Какой из перечисленных ниже методов не является методом исключения интервалов

Метод интервалов

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами.

Метод интервалов

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ .

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет.

Посмотрим на привычные ситуации с точки зрения строгости знаков неравенства.

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0.

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем.

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается.

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств? В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0.

2 шаг. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.

3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы.

4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ.

Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми.

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки.

Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками.

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки.

Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим.

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками.

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции.

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой.

Правила чередования знаков:

Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.

Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется.

Всегда будет нелишним перепроверить знак на каждом интервале, подставив значения в функцию, и убедиться в правильности расстановки знаков на прямой.

Методом интервалов можно решить практически любое неравенство в задании 14 из ЕГЭ по профильной математике, также он может понадобиться в заданиях 8, 11 и 17 «профиля» или в задании 17 ЕГЭ по базовой математике.

На ОГЭ данным методом можно воспользоваться при решении неравенств из первой и второй частей — №13 и №20.
Так что осваивайте метод и 2 балла ЕГЭ или 3 балла ОГЭ будут у вас в кармане. Обязательно следуйте алгоритму решения неравенств методом интервалов, тогда вы точно решите неравенство верно.

Практика

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.

Пример 1. Решить неравенство x 2 + 8x — 33 > 0.

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x 2 + 8x — 33 = 0.

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11.

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x 2 + 8x — 33. Получаем:

(-12) 2 + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15.

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются.

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞).

1. Находим нули функции.

Нули числителя: 2х 2 + 22х — 204 = 0. Решая уравнение, получаем х = 6 и х = -17.

Нули знаменателя: (х — 3)(х + 5) = 0, следовательно, х = 3 и х = -5.

2. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Нули числителя будут обозначены закрашенными точками, поскольку знак неравенства нестрогий. А вот нули знаменателя — выколотыми, поскольку знаменатель не может равняться 0, следовательно, и нули знаменателя не должны входить в итоговый промежуток.

3. Определяем знак на крайнем левом промежутке, подставляя х=-20 в дробь:

Следовательно, промежуток положительный.

4. Поскольку каждый корень встречается один раз, то есть нечетное количество раз, то знаки будут чередоваться.

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки. Следовательно, ответом будет х ∈ [-17; -5) U (3; 6].

Пример 3. Решить неравенство $\frac ≥ \frac$

1. Первым делом следует отметить, что знаменатели не могут быть равны 0, следовательно, х 2 ≠ 0 и х + 2 ≠ 0, отсюда получаем х ≠ 0 и х ≠ -2.

2. Теперь перенесем все части неравенства влево:

Приведем к общему знаменателю:

Для решения неравенства будет удобнее, если перед х 2 в числителе будет стоять положительный знак, для этого умножим неравенство на -1.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Теперь найдем нули функции.

Нули числителя: х 2 — х — 2 = 0. Тогда х = -1 и х = 2.

Нули знаменателя: х = 0 и х = -2.

2. Расставим корни на числовой прямой, при этом нули числителя будут обозначены закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми.

3. Определим знак на крайнем левом промежутке, подставив для этого х = -3 в дробь:

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х 2 четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет.

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2].

Давайте подведем итог. Для чего мы это изучили?

Конечно же, эти знания пригодятся на экзаменах, а также в решении школьных примеров с 8 класса по 11 класс.

Советуем после прочтения этой статьи попрактиковаться в рубрике «Проверь себя», чтобы закрепить полученные знания. После чего можете приступить к решению заданий посложнее, чтобы на экзамене у вас точно получилось решить подобные задания и набрать за них максимум баллов.

Фактчек

Метод интервалов позволяет упростить решение любого неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене.
Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала.
Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка.
Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию.
Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется.

Проверь себя

Задание 1.
Какие знаки неравенства существуют?

Строгие
Нестрогие
Строгие и нестрогие
Больше и меньше

Задание 2.
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

Только больше или меньше.
Только “больше или равно” или “меньше или равно”.
Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
Любой.

Задание 3.
Какое утверждение верное?

Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты.

Задание 4.
Какое утверждение верное?

При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5.
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе?

Круглые
Квадратные
И круглые, и квадратные
Ни один из перечисленных вариантов

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1

Какой из перечисленных ниже методов не является методом исключения интервалов

4. Одномерная оптимизация. Методы исключения интервалов

До этого рассматривался вопрос анализа «в статике», который заключается в том, чтобы определить, является ли данное решение оптимальным. Для этого были построены необходимые и достаточные условия оптимальности решения. Далее мы переходим к изучению вопроса анализа «в динамике», связанного с нахождением оптимального решения. С этой целью ниже рассматривается ряд одномерных методов поиска, ориентированных на нахождение точки оптимума внутри заданного интервала. Методы поиска, которые позволяют определить оптимум функции одной переменной путем последовательного исключения подынтервалов и, следовательно, путем уменьшения интервала поиска, носят название Методов исключения интервалов.

Ранее было дано определение Унимодальной функции. Унимодальность функций является исключительно важным свойством. Фактически все одномерные методы поиска, используемые на практике, основаны на предположении, что исследуемая функция в допустимой области, по крайней мере, обладает свойством унимодальности. Полезность этого свойства определяется тем фактом, что для унимодальной функции F(X) сравнение значений F(X) в двух различных точках интервала поиска позволяет определить, в каком из заданных двумя указанными точками подынтервалов точка оптимума отсутствует.

Теорема. Пусть функция F унимодальна на замкнутом интервале , а её минимум достигается в точке х*. Рассмотрим точки х1 и х2, расположенные в интервале таким образом, что A X1 X2 B. Сравнивая значения функции в точках х1 и х2, можно сделать следующие выводы:

1) Если F(X1) > F(X2), то точка минимума F(X) не лежит в интервале (а, х1), т. е. (см. рис. 14).

Замечание. Если F(X1) = F(X2), то можно исключить оба крайних интервала (а, х1) и (х2, B); при этом точка минимума должна находится в интервале (х1, х2).

Согласно приведенной выше теореме, которую иногда называют Правилом исключения интервалов, можно реализовать процедуру поиска, позволяющую найти точку оптимума путем последовательного исключения частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается, когда оставшийся подынтервал уменьшается до достаточно малых размеров. Заметим, что правило исключения интервалов, устраняет необходимость полного перебора всех допустимых точек. Несомненным достоинством поисковых методов такого рода является то, что они основаны лишь на вычислении значений функций. При этом не требуется, чтобы исследуемые функции были дифференцируемы; более того, допустимы случаи, когда функцию нельзя даже записать в аналитическом виде. Единственным требованием является возможность определения значений функции F(X) в заданных точках X с помощью прямых расчетов или имитационных экспериментов.

Вообще в процессе применения рассматриваемых методов поиска можно выделить два этапа:

 Этап установления границ интервала, на котором реализуется процедура поиска границ достаточно широкого интервала, содержащего точку оптимума;

 Этап уменьшения интервала, на котором реализуется конечная последовательность преобразований исходного интервала с тем, чтобы уменьшить его длину до заранее установленной величины.

В данном разделе рассматриваются методы решения одномерных задач оптимизации вида

Где Х – скаляр, A и B – соответственно концы интервала, из которого берутся значения переменной Х.

В основном рассматриваются алгоритмы, связанные с построением улучшающей последовательности. Решением задачи называется Х*, при котором F(X*)  F(X) для любого значения . При практическом решении задач не будем различать два значения Xi и Xi+1, если |Xi—Xi+1|, где  — задаваемая погрешность решения.

Итоговый тест с эталонами ответов по дисциплине «Методы оптимизации» , страница 4

17. Метод, используемый при решении задач оптимизации, в которых управление и координаты объекта могут иметь разрывы, – _________ _________.

(Эталон: принцип максимума)

1. Схема метода Эйлера…

2. Метод Эйлера предназначен для решения обыкновенных дифференциальных уравнений _________ порядка

(Эталон: первого; первый)

4. Динамическое программирование позволяет одну задачу со многими переменными заменить…

а) рядом последовательно решаемых задач с меньшим числом переменных

б) группой различных задач, с одинаковым числом переменных

в) рядом произвольно решаемых задач, с одинаковым числом переменных

г) группой последовательно решаемых задач с большим числом переменных

5. Основной принцип оптимизации многошагового процесса и особенность вычислительного метода динамического программирования, принцип оптимальности _________

(Эталон: Беллмана; Беллман)

21. Множество X, на котором оптимизируется f(x), …

5. Функция, имеющая более одного экстремума, называется …

23. Точка х * ÎХ – решение задачи условной оптимизации при …

24. Точка х * ÎХ является глобальным решением задачи оптимизации, если выполняются условия:

26. Верно утверждение – …

а) метод наискорейшего спуска относится к алгоритмам нулевого порядка

б) методы исключения интервалов являются алгоритмами нулевого порядка

в) метод дихотомии является алгоритмом первого порядка

г) к алгоритмам первого порядка относят алгоритмы, использующие информацию о значениях целевой функции и ее первых и вторых производных

27. Верны утверждения:

а) алгоритмы нулевого порядка используют информацию о значениях целевой функции и ее вторых производных

б) алгоритмы первого порядка используют информацию о значениях целевой функции

в) алгоритмы нулевого порядка используют информацию о значениях целевой функции и ее первых производных

г) алгоритмы первого порядка используют информацию о значениях целевой функции и ее первых производных

д) алгоритмы второго порядка используют информацию о значениях целевой функции

45. Точка х 0 , не лежащая на отрезке между двумя любыми точкам выпуклого многогранного множества М отличными от x 0 , называется …

46. Вершины многогранника – это … точки.

47. Если решение задачи линейного программирования существует, то оно обязательно достигается на _________ допустимой области.

Методы исключения интервалов

В методе перебора, рассмотренном выше, точки x , в которых определяются значения ¦(x), выбираются заранее. Если же для выбора очередной точки вычисления ¦(x) использовать информацию, содержащуюся в уже найденных значениях ¦(x), то поиск точки минимума можно сделать более эффективным, т.е. сократить число определяемых для этого значений ¦(x).

Фактически все одномерные методы поиска основаны на предположении, что исследуемая функция обладает свойством унимодальности, по крайней мере, в допустимой области. Это позволяет определить, в каком из задуманных двумя точками подынтервалов точка оптимума отсутствует.

Методы поиска, которые позволяют определить оптимум функции одной переменной путем последовательного исключения подынтервалов и, следовательно, путем уменьшения интервала поиска, носят название методов исключения интервалов.

Теорема 5.1. Пусть функция ¦ унимодальнана замкнутом интервале a £ x£ b, а ее минимум достигается в точке x . Рассмотрим точки x и x , расположенные в интервале таким образом, что a < x < x < b. Сравнивая значения функции в точках x и x можно сделать следующие выводы.

1. Если ¦(x ) > ¦(x ), то точка минимума ¦(x) не лежит в интервале (a, x ), т.е. x Î (x , b) (рис. 5.1,а)

Рис. 5.1. Графические иллюстрации к теореме 5.1

Примечание. Если ¦(x ) = ¦(x ), то можно исключить оба крайних интервала (a, x ) и (x , b); при этом точка минимума должна располагаться в интервале (x , x ).

Согласно теореме 5.1, которую иногда называют правилом исключения интервалов, можно реализовать процедуру поиска, позволяющую найти точку оптимума путем последовательного исключения частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается, когда оставшийся подынтервал уменьшается до достаточно малых размеров. Несомненным достоинством поисковых методов такого рода является то, что они основаны лишь на вычислении значений функции. При этом не требуется, чтобы исследуемые функции были дифференцируемы; более того, допустимы случаи, когда функцию нельзя даже записать в аналитическом виде.

В процессе применения рассматриваемых методов поиска можно выделить два этапа:

1. этап установления границ интервала, на котором реализуется процедура поиска границ достаточно широкого интервала, содержащего точку оптимума;

2. этап уменьшения интервала, на котором реализуется конечная последовательность преобразований исходного интервала с тем, чтобы уменьшить его длину до заранее установленной величины.

Похожие публикации:

Как сделать прописные буквы строчными в ворде

Как сохранить аудио из телеграм

Как сохранить курсор что бы не менялся после перезагрузки пк

Как сохранить пропорции рисунка в ворде в заливке

Узнать ещё

Продолжаем рассматривать метод интервалов. Примеры, в которых в ходе решения квадратного уравнения получаем дискриминант, равный нулю — следующие.

Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

$D = {b^2} - 4ac = {( - 6)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0.$

Поскольку дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень:

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{6}{{2 \cdot 1}} = 3.$

В точке x=3 на числовой прямой — «петля»:

Неравенство нестрогое, точка — закрашенная. Знак неравенства — больше либо равно, поэтому нам нужны промежутки с «+». Ответ:

$\[2){x^2} - 6x + 9 > 0.\]» width=»141″ height=»21″ /> От предыдущего неравенства это отличается только тем, что является строгим. Соответственно, точка x=3 — выколотая, и в ответ ее не включаем: <img decoding=$

$\begin{array}{l}x \in ( - \infty ;3) \cup (3;\infty ).\\\end{array}$

Поскольку знак неравенства — меньше либо равно, нам нужны промежутки с «-» а их нет. Отдельно стоящие закрашенные точки включаем в ответ. Здесь такая точка есть — x=3 (напоминаю, знак в петле — «виртуальный», на самом деле при x=3 выражение, стоящее в правой части, равно нулю, а нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом).

Здесь нет ни одной точки удовлетворяющей условию неравенства.

$5)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} \le 0.$

Приравниваем к нулю левую часть. Получаем:

$\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5;\\x \ne - 3;x \ne 6.\end{array} \right.$

Поскольку в ходе решения уравнения x²-10x+25=0 получили дискриминант, равный нулю, в соответствующей точке x=5 — «петля». Отмечаем полученные точки на числовой прямой:

Знак неравенства — меньше либо равно, поэтому выбираем промежутки со знаком «-«. Точка х=5 — закрашенная, поэтому ее включаем в ответ (то есть разрывать промежуток от -3 до 6 не нужно).

$6)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} < 0.$

От предыдущего примера данный отличается только тем, что неравенство — строгое. Соответственно, все точки выколотые и в ответ х=5 уже не входит (промежуток от -3 до 6 разбивается на два).

$7)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} \ge 0.$

Здесь выбираем промежутки с «+». Отдельно стоящую закрашенную точку также включаем в ответ:

$x \in ( - \infty ; - 3) \cup \left\{ 5 \right\} \cup (6;\infty ).$

$\[8)\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} - 3x - 18}} > 0.\]» width=»163″ height=»40″ /> Поскольку неравенство — строгое, ни одну из точек в ответ не включаем: <img loading=$

$x \in ( - \infty ; - 3) \cup (6;\infty ).$

Следует заметить, что если бы мы решали квадратные уравнения, в которых дискриминант равен нулю, используя теорему Виета, то получили бы два одинаковых корня (то есть один и тот же корень встречается четное число раз). Если бы свернули квадратный трехчлен по формулам квадрата суммы или квадрата разности, то получили бы кратный корень четной степени. То есть, при любом подходе пришли бы к «петле».

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов в алгебре отличается удобством и эффективностью применения при решении заданий на неравенства, которые записаны в виде f(x) > 0 В этом случае f(x) представляет собой рациональную функцию, а на месте знака «>» может быть подставлены знаки « Определение 1

Интервал — какой-то промежуток, отмеченный на числовой прямой, включает в себя все вероятные числа, которые расположены на этой прямой между двумя определенными числами, играющими роли концов интервала.

Примечание 1

Мысленно вообразить интервал и решать с его помощью задачи достаточно сложно. В связи с этим интервалы принято изображать.

Решение уравнения f(x) = 0 для определения нулей функции. Когда функция дробно-рациональная, требуется определить нули числителя и нули знаменателя.

Перенос полученных значений на числовую ось. Нули для знаменателя в любом случае являются выколотыми точками. Нули числителя, выколотые в том случае, если неравенство является строгим, закрашенные при нестрогом неравенстве.

В результате числовая ось разбивается на интервалы. В каждом из них нужно определить знак функции f(x).

В том случае, когда переход через закрашенную точку не приводит к изменению знака, данную точку (если она не принадлежит внутренней области в промежутке решения) называют изолированной точкой-решением.

При решении практических примеров по стандартному краткому алгоритму в распространенных случаях возникают трудности со знаками. В этом случае полезно запомнить несколько замечаний:

Если функция является непрерывной, смена знака происходит в точках, где она принимает нулевые значения. С помощью таких точек координатная ось разбивается на участки, внутри которых знак функции стабилен. В процессе решения неравенств выполняется поиск корней уравнения f(x) = 0, и отмечаются определенные корни на прямой. Это позволяет определить пограничные значения, отделяющие плюсы от минусов.

С целью определить знак функции на конкретном интервале нужно выполнить подстановку любого числа из заданного интервала в эту функцию.

Существует ряд недопустимых действий в случае решения неравенств:

домножение на знаменатель;

умножение или деление на отрицательное число без смены знака;

исключение логарифма или основания.

Описание алгоритма для вычисления

Определение 2

Решением неравенства называют такое значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Определение 3

Линейные неравенства являются такими неравенствами, которые записаны в виде:

определяется, как неизвестная переменная.

Решить неравенство означает, что требуется выполнить такие преобразования, в результате которых левая часть будет содержать лишь неизвестное в первой степени с коэффициентом, который равен единице.

Метод интервалов применим в случае тех линейных неравенств, в которых коэффициент х отличен от нуля. Алгоритм действий:

запись функции y = ax + b;

определение нулей, что позволит разбить область определения на участки;

перенос полученных корней на координатную прямую;

определение знаков для интервалов.

Когда неравенство имеет вид , метод интервалов использую таким образом:

Поиск нулей функции y = ax + b, чтобы решить уравнение ax + b = 0. В том случае, когда

Изображение координатной прямой с точкой, которая имеет координату . Если неравенство строгое, то точка будет выколотой, в противном случае, то есть при нестрогом неравенстве, точку изображают закрашенной.

Определение знаков для функции y = ax + b на промежутках. В процессе требуется выполнить поиск значений для функции в точках на промежутке. Когда решение неравенства со знаками > или , следует заштриховать область над положительным промежутком на координатной прямой. При < или Пример 1

В качестве примера рассмотрим решение следующего неравенства: -3x + 12 > 0

Руководствуясь стандартным алгоритмом, на первом шаге вычислим корень уравнения: -3x + 12 > 0 -6x = -12 x = 2 Далее нарисуем координатную ось, на которой отмечена выколотая точка, исходя из того, что неравенство строгое: Затем можно приступить к определению знаков на соответствующих промежутках. Рассмотрим промежуток . Определим функцию y = -6x + 12 при x = 1 6 > 0 В результате, данному промежутку соответствует знак «плюс». Аналогично проанализируем промежуток -6 < 0 На этом участке знак «минус». Найдем корни со знаком >. Заштрихуем область над положительным промежутком. Исходя из рисунка, можно заключить, что решением станут: Определение 4

Квадратное неравенство является таким неравенством, в котором наибольшая, или старшая, степень неизвестного x равна двум.

Переместить все члены влево таким образом, чтобы справа оставался лишь нуль.

Выполнить преобразования так, чтобы коэффициент при неизвестном приобрел положительное значение.

Приравнять левую часть неравенства к нулю для последующего решения квадратного уравнения.

Корни, которые получились в результате решения квадратного уравнения, отметить на числовой оси в порядке возрастания.

Изобразить интервалы и расставить знаки.

Определить нужные интервалы и записать ответ.

В качестве примера разберем решение квадратного неравенства:

На первом шаге нужно выполнить перенос всех членов неравенства так, чтобы они оказались в левой части, а справа находился нуль. Данное неравенство уже преобразовано, поэтому это действие можно пропустить.

Затем требуется сделать так, чтобы перед располагался положительный коэффициент. В нашем случае этим коэффициентом является +1, поэтому в дополнительных действиях необходимость отсутствует.

На следующем шаге нужно приравнять левую часть неравенства к нулю, а затем найти корни квадратного уравнения:

Корни, которые получились в результате вычислений, нужно отметить на числовой оси, соблюдая порядок возрастания.

Выполним расстановку знаков поочередно с правой стороны в левую, начиная со знака «плюс»:

Для того чтобы записать ответ, требуется выбрать необходимые интервалы. Если обратить внимание на исходное неравенство, то можно заметить, что:

Отрицательный интервал соответствует значениям от -4 до 3. Ответ нужно сформулировать, как двойное неравенство, то есть:

В процессе решения квадратного неравенства требуется проанализировать интервалы между числами. Это объясняет название метода интервалов.

Когда ответ получен, целесообразно выполнить проверку. В данном случае подберем какое-то число, которое соответствует заштрихованному участку -4 < x < 3 и выполним подстановку в начальное неравенство. В том случае, когда оно обратиться в верное неравенство, можно сделать вывод о правильности данного ответа.

В качестве примера выберем число 0. Подставим 0 в исходное неравенство:

Полученное неравенство является верным. Таким образом, в процессе решения был получен правильный ответ.

Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Определение 5

Дробно-рациональное неравенство является таким неравенством, которое содержит дробь со знаменателем, содержащим переменную, то есть неравенством вида:

Дробно-рациональное неравенство может быть записано в несколько ином виде. В некоторых случаях требуется выполнить ряд преобразований, чтобы привести его к такой форме, к примеру, путем переноса слагаемых влево, приведения к единому знаменателю.

В качестве примеров дробно-рациональных неравенств можно привести следующие выражения:

В связи с тем, что неравенство является строгим, все точки обозначены выколотыми.

Представим любое число . К примеру,

Требуется решить неравенство:

Определим знак функции справа от x = 2. Выберем число, которое больше, чем x = 2. Пусть таким числом является x = 3. Получим:

Начальное неравенство имело вид:

Следовательно, функция должна обладать отрицательным значением. В таком случае, подходит лишь один интервал (−7; 2). Запишем ответ.

Нужно решить неравенство:

Определим знак интервала, который находится в крайнем правом положении. Для этого выберем какое-то число, которое больше по сравнению с x = 1. Получим:

Решить квадратное неравенство:

Отметим корни на числовой оси:

Необходимо решить неравенство:

Поиск корней следует осуществлять с учетом последней версии неравенства:

Требуется выбрать интервал с отрицательным знаком. Таким образом, ответом будет Задача 5

Отметим корни на координатной оси:

Заметим, что точки из числителя будут закрашены, а из знаменателя — выколоты.

Определим с помощью

В результате получились два множества. В первом случае это обычный отрезок. Второй интервал является открытым лучом на числовой оси. Запишем ответ.

Похожие публикации:

1 моль идеального газа совершает процесс при котором его объем меняется пропорционально корню

Smartex wave как включить русский язык

Зная что в кодировке ascii десятичный код каждой строчной латинской буквы на 32 больше кода соответ

Как установить виндовс 7 на ноутбук