Как найти основание треугольника зная среднюю линию
Перейти к содержимому

Как найти основание треугольника зная среднюю линию

  • автор:

Средняя линия равнобедренного треугольника равно 3 см.найти боковую сторону треугольника если периметр равен 16

Одним из свойств средней линии треугольника является то, что длина этой линии равна половине длины стороны, которой эта линия параллельна. Так как средняя линия параллельна основанию треугольника и равна 3 см, то основание треугольника равно:

Зная, что треугольник равнобедренный, основание = 6 см, а периметр (Р) = 16, можно понять какой длины будет боковая сторона. На две равновеликие стороны треугольника приходится:

Так как 10 см – это длина двух равных сторон, длина одной боковой стороны равна:

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника соединяет точки, являющиеся серединами двух сторон треугольника. В каждом треугольнике можно провести три средние линии. Любую среднюю линию треугольника можно найти, разделив основание треугольника (сторону, параллельную средней линии) на два. С проведением в треугольнике средней линии мы получаем два подобных треугольника, в которых действует теорема Фалеса. Более того, в случае если отрезок, параллельный основанию, является средней линией, коэффициент подобия треугольников равен двум. Таким образом, для того чтобы найти среднюю линию, находящуюся в подобии с основанием первого треугольника, последнее нужно разделить на два:

Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

srednyaya-liniya-treugolnika-i-ploshchad

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

srednyaya-liniya-treugolnika-ploshchad

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

\[\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NB}}{{CB}} = \frac{1}{2}.\]

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

\[\frac{{{S_{\Delta MBN}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4},\]

\[{S_{\Delta MBN}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}}.\]

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

\[{S_{\Delta MBN}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10(c{m^2})\]

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

\[{S_{AMNC}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30(c{m^2}),\]

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Найдем площадь треугольника :

\[S_{ABC} =\frac{1}{2} AC\cdot BK=\frac{1}{2} \cdot 12\cdot 5=30\ cm^{2} \]

Так как средняя линия отсекает треугольник , площадь которого равна одной четвёртой площади исходного треугольника , то площадь треугольника равна:

\[S_{MBN} =\frac{1}{4} S_{ABC} =\frac{1}{4} \cdot 30=7,5\ cm^{2} \]

Задание В треугольнике провели средние линии см, см и см. Найти периметр треугольника .
Решение Так как средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, то можем найти длины всех сторон треугольника :

см см см

Теперь можно найти периметр треугольника как сумму длин всех его сторон:

P_{ABC} =AC+AB+BC=8+10+16=34

см

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *