Как складывать числа с разными системами счисления

Урок 32. Перевод чисел между системами счисления

При программировании мы часто сталкиваемся с необходимостью перевода чисел между системами счисления, по основанию: 2, 4, 8, 16 и 10.

Основание системы счисления указывает какое количество цифр используется в этой системе для написания чисел:

• Привычная нам система счисления по основанию 10 (десятичная система счисления) использует 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. После 9 идёт не цифра, а число 10, состоящее из двух цифр: 1 и 0. Таким образом, мы записываем любые числа, используя указанные цифры в определённой последовательности.
• Система счисления по основанию 2 (двоичная система счисления) использует 2 цифры: 0, 1.
• Система счисления по основанию 4 (четверичная система счисления) использует 4 цифры: 0, 1, 2, 3.
• Система счисления по основанию 8 (восьмеричная система счисления) использует 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
• Система счисления по основанию 16 (шестнадцатеричная система счисления) использует 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. В данном случае, буквы ABCDEF являются цифрами. Цифра A шестнадцатеричной системы, равна числу 10 десятичной системы, цифра B равна числу 11 десятичной системы, . , цифра F равна числу 15 десятичной системы.

Можно использовать любую систему счисления, например по основанию 12 (счет дюжинами), но наиболее популярными при программировании, являются: десятичная, шестнадцатеричная и двоичная, системы счисления.

Все выше перечисленные системы счисления относятся к позиционным системам. Значение числа зависит не только от того из каких цифр оно состоит, но и в какой последовательности они записаны. Например число 1234 не равно числу 4321.

Методы представления чисел в разных системах счисления:

• двоичная система счисления:
  • (10101)₂ — математическое представление (число)_{основание системы}
  • 0b10101 — представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущими символами «0b»).
  • B10101 — представление в скетчах Arduino IDE (число до 256 записывается с ведущим символом «B»).
  • (10101)₈ — математическое представление (число)_{основание системы}
  • 010101 — представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущим символом «0» ноль).
  • (10101)₁₀ — математическое представление (число)_{основание системы}
  • 10101 — представление в скетчах Arduino IDE (число записывается как есть без ведущих символов)
  • (10101)₁₆ — математическое представление (число)_{основание системы}
  • 0x10101 — представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущими символами «0x»).

  Перевод чисел в десятичную систему счисления:

  Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно сложить все цифры этого числа, предварительно умножив каждое из них на основание системы счисления, из которой производится перевод, возведя её в степень соответствующую позиции цифры в числе:

  Σ(цифра_числа * основание_системы позиция_цифры )

  Примеры перевода чисел в десятичную систему счисления:

  Перевод чисел из десятичной системы счисления:

  Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую, необходимо целочисленно делить переводимое число на основание той системы, в которую мы хотим его перевести, до тех пор пока результат целочисленного деления не станет равен 0. Результатом перевода будут цифры остатка от каждого деления, в обратном порядке.

  Примеры перевода чисел из десятичной системы счисления:

  • (43)₁₀ перевести в двоичную систему счисления:
    • 43/2 = 21 и 1 в остатке
    • 21/2 = 10 и 1 в остатке
    • 10/2 = 5 и 0 в остатке
    • 5/2 = 2 и 1 в остатке
    • 2/2 = 1 и 0 в остатке
    • 1/2 = 0 и 1 в остатке
    • результат — цифры остатков в обратном порядке = (101011)₂
    • 751/8 = 93 и 7 в остатке
    • 93/8 = 11 и 5 в остатке
    • 11/8 = 1 и 3 в остатке
    • 1/8 = 0 и 1 в остатке
    • результат — цифры остатков в обратном порядке = (1357)₈
    • 15305/16 = 956 и 9 в остатке
    • 956/16 = 59 и 12 в остатке — соответствует цифре (C)₁₆
    • 59/16 = 3 и 11 в остатке — соответствует цифре (B)₁₆
    • 3/16 = 0 и 3 в остатке
    • результат — цифры остатков в обратном порядке = (3BC9)₁₆

    Простой метод перевода:

    Легче всего переводить числа через двоичную систему счисления. О том как это сделать рассказано в нашем видеоуроке.

    СЛОЖЕНИЕ ДЕЛЕНИЕ УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЛЮБОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ ОНЛАЙН

    Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.

    Вам необходимо определиться сколько чисел вам необходимо посчитать и выбрать это количество в графе количество чисел.

    Далее Вам необходимо ввести каждое число и выбрать его систему счисления. Если в указанном списке Вы не нашли нужной СС, то выберите пункт другая и введите числом основание вашей системы счисления.

    После ввода всех чисел и выбора арифметических операций нажмите кнопку рассчитать.

    • Калькулятор
    • Инструкция
    • Теория
    • История
    • Сообщить о проблеме

    Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.

    Пример решения: 5436 7 — 1101 2
    Пример состоит из двух чисел 5436 7 и 1101 2 где в первом 7 и втором 2 — это основания системы счисления.

    Введем сначала 5436 7 в поле «число 1» без основания СС (то есть без 7) и укажем его систему в соответствующем поле — выбираем пункт другая и вводим 7. Результат на скришоте:

    

    

    Теперь также введем число 11011 в двоичной системе счисления:

    

    Далее выбираем в поле «операция» вычитание и указываем что расчет должен быть выполнен в десятичной СС. Если мы хотим чтобы результат расчета был в двоичной СС, то указываем это как на скриншоте:

    

    Теперь нажимаем копку «Рассчитать» и смотрим результат:

    Если хотите посмотреть ход решения, то нажмите ссылку «Показать как оно получилось»

    Если Вам необходимо рассчитать более двух чисел то выберите нужное количество в пункте «Количество чисел» Максимум 7 чисел.
    При расчете сначала выполняются операции деления и умножения затем сложения и вычитания.

    Вы можете выполнять операции расчета деления столбиком.

    Последние 20 расчетов на этом калькуляторе

    1. Умножение 1011010011*1001111101 в двоичной Выполнен: 2023-12-09 17:05 МСК
    2. Деление AB19F÷F67A в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:57 МСК
    3. Вычитание 22EF-FFCE в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:52 МСК
    4. Вычитание B313-F31D в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:50 МСК
    5. Сложение 101101+000110 в двоичной Выполнен: 2023-12-09 16:49 МСК
    6. Деление 11101011÷111101 в двоичной Выполнен: 2023-12-09 16:49 МСК
    7. Сложение 4536+7627 в восьмеричной Выполнен: 2023-12-09 16:48 МСК
    8. Вычитание 53311-5361 в восьмеричной Выполнен: 2023-12-09 16:48 МСК
    9. Умножение 1110101*1111 в двоичной Выполнен: 2023-12-09 16:47 МСК
    10. Сложение 5B585+E707 в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:46 МСК
    11. Деление 40÷15 в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:45 МСК
    12. Вычитание 1110111011-11111101 в двоичной Выполнен: 2023-12-09 16:45 МСК
    13. Деление 1000000÷10101 в двоичной Выполнен: 2023-12-09 16:40 МСК
    14. Сложение 28F+423 в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:39 МСК
    15. Сложение 0101010+101010 в двоичной Выполнен: 2023-12-09 16:39 МСК
    16. Сложение 02BF9+07 в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:37 МСК
    17. Сложение 27D+28A в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:25 МСК
    18. Сложение 2F6.05+29A.90 в шестнадцатеричной Выполнен: 2023-12-09 16:24 МСК
    19. Вычитание 1-0.0010010001 в десятичной Выполнен: 2023-12-09 16:23 МСК
    20. Вычитание 1-0.1101101110 в десятичной Выполнен: 2023-12-09 16:23 МСК

    Двоичная арифметика

    Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.

    Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения.

    Таблица сложения, вычитания и умножения для двоичной системы счисления

    Сложение	Вычитание	Умножение
    0 + 0 = 0	0 — 0 = 0	0 ∙ 0 = 0
    0 + 1= 1	1 — 0 = 1	0 ∙ 1 = 0
    1 + 0 = 1	1 — 1 = 0	1 ∙ 0 = 0
    1 + 1 = 10	10 — 1 = 1	1 ∙ 1 = 1

    Сложение двоичных чисел

    Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.

    

    Пример : 1011,1₂ + 1010,11₂

    

    Интересна также ситуация, когда складываются больше двух чисел. В этом случае возможен перенос через несколько разрядов.
    Пример : 111,1₂ + 111₂ + 101,1₂

    При сложении в разряде единиц (разряд 0) оказывается 4 единицы, которые, объединившись, дают 100₂. Поэтому из нулевого разряда в первый разряд переносится 0, а во второй — 1.
    Аналогичная ситуация возникает во втором разряде, где с учетом двух перенесенных единиц получается число 5 = 101₂. 1 остается во втором разряде, 0 переносится в третий и 1 переносится в четвёртый.

    Вычитание двоичных чисел

    

    В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
    Пример : 10110,01₂ — 1001,1₂

    Умножение и деление двоичных чисел

    

    Зная операции двоичной арифметики, можно переводить числа из двоичной системы счисления в любую другую.
    Пример: Перевести число 101111011₂ в десятичную систему счисления.
    Поскольку 10₁₀ = 1010₂, запишем

    

    Полученные остатки, 1001₂ = 9₁₀, =111₂ = 7₁₀, 11₂ = 3₁₀. Искомое число 101111011₂ = 379₁₀.

    Комментариев к записи: 5

    Как сложить числа если они в РАЗНЫХ системах счисления. ??

    есть система перевода чисел из лдной сс в другую. сначала надо перевести, потом складывать. на примере надо бы объяснять.

    перевести в однй систему счисления

    Похожие вопросы

    Ваш браузер устарел

    Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

    Похожие публикации:

    1. Как можно удалить вирусы с компьютера
    2. Как сделать скрин на телефоне андроид самсунг
    3. Как сделать скриншот на редми 6а
    4. Как сохранить набранный текст в ворде