Как найти точку пересечения биссектрис треугольника

Дан треугольник ABC с вершинами A(1;5) B(4;1) C(13;10). Найти точку пересечения биссектрисы внутреннего угла А со стороной BC.

Найдем длины двух сторон треугольника:
АВ = √((4 — 1)² + (1 — 5)²) = √(9 + 16) = 5;
AC = √((13 — 1)² + (10 — 5)²) = √(144 + 25) = 13.

Найдем соотношение, в котором биссектриса делит сторону ВС:
АВ / АС = BD / CD = 5 / 13.

Вычислим координату х точки D:
x _D = (4 + 13 * 5 / 13) / (1 + 5 / 13) = 9 / (18 / 13) = 6,5.

Вычислим координату y точки D:
y _D = (1 + 10 * 5 / 13) / (1 + 5 / 13) = (63 / 13) / (18 / 13) = 63 / 18 = 3,5.

Ответ: точка пересечения биссектрисы со стороной BC — D(6,5; 3,5).

Задача 22099 1) Дан треугольник ABC с вершинами.

1) Дан треугольник ABC с вершинами А(1;5), B(4; 1), С(13; 10). Найти точку пересечения биссектрисы внутреннего угла А со стороной BC.

математика 10-11 класс 14357

Решение

Пусть АК — биссектриса, К ∈ BC.
Применяем свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.
Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

ВК:КС=АВ:АС=5:13
Точка К делит отрезок ВС в отношении 5:13
лямбда =5/13
Применяем формулу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении
x_(K)=(x_(B)+ лямбда x_(C))/(1+ лямбда )
y_(K)=(y_(B)+ лямбда y_(C))/(1+ лямбда )

О т в е т. К(13/2; 7/2)

Все решения

Вариант решения через уравнение биссектрис.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Определение и точка пересечения биссектрис треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Биссектриса угла – это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам:

Первая замечательная точка треугольника – точка пересечения биссектрис. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника.

Примеры решения задач

Так как и – биссектрисы, то

Из треугольника выразим :

откуда . Аналогично для треугольника получим соотношение . Складываем полученные равенства

Тогда периметр треугольника будет равен

Пересечение биссектрис треугольника

Существует теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Данный факт, как и всякая теорема, требует доказательства, так как к примеру можно предположить, что биссектрисы треугольника иногда могут не пересекаться в одной точке. На рисунке ниже слева три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Справа изображена гипотетическая ситуация, когда каждая биссектриса пересекается с двумя другими в разных точках.

Для доказательства теоремы изобразим две биссектрисы треугольника. Понятно, что они пересекаются в одной точке и других точек пересечения быть не может (т. к. биссектрисы углов одного треугольника не могут быть параллельны друг другу, а любые две прямые всегда имеют точку пересечения, притом только одну). От точки пересечения двух биссектрис проведем три перпендикуляра к сторонам треугольника.

Здесь дан треугольник ABC, изображены биссектрисы его угла A и угла B, которые пересекаются в точке O. От точки O проведены перпендикуляры к сторонам треугольника: ОP ⊥ AB, OQ ⊥ BC, OR ⊥ CA.

Как известно, отрезки-перпендикуляры, проведенные от любой точки биссектрисы угла к сторонам этого угла, равны друг другу. Это следует из равенства прямоугольных треугольников. Например, на рисунке ∆AOP = ∆AOR по общей гипотенузе и равным углам при вершине A (т. к. AO делит угол A пополам).

Значит, OP = OR, так как это перпендикуляры к сторонам треугольника от одной точки биссектрисы AO. Также OP = OQ как перпендикуляры от биссектрисы BO.

Так как OP = OR и OP = OQ, значит OR = OQ. Это означает, что точка O находится на одинаковом расстоянии от сторон BC и CA треугольника. Эти стороны образуют угол C. Как известно, все точки внутри угла, которые равноудалены от его сторон, лежат на биссектрисе этого угла. Значит, точка O лежит на биссектрисе угла C.

Таким образом, биссектриса угла C проходит через точку пересечения биссектрис двух других углов треугольника. Поэтому теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, доказана.