Пирамида
Правильная пирамида – это та пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, при этом совершенно необязательно, чтобы сторона основания совпадала с высотой пирамиды или ее боковым ребром. Тем не менее, зная всего один из показателей основания, например, сторону, площадь основания или периметр, и один показатель объема – высоту или боковое ребро, можно найти все остальные параметры правильной пирамиды через геометрический калькулятор пирамиды. В каждом разделе подробно разобраны формулы, по которым вычисляются стороны, площади, объем и радиусы правильной пирамиды.
Построение пирамиды Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис строит пирамиду по координатам её вершин.
Пирамиду можно вращать: либо нажав на графике мышкой и крутя в нужную сторону, либо с помощью клавиатурных стрелок.
- быстро не вращайте и долго не зажимайте клавиатурные стрелки!
- данный сервис может не работать в браузере Internet Explorer!
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
Как построить пирамиду по координатам x y z пошагово
Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.
Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.
Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.
Координаты куба
Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.
Система координат также вводится очень просто:
- Начало координат — в точке A;
- Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
- Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA1.
Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.
Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:
| Точка | A | B | C | D |
| Координаты | (0; 0; 0) | (1; 0; 0) | (1; 1; 0) | (0; 1; 0) |
| Точка | A1 | B1 | C1 | D1 |
| Координаты | (0; 0; 1) | (1; 0; 1) | (1; 1; 1) | (0; 1; 1) |
Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B1 = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!
Координаты трехгранной призмы
Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.
В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.
Итак, поехали! Вводим систему координат:
- Начало координат — в точке A;
- Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
- Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.
Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:
Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.
Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:
Получаем следующие координаты точек:
Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C1. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.
Координаты шестигранной призмы
Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.
Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:
Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.
Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:
Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:
Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:
Координаты четырехугольной пирамиды
Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.
Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:
Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).
Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:
Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.
Задача с треугольной пирамидой
После пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки:
У треугольной пирамиды есть:
– четыре вершины;
– шесть рёбер (сторон);
– четыре грани.
Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр.
Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом. А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите.
Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (стОрону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторонЫ)» и «уравнение грани».
Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где-то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =)
Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат. Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами.
Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. И начинаются они примерно так:
Треугольная пирамида задана координатами своих вершин
Далее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Причём, прямо сейчас =)
Пусть это будут вершины .
Требуется:
Потребуется много чего…. Счастливчики отделаются 3-4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий.
Поздравляю, вы сорвали Джекпот!
1) найти длину ребра ;
2) составить уравнения стороны ;
3) найти угол между рёбрами ;
4) найти площадь грани ;
5) найти угол между ребром и плоскостью ;
6) составить уравнение грани ;
7) составить уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ;
8) вычислить длину высоты ;
9) найти основание высоты ;
10) вычислить объем пирамиды;
11) составить уравнения медианы грани ;
12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину ;
13) найти угол между плоскостями и ;
14) выполнить чертёж пирамиды в прямоугольной декартовой системе координат;
15) перекреститься левой пяткой.
Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие. …немного наскучило выстраивать вереницу Пример 1, Пример 2, Пример 3, ….
Начнём-с бренчать монетами по карманам.
Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами . Выполним схематический чертёж:
Если бегло просмотреть пункты задачи, то легко заметить, что в условии часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой «особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости .
А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . При таких буквах «особенной» гранью, скорее всего, будет грань , а «особенной» точкой – вершина . В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для чайников чертёж просто обязателен.
Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике.
С чего начать решение задачи?
Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки . Решим элементарную задачу урока Векторы для чайников:
Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле… достаточно неприятны! Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а-ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно найти на странице Математические формулы и таблицы.
Кроме того, чтобы эффективнее и КОМФОРТНЕЕ воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных векторов рекомендую переписать на бумагу.
Как найти длину ребра пирамиды?
1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора :
Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1-го или 3-го десятичного знака.
Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер или . Если же вам предложено найти длину какой-нибудь другой стороны, то используйте формулу нахождения длины отрезка по двум точкам:
Это всё простейшие задачи первого урока про векторы.
Как составить уравнения стороны пирамиды?
2) Найдём уравнения ребра . Очевидно, что речь идёт об уравнениях прямой в пространстве, но нам не сказано, в каком виде их нужно составить. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой.
Уравнения ребра составим по точке (можно взять ) и направляющему вектору :
В целях проверки следует убедиться, что обе точки удовлетворяют найденным уравнениям.
Как найти угол между рёбрами пирамиды?
3) Найдём угол между сторонами :
Перед вами обычный угол пространственного треугольника, который рассчитывается как угол между векторами. И снова при делах тривиальная формула урока Скалярное произведение векторов:
Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что (см. пункт 1).
С помощью обратной функции находим сам угол:
Как найти площадь грани пирамиды?
4) Найдём площадь грани :
Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу .
Сначала найдём векторное произведение:
И вычислим его длину:
Вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде.
Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях.
Как найти угол между ребром и гранью?
5) Найдём угол между ребром и плоскостью . Это стандартная задача, рассмотренная в Примере № 3 п. «д» урока Основные задачи на прямую и плоскость. Прошу прощения за неточности ряда последующих чертежей, я рисую от руки, отражая лишь принципиальную картину:
И с помощью арксинуса рассчитываем угол:
Как найти уравнение грани?
6) Составим уравнение плоскости . Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали плоскости . Поэтому уравнение грани составим по точке (можно взять либо ) и вектору нормали :
Для проверки можно подставить координаты точек в полученное уравнение, все три точки должны «подходить».
Как составить уравнения высоты пирамиды?
7) Звучит грозно, решается просто.
Уравнения высоты , опущенной из вершины на грань , составим по точке и направляющему вектору :
– по умолчанию записываем канонические уравнения.
Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение.
Как найти длину высоты пирамиды?
8) Пример № 9 статьи Уравнение плоскости. Длину высоты найдём как расстояние от точки до плоскости :
Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе.
Как найти основание высоты пирамиды?
9) Найдём основание высоты . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась на уроке Задачи с прямой и плоскостью. Повторим. Перепишем уравнения высоты в параметрической форме:
Неизвестным координатам точки соответствует вполне конкретное значение параметра :
, или: .
Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки в уравнение :
Кому-то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике.
Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки:
Сурово, но идеально точно. Я проверил.
Как найти объем треугольной пирамиды?
10) Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов:
В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где – площадь грани, – длина высоты, опущенной к этой грани.
Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину соответствующей высоты
Как составить уравнения медианы грани пирамиды?
11) Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника:
По сравнению с треугольником на плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и, по формулам координат середины отрезка, находим реквизиты точки :
Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой:
За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей:
Уравнения медианы составим по точке и направляющему вектору :
Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные.
Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек в полученные канонические уравнения.
Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро?
12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину :
А задаёт ли вообще прямая и не принадлежащая ей точка плоскость? Да, это «жёсткая конструкция», однозначно определяющая плоскость.
К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости , и самый короткий путь – составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам.
В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из нужных векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать его брата-мажора . В качестве второго вектора подходит либо (и вообще, бесконечно много векторов, но у нас есть только две «готовые» точки прямой ). Учитывая дробные координаты точки «эм», выгоднее найти:
Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам :
Очевидно, что координаты точек должны «подходить» в полученное уравнение плоскости.
Как найти угол между гранью и плоскостью?
13) Найдём угол между плоскостями и .
Очередной типовик, рассмотренный в Примере № 13 урока Уравнение плоскости.
Данные плоскости пересекаются, и косинус угла между ними выражается формулой: , где – вектор нормали плоскости . Напоминаю, что вектор нормали и его длина уже известны.
Осталось снять вектор нормали: и аккуратно провести вычисления:
Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол:
От тупизны подальше за ответ таки лучше принять острого соседа:
Как начертить пирамиду в прямоугольной системе координат?
14) Выполним точный чертёж пирамиды прямоугольной системе координат. Это проще, чем кажется.
Во-первых, необходимо уметь правильно изображать саму систему координат на клетчатой бумаге. Справка в начале методички Графики и свойства функций.
Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, об этом я уже начал рассказывать в статье Уравнения прямой в пространстве. И сейчас мы продолжим тему.
Построим точку . На мой взгляд, сначала удобно разобраться с первыми двумя координатами – «иксом» и «игреком»: отмеряем 2 единицы в положительном направлении оси и 3 единицы в отрицательном направлении оси . В плоскости прочерчиваем пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим координатным осям. Пересечение дорожек я пометил небольшим ромбиком:
Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться наша точка , она расположена в нижнем полупространстве.
Для точки отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве.
Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина лежит в самой плоскости .
В тетради пунктирные линии аккуратно и не жирно проводятся простым карандашом.
Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – .
Немало читателей уже мысленно прорисовали пирамиду, тем не менее, остановлюсь на построении подробнее. После того, как построены вершины, чайники могут тонко-тонко карандашом начертить все 6 сторон, и начинать разбираться, какие рёбра видимы, а какие рёбра скрыты. Лучше начать от самой близкой точки . Очевидно, что все три «исходящих» ребра в поле нашего зрения:
Должен предостеречь, так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия пространства!
Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра , а вот сторона спряталась за пирамидой:
К слову, невидимое нам ребро лежит в нижнем полупространстве и проходит под осями .
Чертеж-конфетка на практике получается не во всех случаях. Бывает, фортуна разворачивается и задом:
То есть, грань пирамиды может полностью или частично закрывать всё остальное. Но самое скверное, когда перекрываются рёбра:
Тут сразу три ребра выстроились на одной прямой (правая верхняя прямая). В похожей ситуации приходится жирно прочерчивать накладывающиеся стороны разными цветами и ниже чертежа записывать дополнительные комментарии о расположении пирамиды.
Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложиться на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней).
Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике.
Вот, пожалуй, и все основные сведения о построении треугольной пирамиды в декартовой системе координат.
15) Это пример для самостоятельного решения.
В конце решения желательно остограммиться записать ответ, и по пунктам перечислить полученные результаты. За ваше здоровье!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
5.7. Задача с треугольной пирамидой
Концептуально эта задача напоминает задачу с треугольником на плоскости. Только вот треугольников у нас теперь четыре, и образуют они треугольную пирамиду или тетраэдр:
У треугольной пирамиды есть:
– шесть рёбер (сторон);
Чем богаты, тем и рады.
Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическую геометрию интересует совсем другое, а именно: уравнения рёбер, плоскостей, всевозможные длины, углы и некоторые другие вещи, которые вы увидите прямо сейчас. Типовая задача формулируется так:
Задача 166
Треугольная пирамида задана координатами своих вершин, пусть это будут вершины . Требуется: … если повезёт, то только 3-4 пункта из перечисленных:
1) найти длину ребра ;
2) составить уравнения стороны ;
3) найти угол между рёбрами ;
4) найти площадь грани ;
5) найти угол между ребром и плоскостью ;
6) составить уравнение грани ;
7) составить уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ;
8) вычислить длину высоты ;
9) найти основание высоты ;
10) вычислить объем пирамиды;
11) составить уравнения медианы грани ;
12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину ;
13) найти угол между плоскостями и
14) выполнить чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат.
15) перекреститься левой пяткой.
Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами :
Если бегло просмотреть пункты условия, то легко заметить, что там часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой «особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости .
А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . Здесь «особой» гранью, скорее всего, будет , а «особенной» точкой – вершина .
В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для «чайников» чертёж просто обязателен.
Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин, анализируем условие, находим «особенную» плоскость и точку и выполняем бесхитростный набросок на черновике.
С чего начать решение? Начать лучше всего с того, что загнать координаты вершин в Геометрический калькулятор (см. приложения), который автоматически рассчитает наиболее популярные пункты. Ибо приятно заранее знать правильные ответы ��
Но расписать-то всё нужно подробно. И поэтому оформление решения удобно начать с нахождения векторов. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки :
Решим эту элементарную задачу:
Чтобы комфортнее воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных вектора рекомендую переписать на отдельный листочек.
Это же сделайте, когда будете решать свою задачу – чтобы каждый раз не выискивать нужный вектор, нужную точку. Их удобно держать перед глазами.
1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора :
Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1 или 3 десятичных знаков.
Полагаю, в случае надобности никого не затруднит аналогичным образом найти длину ребра или . Как вариант, можно использовать формулу расстояния между двумя точками: . Но зачем? У нас уже найдены векторы.
2) Найдём уравнения ребра . Строго говоря, здесь следует сказать «уравнения прямой, которая содержит ребро», но этим почти всегда пренебрегают. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой.
Уравнения ребра составим по точке (можно взять ) и направляющему вектору :
Для проверки подставляем координаты точек в полученное уравнение. Обе должны «подойти».
3) Найдём угол между сторонами :
Перед вами обычный угол пространственного треугольника, который рассчитывается как угол между векторами: . И снова при делах задро тривиальная формула:
– заметьте, что в ходе вычислений можно (и нужно) использовать ранее полученные результаты, в данном случае нам уже известно, что (см. пункт 1).
С помощью обратной функции находим сам угол:
4) Найдём площадь грани :
Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу:
и вычислим его длину:
…и вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде.
Таким образом, площадь грани :
Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях.
5) Найдём угол между ребром и плоскостью , прошу прощения за неточность последующих чертежей, я рисую от руки:
Это стандартная задача, рассмотренная в Задаче 162 (пункт «д»). Используем формулу:
и с помощью арксинуса рассчитываем сам угол:
6) Составим уравнение грани . А точнее, «уравнение плоскости, которая содержит грань». Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали плоскости . Поэтому уравнение грани составим по точке (можно взять либо ) и вектору нормали :
Для проверки можно подставить координаты точек в полученное уравнение, все три точки должны «подойти».
7) Как составить уравнения высоты пирамиды? Звучит грозно, решается просто.
Уравнения высоты , опущенной из вершины на грань , составим по точке и направляющему вектору :
Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает «на всю катушку», и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу «пробивайте» векторное произведение.
8) Длину высоты найдём как расстояние от точки до плоскости :
Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе.
Теперь пунктик потруднее:
9) Найдём основание высоты – точку . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась в той же в Задаче 162 (пункт «б»). Повторим.
Перепишем уравнения высоты в параметрической форме:
Неизвестным координатам точки соответствует вполне конкретное значение параметра :
, или: .
Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки в уравнение :
Кому-то покажется жестью, но на самом деле шифер �� Который шуршит.
Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки:
Сурово, но идеально точно. Я проверил.
10) Объём треугольной пирамиды в ангеме традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов:
И тут уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где – площадь грани, – длина высоты, опущенной к этой грани. Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину высоты :
, чему мы очень рады.
11) Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника:
По сравнению с треугольником на плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и по формулам координат середины отрезка находим адрес точки :
Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но сначала (см. по ссылке, почему) лучше найти направляющий вектор: . В качестве направляющего можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей:
Уравнения медианы составим по точке и направляющему вектору :
Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные. Проверка обыденна, нужно подставить координаты точек в полученные уравнения.
12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину :
Увы, мы не знаем «вкусный» вектор нормали, и поэтому уравнение плоскости придётся добывать по точке и двум неколлинеарным векторам.
В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из нужных векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать друга-мажора . Ему в пару подходит вектор , но лучше .
Ибо координаты этого вектора будут целыми:
Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам :
Непременно проверяем, что координаты точек удовлетворяют полученному уравнению.
13) Найдём угол между плоскостями и .
Это типовая задача.
Обозначим искомый угол через и используем формулу: , где – вектор нормали плоскости . Напоминаю, что вектор и его длина уже известны.
Осталось из уравнения снять вектор нормали: и аккуратно провести вычисления:
Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол:
От тупизны подальше за ответ таки лучше принять смежного соседа:
14) Выполним точный чертёж пирамиды прямоугольной системе координат. Да, конечно, существуют программы и онлайн сервисы для построения чертежей, но не факт, что они под рукой, и не факт, что такой чертёж будет качественным. Поэтому я расскажу вам о ручном способе построения – в тетради с помощью карандаша и линейки.
С чего начать?
Во-первых, нужно правильно изобразить декартову систему координат на клетчатой бумаге. Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, о чём мы уже вспомнили, когда разбирали канонические уравнения прямой. И сейчас тема получает продолжение.
Построим точку . Для этого отмеряем 2 единицы в положительном направлении оси и 3 единицы в отрицательном направлении оси . В плоскости прочерчиваем тонкие пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим координатным осям. Пересечение этих дорожек отмечено ромбиком (слева внизу):
Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться наша точка , она расположена в нижнем полупространстве.
Для точки отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве.
Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина лежит в самой плоскости .
Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – .
Строим рёбра. Если есть сомнения, то сначала тонко-тонко прочерчиваем все 6 сторон и начинаем разбираться, какие рёбра видимы, а какие нет. Лучше начать от самой близкой точки . Очевидно, что все три «исходящих» ребра в поле нашего зрения:
Должен предостеречь, что так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия пространства!
Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра , а вот сторона спряталась за пирамидой. Обратите внимание, что она лежит в нижнем полупространстве и проходит под осями :
Следует отметить, что чертеж-«конфетка» получается далеко не всегда. Бывает, что фортуна разворачивается задом. Так, грань пирамиды может полностью или частично закрывать всё остальное (слева).
Но самое скверное, когда перекрываются рёбра (справа). Тут сразу три ребра выстроились на одной прямой (правая верхняя прямая). В подобной ситуации можно жирно прочертить накладывающиеся стороны разными цветами и ниже чертежа записать дополнительные комментарии о расположении пирамиды. А можно поступить творчески – поменять оси местами (например, и ).
Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложить на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней).
Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике.
В конце решения следует выполнить Пункт 15, после чего желательно записать ответ, где по пунктам перечислить полученные результаты.
Как построить пирамиду по уравнению
Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.
Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.
C ( ; ; ), D ( ; ; )
Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.
Округлять до -го знака после запятой.
Что такое пирамида: определение, элементы, виды, варианты сечения
В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Определение пирамиды
Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.
Примечание: пирамида – это частный случай конуса.
Элементы пирамиды
Для рисунка выше:
- Основание (четырехугольник ABCD) – грань фигуры, являющая многогранником. Ей не принадлежит вершина.
- Вершина пирамиды (точкаE) – общая точка всех боковых граней.
Развёртка пирамиды – фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом. Примечание: свойства пирамиды представлены в отдельной публикации.
Виды сечения пирамиды
1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ): 
2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник. 
На данном рисунке: Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.
Как рассчитать объем пирамиды по координатам вершин? Методика и пример задачи
Часто в задачах школьного курса геометрии приходится решать задания, которые требуют использования комплексного подхода. Одной из таких задач является вычисление объема пирамиды по координатам вершин. Как решить эту геометрическую задачу — ответит приведенная ниже статья.
Что представляет собой пирамида?
Говоря простыми словами, под этой фигурой понимают пространственный объект, ограниченный треугольными сторонами и одной многоугольной гранью, которая называется основанием. Многоугольное основание может быть произвольным n-угольником на плоскости, например, правильным треугольником, параллелограммом и так далее. Вам будет интересно: Какую роль играет репродуктивная клетка животных и растений? Любая пирамида имеет n + 1 грань, 2 * n ребер и n + 1 вершину. Вершины фигуры не являются равноправными. Так, существует единственная вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной. Расстояние от нее до плоскости основания — это высота фигуры. Пирамиды могут быть наклонными, если высота пересекает основание не в его центре, или прямыми, когда высота с основанием пересекается в геометрическом центре последнего. Также фигуры могут быть неправильными и правильными. Пирамиды правильные состоят из равноугольного и равностороннего основания и нескольких равнобедренных треугольников, которые друг другу равны.
Как рассчитывается объем пирамиды?
Прежде чем приводить методику вычисления по координатам вершин объема пирамиды, следует привести формулу, при помощи которой можно рассчитать эту величину для фигуры любого типа из рассматриваемого класса. Итак, объем пирамиды рассчитывается так: Здесь So — это основания площадь, h — расстояние от главной вершины до основания, то есть высота пирамиды. Таким образом, любая геометрическая задача на нахождение объема пирамиды сводится к расчету величин So и h.
Как найти объем пирамиды по координатам вершин: методика
Пирамида может быть представлена произвольным n-угольным основанием. Чтобы рассчитать его площадь, следует внимательно изучить условие задачи, в котором должно быть сказано, о каком типе n-угольника идет речь. Если это треугольник или параллелограмм, то расчет его площади по известным координатам очень прост: необходимо лишь найти векторное произведение соответствующих векторов сторон. Вычислить высоту пирамиды также не представляет особого труда. Для этого следует из любых трех точек основания получить уравнение плоскости в общем виде, а затем нужно воспользоваться формулой расстояния между плоскостью и точкой (вершиной пирамиды). Формула имеет вид: d = |(A * x1 + B * y1 + C * z1 + D)| / √(A2 + B2 + C2). Здесь (x1; y1; z1) — координаты точки. Уравнение плоскости имеет вид: A * x + B * y + C * z + D = 0.
Задача с треугольной пирамидой
Решим задачу на примере самой простой пирамиды — треугольной. Условие простое: ниже даны координаты вершин пирамиды, объем найти нужно для фигуры, которая на этих координатах построена: Положим, что основание пирамиды является треугольником ABC. Найдем длины векторов AB¯ и AC¯: Векторное произведение AB¯ и AC¯ даст нам, с одной стороны, двойную площадь треугольника, то есть 2 * So, а с другой стороны, мы получим координаты нормального к плоскости вектора n¯, имеем: n¯ = [AB¯ * AC¯] = (8; -10; -7). Площадь треугольного основания равна полудлине вектора n¯, то есть: So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3. Прежде чем рассчитывать расстояние от D до плоскости ABC, необходимо записать уравнение плоскости. Три его коэффициента (A, B, C) мы уже знаем, они соответствуют координатам нормали n¯. Свободный член можно получить, подставив в уравнение координаты любой точки плоскости, например точки A, имеем: D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13. Тогда уравнение плоскости основания пирамиды принимает форму: 8 * x — 10 * y — 7 * z + 13 = 0. Теперь применяем приведенную выше формулу для расчета расстояния от точки D(4; 3; 4) до найденной плоскости, получаем: d = |(8 * 4 — 10 * 3 — 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89. Поскольку найденное значение расстояния d соответствует высоте пирамиды треугольной h, то можно воспользоваться формулой для объема фигуры: V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166. Полученное значение объема выражено в кубических единицах выбранной координатной системы.
Похожие публикации:
- 0xc0000142 при запуске игры как исправить windows 10
- Как найти обрыв провода в удлинителе
- Как отменить команду в командной строке
- Как сделать закрытый чат в вк
Задача с треугольной пирамидой
После пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки:
У треугольной пирамиды есть:
– четыре вершины;
– шесть рёбер (сторон);
– четыре грани.
Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр.
Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом. А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите.
Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (стОрону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторонЫ)» и «уравнение грани».
Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где-то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =)
Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат. Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами.
Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. И начинаются они примерно так:
Треугольная пирамида задана координатами своих вершин
Далее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Причём, прямо сейчас =)
Пусть это будут вершины .
Требуется:
Потребуется много чего…. Счастливчики отделаются 3-4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий.
Поздравляю, вы сорвали Джекпот!
1) найти длину ребра ;
2) составить уравнения стороны ;
3) найти угол между рёбрами ;
4) найти площадь грани ;
5) найти угол между ребром и плоскостью ;
6) составить уравнение грани ;
7) составить уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ;
8) вычислить длину высоты ;
9) найти основание высоты ;
10) вычислить объем пирамиды;
11) составить уравнения медианы грани ;
12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину ;
13) найти угол между плоскостями и ;
14) выполнить чертёж пирамиды в прямоугольной декартовой системе координат;
15) перекреститься левой пяткой.
Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие. …немного наскучило выстраивать вереницу Пример 1, Пример 2, Пример 3, ….
Начнём-с бренчать монетами по карманам.
Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами . Выполним схематический чертёж:
Если бегло просмотреть пункты задачи, то легко заметить, что в условии часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой «особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости .
А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . При таких буквах «особенной» гранью, скорее всего, будет грань , а «особенной» точкой – вершина . В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для чайников чертёж просто обязателен.
Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике.
С чего начать решение задачи?
Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки . Решим элементарную задачу урока Векторы для чайников:
Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле… достаточно неприятны! Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а-ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно найти на странице Математические формулы и таблицы.
Кроме того, чтобы эффективнее и КОМФОРТНЕЕ воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных векторов рекомендую переписать на бумагу.
Как найти длину ребра пирамиды?
1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора :
Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1-го или 3-го десятичного знака.
Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер или . Если же вам предложено найти длину какой-нибудь другой стороны, то используйте формулу нахождения длины отрезка по двум точкам:
Это всё простейшие задачи первого урока про векторы.
Как составить уравнения стороны пирамиды?
2) Найдём уравнения ребра . Очевидно, что речь идёт об уравнениях прямой в пространстве, но нам не сказано, в каком виде их нужно составить. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой.
Уравнения ребра составим по точке (можно взять ) и направляющему вектору :
В целях проверки следует убедиться, что обе точки удовлетворяют найденным уравнениям.
Как найти угол между рёбрами пирамиды?
3) Найдём угол между сторонами :
Перед вами обычный угол пространственного треугольника, который рассчитывается как угол между векторами. И снова при делах тривиальная формула урока Скалярное произведение векторов:
Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что (см. пункт 1).
С помощью обратной функции находим сам угол:
Как найти площадь грани пирамиды?
4) Найдём площадь грани :
Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу .
Сначала найдём векторное произведение:
И вычислим его длину:
Вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде.
Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях.
Как найти угол между ребром и гранью?
5) Найдём угол между ребром и плоскостью . Это стандартная задача, рассмотренная в Примере № 3 п. «д» урока Основные задачи на прямую и плоскость. Прошу прощения за неточности ряда последующих чертежей, я рисую от руки, отражая лишь принципиальную картину:
Используем формулу:
И с помощью арксинуса рассчитываем угол:
Как найти уравнение грани?
6) Составим уравнение плоскости . Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали плоскости . Поэтому уравнение грани составим по точке (можно взять либо ) и вектору нормали :
Для проверки можно подставить координаты точек в полученное уравнение, все три точки должны «подходить».
Как составить уравнения высоты пирамиды?
7) Звучит грозно, решается просто.
Уравнения высоты , опущенной из вершины на грань , составим по точке и направляющему вектору :
– по умолчанию записываем канонические уравнения.
Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение.
Как найти длину высоты пирамиды?
8) Пример № 9 статьи Уравнение плоскости. Длину высоты найдём как расстояние от точки до плоскости :
Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе.
Как найти основание высоты пирамиды?
9) Найдём основание высоты . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась на уроке Задачи с прямой и плоскостью. Повторим. Перепишем уравнения высоты в параметрической форме:
Неизвестным координатам точки соответствует вполне конкретное значение параметра :
, или: .
Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки в уравнение :
Кому-то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике.
Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки:
Сурово, но идеально точно. Я проверил.
Как найти объем треугольной пирамиды?
10) Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов:
В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где – площадь грани, – длина высоты, опущенной к этой грани.
Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину соответствующей высоты
Как составить уравнения медианы грани пирамиды?
11) Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника:
По сравнению с треугольником на плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и, по формулам координат середины отрезка, находим реквизиты точки :
Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой:
За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей:
Уравнения медианы составим по точке и направляющему вектору :
Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные.
Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек в полученные канонические уравнения.
Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро?
12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину :
А задаёт ли вообще прямая и не принадлежащая ей точка плоскость? Да, это «жёсткая конструкция», однозначно определяющая плоскость.
К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости , и самый короткий путь – составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам.
В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из нужных векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать его брата-мажора . В качестве второго вектора подходит либо (и вообще, бесконечно много векторов, но у нас есть только две «готовые» точки прямой ). Учитывая дробные координаты точки «эм», выгоднее найти:
Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам :
Очевидно, что координаты точек должны «подходить» в полученное уравнение плоскости.
Как найти угол между гранью и плоскостью?
13) Найдём угол между плоскостями и .
Очередной типовик, рассмотренный в Примере № 13 урока Уравнение плоскости.
Данные плоскости пересекаются, и косинус угла между ними выражается формулой: , где – вектор нормали плоскости . Напоминаю, что вектор нормали и его длина уже известны.
Осталось снять вектор нормали: и аккуратно провести вычисления:
Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол:
От тупизны подальше за ответ таки лучше принять острого соседа:
Как начертить пирамиду в прямоугольной системе координат?
14) Выполним точный чертёж пирамиды прямоугольной системе координат. Это проще, чем кажется.
Во-первых, необходимо уметь правильно изображать саму систему координат на клетчатой бумаге. Справка в начале методички Графики и свойства функций.
Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, об этом я уже начал рассказывать в статье Уравнения прямой в пространстве. И сейчас мы продолжим тему.
Построим точку . На мой взгляд, сначала удобно разобраться с первыми двумя координатами – «иксом» и «игреком»: отмеряем 2 единицы в положительном направлении оси и 3 единицы в отрицательном направлении оси . В плоскости прочерчиваем пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим координатным осям. Пересечение дорожек я пометил небольшим ромбиком:
Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться наша точка , она расположена в нижнем полупространстве.
Для точки отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве.
Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина лежит в самой плоскости .
В тетради пунктирные линии аккуратно и не жирно проводятся простым карандашом.
Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – .
Немало читателей уже мысленно прорисовали пирамиду, тем не менее, остановлюсь на построении подробнее. После того, как построены вершины, чайники могут тонко-тонко карандашом начертить все 6 сторон, и начинать разбираться, какие рёбра видимы, а какие рёбра скрыты. Лучше начать от самой близкой точки . Очевидно, что все три «исходящих» ребра в поле нашего зрения:
Должен предостеречь, так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия пространства!
Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра , а вот сторона спряталась за пирамидой:
К слову, невидимое нам ребро лежит в нижнем полупространстве и проходит под осями .
Чертеж-конфетка на практике получается не во всех случаях. Бывает, фортуна разворачивается и задом:
То есть, грань пирамиды может полностью или частично закрывать всё остальное. Но самое скверное, когда перекрываются рёбра:
Тут сразу три ребра выстроились на одной прямой (правая верхняя прямая). В похожей ситуации приходится жирно прочерчивать накладывающиеся стороны разными цветами и ниже чертежа записывать дополнительные комментарии о расположении пирамиды.
Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложиться на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней).
Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике.
Вот, пожалуй, и все основные сведения о построении треугольной пирамиды в декартовой системе координат.
15) Это пример для самостоятельного решения.
В конце решения желательно остограммиться записать ответ, и по пунктам перечислить полученные результаты. За ваше здоровье!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено