Как определить в какой четверти находится угол тригонометрия

Знаки тригонометрических функций

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .

Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Знаки синуса и косинуса на тригонометрической окружности

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:

Знаки синуса, косинуса и тангенса

Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.

sin (3π/4);
cos (7π/6);
tg (5π/3);
sin (3π/4) · cos (5π/6);
cos (2π/3) · tg (π/4);
sin (5π/6) · cos (7π/4);
tg (3π/4) · cos (5π/3);
ctg (4π/3) · tg (π/6).

План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:

sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Смотрите также:

Радианная мера угла
Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
Изюм и виноград (смеси и сплавы)
Задача B4: транзит нефти

Вход для учеников
ЕГЭ-2024
Часть 1
1. Уравнения
2. Вероятность
3. Планиметрия
4. Тригонометрия
5. Стереометрия
6. Производные
7. Формулы
8. Текстовые задачи
11. Экстремумы функций
Часть 2
12. Тригонометрические уравнения
13. Сложная стереометрия
14. Сложные неравенства
15. Экономические задачи
16. Сложная планиметрия
17. Задачи с параметром
18. Теория чисел
Архив
X1. Движение и время
X2. Графики
X3. Площади
X4. Стереометрия
X5. Экономика
Об экзамене
Советы
2014
2015
2016
2017
2018
2019
Школьникам
Студентам
Реклама
Обо мне

© 2010—2023 ИП Бердов Павел Николаевич
ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
Карта сайта

Теория: Тригонометрия (формулы приведения)

2) Определяем знак исходной функции.

3) Определяем, какая функция будет.

Если к углу $\displaystyle \pm \alpha $ добавляем или вычитаем

$\displaystyle \pm\pi ,\, \pm 2\pi ,\, \pm 3\pi,\, \pm 4\pi,\,\ldots$ (целое число $\displaystyle \pi$), то функцию не меняем;
$\displaystyle \pm\frac<\pi>,\, \pm\frac<3\pi>,\, \pm\frac<5\pi>,\, \pm\frac<7\pi>,\, \ldots$ (нечетное число половинок $\displaystyle \pi$), то функцию меняем: $\displaystyle \sin$ $\displaystyle \leftrightarrow$ $\displaystyle \cos$ и $\displaystyle \tg$ $\displaystyle \leftrightarrow$ $\displaystyle \ctg$

$\displaystyle \cos(\pi — \beta)=-\cos\beta $

Подробно о применении формулы

1. Определим, в какой четверти находится угол $\displaystyle \pi — \beta < \small ,>$ предполагая $\displaystyle \beta \in \left(0;\frac<\pi>\right)$

Значит, угол $\displaystyle \pi — \beta $ находится во второй четверти.

2. Определим знак исходной функции.

Во второй четверти косинус отрицательный ($\displaystyle $).

3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу $\displaystyle -\beta$ прибавляем $\displaystyle \pi $ (целое число $\displaystyle \pi$), то функция не меняется.

$\displaystyle \cos(\pi — \beta)=-\cos\beta $

$\displaystyle \sin\left(\frac<\pi>+ \beta\right)=\cos\beta$

Подробно о применении формулы

1. Определим, в какой четверти находится угол $\displaystyle \frac<\pi> + \beta < \small ,>$ предполагая $\displaystyle \beta \in \left(0;\frac<\pi>\right)$

Значит, угол $\displaystyle \frac<\pi> + \beta $ находится во второй четверти.

2. Определим знак исходной функции.

Во второй четверти синус положительный ($\displaystyle $).

3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу $\displaystyle \beta$ прибавляем $\displaystyle \frac<\pi> $ (нечетное число половинок $\displaystyle \pi$ ), то функция меняется.

$\displaystyle \sin\left(\frac<\pi> + \beta\right)=+\cos\beta$

$\displaystyle \sin\left(\frac<\pi> + \beta\right)=\cos\beta$

$\displaystyle \cos(\beta + 3\pi)= \cos(3\pi+\beta)=-\cos\beta$

Подробно о применении формулы

$\displaystyle \cos(\beta + 3\pi)= \cos(3\pi+\beta)$

1. Определим, в какой четверти находится угол $\displaystyle 3\pi+\beta < \small ,>$ предполагая $\displaystyle \beta \in \left(0;\frac<\pi>\right)$

Значит, угол $\displaystyle 3\pi+\beta $ находится в третьей четверти.

2. Определим знак исходной функции.

В третьей четверти косинус отрицательный ($\displaystyle $).

3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу $\displaystyle \beta$ прибавляем $\displaystyle 3\pi $ (целое число $\displaystyle \pi$), то функция не меняется.

$\displaystyle \cos(\beta + 3\pi)= -\cos\beta$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

Ответ: $\displaystyle 2 $

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

обозначение четвертей на числовой окружности

$($ $\frac$ $;2π)$ — четвертая четверть

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

знаки тригонометрических функций по четвертям

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

У нас два ответа, и оба нам подходят. Но у угла не может быть два синуса! Один лишний! А какой?
Вот тут нам и поможет знание о четвертях: обратите внимание, что у нас в условии есть двойное неравенство $π$ , то есть угол $a$ такой, что больше $π$, но меньше $\frac$ .
Значит он лежит в третьей четверти. А в третьей четверти синус отрицателен. Поэтому верный ответ: $-0,8$.

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от $0$ до $\frac$ , но и углы от $2π$ до $\frac$ , и от $4π$ до $\frac$ , и от $6π$ до $\frac$ и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

разные обозначения четвертей

$(0;-$ $\frac$ $)$ — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Координатные четверти

Выясним, как в тригонометрии координатные четверти связаны с градусной и радианной мерой углов.

Тригонометрические углы получают в результате поворота луча OP₀ вокруг точки O. Поэтому точка P₀ соответствует углу 0°.

При положительном направлении обхода поворот луча происходит по часовой стрелке. Градусная мера всей окружности равна 360°. Каждая из четвертей занимает угол в 90°.

I координатной четверти соответствуют углы от 0° до 90°,

II — от 90° до 180°,

III — от 180° до 270°,

IV — от 270° до 360°.

Переводя градусную меру в радианную, получим аналогичное разбиение окружности по координатным четвертям в радианах:

koordinatnye-chetverti

Углы 0°, 90°, 180°,270°, 360° не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Отрицательные значения углов получают поворотом луча против часовой стрелки. Соответственно, иллюстрация разбиения по координатным четвертям в этом случае выглядит так:

ugly-v-koordinatnyh-chetvertyah

Определить, углом какой четверти является угол:

а) 47°; -24°; 300°; 185°; -203°;1200°;

$b)\frac{\pi }{5};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{8}; - \frac{{9\pi }}{5};\frac{{19\pi }}{4}.$

а) 47° — угол I координатной четверти, так как 0°

-24° — угол IV координатной четверти, так как -90°

300° — угол IV координатной четверти, так как 270°

185° лежит в III координатной четверти, так как 180°

-203° лежит во II координатной четверти, так как

b) π/5 — угол I координатной четверти, так как

7π/6 — угол II координатной четверти, так как

Сравнение радианной меры угла с 0, π/2, π, 3π/2 и 2π иногда вызывает затруднения. В этом случае можно перевести радианную меру в градусную.

$\frac{{7\pi }}{6} = \frac{{7 \cdot 180^o }}{6} = 210^o$

Другой способ: если дробь неправильная, можно найти ближайшее к коэффициенту перед π в числителе число, которое делится нацело на знаменатель, и представить числитель как сумму (или разность) этого целого числа и остатка.

$\frac{{7\pi }}{6} = \frac{{6\pi + \pi }}{6} = \frac{{6\pi }}{6} + \frac{\pi }{6} = \pi + \frac{\pi }{6}$