Что такое frac в математике

Что такое дроби (frac) в математике: определение, примеры и простые правила использования

Frac — это математическое понятие, обозначающее дробь. В статье мы расскажем о его использовании при решении задач и дадим примеры расчетов с дробями.

В математике часто используется понятие дроби, которое обозначается специальным символом — Frac. Дробь представляет собой одно число, записанное в виде отношения двух других чисел, одно из которых находится под знаком деления (числитель), а другое — над знаком (знаменатель). Символ Frac перед числителем и знаменателем указывает на способ записи дроби и используется в математических выражениях для облегчения их чтения и понимания.

Примеры использования Frac в математике могут быть различными. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Frac— это дробь, которая обозначает отношение числа 3 к числу 4. Ее можно интерпретировать как три четвертых или как 75 процентов.
Пример 2: Для упрощения математического выражения Fracможно использовать символ Frac, записав его в следующем виде: Frac.
Пример 3: В функциональном анализе Frac— обозначает n-ую производную функции f по переменной x.

Использование Frac в математике очень удобно и позволяет облегчить запись и чтение математических выражений. Кроме того, он является основой для многих математических операций и теорем, таких как умножение дробей, дробная производная и многое другое.

Определение

Frac — это математический термин, который обозначает дробь, то есть числитель, разделенный на знаменатель.

Дробь может быть записана в виде a/b, где a — числитель, b — знаменатель.

Числитель и знаменатель дроби могут быть любыми целыми или дробными числами.

Дробь может быть спроста (когда числитель и знаменатель не имеют общих делителей) или несократимой (когда числитель и знаменатель имеют общие делители).

Читать далее«title»: Что делать после шпаклевки стен: этапы и рекомендации.

Дроби используются в различных областях математики, таких как алгебра, геометрия, теория чисел и т.д.

Видео по теме:

Значение и примеры использования в математике

Frac в математике обозначает дробь. Дробь является числом, представленным в виде одного числа, называемого числителем, разделенного на другое число, называемое знаменателем. Обычно числитель и знаменатель разделяются прямой дробной чертой.

Пример использования Frac в математике:

для решения этого примера, нам нужно привести дроби к общему знаменателю и сложить числители. Наши дроби имеют знаменатели 4 и 6 соответственно. Чтобы привести их к общему знаменателю, мы можем умножить первую дробь на 6 и вторую на 4:

Читать далее«Арбуз кримсон руби F1: отзывы, сроки и правила посадки».

Дроби и Frac: сходства и отличия

Сходства: Дроби и Frac – это математические понятия, которые связаны между собой. Они оба описывают отношения между числами и используются для решения задач на доли и разделение объектов на части.

Отличия: Frac является командой в LaTeX, которая используется для создания дробей в текстовом формате. В то время как дробь – это математическое представление числа в виде отношения двух целых чисел.

Кроме того, Frac может быть использован для создания дробных чисел в LaTeX. Для этого необходимо использовать десятичное число вместо дроби. В противоположность этому, дробное число может быть переведено в дробь путем записи его в виде отношения двух целых чисел.

Несмотря на отличия в их назначении, оба понятия являются важными инструментами в математике и используются в различных областях, таких как физика, экономика и вычислительная техника.

Вопрос-ответ:

Что такое Frac?

Frac — это математическая функция, которая возвращает только дробную часть числа. Например, Frac(3.14) вернет 0.14.

Зачем нужна функция Frac?

Функция Frac может быть полезной во многих математических задачах. Например, она может использоваться для округления чисел до ближайшего целого.

Как вычислить значение функции Frac?

Значение функции Frac можно вычислить следующим образом: Frac(x) = x — int(x), где int(x) — это наибольшее целое число, не большее x.

Может ли функция Frac возвращать отрицательные значения?

Да, функция Frac может возвращать отрицательные значения. Например, Frac(-3.14) вернет -0.14.

Как функция Frac связана с округлением чисел?

Если значение функции Frac меньше 0.5, то округление числа до ближайшего целого значения будет происходить вниз. Если значение Frac больше или равно 0.5, то округление будет происходить вверх.

В каких областях математики используется функция Frac?

Функция Frac используется в различных областях математики, таких как теория вероятностей, статистика, криптография и других.

Может ли функция Frac использоваться для проверки равенства двух чисел?

Нет, функция Frac не может быть использована для проверки равенства двух чисел. Она возвращает только дробную часть числа. Для проверки равенства чисел необходимо использовать другие математические функции и операторы.

Как считать Frac в математике

Frac в математике представляет дробную часть числа. Для вычисления Frac необходимо вычесть целую часть числа. Например: если число равно 3.75, то его целая часть равна 3, а дробная – 0.75. Таким образом, Frac равно 0.75.

Для вычисления Frac можно использовать математические операции. Например, если у нас есть число, равное 8.2, для вычисления Frac необходимо выполнить операцию:

Frac(8.2) = 8.2 — int(8.2) = 8.2 — 8 = 0.2

Здесь int обозначает целую часть числа.

Также можно использовать специальную функцию для вычисления Frac в различных математических языках, например, в Python:

print math.frac(8.2)

Результат такого вычисления будет равен 0.2.

Таким образом, если вы хотите вычислить Frac в математике, необходимо вычесть из числа его целую часть. Это можно сделать с помощью математических операций или специальных функций в различных языках программирования.

Практические примеры с Frac

Один из самых распространенных примеров использования Frac — это представление дробей. Например, дробь 3/4 может быть записана как \frac .

Еще один практический пример — это использование Frac в физических формулах для выражения отношения двух векторов или скоростей. Например, если v — это скорость движения объекта, а t — время, за которое он переместился, то его скорость может быть выражена как \frac , где d — это расстояние, которое он преодолел.

Также Frac может использоваться при решении уравнений и вычислениях. Например, при выполнении определенных математических операций может потребоваться найти отношение двух числительных значений, что можно записать с помощью \frac. Например, чтобы найти среднее арифметическое двух чисел a и b, нужно выполнить операцию \frac .

В таблицах и графиках Frac часто используется для представления процентной доли и доли общей суммы. Например, если у нас есть таблица с расходами на транспортное обслуживание в разных городах, то мы можем использовать Frac, чтобы показать часть общего бюджета на каждый город, например: «Город А — 30% (\frac) бюджета, Город В — 20% (\frac) бюджета и т. д.»

Как использовать Frac в решении уравнений

Frac, или дробь, широко используется в математических уравнениях, особенно в тех, где нужно вычислять доли чисел. Рассмотрим несколько примеров:

Уравнение 3x + 2/3 = 2x — 1/4. Чтобы решить его, нужно избавиться от дробей, приведя их к общему знаменателю. Для этого можно использовать Frac: 2/3 = Frac(2, 3), 1/4 = Frac(1, 4). Затем умножаем обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4):
- 3x + Frac(2,3)*12 = 2x — Frac(1,4)*12
- 3x + 8 = 2x — 3
- x = -11 Frac(5,6)
Уравнение x/Frac(2,3) + 5 = Frac(1, 4). Чтобы решить его, нужно избавиться от Frac в левой части уравнения, умножив ее на обратное значение:
- x/Frac(2,3) = Frac(1,4) — 5
- x/Frac(2,3) = -Frac(19,4)
- x = -Frac(19,4) * Frac(2,3) = -Frac(19,6)

Таким образом, Frac может быть полезным инструментом при решении математических уравнений, особенно в случаях, когда нужно вычислять доли чисел.

Основные формулы с Frac

Frac — это операция в математике, которая позволяет вычислять дроби, которые имеют числитель и знаменатель. С помощью Frac можно делить одно число на другое, а также вычислять проценты и доли.

Пример 1:

С помощью формулы Frac можно вычислить долю от числа. Например, нужно найти сколько составляет 1/4 от 60. Для этого использовать формулу: Frac(1,4)*60=15. Ответ: 15.

Пример 2:

С помощью формулы Frac можно вычислить проценты. Например, нужно найти сколько процентов составляет 25 из 50. Для этого нужно использовать следующую формулу: Frac(25,50)*100=50. Ответ: 50%.

Пример 3:

С помощью формулы Frac можно производить дробные вычисления. Например, нужно произвести следующее вычисление: 1/3 + 2/3. Операцию сложения можно выполнить с помощью формулы Frac: Frac(1,3)+Frac(2,3)=1. Ответ: 1.

Пример 4:

С помощью формулы Frac можно выполнять умножение дробей. Например, нужно вычислить произведение дробей 1/2 и 2/3. С помощью Frac произведение можно записать так: Frac(1,2)*Frac(2,3)=1/3. Ответ: 1/3.

Преобразование дробей в Frac

Дробь — это математический объект, который записывается в виде числителя, разделенного на знаменатель. Frac — это команда LaTeX, которая используется для отображения дробей в математических текстах, документах и презентациях. Frac отображает дробь с двумя аргументами, первый аргумент — это числитель, а второй — знаменатель.

Чтобы преобразовать обычную дробь в Frac, нужно записать числитель после команды Frac в первых фигурных скобках, а знаменатель — во вторых фигурных скобках. Например, дробь 3/5 записывается в виде Frac.

Если числитель или знаменатель содержит более чем один символ, необходимо заключить его в фигурные скобки. Например, дробь (1 + x)/(2 + y) сохраняется как Frac.

Если дробь содержит дробные числа, например 3,14/2, то нужно использовать команду Sfrac вместо Frac. Sfrac — это команда LaTeX, которая используется для отображения дробных чисел как дробей.

Использование Frac удобно, потому что позволяет точно отобразить дроби без потери качества изображения и искажения символов.

Дополнительные математические функции Frac

1. Обратная функция Frac

Frac – это функция, которая возвращает дробную часть числа. Однако, существует и обратная функция, которая позволяет получать целую часть числа. Для этого можно вычесть дробную часть числа из самого числа:

Целая часть числа = число — дробная часть числа

Для числа 5.25: целая часть = 5, дробная часть = 0.25, следовательно Frac(5.25) = 0.25, а его целая часть равна 5.
Для числа -3.8: целая часть = -3, дробная часть = -0.8, следовательно Frac(-3.8) = -0.8, а его целая часть равна -3.

2. Округление числа вниз

Кроме того, Frac можно использовать для округления числа вниз до ближайшего целого:

Округление вниз = Frac(число)

Для числа 3.7: округление вниз = Frac(3.7) = 0.7, следовательно, число округлилось вниз до 3.
Для числа -2.5: округление вниз = Frac(-2.5) = -0.5, следовательно, число округлилось вниз до -3.

3. Создание последовательности чисел

Frac также может быть использован для создания последовательности чисел в диапазоне от 0 до 1:

0.1	0.1
0.2	0.2
0.3	0.3
…	…
0.9	0.9

Таким образом, можно генерировать последовательности чисел в диапазоне от 0 до 1, используя циклы и функцию Frac.

Зачем нужен Frac в математических расчетах

Frac, или дробь, является одним из основных элементов математических расчетов. Это позволяет нам записывать числа, которые не являются целыми, а имеют десятичные дроби. Например, вместо того, чтобы писать число 0,33333… мы можем использовать дробь 1/3.

Дроби также позволяют нам проводить более сложные расчеты, где нужно складывать, вычитать, умножать и делить числа. Такие операции намного удобнее проводить с помощью дробей, чем с десятичными дробями.

Кроме того, дроби играют важную роль в различных областях математики, таких как алгебра, геометрия, анализ и теория вероятности. Они используются для решения уравнений, построения графиков, описания физических явлений и многого другого.

Также дроби могут быть использованы для представления отношений между числами или величинами. Например, дробь 2/3 может обозначать отношение двух количеств, где две части из трех являются одним и тем же значением.

Таким образом, Frac, или дроби, являются неотъемлемой частью математических расчетов и играют важную роль в практически всех областях науки и техники.

Что такое дроби (frac) в математике: определение, примеры и простые правила использования

Примеры использования Frac в математике могут быть различными. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Frac— это дробь, которая обозначает отношение числа 3 к числу 4. Ее можно интерпретировать как три четвертых или как 75 процентов.
Пример 2: Для упрощения математического выражения Fracможно использовать символ Frac, записав его в следующем виде: Frac.
Пример 3: В функциональном анализе Frac— обозначает n-ую производную функции f по переменной x.

Определение

Frac — это математический термин, который обозначает дробь, то есть числитель, разделенный на знаменатель.

Дробь может быть записана в виде a/b, где a — числитель, b — знаменатель.

Числитель и знаменатель дроби могут быть любыми целыми или дробными числами.

Дробь может быть спроста (когда числитель и знаменатель не имеют общих делителей) или несократимой (когда числитель и знаменатель имеют общие делители).

Читать далее«title»: Что делать после шпаклевки стен: этапы и рекомендации.

Дроби используются в различных областях математики, таких как алгебра, геометрия, теория чисел и т.д.

Видео по теме:

Значение и примеры использования в математике

Пример использования Frac в математике:

Читать далее«Арбуз кримсон руби F1: отзывы, сроки и правила посадки».

Дроби и Frac: сходства и отличия

Вопрос-ответ:

Что такое Frac?

Frac — это математическая функция, которая возвращает только дробную часть числа. Например, Frac(3.14) вернет 0.14.

Зачем нужна функция Frac?

Как вычислить значение функции Frac?

Может ли функция Frac возвращать отрицательные значения?

Да, функция Frac может возвращать отрицательные значения. Например, Frac(-3.14) вернет -0.14.

Как функция Frac связана с округлением чисел?

В каких областях математики используется функция Frac?

Может ли функция Frac использоваться для проверки равенства двух чисел?

Как считать Frac в математике

Frac(8.2) = 8.2 — int(8.2) = 8.2 — 8 = 0.2

Здесь int обозначает целую часть числа.

print math.frac(8.2)

Результат такого вычисления будет равен 0.2.

Практические примеры с Frac

Как использовать Frac в решении уравнений

Уравнение 3x + 2/3 = 2x — 1/4. Чтобы решить его, нужно избавиться от дробей, приведя их к общему знаменателю. Для этого можно использовать Frac: 2/3 = Frac(2, 3), 1/4 = Frac(1, 4). Затем умножаем обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4):
- 3x + Frac(2,3)*12 = 2x — Frac(1,4)*12
- 3x + 8 = 2x — 3
- x = -11 Frac(5,6)
Уравнение x/Frac(2,3) + 5 = Frac(1, 4). Чтобы решить его, нужно избавиться от Frac в левой части уравнения, умножив ее на обратное значение:
- x/Frac(2,3) = Frac(1,4) — 5
- x/Frac(2,3) = -Frac(19,4)
- x = -Frac(19,4) * Frac(2,3) = -Frac(19,6)

Основные формулы с Frac

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Преобразование дробей в Frac

Чтобы преобразовать обычную дробь в Frac, нужно записать числитель после команды Frac в первых фигурных скобках, а знаменатель — во вторых фигурных скобках. Например, дробь 3/5 записывается в виде Frac.

Дополнительные математические функции Frac

1. Обратная функция Frac

Целая часть числа = число — дробная часть числа

Для числа 5.25: целая часть = 5, дробная часть = 0.25, следовательно Frac(5.25) = 0.25, а его целая часть равна 5.
Для числа -3.8: целая часть = -3, дробная часть = -0.8, следовательно Frac(-3.8) = -0.8, а его целая часть равна -3.

2. Округление числа вниз

Кроме того, Frac можно использовать для округления числа вниз до ближайшего целого:

Округление вниз = Frac(число)

Для числа 3.7: округление вниз = Frac(3.7) = 0.7, следовательно, число округлилось вниз до 3.
Для числа -2.5: округление вниз = Frac(-2.5) = -0.5, следовательно, число округлилось вниз до -3.

3. Создание последовательности чисел

Frac также может быть использован для создания последовательности чисел в диапазоне от 0 до 1:

0.1	0.1
0.2	0.2
0.3	0.3
…	…
0.9	0.9

Зачем нужен Frac в математических расчетах

Дроби также позволяют нам проводить более сложные расчеты, где нужно складывать, вычитать, умножать и делить числа. Такие операции намного удобнее проводить с помощью дробей, чем с десятичными дробями.

Что такое frac в математике

Функция Int вычисляет целую часть значения с плавающей точкой. Синтаксис:

function Int(X: ValReal) : ValReal;

Функция возвращает целую часть вещественного числа Х. Тип данных возвращаемого значения является также вещественным числом.

О типе ValReal я рассказывал здесь.

Функция Frac возвращает дробную часть числа с плавающей точкой. Синтаксис:

function Frac(X: ValReal) : ValReal;

Целая часть числа

Как известно, вещественное число имеет целую часть и дробную часть. Например, число 3,14 можно произнести словами как “три целых, четырнадцать сотых”.

Соответственно, целая часть числа 3,14 — это число 3.

И, как вы теперь уже знаете, получить целую часть числа в Паскале можно с помощью функции Int:

Дробная часть числа

Если рассмотреть всё то же число 3,14, то его дробной частью будет число 0,14. То есть вещественное число состоит из двух частей, сумма которых и является вещественным числом:

Функция Frac Pascal-Паскаль

Frac: функция — Возвращает дробную часть аргумента.

Объявление:	Function Frac(X: Real): Real;
Режим:	Windows, Real, Protected

Замечания:

Параметр X — выражение вещественного типа. Результат — дробная часть X, то есть Frac(X) = X-Int(X).

Пример программы для функции Frac

Программирование

Исходники Pascal (127)

Справочник

Справочник по паскалю: директивы, функции, процедуры, операторы и модули по алфавиту

Подскажите пожалуйста, что такое frac(x)?

Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины три пятёрки, а у Игоря — шесть пятёрок.

помогите пожалуйста срочно разобраться. Если можно чертеж

с углом 4 3. Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины три пятёрки, а у Игоря — шесть

Постройте столбчатые диаграммы: у Пети по математике четыре пятёрки, у Зины-три пятёрки, а у игоря-шесть пятёрок.

Начертите круговую диаграмму точка радиус круга 6 см. На клумбе выросла 20 гладиолусов, 8 астр и 8 хризантем.

Постройте столбчатые диаграммы у Пети по математике четыре пятёрки У Зины три пятёрки а Игоря шесть пятёрок

Дробное исчисление — Fractional calculus

Дробное исчисление является ветвью математики анализ, который изучает несколько различных возможностей определения степени действительного числа или степени комплексного числа оператора дифференцирования D

и оператора интегрирования J

и разработка исчисления для таких операторов, обобщающих классический.

В этом контексте термин мощности относится к итеративному применению линейного оператора D к функции f, то есть многократному составлению D самого себя, как в D n ( е) знак равно (D ∘ D ∘ D ∘ ⋯ ⏟ N) (е) знак равно D (D (D ⋯ ⏟ N (е) (е) = (\ underbrace _ ) (f) = \ underbrace _ (f)> .

Например, можно попросить содержательную интерпретацию

как аналог функционального квадратного корня для оператор дифференцирования , то есть выражение для некоторого линейного оператора, которое при двойном применении к любой функции будет иметь тот же эффект, что и дифференцирование. В более общем плане можно взглянуть на вопрос об определении a линейный функционал

для каждого действительного числа a таким образом, что, когда a принимает целое значение n ∈ ℤ, оно совпадает с обычным n-кратным дифференцированием D, если n>0, и с h −n-я степень J при n H 2 f (x) = D f (x) = ddxf (x) = f ′ (x). f (x) = Df (x) = > f (x) = f ‘(x) \,.>

Оказывается, что там является таким оператором, и действительно, для любого a>0 существует оператор P такой, что

или, другими словами, определение dy / dx может быть расширено на все действительные значения n.

Пусть f (x) — функция, определенная для x>0. Сформируйте определенный интеграл от 0 до x. Назовем это

Повторение этого процесса дает

(J 2 f) (x) = ∫ 0 Икс (J е) (T) dt знак равно ∫ 0 Икс (∫ 0 tf (s) ds) dt, f \ right) (x) = \ int _ ^ (Jf) (t) \, dt = \ int _ ^ \ left (\ int _ ^ f (s) \, ds \ right) \, dt \,,>

и его можно произвольно расширить.

(J n f) (x) = 1 (n — 1)! ∫ 0 Икс (Икс — T) N — 1 F (T) dt, f \ right) (x) = > \ int _ ^ \ left (xt \ right) ^ f (t) \, dt \,,>

прямо ведет к обобщению для вещественного n.

Использование гамма-функции для устранения дискретного характера факториальной функции дает нам естественного кандидата для дробных приложений интегрального оператора.

(J α f) (x) = 1 Γ (α) ∫ 0 x (x — t) α — 1 f (t) d t. f \ right) (x) = > \ int _ ^ \ left (xt \ right) ^ f (t) \, dt \,.>

https://amdy.su/wp-admin/options-general.php?page=ad-inserter.php#tab-8

Фактически, это четко определенный оператор.

Несложно показать, что оператор J удовлетворяет

где на последнем шаге мы поменяли порядок интегрирования и вытащили фактор f (s) из t интегрирования. Замена переменных на r, определяемых формулой t = s + (x — s) r,

(J α) (J β f) (x) = 1 Γ (α) Γ (β) ∫ 0 x (x — s) α + β — 1 е (s) (∫ 0 1 (1 — r) α — 1 r β — 1 dr) ds \ right) \ left (J ^ f \ right) (x) = > \ int _ ^ \ left (xs \ right) ^ f (s) \ left (\ int _ ^ \ left (1-r \ right) ^ r ^ \, dr \ right) \, ds>

Внутренний интеграл — это бета-функция, которая удовлетворяет следующему свойству:

∫ 0 1 (1 — r) α — 1 r β — 1 dr Знак равно В (α, β) знак равно Γ (α) Γ (β) Γ (α + β) ^ \ left (1-r \ right) ^ r ^ \, dr = B (\ alpha, \ beta) = >>

Подставляя обратно в уравнение

(J α) (J β f) (x) = 1 Γ (α + β) ∫ 0 x (x — s) α + β — 1 f ( s) ds знак равно (J α + β е) (x) \ right) \ left (J ^ f \ right) (x) = > \ int _ ^ \ left (xs \ right) ^ f (s) \, ds = \ left (J ^ f \ right) (x)>

Обмен местами α и β показывает, что порядок, в котором применяется оператор J, не имеет значения, и завершает доказательство.

Это отношение называется полугрупповым свойством дробных дифференциальных интегральных операторов. К сожалению, сопоставимый процесс для оператора производной D значительно сложнее, но можно показать, что D не является ни коммутативным, ни аддитивным в целом.

Дробная производная от базовая степенная функция

Полупроизводная (фиолетовая кривая) функции f (x) = x (синяя кривая) вместе с первой производной (красная кривая). Анимация показывает, что оператор производной колеблется между первообразная (α = −1: y = 1 / 2x) и производная (α = +1: y = 1) простой степенной функции y = x непрерывно.

Предположим, что f (x) — это моном вида

Первая производная, как обычно, имеет вид

Повторение этого дает более общий результат:

Что после замены факториалов на гамма-функцию приводит нас к

Для k = 1 и a = 1/2 мы получаем полупроизводную функции x как

Чтобы продемонстрировать, что это на самом деле «полупроизводная» (где Hf (x) = Df (x)), повторяем процесс, чтобы получить:

(потому что Γ (3 2) = π 2 > \ right) = > >> и Γ (1) = 1), что действительно является ожидаемым результатом

Для отрицательной целой степени k, гамма-функция не определена, и мы должны использовать следующее соотношение:

Это расширение описанного выше дифференциального оператора не обязательно должно ограничиваться только действительными степенями.. Например, (1 + i) -я производная от (1 — i) -й производной дает 2-ю производную. Также установка отрицательных значений для дает интегралы.

Для произвольного α, поскольку гамма-функция не определена для аргументов, действительная часть которых является отрицательным целым числом и чья мнимая часть равна нулю, необходимо применить дробную производную после выполнения целочисленной производной. Например,

D 3 2 f (x) = D 1 2 D 1 f (x) = D 1 2 ddxf (x) > f (x) = D ^ > D ^ f (x) = D ^ > > f (x)>

Преобразование Лапласа

Мы также можем ответить на этот вопрос с помощью преобразования Лапласа. Зная, что

и так далее, мы утверждаем

как и ожидалось. Действительно, учитывая правило свертки

и сокращая p (x) = x для ясности, находим, что

вот что Коши дал нам выше.

Преобразования Лапласа «работают» с относительно небольшим количеством функций, но они часто полезны для решения уравнений с дробными производными.

Дробные интегралы

Дробный интеграл Римана – Лиувилля

Классическая форма дробного исчисления задается интегралом Римана – Лиувилля, который, по сути, является тем, что было описано выше. Теория для периодических функций (следовательно, включая «граничное условие» повторения после периода) — это интеграл Вейля. Он определен на ряду Фурье и требует, чтобы постоянный коэффициент Фурье обращался в нуль (таким образом, он применяется к функциям на единичной окружности , интегралы которых равны 0). Интеграл Римана-Лиувилля существует в двух формах: верхней и нижней. Рассматривая интервал [a, b], интегралы определяются как

Дробный интеграл Атанганы – Балеану

Недавно, используя обобщенную функцию Миттаг-Леффлера, Атангана и Балеану предложили новую формулировку нелокального дробного ядра с нелокальной производной без дробной части. Интеграл определяется как:

где AB (α) — нормировочная функция такие, что AB (0) = AB (1) = 1.

Дробные производные

В отличие от классических ньютоновских производных, дробная производная определяется через дробный интеграл.

Дробные производные гауссианы, непрерывно интерполирующие между функцией и ее первой производной.

Дробная производная Римана – Лиувилля

Соответствующая производная вычисляется с использованием правила Лагранжа для дифференциальных операторов. Вычисляя производную n-го порядка по интегралу порядка (n — α), получается производная α-порядка. Важно отметить, что n — наименьшее целое число, большее α (то есть n = ⌈α⌉). Подобно определениям интеграла Римана-Лиувилля, производная имеет верхний и нижний варианты.

Дробная производная Капуто

Другой способ вычисления дробных производных — дробная производная Капуто. Его представил Микеле Капуто в своей статье 1967 года. В отличие от дробной производной Римана-Лиувилля, при решении дифференциальных уравнений с использованием определения Капуто нет необходимости определять начальные условия дробного порядка. Определение Капуто проиллюстрировано следующим образом, где снова n = ⌈α⌉:

Есть дробная производная Капуто, определяемая как:

D ν f (t) = 1 Γ (n — ν) ∫ 0 t (t — u) (n — ν — 1) f (n) (u) du (n — 1)

, имеющий то преимущество, что равен нулю, когда f (t) постоянна, а его преобразование Лапласа выражается посредством начальных значений функции и ее производной. Кроме того, существует дробная производная Капуто распределенного порядка, определяемая как

где φ (ν) — весовая функция, которая используется для математического представления наличия множественных формализмов памяти.

Дробная производная Капуто-Фабрицио

В статье 2015 года М. Капуто и М. Фабрицио представили определение дробной производной с невырожденным ядром для функции f ( t) из C 1 > определяется по:

производная Атанганы – Балеану

Как и интеграл, существует также дробная производная, использующая в качестве ядра общую функцию Миттаг-Леффлера. Авторы представили две версии: производную Атанганы – Балеану в смысле Капуто (ABC), которая представляет собой свертку локальной производной заданной функции с обобщенной функцией Миттаг-Леффлера, и производную Атанганы – Балеану в смысле Римана – Лиувилля (ABR) производная, которая является производной свертки заданной функции, не дифференцируемой с обобщенной функцией Миттаг-Леффлера. Дробная производная Атанганы-Балеану в смысле Капуто определяется как:

А дробная производная Атанганы – Балеану в Римане – Лиувилле определяется как:

производная Рисса

Другие типы

Классические дробные производные включают:

Новые дробные производные включают:

производную Коимбры
Производное Хильфера
Производное Дэвидсона
Производное Чена
Производное Капуто Фабрицио
Производное Атанганы – Балеану

Обобщения

Оператор Эрдейи – Кобера

Оператор Эрдейи – Кобера — это интегральный оператор, введенный Артуром Эрдейи (1940). и Герман Кобер (1940) и определяется как

x — ν — α + 1 Γ (α) ∫ 0 x (t — x) α — 1 t — α — ν f (t) dt, > > \ int _ ^ \ left (tx \ right) ^ t ^ f (t) \, dt \,,>

, которая обобщает дробный интеграл Римана – Лиувилля и интеграл Вейля.

Функциональное исчисление

В контексте функционального анализа функции f (D) более общие, чем степени, изучаются в функциональном исчислении из спектрального теория. Теория псевдодифференциальных операторов также позволяет рассматривать степени D. Возникающие операторы являются примерами сингулярных интегральных операторов ; а обобщение классической теории на высшие измерения называется теорией потенциалов Рисса. Итак, существует ряд современных теорий, в рамках которых можно обсуждать дробное исчисление. См. Также оператор Эрдейи – Кобера, важный в теории специальных функций (Кобер 1940), (Эрдейи 1950–51).

Приложения

Дробное сохранение массы

Как описано Уиткрафт и Мерсхарт (2008), уравнение дробного сохранения массы необходимо для моделирования потока жидкости, когда Контрольный объем недостаточно велик по сравнению с масштабом неоднородности и когда поток внутри контрольного объема является нелинейным. В указанной статье уравнение дробного сохранения массы для потока жидкости:

— ρ (∇ α ⋅ u →) = Γ (α + 1) Δ x 1 — α ρ (β s + ϕ β w) ∂ п ∂ T \ cdot \ right) = \ Gamma (\ alpha +1) \ Delta x ^ \ rho \ left (\ beta _ + \ phi \ beta _ \ right) >>

Задача о потоке подземных вод

В 2013–2014 гг. Атангана и др. описал некоторые проблемы потока грунтовых вод, используя концепцию производной с дробным порядком. В этих работах классический закон Дарси обобщается, рассматривая расход воды как функцию производной нецелого порядка пьезометрического напора. Этот обобщенный закон и закон сохранения массы затем используются для вывода нового уравнения для потока грунтовых вод.

Уравнение фракционной дисперсии адвекции

Было показано, что это уравнение полезно для моделирования потока загрязняющих веществ в гетерогенных пористых средах.

Атангана и Киликман расширили уравнение дисперсии фракционной адвекции до переменного порядка уравнение. В их работе гидродинамическое дисперсионное уравнение было обобщено с использованием концепции a. Модифицированное уравнение решалось численно методом Кранка – Николсона. Стабильность и сходимость результатов численного моделирования показали, что модифицированное уравнение более надежно при прогнозировании движения загрязнения в деформируемых водоносных горизонтах, чем уравнения с постоянными дробными и целыми производными

Модели уравнений пространственно-пространственной дробной диффузии

Процессы аномальной диффузии в сложных средах можно хорошо охарактеризовать с помощью моделей уравнений диффузии дробного порядка. Член производной по времени соответствует длительному распаду тяжелого хвоста, а пространственная производная — диффузионной нелокальности. Уравнение дробной диффузии во времени и пространстве может быть записано как

Простое расширение дробная производная — это дробная производная переменного порядка, α и β заменяются на α (x, t) и β (x, t). Его приложения в моделировании аномальной диффузии можно найти в справочнике.

Модели структурного демпфирования

Дробные производные используются для моделирования вязкоупругого демпфирования в определенных типах таких материалов, как полимеры.

ПИД-регуляторы

Обобщение ПИД-регуляторов для использования дробных порядков может увеличить их степень свободы. Новое уравнение, связывающее управляющую переменную u (t) с измеренным значением ошибки e (t), может быть записано как

u (t) = K pe (t) + K i D t — α e (t) + К d D T β е (T) e (t) + K _ D_ ^ e (t) + K _ > D_ ^ e (t)>

где α и β — положительные дробные порядки, а K p, K i и K d, все неотрицательные, обозначают коэффициенты для пропорциональной, интегральной и производной термины, соответственно (иногда обозначаемые P, I и D).

Уравнения акустических волн для сложных сред

Распространение акустических волн в сложных средах, таких как биологические ткани, обычно подразумевает затухание подчиняясь степенному закону частоты. Этот вид явления может быть описан с помощью причинного волнового уравнения, которое включает дробные производные по времени:

См. Также Holm Näsholm (2011) и ссылки в нем. Такие модели связаны с общепризнанной гипотезой о том, что множественные явления релаксации вызывают затухание, измеряемое в сложных средах. Эта ссылка дополнительно описана в Näsholm Holm (2011b) и в обзорной статье, а также в статье акустическое затухание. См. В Holm Nasholm (2013) статью, в которой сравниваются дробные волновые уравнения, моделирующие затухание по степенному закону. Эта книга по степенному затуханию также освещает эту тему более подробно.

Панди и Холм придали физический смысл дробно-дифференциальным уравнениям, выведя их из физических принципов и интерпретируя дробный порядок в терминах параметров акустические среды, например, в гранулированных рыхлых морских отложениях, насыщенных флюидом. Интересно, что Панди и Холм вывели закон Ломница в сейсмологии и закон Наттинга в неньютновской реологии, используя структуру дробного исчисления. Закон Наттинга был использован для моделирования распространения волн в морских отложениях с использованием дробных производных.

Дробное уравнение Шредингера в квантовой теории

i ℏ ∂ ψ (r, t) ∂ t = D α (- ℏ 2 Δ) α 2 ψ (r, t) + V (r, t) ψ (r, t). , t)> > = D _ \ left (- \ hbar ^ \ Delta \ right) ^ > \ psi (\ mathbf , t) + V (\ mathbf , t) \ psi (\ mathbf , t) \,.>

, где решением уравнения является волновая функция ψ(r, t) — квантово-механическая амплитуда вероятности для частицы иметь данный вектор положения rв любом заданный момент времени t, а ħ — приведенная постоянная Планка. Функция потенциальной энергии V (r, t) зависит от системы.

Далее, Δ = ∂ / ∂ r — это оператор Лапласа, а D α — масштабная постоянная с физическим размером [Dα] = Дж · м · с = кг · м · с (при α = 2, D 2 = 1 / 2m для частицы массы m), и оператор (−ħΔ) — 3-мерная дробная квантовая производная Рисса, определяемая формулой

(- ℏ 2 Δ) α 2 ψ (r, t) = 1 (2 π ℏ) 3 ∫ d 3 pei ℏ p ⋅ r | p | α φ (p, t). \ Delta) ^ > \ psi (\ mathbf , t) = >> \ int d ^ pe ^ > \ mathbf

\ cdot \ mathbf > | \ mathbf

Индекс α в дробном уравнении Шредингера — это индекс Леви, 1 i ℏ ∂ ψ α (r) (r, t) ∂ t α ( r) = ( − ℏ 2 Δ) β ( t) 2 ψ ( r, t) + V ( r, t) ψ ( r, t), )>(\mathbf ,t)> )>>>=\left(-\ hbar ^ \Delta \right)^ >\psi (\mathbf ,t)+V(\mathbf ,t)\psi ( \mathbf ,t),>

where Δ = ∂/∂ris the Laplace operator and the operator (−ħΔ) is the variable -order fractional quantum Riesz derivative.

Похожие публикации: