попробуем привести ее к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Матрица нашей квадратичной формы имеет вид
Найдем характеристическое уравнение этой матрицы:
Вычисляем корни характеристического уравнения, они же собственные значения матрицы А:
Теперь можем записать канонический вид назраей квадратичной формы:
Пример 8.5. Найдем канонический вид квадратичной формы
к которому она приводится ортогональным преобразованием, и укажем одно из таких ортогональных преобразований.
Квадратичная форма имеет матрицу
с характеристическим уравнением матрицы
Собственными значениями матрицы квадратичной формы являются λ1 = 1, λ2 = 9, т.е. квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием к каноническому виду
Для построения ортогонального преобразования найдем собственные векторы матрицы рассматриваемой квадратичной формы. Из однородной системы линейных алгебраических уравнений (А — λЕ)х = 0 при λ = 1 находим собственный вектор е1 = (1 — 1) T . Тогда вектор e2 = (1 1) T , ортогональный вектору e1, будет собственным вектором с соответствующим собственным значением λ2 = 9 (см. 7.4). Пронормировав эти векторы, составляем из столбцов их координат матрицу ортогонального преобразования
которой соответствует линейная замена переменных х = Ру. #
Единообразное поведение самосопряженных операторов и квадратичных форм при замене ортонормированного базиса объясняется следующей связью.
Теорема 8.3. Пусть А: Ε → Ε — самосопряженный oneратор, действующий в евклидовом пространстве Ε. Функция f(x) = (Аx, x), определенная на евклидовом пространстве, является квадратичной формой. Наоборот, для любой квадратичной формы f(x) на евклидовом пространстве Ε существует такой самосопряженный оператор А, что f(x) = (Аx, x). Этот оператор определен однозначно.
◄ Чтобы доказать первое утверждение теоремы, вспомним, как записывается скалярное произведение в ортонормированном базисе (см. 3.7). Используя такую запись и учитывая самосопряженность оператора, получаем
(Аx, x) = (x, Аx) = x 2 T Аx,
где х — столбец координат вектора x; А — матрица линейного оператора А. Мы пришли к координатной записи х T Ах некоторой квадратичной формы.
Пусть f(x) — квадратичная форма, которая в данном ортонормированном базисе е имеет вид f(x) = х T Ах. Взяв самосопряженный оператор А, который в базисе е имеет матрицу А, получаем
f(x) = х T Ах = х T (Ах) = (x, Аx) = (Аx, x).
Наконец, докажем, что если для Двух самосопряженных операторов А и В выполняется равенство (Аx, x) = (Вx, x) для любого вектора x ∈ Ε, то А = В. Записав указанное равенство в координатах (А, В — матрицы операторов, х — столбец координат вектора x), получаем х T Ах = х T Вх, т.е. равенство двух многочленов второй степени от n переменных. Такое равенство возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты этих многочленов при одинаковых слагаемых равны, но это эквивалентно равенству матриц А = В и, следовательно, равенству самосопряженных операторов. ►
Как привести квадратичную форму к каноническому виду?
Метод Лагранжа
Приветствую вас на втором уроке о квадратичных формах, который посвящен её каноническому виду и соответствующим методам. «Чайникам» и вновь прибывшим с поисковика рекомендую сначала ознакомиться первой частью – чтобы быстренько привести себя в форму 🙂
И мы сразу же продолжаем. Если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с парными произведениями переменных, то говорят, что она находится в каноническом виде. …Первая часть предложения была понятной? Тогда едем дальше.
Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду:
– форму двух переменных – к виду (различаем коэффициенты «а» и «альфа»!);
– трёх переменных – к виду ;
– форму переменных «простыня» – к виду:
Чуть позже я сформулирую это утверждение более строго, расскажу о геометрическом смысле, да и просто смысле приведения – после того, как мы освоим техническую сторону вопроса.
И ключевой момент этой технической стороны состоит в линейных заменах:
– ТАКИХ, которые как раз и приводят форму к каноническому виду.
Систему часто записывают в виде компактного матричного уравнения , где:
– столбцы старых и новых переменных, – матрица линейного преобразования.
Внимание! Если вам не понятно, как из уравнения получить систему замен, обязательно посмотрите здесь (после Примера 3). Это важно.
Существует несколько способов приведения формы к каноническому виду, и в рамках сайта я расскажу о методе Лагранжа и методе ортогональных преобразований (уже следующий урок).
Начнём с наиболее простого метода:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
простенько и со вкусом
Решение: здесь используются стандартные замены с последующим применением бородатой формулы :
– форма в каноническом виде.
Запишем матрицу проведённого линейного преобразования: – она состоит из «игрековых» коэффициентов замен .
Ответ: ,
Пример, конечно, прозрачный, но сразу зададимся вопросом – как выполнить проверку? Её можно выполнить матричным методом по формуле , где – транспонированная матрица линейного преобразования, – исходная и – новая матрица квадратичной формы.
В нашем случае – исходная матрица формы , и, перемножая три матрицы:
– получаем матрицу формы , что и требовалось проверить.
Но то был лишь частный случай:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решение: когда в форме присутствуют квадраты переменных (а они есть почти всегда), то используется другой приём. Идея состоит в выделении полных квадратов по формулам , с дальнейшей заменой переменных.
Сначала выбираем какую-нибудь переменную, которая находится в квадрате, здесь можно выбрать или . Переменные традиционно перебирают по порядку, поэтому рассматриваем и собираем вместе все слагаемые, где есть эта переменная:
«двойку» удобно вынести за скобки:
очевидно, всё дело сведётся к формуле , и нам нужно искусственно организовать данную конструкцию. Для этого в скобках прибавляем и, чтобы ничего не изменилось – за скобками проводим вычитание:
выделяем полный квадрат:
, после чего выполним проверку обратными действиями – раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК
Теперь проведём замены :
– форма в каноническом виде.
И тут вроде бы можно записать матрицу линейного преобразования, но есть одна загвоздка, проведённые замены имеют вид :
но нам-то нужна другая матрица – матрица уравнения .
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, а сразу приведу готовый результат – искомая матрица линейного преобразования. Напоминаю (см. начало урока), что в этой матрице находятся «игрековые» коэффициенты «прямых» замен:
Справка: возможно, ещё не все до конца понимают, как из матричного уравнения получается система замен. В правой части уравнения выполняем матричное умножение:
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, таким образом:
И в самом деле, выполняя прямые замены в форме :
– получаем её канонический вид, найденный выше.
То же самое можно установить матричным методом. Запишем матрицу формы и в результате перемножения трёх матриц:
– получим «каноническую» матрицу.
Прямая подстановка, безусловно, удобнее, но особенность метода Лагранжа состоит в том, что к канонической форме мы подбираемся «с другой стороны» (за исключением немногочисленных случаев наподобие предыдущего примера).
Ответ: ,
Если условие не запрашивает линейное преобразование, то решение заметно сократится. Но мы его наоборот – ещё больше увеличим 🙂 В образовательных целях.
Квадратичную форму можно привести к каноническому виду не единственным способом. Это следует уже из самого алгоритма действий. Так, например, полный квадрат можно выделить без выноса «двойки» за скобку:
и, после замен тоже получается канонический, но уже другой вид рассматриваемой формы:
Кстати, начать можно и со 2-й переменной –
выполните это задание самостоятельно:
Привести квадратичную форму к каноническому виду, выделив полный квадрат при переменной . Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решение и ответ в конце урока.
Повысим уровень сложности, а точнее, количество переменных:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решать начинаем традиционно – группируем все слагаемые, которые содержат 1-ю переменную:
и начинаем конструировать полный квадрат:
здесь чётко просматривается формула и для её применения мы должны прибавить и вычесть :
«собираем» квадрат суммы и упрощаем «хвост», распишу это упрощение подробно:
На следующем шаге обычно выделяется ещё один полный квадрат, но у нас осталось единственно слагаемое с парным произведением, и в подобной ситуации сразу же выполняются замены, в данном случае :
В результате получен неканонический вид формы и поэтому нам потребуется ещё одна замена. Используем стандартный трюк, который встретился в самом начале урока:
. Таким образом, получаем:
– форма в каноническом виде.
Теперь нужно записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Ситуация осложнятся тем, что мы провели ДВА преобразования, и нам предстоит найти их композицию – результирующее преобразование, которое выражает через сумму / разность «игреков».
Давайте разбираться, что к чему. Запишем первую замену в матричной форме: .
Вторая же замена имеет несколько другой вид:
Из уравнений следует, что:
Для разрешения полученного уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Таким образом, нам нужно найти обратную матрицу (уже не нужно:)) и выполнить матричное умножение:
– получив тем самым искомое результирующее преобразование.
Но подставлять в форму что-то неохота, и поэтому «пропустим через мясорубку» её матрицу , благо, матричный калькулятор под рукой:
– получена матрица приведённой формы , в чём мы и хотели убедиться.
Обратите внимание на удобство матричной записи и матричного метода – они практически «сводят на нет» путаницу в индексах и степенях квадратичной формы.
Ответ: ,
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
б) – особенно часто встречающийся тип приведения.
В образцах решения использован «традиционный» путь, т.е. полные квадраты выделяются по порядку, начиная с 1-й переменной. Перед заменой переменных полезно выполнять обратный ход – раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы получить исходный вид. Это вполне надёжный способ проверки. Также обратите внимание, что здесь не требуется указывать линейное преобразование, однако, я коротко рассказал, как его находить (мало ли, понадобится).
…У всех всё получилось? Тогда продолжаем – начинается самое интересное! Наверное, все понимают, что подавляющее большинство линейных преобразований не приводят нас к желаемому результату. Вернёмся к подопытной форме Примера 7 и проведём, например, такую замену: .
Запишем матрицу формы , матрицу преобразования и воспользуемся знакомой формулой:
Таким образом, форма приняла другой, тоже неканонический вид .
И тут я хочу отметить ещё одно преимущество матричного решения, о котором не говорил. В результате умножения ДОЛЖНА получиться симметрическая и только такая матрица, и этот факт значительно снижает риск пропустить ошибку. Но, разумеется, можно выполнить и прямую подстановку в :
Правда, запутаться тут легче и гарантий никаких.
Далее. Все преобразования, которые нам встретились выше, не вырождены. Что это означает? Это означает, что для них существует обратное преобразование – образно говоря, «путь назад». Теперь не образно:) определитель матрицы невырожденного линейного преобразования непременно отличен от нуля , что гарантирует существование обратной матрицы и «зеркальной» формулы , с помощью которой мы можем однозначно восстановить исходную матрицу .
Чего не скажешь о преобразовании вырожденном – это «билет в один конец». Одним из таких преобразований является тривиальное нулевое преобразование. Так, например, если , то форма вырождается в нулевую форму с матрицей . Обратного пути нет, то есть, если нам изначально дана вырожденная «игрековая» форма с матрицей , то невозможно выяснить, от какой формы она произошла.
Существуют и другие типы «вырождения», но всех их объединяет тот факт, что определитель матрицы такого преобразования равен нулю: , из чего следует, что обратной матрицы не существует, а значит, не существует и возврата.
А теперь заметим, что нулевое преобразование привело нас… к каноническому виду ! И в самом деле – это же канонический вид по определению. И поэтому сейчас мы усилим утверждение, сформулированное в начале урока: любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Существование такого преобразования, в частности, гарантирует метод Лагранжа.
И сейчас я озвучу кульминационный и ОЧЕНЬ важный момент: невырожденное линейное преобразование не меняет СУЩНОСТИ квадратичной формы. Здесь можно привести такой ассоциативный пример: рассмотрим произвольную ненулевую форму и представим, что это квадратный лист бумаги, на котором записано некое слово. Если форма находится в неканоническом виде, то лист занимает такое положение, в котором мы слова не видим, или же только догадываемся, что это за слово.
1) Невырожденное преобразование, которое приводит форму к каноническому виду, поворачивает листок бумаги к нам «лицом» – чтобы слово было отчётливо видно. Поскольку таких преобразований на самом деле много, то лист бумаги в общем случае будет менять свой размер и местоположение, и размер шрифта тоже будет меняться. Но что не изменится – так это слово.
2) Невырожденное преобразование, которое НЕ приводит форму к каноническому виду, делает то же самое с большим и толстым нюансом: слова мы по-прежнему не видим.
3) Вырожденное линейное преобразование либо полностью стирает с листа слово (нулевое преобразование), либо стирает отдельные буквы – так, чтобы нельзя было однозначно сказать, от какого слова они остались; причём, мы можем не увидеть даже и этих букв (если форма осталась в неканоническом виде).
И, завершая ассоциацию, отметим наиболее интересный случай – когда невырожденное преобразование не только приводит форму к каноническому виду, но ещё и сохраняет размер листа, т.е. поворачивает его к нам в неизменном виде. Жду вас на третьем уроке о методе ортогонального преобразования, где мы продолжим увлекательную беседу и вложим в сущность формы конкретный геометрический смысл.
Решения и ответы:
Задание к Примеру 7. Решение: приведём форму к каноническому виду
Проведём замены :
– форма в каноническом виде.
Найдём матрицу линейного преобразования , где – матрица «иксовых» коэффициентов проведённых замен.
В данном случае (см. урок Как найти обратную матрицу?)
Выполним проверку прямой подстановкой в :
, что и требовалось проверить.
Пример 9. Решение:
а) проведём замены :
Полученная форма имеет неканонический вид, и здесь следует выделить полные квадраты. Начнём с переменной :
теперь выделяем квадрат при переменной :
Контроль:
, что и требовалось проверить.
Проведём замены:
Примечание: проведённые замены можно записать в виде матричных уравнений . Из последнего уравнения выразим и подставим в первое уравнение: . Таким образом, для нахождения матрицы итогового линейного преобразования нужно найти и выполнить умножение .
б) Решение: выделим полный квадрат при 1-й переменной:
«собираем» полный квадрат и упрощаем «хвост»:
выделим полный квадрат при 2-й переменной:
Выполним проверку раскрыв все скобки:
– получен исходный вид формы.
Примечание: выполненные замены имеют вид , таким образом, матрица линейного преобразования:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено
Ортогональное преобразование квадратичной формы
На этом уроке мы продолжим приводить квадратичную форму (1-е занятие) к каноническому виду (2-е занятие), и помимо нового метода приведения, рассмотрим геометрический смысл темы и важное практическое приложение – о том, как привести линию второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.
Сначала расскажу суть метода в общем виде. Ничего страшного, если что-то будет не понятно – всё разберём на конкретных примерах.
Любую квадратичную форму с действительными (как мы оговорили) коэффициентами можно привести к каноническому виду:
, где – собственные числа матрицы (тоже действительные).
Такое приведение осуществляется с помощью линейного преобразования (замен):
, коэффициенты которого (по столбцам!) – есть координаты соответствующих ортонормированных собственных векторов матрицы :
Данные векторы нормированы (имеют единичную длину) и попарно ортогональны (грубо говоря, перпендикулярны); отсюда и название – метод ортогонального преобразования.
Напоминаю распространённую матричную запись , где:
и – матрица ортогонального преобразования.
Посмотрим, как работает метод в простейшем случае:
Это не опечатка – пример уже десятый!
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования
Найти матрицу соответствующего преобразования.
Решение: запишем матрицу формы и из уравнения найдём её собственные числа:
Очевидно, что , таким образом:
– квадратичная форма в каноническом виде.
Найдём соответствующее линейное преобразование. Для этого нужно отыскать собственные векторы матрицы :
1) Если , то получаем систему линейных уравнений:
, откуда следует, что .
Полагая , запишем первый собственный вектор: – координаты удобно записывать именно в столбец! Сразу вычислим длину вектора (скоро потребуется):
2) Если , то имеем систему:
, из которой следует, что
Пусть , тогда и – второй собственный вектор. Его длина:
Если матрица формы имеет различные собственные числа, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны. Убедимся в справедливости этого утверждения для нашей пары, вычислив их скалярное произведение:
Поскольку длины векторов не равны единице, то их нужно нормировать, т.е. найти коллинеарные им векторы единичной длины. Для этого каждую координату собственного вектора делим на его длину:
– координаты на ;
– координаты на .
Такую задачу мы решали в курсе аналитической геометрии на уроке… да, на уроке Уравнение плоскости (Пример 5), но сейчас речь идёт, подчёркиваю, о векторах в их алгебраическом смысле.
Проверим, что длины полученных векторов действительно равны единице:
, ч.т.п.
Теперь последовательно помещаем координаты векторов в столбцы матрицы: – это и есть матрица выполненного ортогонального преобразования, в строках которой находятся «игрековые» коэффициенты линейных замен: .
Ответ: ,
Полученный результат можно проверить:
1) непосредственной подстановкой в форму :
2) либо с помощью знакомой формулы:
– получив «каноничную» матрицу.
Справка: матрица ортогонального преобразования квадратичной формы относится к классу так называемых ортогональных матриц (Вики), которые встречаются не только в этой теме. Ортогональная матрица обладает рядом интересных свойств, в частности, её определитель равен +1 либо –1, а транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей.
А сейчас обратим внимание на следующий момент: канонический вид и алгоритм решения никак не регламентируют порядок расположения собственных чисел, и поэтому форму можно привести к такому виду не единственным способом. Так, если в прорешанном примере перечислить собственные числа в другом порядке: (никто ж не запрещает), то получится другой, тоже канонический вид . При этом нормированные собственные векторы меняются местами: и матрица линейного преобразования будет другой: . В строках этой матрицы находятся «игрековые» коэффициенты соответствующих линейных замен:
Желающие могут выполнить прямую подстановку в и «на выходе» получить .
Теперь рассмотрим эту же квадратичную форму в геометрической «ипостаси». Для понимания следующего примера нужно ориентироваться (хотя бы в общих чертах) в линиях второго порядка:
С помощью теории квадратичных форм привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду
Иными словами, нам нужно выяснить, какую линию задаёт это уравнение (эллипс, гиперболу, параболу или какую-то другую) и записать его в каноническом виде. В курсе аналитической геометрии мы рассмотрели «традиционные» методы приведения, и вот сейчас познакомимся с ещё одним способом.
Начало решения практически совпадает с предыдущей задачей, с той поправкой, что там фигурировали переменные и , а в геометрии обычно используют («старые» переменные) и («новые» переменные – штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным).
Итак, на первом шаге рассматриваем квадратичную форму , записываем её матрицу и находим её собственные числа. После чего возникает недавний вопрос – в каком порядке их следует перечислить: или ? Когда мы просто приводили форму к каноническому виду, это не имело значения. Но вот тут имеет.
В первом случае у нас получится уравнение , во втором: . Оба уравнения задают гиперболу, однако канонический вид имеет только второе уравнение. Таким образом, нас устраивает «комплект» , но НЕ ФАКТ, что подойдет найденное преобразование .
Дело в том, что ортонормированные собственные векторы можно выбрать ещё тремя способами: или , и если бы мы просто приводили форму к каноническому виду, то опять же – нас устроил бы любой из 4 вариантов. Но не сейчас.
По той причине, что линейные преобразования должны соответствовать формулам формулами поворота декартовой системы координат на угол «фи». Этот факт справедлив только в том случае, если определитель матрицы преобразования равен «плюс» единице: .
Проверяем: , таким образом, нам повезло, и преобразование действительно подходит под шаблон .
Значениям соответствует табличный угол , но привычнее, конечно, говорить об угле .
Таким образом, поворачивая систему на 45 градусов по часовой стрелке, мы переходим от уравнения в старой системе координат к каноническому уравнению в новой системе координат :
Наклоните голову вправо на 45 градусов и убедитесь, что в «красной» системе координат гипербола действительно имеет канонический вид.
Кроме того, нас устроило бы ещё одно преобразование: . Легко видеть, что его определитель равен «плюс» единице и формулам соответствует поворот системы на против часовой стрелки. В этом случае оси будут «смотреть» в противоположные стороны и гипербола тоже окажется в каноническом положении. Желающие могут повернуть голову влево на 135 градусов и приобщиться к прекрасному 🙂
Ответ:
Что произойдёт, если квадратичную форму приводить к каноническому виду методом Лагранжа? В общем случае будут получаться другие гиперболы. Но гиперболы! И вообще – любое невырожденное линейное преобразование данной формы будет приводить нас к уравнениям гипербол, и только к ним – как я отмечал в конце предыдущего урока, такое преобразование не меняет СУЩНОСТИ формы.
Таким образом, метод Лагранжа – это «быстрый» способ узнать, что это за линия, но вот сохранение её размеров нам гарантирует лишь ортогональное преобразование.
Ортогональное линейное преобразование переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис и сохраняет размеры объектов. Это справедливо для пространства любой размерности, и, кроме того, применимо не только к квадратичным формам – ортогональному преобразованию (Вики) посвящена отдельная тема высшей алгебры, и интересующихся я отсылаю к соответствующим источникам информации.
Следующий пример для самостоятельного решения:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования.
Решить задачу двумя способами (переставляя собственные числа) и записать матрицы соответствующих линейных преобразований.
После чего мы продолжим банкет родственной геометрической задачей:
Данную линию мы уже приводили к каноническому виду (Пример 1) и сейчас сделаем то же самое, используя новый метод.
Надеюсь все прорешали предыдущее задание, поскольку начало решения будет совпадать с точностью до обозначений, и нам осталось выбрать подходящее преобразование:
Очевидно, здесь получится уравнение эллипса , и чтобы выдерживалось неравенство полуосей, нам подойдёт МЕНЬШИЙ коэффициент при переменной «икс штрих», то есть, следует выбрать первый вариант:
В своём образце решения я сразу выбрал подходящее преобразование
, определяющее поворот на угол , но у вас мог получиться и любой другой их трёх оставшихся случаев (в зависимости от выбора собственных векторов).
Преобразование тоже приемлемо (поворот примерно на ), а вот и непригодны, так как не соответствуют формулам .
Итак, в результате замен исходное уравнение преобразуется к виду:
Данное уравнение задаёт тот же самый эллипс в системе (зелёный цвет), которая получена поворотом системы на угол :
Осталось провести параллельный перенос координатных осей. Выделяем полные квадраты:
И в результате замен получаем каноническое уравнение эллипса в «красной» системе :
Ответ:
Но для решения этой задачи, конечно, выгоднее метод инвариантов.
Самостоятельно решите Пример 3 того же урока, которому была посвящена целая мыльная опера с несколькими чертежами:
– привести уравнение линии к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы.
Следует отметить, что здесь нас устроит всего лишь одно преобразование из четырёх, поскольку перед нами парабола, и в каноническом положении она «смотрит» в одну, строго определённую сторону.
Краткое решение и ответ в конце урока. Любопытно, что тут решение, наоборот – получилось заметно проще, чем «классическим» геометрическим методом. Ну и конечно, подарок, если нужно выполнить только один поворот, как в Примере 11.
Кстати, как быстро и даже устно определить тип линии? Если определитель матрицы формы , то перед нами линия эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс или пара мнимых пересекающихся прямых), если – то гиперболического (гипербола или пара пересекающихся прямых), и если – то параболического (парабола, пара параллельных (мнимых или обычных) или пара совпавших прямых).
На этой позитивной ноте перейдём к квадратичным формам трёх переменных:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования
Найти соответствующее преобразование
Решение начинается точно так же: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:
определитель раскрою по 1-й строке:
напоминаю полезный технический приём – в первом слагаемом, где нам светит «лямбда в кубе», не нужно спешить раскрывать скобки:
решив квадратное уравнение, раскладываем трёхчлен на множители:
таким образом, нам удалось избавиться от многочлена 3-й степени, отыскание корней которого – есть непростая задача. И теперь такой задачи нет:
Порядок собственных чисел не имеет значения, и поэтому я выберу вариант:
– чтобы красивее записать канонический вид:
Найдём ортогональное линейное преобразование. Сложность задачи состоит в том, что если среди собственных чисел есть кратные, то ортогональность найденных собственных векторов не гарантирована, и в «неудачном» случае нам придётся предпринять меры по их ортогонализации. Впрочем, не будем торопить события:
1-2) Если , то получаем систему:
, которая фактически состоит из одного уравнения.
Выберем в качестве базисной переменную «альфа» и выразим её через свободные переменные: . Запишем общее решение в столбец:
Теперь нам нужно найти векторы фундаментальной системы. Для значений получаем:
– первый вектор фундаментальной системы;
и для :
– второй вектор.
Легко видеть, что оба вектора удовлетворяют системе (уравнению ) и, естественно, являются собственными. Вычислим их скалярное произведение:
, значит, данные векторы НЕ ортогональны, что нас не устраивает.
Поэтому эту пару векторов следует ортогонализовать. Поскольку любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы тоже является решением системы (уравнения ), то рассмотрим вектор , где – пока ёщё неизвестный числовой коэффициент, и составим следующее скалярное произведение, которое должно быть равно нулю:
откуда выражаем и находим:
Таким образом, в качестве первого собственного вектора выбираем:
и в качестве второго:
Как на ладони видно:
– что полученные векторы действительно ортогональны
С третьим собственным вектором всё прозрачно:
3) Если , то получаем систему:
из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:
Пусть
Таким образом, третий собственный вектор: . Не забываем о проверке – устно или на черновике подставляем его координаты в каждое уравнение системы.
И проверяем, ортогонален ли он ранее найденным векторам :
Отлично. Осталось вычислить длины векторов и при необходимости их нормировать:
Таким образом, матрица ортогонального преобразования:
Запишем ответ: и преобразование в виде прямых замен:
Но подставлять всё это в что-то не хочется 🙂 Однако, проверка нужна, и мне проще воспользоваться матричным калькулятором:
Засёк для интереса время, «забивка» матриц и вычисления заняли ровно 2 минуты.
И здесь есть ещё один интересный момент. В рассмотренной задаче векторы фундаментальной системы можно выбрать бесчисленным количеством способов, и поэтому мы можем построить бесконечно много ортогональных преобразований, которые приводят форму к виду . Но так бывает, конечно, не всегда.
В заключение статьи кратко расскажу о геометрическом смысле ортогонального преобразования формы трёх переменных. Даже добавлять константу не буду:
– данное уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка в «школьном» базисе . Что это за поверхность – скажет разве что вундеркинд.
Проведённое ортогональное преобразование осуществляет переход к другому ортонормированному базису – ТАКОМУ, в котором данная поверхность имеет канонический вид:
– откуда сразу понятно, что это коническая поверхность, причём, ортогональное преобразование сохранило её размеры. Кстати, перед нами конус вращения, и теперь стало ясно, почему существует бесконечно много пригодных ортогональных преобразований: связку векторов мы можем «повернуть в горизонтальной плоскости» как угодно, и во всех полученных базисах коническая поверхность будет иметь канонический вид.
Саму же разновидность поверхности можно выяснить быстрее – методом Лагранжа, но он в общем случае будет «показывать» нам конусы других размеров.
И задача для самостоятельного решения, тоже с кратными собственными числами, ибо с разными получится как-то совсем скучно:
Найти ортогональные линейные замены, приводящие форму к каноническому виду
Не пропускайте, это несколько другой тип 😉 Да и вычислений заметно меньше.
Для квадратичных форм четырёх и бОльшего количества переменных задача ортогонального преобразования решается по аналогии. Но в учебной практике такие примеры редкость ввиду их вычислительной сложности, и поэтому я завершаю эту увлекательную тему.
Квадратичные формы – держат нас в форме!
Решения и ответы:
Пример 12. Решение: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:
Решим квадратное уравнение:
– собственные числа, таким образом:
– форма – в каноническом виде.
Найдём собственные векторы, их длины и при необходимости выполним нормирование:
1) Если , то:
, пусть
Таким образом:
.
Разделим каждую координату на длину:
Таким образом, матрица линейного преобразования:
Выполним проверку прямой подстановкой в :
, что и требовалось проверить.
Ответ: , , в случае перестановки собственных чисел:
,
Пример 14. Решение: запишем матрицу квадратичной формы и найдём её собственные числа:
так как каноничная парабола определяется уравнением , то нам нужно перечислить собственные числа в следующем порядке:
Таким образом, квадратичная форма преобразуется к виду:
.
Найдём собственные векторы и при необходимости выполним их нормирование:
1) Если , то:
, пусть
2) Если , то:
, пусть
Примечание: вектор в пару к не годится, т.к. линейное преобразование не будет соответствовать формулам поворота.
Таким образом, матрица линейного преобразования:
, которое по формулам приводит уравнение к виду:
Однако, после раскрытия скобок, выясняется, что знак при переменной не приведёт нас каноническому виду .
И поэтому нужно выбрать другое преобразование, определитель которого . Этому критерию подходит пара ортонормированных векторов , , задающая преобразование с поворотом на рад. (–135 градусов) (это угол табличный: значениям соответствует или рад.)
Таким образом, данное преобразование приводит нас к уравнению:
избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числители и знаменатели на :
«собираем» полный квадрат при переменной :
и проводим замены .
Пример 16. Решение запишем матрицу формы и найдём её собственные числа:
определитель выгодно раскрыть по 3-й строке или 3-му столбцу:
– собственные числа, таким образом:
– форма в каноническом виде.
Найдём собственные векторы:
1-2) Если , то получаем систему:
, из которой очевиден собственный вектор .
Второй вектор найдём для из соотношения .
Пусть
3) Если , то:
Пусть
Проверим, что полученный вектор ортогонален двум первым векторам:
Первый вектор уже имеет единичную длину, поэтому:
другие векторы нужно нормировать:
Таким образом, матрица ортогонального преобразования:
Проверим результат прямой подстановкой в форму :
сгруппируем вместе и приведём подобные слагаемые:
, что и требовалось проверить.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид , если ее матрица диагональная, другими словами, в квадратичной форме имеются только члены с квадратами переменных, а все попарные произведения различных переменных отсутствуют (соответствующие коэффициенты равны нулю):
где — диагональная матрица, для которой условие симметричности матрицы квадратичной формы, разумеется, выполняется.
Задача приведения квадратичной формы к каноническому виду формулируется следующим образом. Для данной квадратичной формы (6.5) требуется найти такую линейную невырожденную замену переменных (6.8), при которой квадратичная форма принимает канонический вид (6.11). Как показывает следующая теорема, эта задача всегда разрешима. Заметим, что на практике нередко бывает достаточно определить только канонический вид квадратичной формы, не указывая замены переменных.
Теорема 6.1 о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду при помощи некоторой линейной невырожденной замены переменных.
Конструктивное доказательство этой теоремы составляет содержание метода Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду
Для приведения квадратичной формы переменных
к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.
1. Выбрать такую переменную ( ведущую ), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно (если в квадратичной форме есть член с квадратом переменной и с произведением этой переменной на другую переменную), и перейти к пункту 2.
Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом, и перейти к п.3.
Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.
2. По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит. Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые. Продолжить преобразования с пункта 1.
3. Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных, т.е. в новой квадратичной форме будут квадраты переменных с отличными от нуля коэффициентами. Продолжить преобразования новой квадратичной формы с пункта 1.
Идея метода Лагранжа состоит в том, что прием, используемый в п.2 (выделение полного квадрата), исключает одну переменную из числа ведущих. Например, если переменная — ведущая (т.е. и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля), то выделяем полный квадрат по переменной (собираем все члены с и дополняем их сумму до полного квадрата):
Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть полный квадрат. Поэтому
где — квадратичная форма, в которую не входит ведущая переменная — линейная форма, содержащая ведущую переменную . Обозначим , или, что то же самое, сделаем линейную замену переменных:
Тогда данная квадратичная форма преобразуется к виду .
Заметим, что в результате этого преобразования все члены, содержащие ведущую переменную в первой и второй степени, заменены квадратом одной новой переменной . В дальнейших преобразованиях переменная ух уже никогда не будет ведущей.
Многократно применяя этот прием, исключаем одну за другой все ведущие переменные, получая тем самым канонический вид квадратичной формы. Однако выделение полного квадрата невозможно, если в квадратичной форме вообще отсутствуют члены с квадратами переменных. В этом случае применяется способ, описанный в п.3, который порождает члены с квадратами переменных.
Например, в п. 1 выделена пара переменных и , произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом . Тогда нужно сделать замену переменных
При этом получим новую квадратичную форму , в которой появятся квадраты новых переменных с отличными от нуля коэффициентами, так как в результате замены член преобразуется к виду
а других членов с в новой квадратичной форме не будет.
Заметим, что при помощи метода Лагранжа не только находится канонический вид, но и определяется искомая невырожденная замена переменных. В самом деле, замены переменных (6.12), (6.13), которые производятся в п.2, 3 алгоритма, это линейные замены с матрицами
Определители матриц отличны от нуля . Следовательно, эти замены переменных невырожденные. Выполняя п.2, 3 алгоритма, можно определить матрицы используемых замен переменных. В результате их перемножения (в порядке нахождения) получается матрица искомой замены (согласно свойству 2 линейных замен переменных).
Пример 6.8. Привести квадратичную форму к каноническому виду.
1(1). В данную квадратичную форму переменная входит в первой и второй степенях одновременно. Выбираем ее в качестве ведущей.
2(1). По ведущей переменной выделяем полный квадрат:
Обозначим , тогда получим новую квадратичную форму . Продолжим преобразования, переходя к п. 1 алгоритма.
1(2). В квадратичной форме нет ведущих переменных, поскольку каждая переменная входит в форму либо во второй степени, либо в первой, но не в первой и второй степенях одновременно. Однако имеется произведение разных переменных. Переходим к п.3 алгоритма.
3(1). Заменяем выбранную пару переменных . Оставшуюся старую переменную принимаем за соответствующую новую . Получаем квадратичную форму
Переходим к пункту 1 алгоритма.
1(3). В квадратичной форме нет ведущих переменных (все переменные входят в форму во второй степени), кроме того, нет произведений различных переменных. Следовательно, квадратичная форма имеет канонический вид диагональной матрицей .
Найдем теперь невырожденную линейную замену переменных, приводящую данную форму к каноническому виду. В пунктах 2(1) и 3(1) решения выполнялись замены и с матрицами
Следовательно, матрица искомой замены находится как произведение
Получим матрицу квадратичной формы, приведенной к каноническому виду по формуле (6.10):
то есть что соответствует найденному каноническому виду.
1. Канонический вид квадратичной формы определен неоднозначно, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Сделав, например, замену переменных в (6.11), получим другую квадратичную форму, которая тоже имеет канонический вид.
2. Элементы матрицы невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, вычисляются при помощи арифметических операций по коэффициентам квадратичной формы. Поэтому, если коэффициенты квадратичной формы рациональные, действительные, комплексные, то и коэффициенты линейной замены рациональные, действительные, комплексные соответственно.
Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду
Рассмотрим еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, который учитывает особенности преобразования (6.10) матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных.
Две квадратные матрицы конгруэнтными , если существует такая невырожденная матрица , что . Конгруэнтными, например, являются матрицы квадратичных форм, получающиеся при невырожденной замене переменных (6.8), так как они связаны равенством (6.10).
Напомним, что главными минорами квадратной матрицы называются миноры, составленные из ее элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Например, — главный минор k-го порядка квадратной матрицы n-го порядка. Угловыми минорами квадратной матрицы
где угловой минор k-го порядка составлен из элементов матрицы
Свойства конгруэнтных матриц
1. Конгруэнтные матрицы имеют равные ранги. В самом деле, ранг произведения матрицы и 2. Матрица, конгруэнтная симметрической матрице, также является симметрической. Действительно, если , то
3. Определители действительных конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки. В частности, если и . В самом деле, из равенства и свойства 1 определителя следует, что , т.е. знаки величин и совпадают. Если же .
4. Если квадратные матрицы , где матрица — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали
то все угловые миноры матриц обозначаются любые числа.
Действительно, разобьем квадратные матрицы и
Здесь обозначаются блоки соответствующих размеров, значения элементов которых для доказательства не существенны и могут быть любыми. Получили, что . Учитывая, что для любого , по свойству 3 имеем
т.е. угловые миноры и матриц .
1. Линейная невырожденная замена переменных не изменяет ранга квадратичной формы. Это следует из свойства 1 конгруэнтных матриц.
2. Ранг квадратичной формы равен количеству отличных от нуля коэффициентов в ее каноническом виде (6.11). Действительно, согласно предыдущему пункту , но ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых ее элементов.
Теорема 6.2 Якоби о каноническом виде квадратичной формы. Если квадратичная форма имеет ранг и ее угловые миноры отличны от нуля:
то ее можно привести к каноническому виду
при помощи линейной замены переменных с верхней треугольной матрицей вида (6.15).
Действительно, применяя метод Лагранжа, выбираем первую переменную в качестве ведущей и выделяем по ней полный квадрат. Другими словами, делаем линейную замену переменных (6.12). Этой замене соответствует матрица в (6.14), которая является верхней треугольной вида (6.15). Получим квадратичную форму с матрицей
где звездочкой обозначены некоторые элементы матрицы — верхняя треугольная с единицами на главной диагонали. Тогда по свойству 4 конгруэнтных матриц, получаем , следовательно . Отсюда . Значит, вторую переменную можно взять в качестве ведущей и выделить по ней полный квадрат. Для этого делаем линейную замену переменных с матрицей вида (6.15) и т.д. Условия (6.16) обеспечивают возможность применения пункта 2 метода Лагранжа раз. В результате описанных действий получается канонический вид (6.17). Формулы (6.17) для вычисления следуют из свойства 4 конгруэнтных матриц. Так как угловые миноры матриц соответственно равны (по свойству 4 конгруэнтных матриц), то
Остальные угловые миноры равны нулю , так как .
Таким образом, для нахождения канонического вида квадратичной формы методом Якоби необходимо выполнить следующие действия.
1. Составить матрицу 2. Найти первые отличных от нуля угловых миноров матрицы квадратичной формы. Если , то перейти к пункту 3, положив , то процесс закончить, так как метод Якоби неприменим. Если и , где , то найти отличный от нуля минор (r+l)-порядка, окаймляющий минор . Если такого минора нет, то перейти к пункту 3, иначе процесс закончить, так как метод Якоби неприменим.
3. Записать искомый канонический вид (6.17) квадратичной формы
1. Алгоритм метода Якоби можно модифицировать, дополнив его перенумерацией переменных. Например, замена на и, одновременно, на (короче, перенумерация ) приводит к перестановке i-й и j-й строк, а также i-го и j-го столбцов матрицы квадратичной формы. Такая замена является линейной невырожденной и не нарушает симметричности матрицы квадратичной формы. При помощи таких двойных перестановок можно любой главный минор симметрической матрицы переместить в левый верхний угол, т.е. сделать его угловым. Например, для матрицы квадратичной формы метод Якоби неприменим, так как . Перенумеровав переменные , получаем матрицу , для которой условия (6.16) применимости метода Якоби выполняются.
2. При выполнении условий теоремы 6.2 метод Лагранжа (последовательного выделения полных квадратов) соответствует методу Гаусса приведения матрицы 3. При выполнении условий теоремы 6.2 для нахождения матрицы линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия:
1) Составить блочную матрицу , приписав к матрице . В результате получить блочную матрицу , где — искомая матрица замены переменных. Элементы главной диагонали матрицы
Пример 6.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Якоби
1. Составляем матрицу квадратичной формы (см. пример 6.8): .
2. Вычисляем угловые миноры . Получили . Ищем отличный от нуля минор 2-го порядка, окаймляющий минор . Например, . Следовательно, метод Якоби для рассматриваемой формы применить нельзя.
Воспользуемся перенумерацией переменных (см. пункт 1 замечаний 6.6). Сделаем замену , т.е. меняем местами 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 3-й столбцы матрицы . Применяем для нее метод Якоби.
2(1). Вычисляем угловые миноры . Найдено отличных от нуля угловых миноров.
3(1). Записываем искомый канонический вид
Этот вид отличается от полученного в примере 6.8, что соответствует п.1 замечаний 6.4.
Пример 6.10. Найти матрицу линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду
Составим матрицу квадратичной формы (см. пример 6.9 после перенумерации переменных ). Применяем к этой матрице алгоритм, описанный в пункте 3 замечаний 6.6.
1. Составляем блочную матрицу .
2. Элементарными преобразованиями III типа, выполняемыми над строками блочной матрицы, приводим ее левый блок к ступенчатому виду:
Следовательно, искомая матрица , а коэффициенты квадратичной формы имеющей канонический вид, являются элементами главной диагонали матрицы , что совпадает с результатом примера 6.9. Нетрудно проверить равенство .