Как найти последнюю цифру числа в степени

Полезно запомнить следующее правило: последняя цифра произведения двух чисел равна последней цифре произведения последних цифр сомножителей. В частности, последняя цифра произведения зависит только от последних цифр сомножителей.

а) Начнём выписывать последние цифры степеней двойки. На каждом шаге будем умножать результат предыдущего шага на 2 и, если получается двузначное число, брать его последнюю цифру. Получим: 2 1 = 2, 2 4 =4, 2 3 =8, 2 4 = 16 → 6, 2 5 → 6·2 = 12 → 2, 2 6 → 2· 2 = 4, 2 7 → 4· 2 = 8, 2 8 → 8· 2 = 16 → 6, и т. д. Заметим, что последние цифры чередуются в такой последовательности: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. При этом последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 без остатка (как 4, 8, 100), последняя цифра степени равна 6.

б) Последняя цифра числа 549 49 совпадает с последней цифрой числа 9 49 . Последние цифры степеней девятки чередуются так: 9, 1, 9, 1, 9, 1. То есть если показатель степени нечётный, степень оканчивается на 9. Значит, и число 9 49 , и исходное число 549 49 оканчиваются на 9.

в) Последняя цифра числа 2013 2013 совпадает с последней цифрой числа 3 2013 . Последние цифры степеней тройки чередуются так: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. То есть последняя цифра степени зависит от того, с каким остатком показатель степени делится на 4. В частности, всегда, когда показатель степени делится на 4 с остатком 1 (как 1, 5, 2013), последняя цифра степени равна 3. А значит, и последняя цифра числа 2013 2013 равна 3.

2. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (23021 337 − 1). Не опечатка ли это?

Решение. Число 23021 337 оканчивается единицей (это проверяется аналогично решению задачи 1). Поэтому последняя цифра числа (23021 337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.

3. В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

Ответ. Семь десятилитровых и восемь семнадцатилитровых.

Решение. Нужно взять несколько слагаемых по 10 л и несколько слагаемых по 17 л так, чтобы сумма была равна 206 л (в частности, чтобы последняя цифра суммы равнялась 6). Количество десятилитровых бидонов не влияет на последнюю цифру суммы. Значит, надо только выяснить, сколько должно быть 17-литровых бидонов, чтобы их суммарный объём оканчивался цифрой 6. Для этого количество 17-литровых бидонов должно оканчиваться на 8 (проверьте, что это правда и что другие варианты не подходят). То есть 17-литровых бидонов может быть 8, 18, 28, и т.д. Но если их хотя бы 18, то их общий объём составляет по крайней мере 18·17 = 306 л, что больше, чем 206 л. Значит, 17-литровых бидонов будет 8, и их общий объём будет равен 136 л. Тогда десятилитровые бидоны должны иметь общий объем 70 л, а для этого их должно быть 7.

4. Делится ли число 47 30 +39 50 на 10?

Решение. Число 47 30 оканчивается цифрой 9, а число 39 50 — цифрой 1 (это проверяется аналогично решению задачи 1). Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.

5. Найдите последнюю цифру в произведении всех нечётных чисел от 1 до 2013.

Решение. Это произведение делится на 5, но не делится на 2. Поэтому в силу признаков делимости на 2 и 5 оно может оканчиваться только цифрой 5.

6. Сколькими нулями оканчивается число 2013! = 1·2·3·. ·2011·2012·2013 ?

Если мы разложим число 2013! на простые множители, то количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой в это разложение входит пятёрка. (В самом деле, 10 = 2·5, а двойка заведомо войдёт в разложение в большей степени, чем пятёрка.)

2013 = 5·402 + 3. Поэтому среди чисел от 1 до 2013 ровно 402 числа делятся на 5. Аналогичным образом выясним, что из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на 5 2 , ещё 16 делятся на 125, то есть на 5 3 , и ещё 3 числа делятся на 625, то есть на 5 4 . Итого 402+80+16+3 = 501, то есть в разложение числа 2013! пятёрка входит в степени 501. Поэтому 2013! оканчивается 501 нулём.

7. Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

Решение. Квадрат любого натурального числа оканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (проверяем для чисел от 1 до 10, дальше последние цифры повторяются в той же последовательности). Если в наборе есть два квадрата, оканчивающиеся на две одинаковые цифры, при их вычитании получится число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10. Если же все пять последних цифр квадратов в наборе различны, то среди них обязательно будет либо пара (4, 6), либо пара (1, 9). Тогда сложим эти квадраты и тоже получим число с нулём на конце, а значит, делящееся на 10.

8. Найдите последнюю цифру числа 7 7 7 . Степени считаются сверху вниз: 7 7 7 =7 (7 7 ) .

Решение. Последние две цифры числа 7 7 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 7 7 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 7 7 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3.

9. На доске было написано число из нескольких семёрок: 777. 77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.

Решение. При каждой операции из числа 10 х + у получается число 3 х + у (здесь y — последняя цифра исходного числа). Разность этих чисел равна 10 x + y − (3 x + y ) = 7 х и значит, делится на 7. Значит, при каждом шаге делимость числа на 7 сохраняется (исходное число, очевидно, делилось на 7), а само число уменьшается. Поскольку операцию можно проделывать с любым натуральным числом, в котором больше одной цифры, мы рано или поздно получим однозначное число, кратное 7.

ЗАДАЧИ
6 класс
Письменная работа
Задачи для знакомства
Ацнок с зиланА
Чётность
Делимость
В триодиннадцатом королевстве
Алгоритмы
Математические игры
Движение и работа
Геометрия
Комбинаторика
Комбинаторика — 2
Задачи на повторение
Математическая абака
География и путешествия
Признаки делимости
Последовательности
От противного
Графы
Шахматы
Раскраски
Последняя цифра
Оценка плюс пример
Лингвистика
История математики
ЗАДАЧИ ДОП. НАБОРОВ
Доп. набор 1
Доп. набор 2

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!

Определить последнюю цифру числа в степени, которая тоже в степени

Проще говоря, суть задания заключается в том, чтобы найти последнюю цифру (последние цифры, если возможно) числа
n^(n^n) или же n n n
Пример числа n = 23
Если получится решить, буду премного благодарен за пояснения!

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Как узнать последнюю цифру степени?
Здравствуйте, как определить последнюю цифру числа 2008 в 2013 степени. Почитал похожие темы, понял.

Делимость полинома степени m на полином степени 4
Добрый вечер. У меня задача: найти, при каких m один полином (степени m) делится на другой. Вот.

Делимость числа и его степени
Верно ли, что если часло a делится на k, то и a^n всегда будет делима на k? Есть ли этому.

Записать выражение в виде степени числа 2
не могу сообразить чего тут сделать надо .

Эксперт C

27697 / 17314 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

Лучший ответ

Сообщение было отмечено dtitkin как решение

Решение

dtitkin, Понятно, что в основании вместо n можно рассматривать только последнюю цифру. Для вашего примера X = 3 23 23
Теперь посмотрим, какие остатки при делении на 10 дают степени тройки. 3 1 =3, 3 2 = 9, 3 3 = 7, 3 4 = 1, 3 5 = 3, далее все повторяется. Значит нам надо найти только остаток от деления 23 23 на 4
По модулю 4 23 = 3 = -1 (mod 4)
23 четной = 1 (mod 4)
23 нечетной = -1 = 3 (mod 4)
23 23 = 3 (mod 4)
X = 3 3 (mod 10) = 7 (mod 10)
Ответ: 7
Подобный анализ надо провести для всех 10 цифр и уловить общую закономерность.
Для 0, 1, 5, 6 — Задача тривиальна.
Для 9 тоже не очень сложна. Ответ — 9
Для 3 из вышеприведенного можно сказать, что если n при делении на 4 дает остаток 1, ответ — 3, если остаток 3 — 7
Остальные цифры (2, 4, 7, 8) попробуйте проанализировать самостоятельно

Эксперт C

27697 / 17314 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

Можно сказать, что анализ цифры 4 похож на девятку. А анализ 2, 7, 8 — на тройку (самые трудоемкие варианты)

1103 / 479 / 33
Регистрация: 05.07.2018
Сообщений: 1,870
Записей в блоге: 7

Уважаемый мастер решения математических задач Байт,
мне непонятно, почему надо проверять все цифры? Очевидно, что нечётное число 3
возводится в нечётную степень. Иными словами, последняя цифра будет одна из
четырёх, то есть 1, 3, 7, 9. И далее . далее вы всё решили.

$Эксперт по математике/физике$

3389 / 1912 / 571
Регистрация: 09.04.2015
Сообщений: 5,365

Вчера решил эту задачу, чуть позже Байта (достаточно похоже на вариант Байта, но с небольшими особенностями), но думал не оформлять и не выкладывать решение.
Однако сегодня Байт выложил уточнения, и я подумал что мое решение не помешает

Исследование последней цифры числа n показывает (см. рис1)
При 0,1,5,6 — последняя цифра не изменяется
При остальных цифрах надлюдается повторяемость через 4 значения,
причем для 2,4,9 повторяемость наблюдается через 2 значения, что упрощает задачу, но можно это не учитывать чтобы не рассматривать упрощенное решение.

Т.о. для цифр 2,3,4,7,8,9 используем повторяемость через 4 значения.
Следовательно надо определить насколько от кратности 4 (остаток от деления по модулю 4) получается у числа n^n.
Т.е. в выражении
n^n = 4*k + m
определить m, при произвольном целом k.
Для этого представим n в виде n=4*i+j, при этом j будет равно одному из чисел -1,0,1,2 ( i любое целое)
Подставим n, и разложим в бином Ньютона (помянув нетленного Коровина)
(4*i+j)^n = (4*i)^n + n*j*(4*i)^(n-1) + . + j^n
Все слагаемые, кроме последнего кратны 4-ем, и нас интересует только последнее, оно и равно m
m=j^n
Исходя из возможных значений j (-1,0,1,2), величина m легко находится (кроме 2).
Но для 2 есть особенность, 2 в четной степени пропорционально 4, поэтому кратную часть можно добавить в 4*k
m=2^n при n четном равно 0, при n нечетном равно 2.
Зная m и последнюю цифру числа n легко можно определить последнюю цифру числа n^(n^n), даже при очень больших n

Эксперт C

27697 / 17314 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

Однако, интересно, как дело обстоит в других системах счисления?

Добавлено через 8 минут
Может быть все зависит от разложения основания с/с на простые множители. Но это так, очень приблизительно

Последние цифры степеней

Цырежу Нимаевна Будобазарова

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели и задачи исследования.

Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.

Задачи:

изучить литературу по данной теме;
построить таблицу последних цифр различных степеней;
выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа;
применить данные закономерности при решении задач.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический.

В ходе исследования я выявила закономерности изменения последней цифры степени натурального числа, а также применила данные закономерности при решении задач. При применении данных закономерностей возникают расширенные возможности для решения алгебраических задач. Данная работа будет полезна как для проведения дополнительных занятий по математике, для более глубокого изучения алгебры, а также для подготовки к олимпиадам по математике, подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5-7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой.

Результат моего исследования: выявлены закономерности изменения последней цифры степени натурального числа.

Скачать:

Вложение	Размер
poslednie_tsifry_stepeneyokon.docx	79.35 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Последние цифры степеней

Автор: Будабазарова Суржана,

ученица 9А класса

Будобазарова Ц. Н.,

Цели и задачи исследования

1. Последние цифры степеней

1.2.Последняя цифра степени

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

1.4.Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

2. Практическая часть

Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», с четырьмя математическими операциями мы знакомы ещё с начальной школы, в 5 классе познакомились с пятым действием: возведение в степень. Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. Например: глава VI, учебник «Геометрия», Л. С. Атанасян. Можно встретить задания, содержащие степени числа в ОГЭ, в олимпиадных заданиях, заданиях «Кенгуру».

При решении примеров и задач не всегда под рукой находятся таблица квадратов, таблицы степеней. Тем более степени с большими показателями.

Например такая задача.

Надо найти последнюю цифру суммы 2011 2019 + 2012 2019 + 2013 2019 +2014 2019 +…+ 2019 2019 . Я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления. Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?

Цели и задачи исследования.

Цель работы: построить алгоритм нахождения последней цифры числа.

изучить литературу по данной теме;
построить таблицу последних цифр различных степеней;
выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа ;
применить данные закономерности при решении задач.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ и синтез), системно-поисковый, практический.

1. Теоретическая часть

Сумму одинаковых слагаемых обычно записывают короче и называют произведением: а + а + а + а = 4а.

Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью: а ⋅ а ⋅ а ⋅ а = а 4 .

Читают: « а в степени 4» (или просто « а в четвертой»). При этом число а, называют основанием степени, а число 4 – показателем степени.

Степенью числа а с натуральным показателем n ( n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а : а . а . а . . а=а n .

1.2.Последняя цифра степени

Проведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n .

В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, используя калькулятор, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2, т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

1.3.Закономерности изменения последней цифры степени натурального числа

Я решила заполнить таблицу, где в первой строке написаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел. Во — второй строке — цифры, которыми оканчиваются соответствующие квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Я заполнила пятую строку, затем шестую и увидела, пятая степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; а шестая степень числа оканчивается той же цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая степень – что и третья степень этого числа.

Итак, результаты в таблице повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения таблицы я получила следующие закономерности изменения последней цифры степени натурального числа :

Во-первых, квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
Во-вторых, куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой;
В-третьих, четвертая степень натурального числа может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
В-четвертых, пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число;
В-пятых, если запись натурального числа оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются цифрой 4, а четные — цифрой 6.

Тогда возник вопрос, а нельзя ли найти способ определения последней цифры степени по остатку от деления ее показателя на 4.

1.4. Алгоритм нахождения последней цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 нацело.

Вывод: если остаток равен 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, искомая цифра равна 6.

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степеней делятся на 4 с остатком, равным 1.

Вывод: если остаток равен 1 , то последняя цифра будет равна последней цифре основания степени.

Найдем последнюю цифру степеней , где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 2.

Вывод: : если остаток равен 2, то последняя цифра будет равна квадрату последней цифре в записи основания степени.

Найдем последнюю цифру степеней где показатели степени делятся на 4 с остатком, равным 3.

Вывод: если остаток равен 3 , то последняя цифра будет равна кубу последней цифре в записи основания степени.

Итак, мы получили алгоритм нахождения последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, надо:

Найти остаток от деления показателя степени на 4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел, оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.

2. Практическая часть.

Я хочу предложить вам задать мне примеры, содержащие степень любого числа. а я найду последнюю цифру данного числа.

показать на презентации (Без решения)

А теперь, я хочу предложить вам решить некоторые из задач составленных мною.

Задачи, составленные мною

1. Найти последнюю цифру числа 8 2016 ; 8 2017 ; 8 2018 ; 8 2019 .

2016:4=504 (остаток 0)

Следовательно, т. к. последняя цифра основания четная искомая цифра равна 6.

2017:4=504 (остаток 1)

Следовательно, последняя цифра равна последней цифре основания степени, т.е. 8.

2018:4=504 (остаток 2)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи квадрата основания степени, т.е. 8²=4.

2019:4=504 (остаток 3)

Следовательно, последняя цифра равна квадрату последней цифры в записи куба основания степени, т.е. 8 3 =2.

2. Какой цифрой оканчивается число ?

Следовательно, последняя цифра числа — 1.

Следовательно, последняя цифра числа — 6.

Следовательно, последняя цифра числа — 3.

Получаем, 1+6+3=10. Итак, последняя цифра числа 0.

3. Доказать, что число не делится нацело на 15.

Решение: Т.к. 15=5·3, то данное число должно делиться на 5 и на 3. Выясним, делится ли оно на 5. Для этого, число должно оканчиваться цифрой 5 или 0.

2016:4=504 (остаток 0).

Тогда, оканчивается цифрой 1, оканчивается цифрой 6, оканчивается цифрой 5. Получаем 1+6+5=12. Следовательно, число оканчивается цифрой 2, а значит, оно не делится на 15.

4.Найдите последнюю цифру суммы 2011 2019 + 2012 2019 + 2013 2019 +2014 2019 +…+ 2019 2019 .

2019:4=504 (остаток 3).

Тогда 2011 2019 оканчивается цифрой 1, 2012 2019 — 8, 2013 2019 — 7, 2014 2019 — 4, 2015 2019 — 5, 2016 2019 — 6, 2017 2019 — 3, 2018 2019 — 2, 2019 2019 — 9.

Получаем: 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45. Следовательно, 2011 2019 + 2012 2019 + 2013 2019 +2014 2019 +…+ 2019 2019 оканчивается цифрой 5.

5. Какой цифрой оканчивается число ((9999 999 ) 99 ) 9 .

Решение: ((999 999 ) 99 ) 9 оканчивается на 9, т.к. степень нечетная.

6. Найти последнюю цифру числа 19 79 -18 79 .

Р.И.Довбыш, Л.Л.Потемкина Математические олимпиады: 906 самых интересных задач – Ростов н/Д: Феникс: издательский центр «Кредо», 2006
Задания конкурса «Кенгуру», 2012-2014г.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка. М., Издательский дом ОНИКС, 2000.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра, М., Издательство технико-теоретической литературы, 1955.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы — М.: Просвещение, 1990
intelmath.narod.ru/article_minmds.html

Найдите последюю цифру числа 2017^2018(в степени 2018) и последнюю цифру 2018^2017(в степени 2017)

Выписываем последние цифры степеней числа 2017
2017^1 -> 7, 2017^2 ->9, 2017^3 -> 3, 2017^4 -> 1, 2017^5 -> 7 .
последняя цифра будет повторяться с периодом = 4
2018 = 4*504 + 2, следовательно, последняя цифра будет второй в последовательности 7, 9, 3, 1 — это цифра 9, 2017^2018 -> 9 — последняя цифра.
Точно так же решается вторая задача 2018^2017 — найти последнюю цифру.
Выписываем последние цифры степеней числа 2018: 8, 4, 2, 6, 8 .
период тоже равен 4. 2017 = 4*504 + 1, следовательно, последней цифрой будет первая цифра последовательности — цифра 8.

Спасибо большое!

Новые вопросы в Математика

Укажите число, принадлежащее множеству М=<4,10,18,23,21>

4(y+2)-7(2y-1)+9(3y-4)=-72

4(y+2)-7(2y-1)+9(3y-4)=-72 помогите

при каком значении n степень одночлена 12а³аna⁹ равна 19?

Найдите произведение степени и коэффициента одночлена: 625 * (4а³)³ * (-1/5 аб²)⁴

Как найти последнюю цифру числа в степени