Найти расстояние между центрами окружностей: х²+y²=9 и x²+y²-8x+12=0
1. В общем виде центр окружности, заданной уравнением (x-a)»^»2 + (y-b)’^»2 = r»^»2, имеет координаты x = a, y = b.
2. Из этого определения координаты центра первой окружности — x1 = 0, y1 = 0.
3. Для определения координат центра второй окружности преобразуем ее уравнение к виду, приведенному в п. 1.
4. Прибавим и вычтем в левой части уравнения 4. Получим:
(x»^»2 — 8 * x + 12 + 4) — 4 + y»^»2 = 0.
5. Заметим, что выражение в скобках есть квадрат разности x и 4, то есть
(x»^»2 — 8 * x + 16) = (x — 4)»^»2.
6. Тогда уравнение второй окружности примет вид: (x — 4)»^»2 + y»^»2 = 4. То есть центр второй окружности имеет координаты x2 = 4, y2 = 0.
7. Расстояние L между центрами окружностей определится по формуле:
L»^»2 = (x1 — x2)»^»2 + (y1 -y2)»^»2.
8. Подставим значения, получим:
L»^»2 = (0 — 4)»^»2 + (0 — 0)»^»2 = 16. То есть, L = 4.
Ответ: расстояние между центрами окружностей равно 4.
Как найти расстояние между центрами окружностей
УПС, страница пропала с радаров.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
Вам может понравиться Все решебники
Пасечник, Суматохин, Калинова
Арсентьев, Данилов, Стефанович
Рабочая тетрадь
Мерзляк, Полонская, Якир
Колягин, Ткачёва, Фёдорова
Баранова, Афанасьева, Михеева
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Задача 12346 Расстояние между центрами окружностей.
Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность.
а)Докажите, что её точка касания с прямой совпадает с точкой касания одной из первых двух окружностей.
б)Найдите радиус третьей окружности.
математика 10-11 класс 6023
Решение
а) Пусть х- радиус искомой окружности, О-её центр. СD-внутренняя касательная данных окружностей, О1 и О2 — их центры. Заметим, что прямая CD — либо общая внешняя касательная окружностей с центрами О и О2(см. рис.), либо окружностей с центрами О и О1(см. рис.). При этом её точка касания с прямой совпадает с точкой касания одной из первых двух окружностей, так как касательная будет проходить через общую точку(точку касания) окружностей.
б) Для нахождения радиуса третьей окружности, докажем сначала следующее утверждение. Если а-расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a⩾r+R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках А и В, внутренняя в точках С и D, то
AB=sqrt(a^2-(R-r)^2), CD=sqrt(a^2-(R+r)^2).
Действительно, пусть О1 и О2 -центры окружностей радиусов r и R соответственно(см. рис.2). Из точек О1 и О2 опустим перпендикуляры О1Q на прямую О2В и О2F на прямую О1С. Из прямоугольных треугольников О1QO2 и O1FO2 находим, что
O1Q=sqrt(O1O2^2-QO2^2)=sqrt(a^2-(R-r)^2), O2F=sqrt(O1O2^2-FO1^2)-sqrt(a^2-(R+r)^2).
Следовательно, CD=O2F=sqrt(a^2-(R+r)^2).
По доказанному CD=sqrt(17^2-(1+9)^2)=sqrt((17-10)(17+10))=sqrt(7*27)=3sqrt(21)
В первом случае CD-общая внешняя касательная к окружности с центрами О и О2, поэтому CD=sqrt((x+9)^2-(9-x)^2)=6sqrt(х)
6sqrt(х)=3sqrt(21)
2sqrt(х)=sqrt(21)
4х=21
х=5,25
Во втором случае CD-общая внешняя касательная к окружностям с центрами О и О1, поэтому CD=sqrt((x+2)^2-(2-x)^2)=2sqrt(х)
2sqrt(х)=3sqrt(21)
4x=189
x=47,25 
Ответ: 5,25; 47,25
Как найти расстояние между центрами окружностей
Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 и 15, а общая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами.
Решение
Пусть окружность радиуса 13 с центром O 1 и окружность радиуса 15 с центром O2 пересекаются в точках A и B. Точки O1 и O2 – равноудалены от концов отрезка AB, поэтому прямая O1O2 – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Пусть M – середина AB. По теореме Пифагора O1M² = 13² – 12² = 25,
O2M² = 15² – 12² = 81.
Если точки O1 и O2 лежат по разные стороны от прямой AB (рис. слева), то O1O2 = MO1 + MO2 = 5 + 9 = 14.
Если же точки O1 и O2 лежат по одну сторону от прямой AB (рис. справа), то O1O2 = MO2 – MO1 = 9 – 5 = 4.
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 545 |
Проект осуществляется при поддержке и .