Таблицы истинности
Логическая функция – это функция, у которой значения переменных и значение функции выражают логическую истинность.
Они могут принимать значения «истина» или «ложь» (1 или 0). Для функции, содержащей две переменные, наборов значений переменных всего четыре:
![\[(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bfa4b614ecbbf14b66c95ced67c1b29_l3.png)
Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности.
Таблицы истинности для основных двоичных логических функций
1. Конъюнкция (логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.
Обозначение:
2. Дизъюнкция (логическое сложение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны.
Обозначение:
3. Импликация (логическое следствие) – это сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.
Обозначение:
4. Эквиваленция – это сложное логическое высказывание, которое является истинным только при одинаковых значениях истинности простых выражений, входящих в него.
Обозначение:
5. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Обозначение:
6. Штрих Шеффера – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.
Обозначение:
7. Стрелка Пирса – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения ложны.
Обозначение:
Порядок выполнения логических операций
При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:
- Инверсия
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Импликация
- Эквиваленция
- Штрих Шеффера
- Стрелка Пирса
Для последних двух операций приоритет не определен.
Замечание. Если необходимо изменить указанный порядок выполнения логических операций используются скобки.
Примеры решения задач
| Задание | Составить таблицу истинности для функции  |
| Решение | Составим таблицу истинности для заданной функции, которая содержит две переменные и . В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных функций и в последнем столбце — значение функций. В результате получим таблицу: |
![\[(A\wedge B \leftrightarrow B\wedge C)\vee (\bar{C}\to A)\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3694cbaa54c649a75a16232583a2b91_l3.png)
I –
II –
III –
IV –
V –
VI –
В результате получим таблицу:
Таблица истинности логических выражений
Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных. Для построения таблицы истинности следует:
- подсчитать п — число переменных в выражении;
- подсчитать общее число логических операций в выражении;
- установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов;
- определить число столбцов в таблице: число переменных + число операций;
- заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции в соответствии с последовательностью, установленной в п. 3;
- определить число строк в таблице (не считая шапки таблицы):
; - выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой ряд целых п-разрядных двоичных чисел от 0 до
; - провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
Построим таблицу истинности для логического выражения нём две переменные, две операции, причём сначала выполняется конъюнкция, а затем — дизъюнкция. Всего в таблице будет четыре столбца:
- Наборы входных переменных — это целые числа от 0 до 3, представленные в двухразрядном двоичном коде: 00, 01, 10, 11.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Заполненная таблица истинности имеет вид:
Обратите внимание, что последний столбец (результат) совпал со столбцом А. В таком случае говорят, что логическое выражение равносильно логической переменной А.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Свойства логических операций
Рассмотрим основные свойства логических операций, называемые также законами алгебры логики.
1. Переместительный (коммутативный) закон:
• для логического умножения:
• для логического сложения:
2. Сочетательный (ассоциативный) закон:
• для логического умножения:
• для логического сложения:
При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
3. Распределительный (дистрибутивный) закон:
• для логического умножения:
• для логического сложения:
4. Закон двойного отрицания:
Двойное отрицание исключает отрицание.
5. Закон исключённого третьего:
• для логического умножения:
• для логического сложения:
Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.
6. Закон повторения:
• для логического умножения:
• для логического сложения:
7. Законы операций с 0 и 1:
• для логического умножения:
• для логического сложения:
8. Законы общей инверсии:
• для логического умножения:
• для логического сложения:
Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности
Докажем распределительный закон для логического сложения:
Совпадение значений в столбцах, соответствующих логическим выражениям в левой и правой частях равенства, доказывает справедливость распределительного закона для логического сложения.
Примеры с решением
Пример 1.
Найдём значение логического выражения для числа X = 0.
Решение:
При X = 0 получаем следующее логическое выражение: 
. Так как логические выражения 0 < 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 
Для решения задач вам понадобится знание таблиц истинности логических операций:
А также, вы должны знать:
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками
Сначала выполняется операция отрицания НЕ
после И выполняется ИЛИ
и в последнюю очередь — эквивалентность.
Задача 1
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
Решение:
Чтобы определить верное выражение, надо значения А,В,С каждой из строк таблицы подставить в очередное выражение, определить его результат выполнения и сравнить со значением F соответствующей строки.
То выражение, значения которого совпадут со значениями столбца F, и будет искомым. Решение:
Задача 2
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Каким выражением может быть F?
Решение:
1) В каждом из приведенных выражений логические переменные связывает только один тип логической операции. В 1 и 3 вариантах это операция И (
), во 2 и 4 вариантах это операция ИЛИ (
).
2) По столбцу F видно, что выражение для двух комбинаций данных истинно, а для одной — ложно. Следовательно, выражение не может быть логическим умножением (И), так как логическое умножение истинно только для одной комбинации данных, а в таблице две истины. Следовательно, искомое выражение является логическим сложением (ИЛИ) значений логических переменных.
Поэтому, в качестве ответа может быть 2 или 4 вариант. Рассмотрим их.
1) 2-й вариант: В первой строке таблицы истинности отображены только значения х1, хЗ, х5, и все они равны 0. Но в формуле 2го варианта у нас х5 отрицается, то есть значение х5 будет изменено на 1, и в результате всё выражение должно быть истинным. Что не соответствует заданной таблице. Остаётся 4-й вариант.
2) Как мы видим, переменные х1, хЗ и х5 в 4-м варианте ответа не отрицаются, что соответствует первой строке заданной таблицы.
Задача 4
Какое из приведенных имен сказочных героев удовлетворяет логическому условию:
Решение:
Составим для каждого из предложенных ответов схему соответственно заданной логической формуле. Ищем истинное значение.
Первая буква согласная — НЕТ (0)
Вторая буква не А — ДА (1)
Последняя буква гласная — НЕТ (0) \ / \ у
Предпоследняя буква гласная — ДА (1) X» ‘»X X»
Подставляем полученные значения в формулу и решаем ее: н 0 ->1 ) л 0 -> 1 ),= О
И так с каждым вариантом ответа, пока не найдете истину.
Задача 5
Логическая функция F задаётся выражением
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из
переменных X, Y, Z
Решение 1:
Последней операцией выполнения является операция 
. Поэтому выражение 
имеет значение ИСТИНА, когда 
Рассмотрим все случаи, когда F = 1 (это значения в строках 1 и 3): — не рассматриваем, т.к. в табл, нет строки, где все значения логических переменных = 1.
Рассматриваем только 1 и 3 строки таблицы:
- две единицы в 3-м столбце => это значения X
- два нуля в 1-м столбце => это значения Y
- ноль единица во 2-м столбце => это значения Z
Решение 2:
Последней операцией выполнения является операция . Поэтому выражение
имеет значение ИСТИНА, когда 
Выражение F равно 1 в 1й и Зй строках, в этих же строках только “Перем.3”=1, следовательно, значение X находится в 3-м столбце.
Теперь рассмотрим построчно значения 1-х двух столбцов:
(помним, что 1 -> 0 = 0, в остальных комбинациях =1)
1 строка: 0 и О, Y = Z. Поэтому Y и Z для столбцов не определить.
2 строка: 0 и 1. Независимо будет ли Y=0 Z=1 или Y=1 Z=0, функция F=0 т.к. уже
Х=0. Поэтому Y и Z для столбцов не определить.
3 строка: 0 и 1. В этой строке функция F=1, значит 
Комбинация 
невозможна, иначе F будет = 0. Комбинация то, что надо. Следовательно, значение Y находится в 1-м столбце а значение Z во 2-м.
- Элементы векторной алгебры
- Асимптоты графика функции
- Разложение в ряд маклорена
- Частные производные второго порядка
- Тройной интеграл
- Производная синуса
- Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- Тригонометрические неравенства
- Найти неопределенный интеграл: примеры решения
- Векторы и операции с ними
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
В случае копирования материалов, указание web-ссылки на сайт natalibrilenova.ru обязательно.
© «Брильёнова Наталья Валерьевна»
Таблица истинности онлайн
Поддерживаемые операторы (используются латинские буквы и знаки скобок, слэш, обратный слэш, дефис):
| Символы | |
| И (AND) | /\ |
| ИЛИ (OR) | \/ |
| НЕ (NOT) | ~ |
| Импликация | -> |
| Исключающее ИЛИ (XOR) | ^ |
| Эквивалентность | |
Онлайн-калькулятор таблицы истинности предоставляет значения таблицы истинности для заданных формул пропозициональной логики. Утверждения пропозициональной логики могут быть только истинными или ложными.
Разные обозначения логических символов
Для логических символов применяются различные знаки. Вот таблица соответствия, чтобы подобрать и заменить на те которые поддерживаются данным калькулятором (первый зеленый столбец):
→ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также указывать область определения и область значений функции, см. таблицу математических символов).
Таблицы истинности. Определение истинности логических выражений
уметь: заменять любые высказывания логическими переменными; строить таблицы истинности; вычислять значение логического выражения.
Ход урока
1. Организационный момент:
Приветствие учащихся. Определение целей урока.
2. Актуализация знаний и проверка усвоенного материала:
Учащиеся отвечают на вопросы:
1). Какие существуют основные формы мышления?
2). Что изучает алгебра логики?
3). Может ли быть высказывание выражено в форме вопросительного предложения?
4). Как получаются сложные логические высказывания?
5). Какие значения могут принимать логические переменные?
6). Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Составного высказывания?
7). Что такое логическая операция?
8). Назовите логические операции. Как они обозначаются?
9). Назовите приоритет логических операций.
Визуальная проверка домашнего задания.
3. Контроль знаний:
Учащиеся выполняют самостоятельную работу №1 «Основные понятия алгебры логики»:
Вариант 1
- Записать логическую функцию для высказывания:Не верно, что в окно светит солнце и идет дождь.
- Найти значение логического выражения:
- Даны два высказывания: А= и B=. Определить, чему равно
- Придумать высказывание, соответствующее логической функции:
Вариант 2
- Записать логическую функцию, соответствующую высказыванию:Юра не сделал уроки и не пошел в школу.
- Найти значение логического выражения:
- Даны два высказывания: А=8>и B=°>. Определить, чему равно логическое выражение:
- Придумать высказывание, соответствующее логической функции:
Вариант 3
- Записать логическую функцию, соответствующую высказыванию:Светит солнце, или идет дождь, и нет ветра.
- Найти значение логического выражения:
- Даны два высказывания: А=°> и B=. Определить, чему равно логическое выражение:
- Придумать высказывание, соответствующее логической функции:
Вариант 4
- Записать логическую функцию, соответствующую высказыванию:За окном светит солнце, или за окном не светит солнце и пасмурно.
- Найти значение логического выражения:
- Даны два высказывания: А= и B=×5=30>. Определить, чему равно логическое выражение:
- Придумать высказывание, соответствующее логической функции:
Вариант 5
- Записать логическую функцию, соответствующую высказыванию:Не верно, что светит солнце или идет дождь.
- Найти значение логического выражения:
- Даны два высказывания: А= и B=. Определить, чему равно логическое выражение:
- Придумать высказывание, соответствующее логической функции:
Вариант 6
- Записать логическую функцию, соответствующую высказыванию:Не верно то, что Юра не выучил урок и пропустил школу.
- Найти значение логического выражения:
- Даны два высказывания: А= и B=. Определить, чему равно логическое выражение:
- Придумать высказывание, соответствующее логической функции:
Вариант 7
- Записать логическую функцию, соответствующую высказыванию:Гости смеялись, разговаривали друг с другом и не расходились.
- Найти значение логического выражения:
- Даны два высказывания: А= и B=×0=2>. Определить, чему равно выражение:
- Придумать высказывание, соответствующее логической функции:
Вариант 8
- Записать логическую функцию, соответствующую высказыванию:Не правда, что мы ленивы и не любим труд.
- Найти значение логического выражения:
- Даны два высказывания: А= и B=×0=0>. Определить, чему равно выражение:
- Придумать высказывание, соответствующее логической функции:
Ответы к заданиям 1 – 3 самостоятельной работы:
№ вар-та
№ задания
1
2
3
Упражнение
1. При опросе очевидцев на месте происшествия один из свидетелей сказал, что машина, нарушившая правила, была иномарка и светлого цвета.
Записать условие задачи на языке алгебры логики и составить истинное тождество, если известно, что
А) свидетель был прав только в одном из своих утверждений.
Решение:
А = «машина была иномарка»,
В = «машина была светлого цвета».
Пусть свидетель прав в своем первом утверждении, т.е. А = 1, и не прав во втором, т.е. В = 0, тогда А Ù ØВ = 1
Допустим обратное, свидетель не прав в первом утверждении, т.е А = 0 и прав во втором, т.е. В = 1, тогда Ø А Ù В = 1
Сложив два истинных высказывания, мы получим истинное высказывание, реализующее условие задачи на языке алгебры логики:
А Ù ØВ Ú Ø А Ù В = 1
Ответ: А Ù ØВ Ú Ø А Ù В = 1
Б) свидетель оба раза солгал или же был полностью прав.
Решение учащимся предлагается найти самостоятельно
(Ответ: ØА Ù ØВ Ú А Ù В = 1)
Высказывания, как мы уже знаем, могут быть истинными или ложными. Понятно, что если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность сложных (составных) высказываний зависит от истинности или ложности входящих в нее логических переменных и использованных при преобразовании логических операций.
Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.
Изучение нового материала:
Таким образом, таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют таблицей истинности логической функции.
Алгоритм построения таблицы истинности:
1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;
2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных;
3. подсчитать количество логических операций в формуле;
4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;
6. выписать наборы входных переменных;
7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.
Упражнение 1.
Определить истинность логического выражения F(А, В) = (А۷ В)٨(¬А۷¬В) .
1. В выражении две переменные А и В (n=2).
2. mстрок=2 n , m=2 2 =4 строки.
3. В формуле 5 логических операций.
4. Расставляем порядок действий
1) А۷ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А۷¬В; 5) (А۷ В)٨(¬А۷¬В).
5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.
А
В
А۷ В
¬А
¬В
¬А۷¬В
F
0
1
1
0
Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.
Упражнение 2.
Построить таблицу истинности для логического выражения
F = (A V B) /\
- В данной функции три логические переменные – А, В, С
- количество строк таблицы = 2 3=8
- В формуле 3 логические операции.
- Расставляем порядок действий
1) А۷ В; 2) ; 3) (A V B) /\ .
- количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6
А
В
С
A V B
(A V B) /\
0
0
1
0
1
0
1
0
Несложно заметить, что для функции от трех переменных данные наборы значений логических переменных А, В, С представляют собой двоичные триады, выписанные в порядке возрастания: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
Однако, для функции от трех и более переменных, наборы значений входных переменных рекомендуется перечислять следующим образом:
а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю половину нулями, нижнюю половину единицами;
б) в следующей колонке для второй переменной половинку снова разделить пополам и заполнить группами нулей и единиц; аналогично заполнить вторую половинку; в) так делать до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.
Пробное применение знаний:
Учащимся предлагается решить задачи
Задача 1. Определить истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя».
Решение:
Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:
А = «За окном светит солнце»
В = «За окном дождь»
Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.
построим таблицу истинности для данной логической функции.
A
B
¬B
A /\ ¬B
0
0
1
0
Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.
Задача 2. Определить истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам».
Решение:
Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания:
А = «Гости смеялись»
В = «Гости шутили»
С = «Гости расходились по домам»
Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.
Построим таблицу истинности для данной логической функции.
A
B
C
¬C
A /\ B /\¬C
0
0
0
0
0
0
1
0
Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно.
Вывод: Реальную задачу мы получаем в виде текста на естественном языке и, прежде чем приступить к ее решению, необходимо выделить простые высказывания, отношения между ними и перевести на язык формул (формализовать условие задачи, определяющее форму словесного высказывания).
Упражнения с переносом знаний в новые условия:
Учащимся предлагаются тестовые задания по логике из ЕГЭ.
Задание 1. /А13, 2004/. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
Решение (вариант 1, через таблицы истинности):
Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:
X
Y
Z
F
¬X/\¬Y/\Z
¬X\/¬Y\/Z
X\/Y\/¬Z
X\/Y\/Z
1
1
0
0
1
1
Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.
Ответ: 3
Решение (Вариант 2):
Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.
Рассмотрим данный конкретный пример:
- первое заданное выражение ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;
- второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;
- третье выражение X\/Y\/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;
- четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.
Ответ: 3
Задание 2. /А11, 2007/. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
Задания для дополнительной работы в классе: Сборник материалов и тренировочных заданий ЕГЭ по логике, задания 11 – 20.
4. Подведение итогов
Учащиеся подводят итоги урока:
.Научились заменять любые высказывания логическими переменными, вычислять значение логического выражения. Узнали правила построения таблиц истинности. Научились строить таблицы истинности.
5. Домашнее задание:
Просмотр содержимого документа
«Таблицы истинности. Определение истинности логических выражений»
Урок 50-51, 9 класс
Учитель: Брух Т.В.
Дата: ____________
Тема урока: «Таблицы истинности. ПР 3.1 Определение истинности логических выражений»
Цель урока:
понимать: что логические выражения — это формулы, что истинность логического выражения, образованного с помощью логических операций, можно установить, используя таблицы истинности;
знать: правила построения таблиц истинности; как по таблице истинности установить истинность логического выражения;
уметь: заменять любые высказывания логическими переменными; строить таблицы истинности; вычислять значение логического выражения.
1. Организационный момент:
Приветствие учащихся. Определение целей урока.
2. Актуализация знаний и проверка усвоенного материала:
Учащиеся отвечают на вопросы:
1). Какие существуют основные формы мышления?
2). Что изучает алгебра логики?
3). Может ли быть высказывание выражено в форме вопросительного предложения?
4). Как получаются сложные логические высказывания?
5). Какие значения могут принимать логические переменные?
6). Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Составного высказывания?
7). Что такое логическая операция?
8). Назовите логические операции. Как они обозначаются?
9). Назовите приоритет логических операций.
Визуальная проверка домашнего задания.
3. Контроль знаний:
Учащиеся выполняют самостоятельную работу №1 «Основные понятия алгебры логики»:
Упражнение 1. При опросе очевидцев на месте происшествия один из свидетелей сказал, что машина, нарушившая правила, была иномарка и светлого цвета. Записать условие задачи на языке алгебры логики и составить истинное тождество, если известно, что А) свидетель был прав только в одном из своих утверждений. Решение: Введем обозначения: А = «машина была иномарка», В = «машина была светлого цвета». Пусть свидетель прав в своем первом утверждении, т.е. А = 1, и не прав во втором, т.е. В = 0, тогда АВ = 1 Допустим обратное, свидетель не прав в первом утверждении, т.е А = 0 и прав во втором, т.е. В = 1, тогда АВ = 1 Сложив два истинных высказывания, мы получим истинное высказывание, реализующее условие задачи на языке алгебры логики: АВАВ = 1Ответ: А В А В = 1 Б) свидетель оба раза солгал или же был полностью прав. Решение учащимся предлагается найти самостоятельно (Ответ: А В А В = 1)
Высказывания, как мы уже знаем, могут быть истинными или ложными. Понятно, что если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность сложных (составных) высказываний зависит от истинности или ложности входящих в нее логических переменных и использованных при преобразовании логических операций. Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции. Изучение нового материала: Таким образом, таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют таблицей истинности логической функции.Алгоритм построения таблицы истинности: 1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении; 2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных; 3. подсчитать количество логических операций в формуле; 4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов; 5. определить количество столбцов: число переменных + число операций; 6. выписать наборы входных переменных; 7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.
Упражнение 1. Определить истинность логического выражения F(А, В) = (А۷ В)٨(¬А۷¬В) . 1. В выражении две переменные А и В (n=2). 2. mстрок=2 n , m=2 2 =4 строки. 3. В формуле 5 логических операций. 4. Расставляем порядок действий 1) А۷ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А۷¬В; 5) (А۷ В)٨(¬А۷¬В). 5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.
| А | В | А۷В | ¬А | ¬В | ¬А۷¬В | F |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1. Упражнение 2. Построить таблицу истинности для логического выражения F= (AVB) /\ 
- В данной функции три логические переменные – А, В, С
- количество строк таблицы = 23 =8
- В формуле 3 логические операции.
- Расставляем порядок действий
1) А۷ В; 2) ; 3) (A V B) /\ .
- количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6
| А | В | С | AVB | |
(AVB) /\ |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Несложно заметить, что для функции от трех переменных данные наборы значений логических переменных А, В, С представляют собой двоичные триады, выписанные в порядке возрастания: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Однако, для функции от трех и более переменных, наборы значений входных переменных рекомендуется перечислять следующим образом: а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю половину нулями, нижнюю половину единицами; б) в следующей колонке для второй переменной половинку снова разделить пополам и заполнить группами нулей и единиц; аналогично заполнить вторую половинку;
в) так делать до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.
Пробное применение знаний: Учащимся предлагается решить задачи Задача 1. Определить истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя». Решение: Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания: А = «За окном светит солнце» В = «За окном дождь» Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию. F(A, B) = A /\ ¬B построим таблицу истинности для данной логической функции.
| A | B | ¬B | A/\ ¬B |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.
Задача 2. Определить истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам». Решение: Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания: А = «Гости смеялись» В = «Гости шутили» С = «Гости расходились по домам» Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию. F(A, B, С) = A /\ B /\¬C Построим таблицу истинности для данной логической функции.
| A | B | C | ¬C | A/\B/\¬C |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно. Вывод: Реальную задачу мы получаем в виде текста на естественном языке и, прежде чем приступить к ее решению, необходимо выделить простые высказывания, отношения между ними и перевести на язык формул (формализовать условие задачи, определяющее форму словесного высказывания). Упражнения с переносом знаний в новые условия: Учащимся предлагаются тестовые задания по логике из ЕГЭ.
Задание 1. /А13, 2004/. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
| X | Y | Z | F |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
Какое выражение соответствует F?
| 1) | ¬X/\¬Y/\Z | 2) | ¬X\/¬Y\/Z | 3) | X\/Y\/¬Z | 4) | X\/Y\/Z |
Решение (вариант 1, через таблицы истинности): Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:
| X | Y | Z | F | ¬X | ¬Y | ¬Z | ¬X/\¬Y/\Z | ¬X\/¬Y\/Z | X\/Y\/¬Z | X\/Y\/Z |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3. Ответ: 3Решение (Вариант 2): Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение. Рассмотрим данный конкретный пример:
- первое заданное выражение ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;
- второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;
- третье выражение X\/Y\/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;
- четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.
Ответ: 3
Задание 2. /А11, 2007/. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
| X | Y | Z | F |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
| 1) | ¬X \/ Y \/ ¬Z | 2) | X /\ Y /\ ¬Z | 3) | ¬X /\ ¬Y /\ Z | 4) | X \/ ¬Y \/ Z |
(Ответ: 2) Задания для дополнительной работы в классе: Сборник материалов и тренировочных заданий ЕГЭ по логике, задания 11 – 20. 4. Подведение итоговУчащиеся подводят итоги урока: .Научились заменять любые высказывания логическими переменными, вычислять значение логического выражения. Узнали правила построения таблиц истинности. Научились строить таблицы истинности. 5. Домашнее задание: