tv_ms_1
Только сегодня: скидка до 20% в подарок на первый заказ.
Какую работу нужно написать?
Другую работу
Помощник Анна
P(A)= Pk(a)*P(k) + Pl(a)*P(l) + Pm(a)*P(m) = 0.7*0.5 + 0.8*0.3 + 0.9*0.2 = 0.77 А вероятность что больной страдал именно заболеванием К равно: Pa(K) = (Pk(a)*P(k))/P(A)= (0.5*0.7)/0.77 = 5/11 #102 Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов . Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу , равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом , равно 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того , что это изделие проверил второй товаровед. Решение: Обозначим через А – изделие признана стандартной. 
— вероятность того, что изделие попало к первому товароведу. 
— ко второму. P(
) = 0,55 , P(
) = 0,45. Условная вероятность того что изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 
(A) = 0,9, вторым — 
(A) = 0,98. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным по формуле полной вероятности равна P(A)= P(
) 
(A) + P(
) 
(A) = 0,55 * 0,9 + 0,45 * 0,98 = 0,936 Искомая вероятность того, что изделие проверил второй товаровед, по формуле Бейеса равна 
(
)= P(
) * 
(A) / P(A)= 0,45*0,98 / 0,936 = 0,47. #103 Событие А может появится при условии появления одного из несовместимых событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, то есть были найдены условные вероятности РА(Вi) (i=1,2,…,n). Доказать, что сумма РА(Вi) (i=1,2,…,n) равна 1. Решение: По формуле Бейеса: i=1n∑РА(Вi)= i=1n∑Р(Вi)* РВi(А)/Р(А)=Р(А)/Р(А)=1 Что и требовалось доказать. #104 Условие: Событие 
может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) 
, образующих полную группу событий. После появления события 
были переоценены вероятности этих гипотез, т.е. были найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что 
. Чему равна условная вероятность 
гипотезы 
? Решение: Так как события 
образуют полную группу, и 
появится при условии появления лишь одного из них, то верно 
. Так как имеем 
, то: 
#105 Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии. Решение: Обозначим через А событие – в каждом из двух испытаний была извлечена стандартная деталь. Можно предположить, что B1 – детали извлекались из первой партии; B2 – детали извлекались из второй партии; В3 – детали извлекались из третей партии. Детали извлекались на удачу, поэтому вероятности предположений одинаковы: P(B1) = P(B2) = P(B3) = 
Вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали; поэтому 
Условная вероятность 
т.е вероятность того, что из второй партии будут извлечены две стандартные детали: 
Найдем условную вероятность 
т.е вероятность того, что из третей партии будут последовательно извлечены две стандартные детали: 
Искомая вероятность того, что обе извлеченные детали стандартные взяты из третей партии, по формуле Бейеса равна 
Ответ: 
#106 Условие: Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 
, 
, 
. Решение: Обозначим через A событие- два орудия попали в цель. Сделаем два предположения: 
— орудие не попало в цель. По условию 
, следовательно 
Найдем условную вероятность 
, т.е. вероятность того, что в цель попало 2 снаряда, причем один из них послан первым орудием и, следовательно, второй — либо вторым орудием, либо третьим. Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения: 
. Найдем условную вероятность 
, т.е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах. Другими словами найдем вероятность того, что второе и третье орудие попали в цель. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения: 
Искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание, по формуле Бейеса равна: 
. Ответ: 
#107 Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4. Решение. Обозначим через А событие – две пули поразили мишень. Сделаем два предположения (гипотезы): В1 – третий стрелок поразил мишень; В2 – третий стрелок не попал в мишень. По условию, Р(В1) = 0,4; следовательно (событие В2 противоположно событию В1), Р(В2) = 1 – 0,4 = 0,6. Найдем условную вероятность РВ1(А), т.е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем одна из них принадлежит третьему стрелку и, следовательно, вторая – либо первому стрелку (при этом второй не попал), либо второму стрелку (при этом первый не попал). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения: РВ1(А) = p1∙q2 + p2∙q1 = 0,6∙0,5 + 0,5∙0,4 = 0,5. Найдем условную вероятность РВ2(А), т.е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем третий стрелок промахнулся. Другими словами, найдем вероятность того, что первый и второй стрелки поразили мишень. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения: РВ2(А) = p1∙p2 = 0,6∙0,5 = 0,3. Искомая вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, по формуле Бейеса равна РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/[ Р(В1)∙РВ1(А) + Р(В2)∙РВ2(А)] = 0,4∙0,5/( 0,4∙0,5 + 0,6∙0,3 ) = 10/19. Ответ: 10/19. #108 Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3. Решение. Обозначим через А событие – отказали два элемента. Можно сделать следующие предположения (гипотезы): В1 — отказали первый и второй элементы, а третий элемент исправен, причем (поскольку элементы работают независимо, применима теорема умножения) Р(В1) = p1∙p2∙q3 = 0,2∙0,4∙0,7 = 0,056; В2 — отказали первый и третий элементы, а второй элемент исправен, причем Р(В2) = p1∙p3∙q2 = 0,2∙0,3∙0,6 = 0,036; В3 — отказали второй и третий элементы, а первый — исправен, причем Р(В3) = p2∙p3∙q1 = 0,4∙0,3∙0,8 = 0,096; В4 — отказал только один элемент; В5 — отказали все три элемента; В6 — ни один из элементов не отказал. Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали два элемента) невозможно и значит условные вероятности РВ4(А), РВ5(А) и РВ6(А) равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения Р(В4)∙РВ4(А), Р(В5)∙РВ5(А) и Р(В6)∙РВ6(А) при любых значениях вероятностей гипотез В4, В5 и В6. Поскольку при гипотезах В1, В2 и В3 событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице: РВ1(А) = РВ2(А) = РВ3(А) = 1. По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали два элемента, равна Р(А) = Р(В1)∙РВ1(А) + Р(В2)∙РВ2(А) + Р(В3)∙РВ3(А) + Р(В4)∙РВ4(А) + Р(В5)∙РВ5(А) + Р(В6)∙РВ6(А) = 0,056 + 0,036 + 0,096 = 0,188. По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали первый и второй элементы, РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/ Р(А) = 0,056/0,188 = 0,3. Ответ: 0,3. #109 Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4. Решение. Обозначим через А событие – отказали две лампы. Можно сделать следующие предположения (гипотезы): В1 — отказали первая и вторая лампы, а третья и четвертая лампы исправны, причем (поскольку лампы работают независимо, применима теорема умножения) Р(В1) = p1∙p2∙q3∙q4 = 0,1∙0,2∙0,7∙0,6 = 0,0084; В2 — отказали первая и третья лампы, а вторая и четвертая исправны, причем Р(В2) = p1∙q2∙p3 ∙q4 = 0,1∙0,8∙0,3∙0,6 = 0,0144; В3 — отказали первая и четвертая лампы, а вторая и третья — исправны, причем Р(В3) = p1∙q2∙q3∙p4 = 0,1∙0,8∙0,7∙0,4 = 0,0224; В4 — отказали вторая и третья лампы, а первая и четвертая — исправны, причем Р(В4) = q1∙p2∙p3∙q4 = 0,9∙0,2∙0,3∙0,6 = 0,0324; В5 — отказали вторая и четвертая лампы, а первая и третья — исправны, причем Р(В5) = q1∙p2∙q3∙p4 = 0,9∙0,2∙0,7∙0,4 = 0,0504; В6 — отказали третья и четвертая лампы, а первая и вторая — исправны, причем Р(В6) = q1∙q2∙p3∙p4 = 0,9∙0,8∙0,3∙0,4 = 0,0864; В7 – отказала только одна лампа; В8 — отказали три лампы; В9 — отказали все четыре лампы и В10 – все лампы остались исправны. Вероятности последних четырех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали две лампы) невозможно и значит условные вероятности РВ7(А), РВ8(А), РВ9(А) и РВ10(А) равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения Р(В7)∙РВ7(А), Р(В8)∙РВ8(А), Р(В9)∙РВ9(А) и Р(В10)∙РВ10(А) при любых значениях вероятностей гипотез В7, В8, В9 и В10. Поскольку при гипотезах В1 – В6 событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице: РВ1(А) = РВ2(А) = РВ3(А) = РВ4(А) = РВ5(А) = РВ6(А) = 1. По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали две лампы, равна Р(А) = Р(В1)∙РВ1(А) + Р(В2)∙РВ2(А) + Р(В3)∙РВ3(А) + Р(В4)∙РВ4(А) + Р(В5)∙РВ5(А) + Р(В6)∙РВ6(А) + Р(В7)∙РВ7(А) + Р(В8)∙РВ8(А) + Р(В9)∙РВ9(А) + Р(В10)∙РВ10(А) = 0,0084 + 0,0144 + 0,0224 + 0,0324 + 0,0504 + 0,0864 = 0,2144. По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, равна РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/ Р(А) = 0,0084/0,2144 ~ 0,039. Ответ: 0,039. #110 Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три из шести (ничьи во внимание не принимаются)? Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p=1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны: 
Найдем вероятность того, что выиграны три партии из шести: 
Так как P4(2)>P6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести. #111 Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) Выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б)выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаються. Решение: Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша 
; следовательно, вероятность проигрыша 
. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выигранв партии, то применима формула Бернулли. А) Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны: 
Найдем вероятность того, что одна партия из двух будет выиграна: 
Б) Найдем вероятность выиграть не менее двух партий из четырех: 
Найдем вероятность выиграть не менее трех партий из пяти: 
#112 Условие задачи: Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “герб” выпадет: а)мене двух раз; б)не менее двух раз. Решение задачи: При бросании монеты вероятность выпадения герба и решки, равновероятны, поэтому вероятность выпадения герба равна 
; следовательно вероятность выпадения решки 
; Так как при бросании вероятность постоянна, то применима формула Бернулли. А) Найдем вероятность того, что герб выпадет менее двух раз: 
; 
. 
. Б) Найдем вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз: 
; 
Ответ: a) 
; б) 
#113 а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трёх раз в четырёх независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4; б) Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырёх раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8. Решение а)Так как вероятность появления события А во всех испытаниях одинакова и все испытания независимы, то применяем формулу Бернулли. Так как вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4, т.е. р = 0,4, то вероятность не появления события А в одном испытании равна q = 1- 0,4 = 0,6. Найдём вероятность того, что событие А появится ровно 3 раза в четырёх независимых испытаниях и найдём вероятность того, что событие А появится ровно 4 раза в четырёх независимых испытаниях и просуммируем их: 
б) Так как вероятность появления события А во всех испытаниях одинакова и все испытания независимы, то применяем формулу Бернулли. р = 0,8 q = 0,2 Найдём вероятности того, что событие А появится ровно 4 раза и 5 раз в пяти независимых испытаниях и просуммируем: 
Ответ: а) 0,1792 б) 0,73728 #114 Задание: Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устрой- устройство отказывает, если работает менее трех элементов. Решение: По условию 
, следовательно вероятность стабильной работы каждого элемента 
. Так как безразлично какой из элементов откажет и вероятности отказа всех элементов равны, применима формула Бернулли. а) Найдём вероятность того, что будут работать все 3 элемента
: 
б) Найдём вероятность того, что устройство будет работать при одном дополнительном элементе на протяжении времени t. 
: 
в) Найдём вероятность того, что устройство будет работать при двух дополнительных элементах на протяжении времени t. 
: 
#115 В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков в) более двух мальчиков г) не менее двух и не более трёх мальчиков. Вероятность рождения мальчиков принять равной 0.51 Решение: По условию 
=0.51 следовательно вероятность 
= 0.49 и применима формула Бернулли. а) Найдём вероятность того, что в семье 2 мальчика: 
0.62 б) Найдём вероятность того, что в семье не более двух мальчиков: 
в) Найдём вероятность того, что в семье более двух мальчиков: 
г) найдём вероятность того, что в семье не менее двух и не более трёх мальчиков: 
116. #117 На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем x, а три — на расстоянии, большем x. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Решение: т.к. p = xa — вероятность того, что точка будет находиться на расстоянии меньшем чем x, следовательно, q = 1 – p=1- xa= a-xa. По формуле Бернулли имеем: Pnk= Cnkpkqn-k. P52= C52xa2a-xa3. #118 Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Решение: Вероятность того, что точка попадет в нужный отрезок равна р=1/4. q=3/4 Искомая вероятность равна Р= С82 С62 С42 С22*(1/4)8 #119 Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25. Решение: По условию, n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Т.к. n=243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: 
Найдем значение x: 
. По таблице найдем 
Тогда искомая вероятность 
Ответ: 
. #120 Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6. Решение: По условию, n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Так как n=2400 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: 
Найдем значение x: 
. Так как 
четная функция, то 
= 
. По таблице найдем 
Тогда искомая вероятность 
Ответ: 0,0041. #121 Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: 
(k)=
φ(x). Вычислим x: X=
=
=-1,25. Функция φ(x) четная, поэтому φ(-1,25)= φ(1,25)=0,1826. Искомая вероятность 
. #122 Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. Решение: P(k)= 1/√(npq)* Вычислим х: х_р—пр_ 1400—24000,6 _ 40 Vnpq ~ У 2400 -0,6 0,4 «~ 24 ~ Функция ф(^)=—^=е~лг*/’2—четная, поэтому ф(—1,67)=ф( 1,67). По таблице приложения 1 найдем ф( 1,67) = 0,0989. Искомая вероятность Я24оо A400) = 1/24-0,0989=0,0041. #123 Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз. Решение. n=2N, k=N, p=0,5, q=0,5. Для нахождения вероятности выпадения «герба» ровно N раз воспользуемся локальной теоремой Лапласа : 
(N)=φ(x)* 1/
; φ(x)=
1/
; x=(k-pn)/
; x=0; φ(x)≈0,3989; 
(N)≈0.5641/ 
#124 Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет на 2m раз больше, чем надпись. РЕШЕНИЕ. Т.к. исход каждого испытания не зависит от предыдущих исходов и возможных исходов два («герб» или надпись), то вероятность выпадения «герба» в каждом испытании равна 
. Всего проведено n=2N испытаний, а «герб» выпал на 2m раза больше, чем надпись, значит обозначим количество выпадений «герба» за t, получим уравнение: 
. Очевидно, что количество исходов, в которых выпал «герб», равно 
. 
По локальной теореме Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ровно k раз, равна: 
Подставим значения: 
#125 Условие: Вероятность появления события в каждом из 
независимых испытаний постоянна и равна 
. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 
раз и не более 
раз; б) не менее 
раз; в) не более 
раз. Решение: Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: 
, где 
– функция Лапласа, 
07.06.2015 382.98 Кб 14 TIPOGRAFIChESKIJ_SLOVAR__OT_SILUYaNOVOJ.doc
07.06.2015 735.74 Кб 29 to read or not to read.doc
24.11.2019 58.47 Кб 1 trebovania_k_oformleniyu_i_napisaniyu_kursovoy. docx
26.11.2019 96.77 Кб 3 Trebovaniya_k_oformleniju_kursovogo3kurs_I.doc
07.06.2015 3.22 Mб 99 Turbo-Pascal.7.0.pdf
07.06.2015 5.23 Mб 1332 tv_ms_1.doc
13.11.2019 99.33 Кб 2 uri_3.doc
07.06.2015 1.44 Mб 7 Ustav_LGPU_2011.pdf
27.08.2019 178.18 Кб 7 Vilgelm_fon_Gumboldt.doc
17.07.2019 90.88 Кб 4 vopros-otvet.docx
07.06.2015 94.72 Кб 7 Voprosy_po_istorii_sotsiologii_2.doc
Ограничение
Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:
1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (Гмурман В.Е. — Руководство к решению задач по терверу), страница 8
PDF-файл из архива «Гмурман В.Е. — Руководство к решению задач по терверу», который расположен в категории » «. Всё это находится в предмете «теория вероятностей и математическая статистика» из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИЯУ МИФИ. Не смотря на прямую связь этого архива с НИЯУ МИФИ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
+ Р„(Л~1);Pn(k)+Pnif^+l) + ^.’ + Pnin)\P«(0) + P„(l) + . . . + P „ W .ПО. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех37или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?Р е ш е н и е . Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша qтакже равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрышапостоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.Найдем вероятность того, что две партии из четырех будутвыиграны:р^ (2) = C ! P V = 4.3/(1.2).(1/2)2.(1/2)2 = 6/16.Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии изшести:Ре ( 3 ) = C j / 7 V ==65.4/(1 23).(1/2)3.(1/2)5=5/16.Так как Р^ (2) > Pg (3), то вероятнее выиграть две партии изчетырех, чем три из шести.111. Два равносильных противника играют в шахматы.Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или двепартии из четырех? б) выиграть не менее двух партийиз четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьиво внимание не принимаются.112. Монету бросают пять раз. Найти вероятностьтого, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менеедвух раз.ИЗ. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одномиспытании равна 0,4;б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события 5 , если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятностьпоявления события А равна 0,8.114. Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, еслиоткажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятностьбезотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента.Предполагается, что резервные элементы работают втом же режиме, что и основные, вероятность отказакаждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов.38115. В семье пять детей. Найти вероятность того,что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двухмальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двухи не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.116. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1.На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найтивероятность того, что две из них окажутся левее точкиС и две—правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезкаи не зависит от его расположения.117. На отрезок АВ длины а наудачу брошено пятьточек. Найти вероятность того, что две точки будутнаходиться от точки А на расстоянии, меньшем д:, атри — на расстоянии, большем х. Предполагается, чтовероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.118. Отрезок разделен на четыре равные части. Наотрезок наудачу 6pouieHo восемь точек. Найти вероятность того, «iTo на каждую из четырех частей отрезкапопадет по две точки. Предполагается, что вероятностьпопадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.§ 2. Локальная и интегральная тооремы ЛапласаЛокальная теорема JTanjiaca. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появлениясобытия равна р(0 < р < \), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (темточнее, чем больше п)V npqЗдесьу 2пУ npqТаблица функции q>(x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуютсяэтой же таблицей [функция ц>(х) четная, следовательно, ф( — х) =Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в пнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р<0 < р < \), событие наступит не менее kiраз и не более ^2 Р^^» приближенно равнаP
Брошены две игральные кости Найти вероятность того
б) Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырёх раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.
а)Так как вероятность появления события А во всех испытаниях одинакова и все испытания независимы, то применяем формулу Бернулли. Так как вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4, т.е. р = 0,4, то вероятность не появления события А в одном испытании равна
Найдём вероятность того, что событие А появится ровно 3 раза в четырёх независимых испытаниях и найдём вероятность того, что событие А появится ровно 4 раза в четырёх независимых испытаниях и просуммируем их:
б) Так как вероятность появления события А во всех испытаниях одинакова и все испытания независимы, то применяем формулу Бернулли.
Найдём вероятности того, что событие А появится ровно 4 раза и 5 раз в пяти независимых испытаниях и просуммируем:
Ответ: а) 0,1792 б) 0,73728
Задание: Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устрой- устройство отказывает, если работает менее трех элементов.
Решение: По условию 
, следовательно вероятность стабильной работы каждого элемента 
. Так как безразлично какой из элементов откажет и вероятности отказа всех элементов равны, применима формула Бернулли.
а) Найдём вероятность того, что будут работать все 3 элемента:
б) Найдём вероятность того, что устройство будет работать при одном дополнительном элементе на протяжении времени t. :
в) Найдём вероятность того, что устройство будет работать при двух дополнительных элементах на протяжении времени t. :
В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков в) более двух мальчиков г) не менее двух и не более трёх мальчиков.
Вероятность рождения мальчиков принять равной 0.51
Решение: По условию =0.51 следовательно вероятность = 0.49 и применима формула Бернулли.
а) Найдём вероятность того, что в семье 2 мальчика:
б) Найдём вероятность того, что в семье не более двух мальчиков:
в) Найдём вероятность того, что в семье более двух мальчиков:
г) найдём вероятность того, что в семье не менее двух и не более трёх мальчиков:
На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем x, а три — на расстоянии, большем x. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
Решение: т.к. p = xa — вероятность того, что точка будет находиться на расстоянии меньшем чем x, следовательно, q = 1 – p=1- xa= a-xa. По формуле Бернулли имеем: Pnk= Cnkpkqn-k. P52= C52xa2a-xa3.
Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
Вероятность того, что точка попадет в нужный отрезок равна р=1/4.
Искомая вероятность равна
Р= С82 С62 С42 С22*(1/4)8
Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение: По условию, n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Т.к. n=243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
Найдем значение x: 
. По таблице найдем 
Тогда искомая вероятность
Ответ: .
Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
Решение: По условию, n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Так как n=2400 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
Найдем значение x: .
Так как 
четная функция, то 
= .
По таблице найдем
Тогда искомая вероятность
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
(k)=
φ(x).
X=
=
=-1,25.
Функция φ(x) четная, поэтому φ(-1,25)= φ(1,25)=0,1826.
.
Вероятность рождения мальчика равна 0,51.
Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных
окажется 50 мальчиков.
х_р—пр_ 1400—24000,6 _ 40
Vnpq ~ У 2400 -0,6 0,4 «~ 24 ~
Функция ф(^)=—^=е~лг*/’2—четная, поэтому ф(—1,67)=ф( 1,67).
По таблице приложения 1 найдем ф( 1,67) = 0,0989.
Я24оо A400) = 1/24-0,0989=0,0041.
Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.
Решение. n=2N, k=N, p=0,5, q=0,5. Для нахождения вероятности выпадения «герба» ровно N раз воспользуемся локальной теоремой Лапласа :
(N)=φ(x)* 1/
;
φ(x)=
1/
;
x=(k-pn)/;
x=0; φ(x)≈0,3989; (N)≈0.5641/
Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет на 2m раз больше, чем надпись.
Т.к. исход каждого испытания не зависит от предыдущих исходов и возможных исходов два («герб» или надпись), то вероятность выпадения «герба» в каждом испытании равна 
. Всего проведено n=2N испытаний, а «герб» выпал на 2m раза больше, чем надпись, значит обозначим количество выпадений «герба» за t, получим уравнение: 
. Очевидно, что количество исходов, в которых выпал «герб», равно 
.
По локальной теореме Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ровно k раз, равна:
Вероятность появления события в каждом из 
независимых испытаний постоянна и равна 
. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 
раз и не более 
раз; б) не менее раз; в) не более 
раз.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: 
, где 
– функция Лапласа, 
a) По условию, 
. Вычислим 
:
Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т.е. , получим:
.
По таблице приложения найдем:
.
б) Требование, чтобы событие появилось не менее раз, означает, что число появления событий может быть равно 
. Таким образом в рассматриваемом случае следует принять 
. Тогда:
По таблице приложения найдем:
.
в) События – « 
появилось не менее раз» и « появилось не более раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность:
Вероятность появления события в каждом из 2100 испытаний равна 0,7. Найти вероятность того что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
, где Ф(х)- функция Лапласа,
По условию, n= 2100; p=0,7; q=0,3; k1= 1470; k2= 1500;
По таблице значений функции Лапласа:
Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Так как функция Лапласа нечетная то получим следующее равенство:
Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами и .
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
, где Ф(х) – функция Лапласа,
По условию задачи n=N; p=0,5; q=0,5, =; =.
Задание: Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?
Решение: По условию:
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Подставляя данные задачи в формулу, получим
Очевидно, число испытаний 
, поэтому 
Поскольку функция Лапласа — возрастающая и 
, то можно положить 
. Следовательно,
По таблице приложения 2 найдем . Отсюда и из соотношения (*), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим
Решив это уравнение, как квадратное относительно 
получим
. Следовательно, искомое число испытаний
.
По условию, 
; 
; 
; 
. Требуется найти вероятность 
. Воспользуемся формулой
.
.
По таблице приложения 2 найдем 
. Следовательно, 
. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.
Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится
от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Решение: По условию: n = 900; p = 0,5; q = 0,5; ε = 0,02; Требуется найти вероятность: Pm900- 0,5≤0,02 . Воспользуемся формулой:
Имеем:
Pm900- 0,5≤0,02 =2ϕ0,029000,5*0,5= 2ϕ1,2= 0,7698.
По условию, n=10000, p=0,75, q=0,25, ε=0,01
Требуется найти вероятность P(|m/10000-0,75|≤0,01)
Воспользуемся формулой P(|m/n-p|≤ε)=2Ф(ε*)
Получаем P(|m/10000-0,8|≤0,01)=2Ф(0,01*
)=2Ф(4/
)
((4/)≈2,31)
Ф(4/)=0,4895
Французский ученый Бюффон бросил монету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклониться от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.
n=4040; k=2048; p=0,5
Воспользуемся формулой P(|mn-p| ≤ε) = 2Ф( εnpq ).
ε= |20484040 – 0,5|= 0,507 – 0,5= 0,007
x= 0,007 *40400,5*0,5 = 0,89
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
По условию, р = 0,5; q = 0,5; =0,02;
Р (| m/n-0,5| ≤ 0,02) = 0,7698.
Воспользуемся формулой Р(|m/n — p| ≤ ) = 2Ф ( 
)
В силу условия 2Ф ( 
) = 0,7698
или Ф(0,04 )=0,3849.
По таблице приложения 2 найдем Ф( 1,2) = 0,3849.
Следовательно, 0,04 = 1,2 или = 30
Таким образом, искомое число испытаний n =900.
Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы вероятность неравенства
| m/n- 1/6| ≤ 0,01 была не меньше чем вероятность противоположного неравенства, где m—число появлений одного очка в n бросаниях игральной кости?
Воспользуемся формулой Р(|m/n — p| ≤ ) = 2Ф ( )
По условию, р=1/6, q = 5/6, = 0,01. Вероятность осуществления
неравенства, противоположного заданному, т.е. неравенства | m/n- 1/6|0,01, равна
1- 2Ф ( )
Согласно условию должно иметь место неравенство 2Ф ( )≥ 1- 2Ф ( )
или 4Ф ( )≥ 1, отсюда Ф ( 
)≥ 0,25
По таблице приложения 2 найдем Ф(0,67) =0,2486; Ф(0,68) = 0,2517.
Выполнив линейную интерполяцию, получим Ф (0,6745) =0,25.
Учитывая соотношение (*) и принимая во внимание, что функция Ф (*)— возрастающая, имеем
или 0,01 )≥ 0,6745
Отсюда искомое число бросаний монеты n≥632.
Похожие документы:
P1, если две то наверняка. Найти вероятность воспламенения горючего. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно n торпед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью p
Документ
. и соответствующую ему вероятность. Вариант 54 Точка A брошена в квадрат со стороной 1. Найти вероятность того, что расстояние . три игральные кости. Найти вероятность того, что ровно два раза выпадет хотя бы по две единицы .
Упростить выражения а в, А+В, а в с, А+В+С
Документ
. . Найти вероятность того, что в каждой половине будет по два туза. 2.40. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, . одной подгруппе? 2.44. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков кратна .
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией экономического факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Прикладная информатика в экономике» г. Н. Новгород (1)
Справочник
. связанных с наступлением данного события А. Пример 1.1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на . другой. Найти вероятность того, что после трех выстрелов в мишени будет две пробоины; если вероятность попадания .
Методические материалы к практическим занятиям по математике для студентов-гуманитариев Вологда
Документ
. две цифры и поэтому набрал их наудачу. а) Найти вероятность того, что он набрал нужные две цифры; б) Найти вероятность того . вторая цифра больше первой. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что а) на обеих костях выпадет 6 очков; б) на .
Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75; для второго стрелка 0,8; для третьего 0 Найти вероятность того
Документ
. . 8 Брошены два одинаковых игральных кубика. Найти вероятность того, что . 2 Игральную кость подбрасывают три раза. Найти вероятность того, что . Найти вероятность того, что среди пяти наудачу отобранных деталей, изготовленных заводом №1: 1) две .
- Правообладателям
- Написать нам
Монета брошена 2n раз найти вероятность того что герб выпадет на 2т раз больше чем надпись
Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
17.5. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли
Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются Независимыми относительно события А.
Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится П независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью Р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна Q = 1 — P. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в П испытаниях событие А осуществится K раз и не осуществится П — k раз.
Вероятность этого сложного события, состоящего из П испытаний, определяется Формулой Бернулли
Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не менее двух раз.
Решение. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы, т. е. Р = Q = 0,5. 1) В этом случае П = 6, K = 2. Отсюда согласно формуле (17.16) получаем
Пример 2. Вероятность покупки бракованного комплекта посуды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будет без брака.
Решение. Вероятность покупки комплекта без брака Р = 0,9, Q = 0,1 — это дано по условию задачи. Тогда искомая вероятность находится по формуле (17.16):
Пример 3. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на два, три и четыре вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).
Решение. Искомые значения вероятности находятся по формуле Бернулли (17.16) с учетом того, что вероятность события А (правильный ответ) в каждом испытании (выбор ответа на вопрос теста) равна 0,25, а Q = 0,75. Отсюда получаем:
теория-вероятностей — Задача про монету
Двое человек бросают симметричную монету $%N$% раз каждый. Найдите вероятность того, что у них выпало одинаковое число орлов.
задан 1 Окт ’16 18:34
2 ответа
Задача равносильна такой: монету бросают $%2N$% раз, и надо найти вероятность того, что орлов и решек выпадет поровну, то есть по $%N$%. Действительно, если результаты второго человека мы «инвертируем», что даёт равновероятное событие, то одинаковое число орлов у двоих превратится в то, что описано выше, то есть даст $%N$% орлов в сумме.
А для переформулированной версии задачи ответ сразу выписывается: это $%\frac ^N> $%, что при больших значениях $%N$% близко к $%\frac1 >$% (последнее доказывается с использованием формулы Стирлинга). Например, если монетку бросить 200 раз, то примерно в одном случае из 18 будет наблюдаться полный «баланс».
отвечен 1 Окт ’16 19:14
@all_exist: монету бросают 2N=200 раз, поэтому пN примерно равно 314, то есть корень квадратный даёт значение, близкое к 18.
Aaaa. просто я думал $%N=200$%.
@all_exist: кстати, при N=200 тоже очень хорошее значение корня получается — 628 даже ещё ближе к полному квадрату.
@falcao, кстати, Вы не в курсе, как можно сюда загрузить свой собственный юзерпик? — в профиле стрит загрузка «граватара». но что-это и к чему — не знаю. надо спрашивать у тех, у кого стоит персональная картинка.
@all_exist: я это дело находил, но дальше не смог понять, как надо действовать. Там что-то «непрозрачное» очень.
@falcao, можно спросить у модераторов. правда, они забросили форум после того как информатику переключили на стокс.
@all_exist: да, сейчас до них трудно добраться (я пару раз писал им, чтобы приняли меры в отношении хулиганов). Я даже не знаю, как спросить тех, кто загружал свой юзерпик, потому что ЛС не отправить, а извещения сейчас никто не получает.
Похожие публикации:
- Как в таблице сделать диагональную линию ворде
- Как перезапустить программу
- Как переименовать ссылку в слово
- Как перейти на следующую строку в c