Как найти диаметр зная хорду

Вычисление диаметра трубы по хорде

Бывают ситуации, когда необходимо измерить диаметр чего-либо, например, трубопровода, но нет возможности измерить длину окружности (из-за изоляции или температуры).

В этом случае можно применить метод вычисления диаметра по хорде. Для этого метода необходим только штангенциркуль.

1. Прикладываем его, как показано на рис. 1;
2. измеряем длину L;
3. измеряем высоту губок штангенциркуля Н;
4. вычисляем диаметр по формуле D = (L 2 ⁄ 4H) + H или
5. вычисляем радиус по формуле r = (L 2 + 4H 2 ) ⁄ 8H

Рисунок 1

Если под рукой только «штангель» с длинными губками или не хватает его измеряемого диапазона можно применить какую-нибудь «проставку». В идеале подойдёт плоскопараллельная концевая мера… 😉 Её надо вставить, как показано на рисунке 2, и при вычислении, от длины губок отнять высоту этой «проставки». Н = Н1 — Н2

Рисунок 2

Точность этого метода зависит, только от инструмента, который Вы будете применять.

Длина дуги

Длина дуги окружности представляет собой часть длины самой окружности, поэтому она также будет зависеть от радиуса окружности. Поскольку дуга окружности образована определенным центральным углом, то ее длина, как и площадь сектора круга, — это определенная часть исходной длины окружности, относящаяся к ней как центральный угол сектора к полному углу круга в 360° . Поэтому формула длины дуги будет выглядеть следующим образом: Формула длины дуги окружности через диаметр образуется подстановкой вместо радиуса половины диаметра: Также можно подставить вместо радиуса корень из произведения площади круга на число π , выведенный из формулы площади круга: Существует также формула Гюйгенса для расчета длины дуги окружности через хорду. Для того чтобы ей воспользоваться нужно провести перпендикуляр из середины хорды, соединяющий ее с самой дугой, а из точки соединения перпендикуляра с дугой провести еще два отрезка к концам хорды. Таким образом, мы получаем два конгруэнтных перпендикулярных треугольника, гипотенузы которых мы будем использовать в формуле под обозначением l , а саму хорду назовем L . Следует учитывать, что для углов более 60 градусов формула Гюйгенса дает ощутимую погрешность в расчетах.

Диаметр окружности

Диаметр окружности – величина, используемая в классической геометрии, и это название пришло в русский язык, как и многие научные термины, из латинского. Разберемся, что обозначает это слово, как измерять и вычислять диаметр, а также для чего школьникам нужно учиться это делать.

Определение диаметра окружности

Словом «диаметр» обозначают как отрезок, соединяющий две противоположные точки окружности и проходящий через ее центр, так и длину этого отрезка. Диаметр можно найти у любого круглого тела или объекта: озера, мяча, печеньки или даже радуги, если вообразить, что она на самом деле круглая и мы видим лишь ее половину.

Для измерения объемных предметов, имеющих круглое сечение (труб, монет, бутылок и прочего) существует специальный инструмент, который называется штангенциркуль. С его помощью можно измерить диаметр без необходимости определения центра окружности.

Полезная информация о диаметре окружности

В окружности можно провести бесконечное число диаметров	Так как окружность состоит из бесконечного множества точек, которые могут быть концами отрезка-диаметра.
Диаметр всегда проходит через центр окружности	А окружность всегда делится диаметром ровно пополам.
Этимологически слово «диаметр» можно назвать пришедшим из древнегреческого	От διάμετρος «поперечник, диаметр», где διά «через; раздельно» + μετρέω «измеряю».
От слова диаметр произошло наречие «диаметрально»	Что означает «полностью, абсолютно» и чаще всего применяется в словосочетании «диаметрально противоположный».

Формулы диаметра окружности

Диаметр, являясь геометрической величиной, может быть численно выражен через другие измерения окружности и связанных с ней фигур. Рассмотрим формулы, наиболее часто применяемые для вычисления диаметра.

Через длину окружности

Через радиус окружности

Проще всего связать диаметр с радиусом окружности: фактически, диаметр – это два радиуса, лежащих на одной прямой. Зная это, легко составить формулу вычисления диаметра через радиус: достаточно умножить его длину на два.

\(D\;=\;2\;\cdot\;R,\\где\;D\;–\;диаметр\;окружности,\\а\;R\;–\;ее\;радиус.\)

Через площадь круга

Диаметр может быть вычислен не только через численные измерения самой окружности, но и через площадь круга, ей ограниченного.

Построение диаметра с помощью циркуля и линейки

Как известно, для построения диаметра окружности необходимо провести прямую через ее центр, но далеко не в каждом случае мы точно знаем, где этот самый центр находится.

Например, как узнать диаметр круглой тарелки, если у нас нет штангенциркуля? Для этого существует удобный способ построения диаметра с помощью обыкновенного циркуля и линейки.

Предположим, что мы положили тарелку на лист бумаги, обвели карандашом и получили окружность. Как измерить ее диаметр, имея под рукой только циркуль и линейку? Если чертить диаметр «на глаз», то велик шанс провести отрезок, близкий по длине к диаметру, но все же не совпадающий с ним. Поэтому воспользуемся простым и точным способом построения диаметра.

Нам необходимо начертить две окружности, центры которых будут лежать на разных сторонах уже изображенной окружности, причем их диаметры должны быть больше диаметра исходной. После этого нужно провести прямую через точки их пересечения (они могут располагаться вне исходной окружности). Отрезок этой прямой, лежащий внутри первой окружности, и есть ее диаметр.

Задачи на нахождение диаметра окружности с решением

Решим несколько задач, используя рассмотренные выше формулы.

Задача 1

Чемпион двора по армрестлингу Петя Ласточкин от скуки согнул метровый металлический прут в идеально ровную окружность. Красавица Варя Синичкина, проходя мимо, решила, что Петя таким образом сделал для нее подарок – гимнастический обруч хулахуп, и попыталась надеть его на себя, чтобы покрутить. Вопрос: удастся ли Варе это, если ширина ее плеч 30 сантиметров?

Решение
Для начала определим, какие факты нам известны, и переведем их в математические величины:

1. В обруч был согнут метровый прут, то есть длина окружности обруча – один метр.
2. Чтобы надеть обруч на себя, Варе необходимо, чтобы в него прошли ее плечи, то есть диаметр получившейся окружности должен быть больше ширины ее плеч.

Получается, нам необходимо проверить, что диаметр окружности длиной один метр больше 30 сантиметров. Сразу же переводим метры в сантиметры и получим длину 100 см. Математическую постоянную �� будем использовать в стандартном значении 3,14.

Воспользуемся формулой нахождения диаметра через длину окружности:

D = C/�� = 100/3,14 = 31,85 > 30

Ответ: Варя сможет надеть обруч, так как его диаметр больше ширины ее плеч, однако неясно, умеет ли она его крутить.

Задача 2

Ученики 1 «А» класса решили разбить во дворе школы круглую клумбу. Для этого они начертили круг, используя вместо циркуля веревку длиной 4,5 метра. Хулиган из 5 «Б» по имени Вася на спор решил с разбега перепрыгнуть эту клумбу, причем в самом широком ее месте. Вопрос: на какое расстояние должен прыгнуть Вася, чтобы не потоптать свежепосаженные кактусы?

Решение

Для решения задачи определим, какие данные нам известны:

1. Вася хочет перепрыгнуть круглую клумбу в самом широком месте, то есть траектория его полета должна совпасть с диаметром окружности.
2. Первоклассники чертили круг для клумбы с помощью веревки, то есть радиус окружности равен длине этой веревки – 4,5 метра.

Теперь используем формулу нахождения диаметра через радиус:

D = 2R = 2*4,5 = 9 метров.

Ответ: чтобы не приземлиться на колючие кактусы, Васе необходимо прыгнуть на 9 метров, тем самым побив мировой рекорд по прыжкам в длину с разбега.

это интересно
Радиус окружности
Простое объяснение, что такое радиус окружности и как его вычислить

Задача 3

Вандал Демид Иванов за ночь закрасил зеленой краской из баллончика круглый иллюминатор ракеты на городской детской площадке. Как позже выяснилось, на это хулиганство у него ушел целый баллон краски без остатка. Монтажник Иван Демидов, придя на следующее утро на работу, забыл, какого диаметра стекло ему нужно вырезать для замены испорченного. Однако на выходных он красил на даче забор точно такой же краской, и ему известно, что одного баллончика хватает для окрашивания ровно трех квадратных метров поверхности. Помогите Ивану выяснить диаметр необходимого стекла. Постоянную �� в этой задаче для упрощения вычислений принять за 3.

Решение

Демид истратил весь баллончик краски без остатка, а значит окрасил ровно три квадратных метра поверхности иллюминатора, то есть площадь нужного стеклянного круга – три квадратных метра.

Применим формулу нахождения диаметра через площадь круга:

\(D=\;2\sqrt>=\;2\sqrt\;=\;2\cdot1\;=\;2\)

Ответ: Ивану необходимо вырезать стекло диаметром два метра. На детской площадке установлена очень большая ракета.

Популярные вопросы и ответы

Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике

Как объяснить простыми словами, что такое диаметр окружности?

В самом начале этой познавательной статьи уже есть очень простое и емкое определение слову «диаметр». Я бы могла только добавить, что диаметром еще называют самую большую хорду окружности. Хорда – это как раз отрезок, соединяющий две точки окружности. А если диаметр – это самая большая хорда, тогда она, несомненно, пройдет через центр окружности.

В чем измеряется диаметр окружности?

Диаметр окружности – это линейная величина, поэтому измеряется длина диаметра в сантиметрах, метрах, дюймах и других известных единицах измерения. Все зависит от конкретного случая или даже страны применения.

Для чего в 6 классе нужно уметь вычислять диаметр окружности?

На сегодняшний день сложно представить ситуацию, где такое умение окажется просто незаменимым, так как существует огромное множество разных калькуляторов для вычисления любых величин из любых формул. Однако шестиклассникам очень важно научиться выражать одну величину через другие, исходя из того, что дано в конкретной задаче. Это очень развивает мышление и аналитические способности.

Как найти диаметр зная хорду

Определение хорды

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой — с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

• Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное — если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
• Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
• Наибольшая возможная хорда является диаметром
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности

• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное — если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу

• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды и вписанного угла

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
• Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
• Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
• Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

Свойства хорды и центрального угла

• Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
• Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
• Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Формулы нахождения хорды

Обозначения в формулах:
l — длина хорды
α — величина центрального угла
R — радиус окружности
d — длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;