Почему дискриминант делят на 4

где
x — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
D — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х 2

Дискриминант на 4

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней квадратного уравнения зависит от знака D/4.

Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:

Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

Если D/4

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

$1)5{x^2} + 16x + 3 = 0$

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{16}}{2})^2} - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{16}}{2} \pm \sqrt {49} }}{5} = \frac{{ - 8 \pm 7}}{5}$

${x_1} = \frac{{ - 8 + 7}}{5} = - \frac{1}{5} = - 0,2;$

${x_2} = \frac{{ - 8 - 7}}{5} = - \frac{{15}}{5} = - 3$

$2)3{x^2} - 28x + 9 = 0$

$a = 3;b = - 28;c = 9$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 28}}{2})^2} - 3 \cdot 9 =$

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 28}}{2} \pm \sqrt {169} }}{3} =$

${x_1} = = \frac{{14 + 13}}{3} = \frac{{27}}{2} = 9;$

$3)9{x^2} + 42x + 49 = 0$

$a = 9;b = 42;c = 49$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{42}}{2})^2} - 9 \cdot 49 =$

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

$x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 42}}{{2 \cdot 9}} = - \frac{7}{3} = - 2\frac{1}{3}$

$4){x^2} - 20x + 136 = 0$

$a = 1;b = - 20;c = 136$

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{{ - 20}}{2})^2} - 1 \cdot 136 =$

$= 100 - 136 = - 36$

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

$\frac{D}{4} = {(\frac{b}{2})^2} - ac = {(\frac{8}{2})^2} - 2 \cdot 5 = 6$

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{8}{2} \pm \sqrt 6 }}{2} = \frac{{ - 4 \pm \sqrt 6 }}{2}$

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

О чем важно помнить, чтобы решать уравнения без труда

Но если мы рассмотрим уравнение, где $a=0$ , а — любое число, например 3, то получим: $0x=3$ , т.е. получим уравнение, которое не имеет решения, так как на 0 делить нельзя.

Теперь пусть $a=3$ , $b=0$ , тогда решение уравнения $3x=0$ $X=0$ .

Если же $a=0$ и $b=0$ , то уравнение примет вид $0x=0$ . И вот в этом-то уравнении ученики делают ошибки, пишут ответ $x=0$ . А ведь произведение двух чисел равно нулю, если один из множителей равен нулю, не обязательно оба множителя. Значит, x — может быть любым числом.

Рассмотрим это правило на более сложном примере: $<2\over 6x+1>+=<30x+9\over 36x^2-1 >$
Это дробно-рациональное уравнение, о решении которые мы разговаривали с вами в прошлой статье .
Укажем ОДЗ (область допустимых значений):

так как $36x^2-1=(6x-1)(6x+1)$ , то можно решить первые два выражения, из них получаем: $x≠ <1\over 6>$ и $x≠-<1\over 6>$

Теперь дробь справа переносим влево, не забываем менять знак выражения, и все выражение справа записываем в виде одной дроби:

Так как ОДЗ уже указано, приравниваем числитель к нулю: $30x+1-30x-9=0$

Приводим подобные слагаемые: $Ox-8=0$ . Тогда: $Ox=8$ . И как говорилось ранее, такое уравнение не имеет решений. Будьте внимательны, обидно решить уравнение и в самом конце допустить ошибку.

Теперь поговорим о квадратных уравнениях и неравенствах, эти задания объединяет квадратный трехчлен. Вот его-то дискриминант мы обычно находим. Любой ученик знает, что если D>0, квадратное уравнение имеет два различных корня, если D

Мы знаем, что квадратный трехчлен, для примера возьмем такой: $2x^2+3x-4$ , всегда можно разложить на множители.

Для этого находим дискриминант: $D=b^z-4aC=9+16=25=5^2. $ .
И корни: $x_1=<-b+√D\over2a>=<-3+5\over4>=<2\over4>=<1\over2>$ и $x_2=(-b-√D)/2a=(-3-5)/4=(-8)/4=-2$ .
И запишем разложение: $2x^2+3x-4=2(x-<1\over 2>)(x+2)$

Теперь рассмотрим квадратный трехчлен, у которого D=0: $x^2-4x+4$ . Его корни можно найти так: $x=<-b\over 2a>=<4\over 2>=2$ . Так вот, если мы будем думать, что корень один, то разложение получиться такое: $x^2-4x+4=(x-2)$ . Это неверно! Но так как корней два, то верно так: $x^2-4x+4=(x-2)^2$

Как применяем при решении неравенств?
Например: $2x^2+3x+4>0 $ $D0 значит неравенство верно при любом x .
Если же \(2x^2+3x+4<0 $ $D<0$ 2>0 такое неравенство не имеет решений.
Но стоит заменить 2 на -2, получим: $-2x^2+3x-4<0$ D<0 -2<0 неравенство верно при любом x . А вот если: $-2x^2+3x-4>0 $ D<0 -2<0 и у неравенства опять нет решений. Кстати, подобное задание очень любят составители ОГЭ по математике. Надеюсь, что статья оказалась полезной. Не делайте глупых ошибок! Автор: Ольга Лардыго
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k 2 − ac , а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .

Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .

В этом произведении k = 5 .

Число 12 можно представить как 2 × 6 .

В этом произведении k = 6 .

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7 .

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .

В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D₁ = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .

В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D₁ . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Похожие публикации:

Steam диск поврежден что делать

Как изменить цвет шрифта андроид

Как отключить автозапуск приложений на компьютере

Как установить ватсап на айфон