Задача 45639 Найти расстояние между вершинами парабол.
Найти расстояние между вершинами парабол y1=3x^2-2x-1 и y2=x^2+px+q, если квадратичная функция, соответствующая второй параболе, имеет корни 1 и 2.
математика 10-11 класс 1550
Решение
2020-03-30 19:17:48
по условию:
x^2+px+q =0
x_(1)=1; x_(2)=2
Абсцисса вершины параболы y=ax^2+bx+c
[b]x_(o)=-b/2a[/b]
Для параболы y_(1)=3x^2–2x–1
абсцисса вершины[b] x_(o)[/b]=2/6=[b]1/3[/b]
Находим ординату, подставив х=1/3 в выражение:
y(1/3)=3*(1/3)^2-2*(1/3)-1
y(1/3)=-4/3
Для параболы y_(3)=x^2–3x+2
абсцисса вершины[b] x_(o)[/b]=[b]3/2[/b]
Находим ординату, подставив х=3/2 в выражение:
y(3/2)=(3/2)^2-3*(3/2)+2
y(1/3)=-1/4
Находим расстояние между двумя точками
A(1/3; -4/3) и В (3/2;(-1/4))
Рисунок для наглядности.
Найдите растояние от точки А (-1; 5) до вершины параболы у= х2-4х+ 5
Сначала определим координаты вершины указанной параболы: у = х² — 4х + 5.
х0 = -b / 2a = 4 / 2 • 1 = 2;
y0 = y(x0) = 2² — 4 • 2 + 5 = 4 — 8 + 5 = 1.
Таким образом, парабола имеет вершину в точке М (2; 1).
Найти расстояние между точками снова нужно использовав соответствующую формулу:
d² = (2 — (-1))² + (1 — 5)² = (2 + 1)² + (-4)² = 9 + 16 = 25.
Так как d > 0, то d = √25 = 5.
Как найти расстояние между вершинами параболы
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.
Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение
.
Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле
.
Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.
Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид
(2)
В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение
(3)
если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и
(4)
если в нижней полуплоскости (рис.)
Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.
| 583 | Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: |
| 583.1 | парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох и ее параметр р=3; |
| 583.2 | парабола расположена в левой полуплоскости симетрично относительно оси Ох и ее параметр р=0,5. |
| 583.3 | парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р=1/4. |
| 583.4 | парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично оси Оу и ее параметр р=3. |
| 584 | Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол: |
| 584.1 | ; |
| 584.2 | ; |
| 584.3 | ; |
| 584.4 | . |
| 585 | Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: |
| 585.1 | парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку А(9; 6); |
| 585.2 | парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В(-1; 3); |
| 585.3 | парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1); |
| 585.4 | парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D(4; -8). |
| 586 | Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 см. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы. |
| 587 | Составить уравнение параболы, которая имеет фокус Е(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу. |
| 588 | Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. |
| 588.1 | ; |
| 588.2 | ; |
| 588.3 | ; |
| 588.4 | ; |
| 588.5 | ; |
| 588.6 | ; |
| 588.7 | ; |
| 588.8 | . |
| 589 | Найти фокус F и уравнение директрисы параболы . |
| 590 | Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если абсцисса точки М равна 7. |
| 591 | Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если ордината точки М равна 6. |
| 592 | На параболе найти точки, фокальный радиус которых равен 13. |
| 593 | Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы . |
| 594 | Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; ), параметр равен p, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность: |
| 594.1 | в положительном направлении оси Ох; |
| 594.2 | в отрицательном направлении оси Ох. |
| 595 | Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; ), параметр равен p, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность: |
| 595.1 | в положительном направлении оси Оу (т.е. парабола является восходящей); |
| 595.2 | в отрицательном направлении оси Оу (т.е. парабола являетя нисходящей). |
| 596 | Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы: |
| 596.1 | ; |
| 596.2 | ; |
| 596.3 | ; |
| 596.4 | . |
| 597 | Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р: |
| 597.1 | ; |
| 597.2 | ; |
| 597.3 | . |
| 598 | Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А и величину параметра р: |
| 598.1 | ; |
| 598.2 | ; |
| 598.3 | . |
| 599 | Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: |
| 599.1 | ; |
| 599.2 | ; |
| 599.3 | ; |
| 599.4 | . |
| 600 | Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса . |
| 601 | Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса . |
| 602 | Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса . |
| 603 | Даны вершина параболы А(6; -3) и уравнение ее директрисы . Найти фокус F этой параболы. |
| 604 | Даны вершина параболы А(-2; -1) и уравнение е директрисы . Составить уравнение этой параболы. |
| 605 | Определить точки пересечения прямой и параболы . |
| 606 | Определить точки пересечения прямой и параболы . |
| 607 | Определить точки пересечения прямой и параболы . |
| 608 | В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы – пересекает ли, касается или проходит вне ее: |
| 608.1 | , ; |
| 608.2 | , ; |
| 608.3 | , . |
| 609 | Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая : |
| 609.1 | пересекает параболу ; |
| 609.2 | касается ее; |
| 609.3 | проходит вне этой параболы. |
| 610 | Вывести условие, при котором прямая касается параболы . |
| 611 | Доказать, что к параболе можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом . |
| 612 | Составить уравнение касательной к параболе в ее точке М 1(x1; y1). |
| 613 | Составить уравнение прямой, которая касается параболы и параллельна прямой . |
| 614 | Составить уравнение прямой, которая касается параболы и перпендикулярна к прямой . |
| 615 | Провести касательную к параболе параллельно прямой и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой. |
| 616 | На параболе найти точку М 1, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М 1 до этой прямой. |
| 617 | Составить уравнения касательных к параболе , проведенных из точки А(2; 9). |
| 618 | К параболе проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посередине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох. |
| 619 | Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания. |
| 620 | Из точки Р(-3; 12) проведены касательные к параболе . Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания. |
| 621 | Определить точки пересечения эллипса и параболы . |
| 622 | Определить точки пересечения гиперболы и параболы . |
| 623 | Определить точки пересечения парабол , . |
| 624 | Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается. |
| 625 | Из фокуса параболы под острым углом к оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя до параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч. |
| 626 | Доказать, что две параболы, имеющую общую ось и общий фокус, расположенный между ее вершинами, пересекаются под прямым углом. |
| 627 | Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности. |
| Текст издания: © Д.В.Клетенник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998 Решение задач: © 2004-2013, Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/ , http://kirill-kravchenko.narod.ru/ |
Калькулятор Tiger Algebra
Парабола — это кривая, состоящая из всех точек на графике, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки, фокуса, как и от заданной прямой, директрисы.
Важные понятия:
- Стандартная форма горизонтальной параболы: x = a y 2 + b y + c ; если a 0 , то парабола открывается влево; если a > 0 , то парабола открывается вправо.
- Стандартная форма вертикальной параболы: y = a x 2 + b x + c ; если a 0 , то парабола открывается вниз, как грустное лицо; если a > 0 , то парабола открывается вверх, как улыбка.
- Форма вершины горизонтальной параболы: x = a ( y — k ) 2 + h ; если a 0 , то вершина находится справа, а парабола открывается влево; если a > 0 , то вершина находится слева, а парабола открывается вправо.
- Форма вершины вертикальной параболы: y = a ( x — h ) 2 + k ; если a 0 , то вершина является самой высокой точкой; если a > 0 , то вершина является самой низкой точкой.
Точки
- Вершина ( h , k ) : Точка исхода параболы, расположенная между директрисой и фокусом. Форма вершины (см. Форма вершины) может быть использована для определения вершины горизонтальных и вертикальных парабол.
- Фокус ( h ± p , k ) ( h , k ± p ) : Фокус параболы — это точка, расположенная внутри кривой параболы, вокруг которой парабола изгибается. Расстояния от фокуса и директрисы до любой точки на гиперболе равны.
- Ось симметрии: Линия, проходящая через вершину параболы, создающая две согласованные половины.
- Директриса: Линия, проходящая перпендикулярно оси симметрии параболы и параллельно ее большой оси. Расстояние от вершины параболы до ее директрисы равно расстоянию от вершины параболы до ее фокуса.
- Фокусное расстояние ( p ) : Расстояние между вершиной параболы и фокусом. Это расстояние равно расстоянию между вершиной параболы и директрисой.
- Латус ректум ( 4 p ) : Отрезок линии, расположенный внутри параболы, проходящий через фокус параболы и перпендикулярный оси симметрии параболы. Длина латуса ректума равна четырем фокусным длинам параболы и может быть выражена как 4 p .