Какие числа могут быть сторонами прямоугольного треугольника
Какими могут быть стороны треугольника? Могут ли стороны треугольника быть равными данным числам? Существует ли треугольник со сторонами той или иной длины? . Рассмотрим конкретные задачи.
1) Существует ли треугольник со сторонами
а) 1 см, 2 см, 3 см;
б) 7 см, 10 см, 12 см?
Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Проверяем, выполнено ли это условие для каждого отрезка. Для задачи а):
Третье неравенство неверно, следовательно, треугольника со сторонами 1 см, 2 см и 3 см не существует.
Все три условия выполнены, значит, треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 12 см существует.
2) Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 8 см?
Проверяем, выполняется ли неравенство треугольника для каждого из отрезков:
Последнее неравенство не выполнено, поэтому треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см построить нельзя.
3) Какими могут быть стороны треугольника:
б) 11 дм, 15 дм, 30 дм?
Проверяем выполнение неравенства треугольника для каждой тройки отрезков:
Все три неравенства верны, следовательно, стороны треугольника могут быть равными 5 м, 7 м и10 м.
Третье неравенство не является верным, значит, стороны треугольника не могут быть равными 11 дм, 15 дм и 30 дм.
ЕГЭ по информатике 2022 — Задание 9 (Электронная таблица)
Девятое задание из ЕГЭ по информатике 2022 проверяет умение обрабатывать числовую информацию с помощью таблиц Excel.
При подготовке к 9 заданию из ЕГЭ по информатике может быть полезна и прошлогодняя статья.
В 2022 году пошла тенденция давать задачи, в которых применяются знания по математике и геометрии.
Задача (Равнобедренный треугольник)
(№ 4335) (А. Богданов) Откройте файл электронной таблицы 9-114.xls, содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек чисел могут являться сторонами равнобедренного треугольника. В ответе запишите только число.
Для каждой тройки проверим:
- Являются ли числа сторонами треугольника.
- Есть ли среди трёх чисел два равных числа.
Чтобы проверить первое условие, нужно вспомнить неравенство треугольника: любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон.
Поставим «1» в столбце D напротив тех троек, которые подходят под первое условие.
Сначала напишем формулу для первой строчки в ячейке D1.
Кликаем в ячейку D1 и нажимаем кнопку Вставить функцию.
Выбираем функцию ЕСЛИ. Пишем логическое выражение:
Союз И говорит о том, что три условия должны сработать одновременно.
В Значение_если_истина ставим 1. В Значение_если_ложь ставим 0.
Если одновременно выполняются три условия, то в ячейку идёт 1, иначе 0.
Распространим формулу на весь столбец. Подведём курсор к правому нижнему углу. Как только загорелся чёрный крестик, кликаем два раза, и формула должна распространится на весь столбец.
Возле тех строчек, которые удовлетворяют условию, будут нули, возле тех, которые не удовлетворяют, будут единицы.
Читайте также: Кекс прямоугольный с изюмом
За второе условие будет отвечать столбец E. Напишем условие в ячейку E1.
Союз ИЛИ говорит о том, что если одно условие сработает, значит, выражение будет считаться истинным.
В Значение_если_истина ставим 1. В Значение_если_ложь ставим 0.
Распространяем всю формулу на весь столбец E. Напротив тех строчек, которые удовлетворяют второму условию, будут стоять «1», в противном случае «0».
В столбце F ставим «1» в тех строчках, где в столбцах D И E одновременно «1», используя функцию ЕСЛИ.
В Значение_если_истина ставим 1. В Значение_если_ложь ставим 0.
Выделив столбец F, в правом нижнем углу посмотрим сумму единиц в этом столбце.
Получается ответ 229.
Ещё одна тренировочная задача из ЕГЭ по информатике 2022.
(А. Богданов) Откройте файл электронной таблицы 9-114.xls, содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек чисел могут являться сторонами тупоугольного треугольника. В ответе запишите только число.
Во-первых проверим: удовлетворяют ли числа условию неравенства треугольника (аналогично прошлой задаче). За это будет отвечать столбец D.
В столбцах E, F, G мы будем вычислять косинусы трёх углов треугольника. Косинусы будем находить по теореме косинусов. Косинусы будем вычислять для всех троек, но учитывать только те, где выполняется неравенство треугольника.
В ячейке E1 напишем формулу:
В ячейке F1 напишем формулу:
В ячейке G1 напишем формулу:
Распространим вышеуказанные формулы на соответствующие столбцы.
Получается примерно такая картина:
Остался последний шаг: проверить, есть ли у какой-нибудь тройки, которая удовлетворяет неравенству треугольника, отрицательный косинус. Тупой угол имеет отрицательный косинус.
Кликаем в ячейку H1, нажимаем кнопку «Вставить функцию» и выбираем ЕСЛИ.
В поле Лог_выражение пишем:
В поле Значение_если_истина ставим «1», в поле Значение_если_ложь ставим «0». Распространяем формулу на весь столбец H, и посчитаем количество единиц в этом столбце.
Количество единиц равно 1720.
Снова нужно знать математические формулы в следующей задаче из примерных вариантов ЕГЭ по информатике 2022.
(А. Комков) Откройте файл электронной таблицы 9-103.xls, содержащей в каждой строке два целых числа – координаты точки на плоскости. Найдите наибольшее расстояние точки от начала координат. В ответе запишите целую часть найденного расстояния.
Посмотрим, как найти расстояние от точки с координатами (x1, y1) до точки с координатами (x2, y2).
Здесь работает теорема Пифагора. Здесь s — расстояние между двумя точками.
s 2 = (x2-x1) 2 + (y2-y1) 2
В нашей задаче первая точка — это начало координат, следовательно, x1=0 и y1=0.
В столбце С получим расстояние от конкретной точки до начала координат.
В ячейке C1 напишем формулу и распространим эту формулу на весь столбец.
Найдём максимальное значение в столбце С. Теперь кликнем в ячейку D1. Нажмём кнопку «Вставить функцию». Выберем функцию МАКС. Укажем мышкой столбец С. Нажмём «ОК».
Целая часть получившегося числа равна 425.
(Е. Джобс) Откройте файл электронной таблицы 9-j1.xls, содержащей показатели высот над уровнем моря географических точек. Найдите среднее значение всех отрицательных показателей и максимальное положительное значение. В качестве ответа укажите целую часть суммы найденных значений.
Эта задача уже не связана c математическими аспектами. Здесь просто достаточно воспользоваться встроенными функциями Excel.
Нужно найти среднее значение только отрицательных значений. Для нахождения среднего значения есть функция СРЗНАЧ. Но нам нужно именно отрицательных значений. Для нахождения среднего значения с условием есть функция СРЗНАЧЕСЛИ. Щёлкним по пустой ячейки и вы
Читайте также: Косинусы углов параллелограмма равны
В поле Диапазон мы должны указать все ячейки. Это можно легко сделать с помощью мышки.
В поле Условие укажем »
Среднее значение примерно равно -497,47.
Для определения максимального значения, можно просто воспользоваться просто функцией МАКС, т.к. всё равно максимальное число будет положительным.
Максимальное значение получается 1000.
Сумма равна: 1000 + (-497,47) = 502,53
Целая часть равна 502.
Решим ещё одну old school’ную задачу, которая также полезна при изучении 9 задания из ЕГЭ по информатике 2022.
Электронная таблица содержит результаты ежечасного измерения температуры воздуха на протяжении трёх месяцев. Определите, сколько раз за время измерений результат очередного измерения оказывался ниже результата предыдущего на 2 и более градусов.
Внизу под числами представим мысленно область, где будет наше решение.
Таким образом, каждой ячейке соответствует своя ячейка в области решения.
Если выполняется условие задачи (т.е. предыдущее значение больше, чем данное значение на 2 и более градусов), то в соответствующей ячейке из области решения будет стоять «1», в противном случае «0».
Первая ячейка в каждой строчке нуждается в особой формуле, т.к. эта ячейка должна сравниваться с последней ячейкой предыдущей строчки.
Для остальных ячеек формула будет одинаковая, т.к. их значение сравнивается с предыдущем значение, т.е. с левой ячейкой.
Для первой ячейке не будем писать формулу, т.к. ей не с кем сравниваться.
Пишем формулу для строчек в ячейке C94:
Здесь используем функцию ЕСЛИ, как мы делали в предыдущих задачах.
Распространяем эту формулу на всю строчку.
И распространяем на всё пространство (кроме первого столбца)
Важно: Всего должно быть 91 строчка, как и в оригинале.
Теперь составим формулу для первого столбца. Кликаем в ячейку B95. И пропишем формулу:
Распространим данную формулу на весь столбец (на 91 строчку).
Осталось подсчитать количество единиц во всём рабочем пространстве, например, с помощью стандартной функции СУММ.
Количество единиц равно 458.
Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы
Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).
Прямоугольный треугольник (понятие, определение):
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.
Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол .
Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.
Рис. 1. Прямоугольный треугольник
АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°
Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).
Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.
Читайте также: Описанная окружность как построить для равнобедренного треугольника
1. Равенство по двум катетам.
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам
2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу
3. Равенство по гипотенузе и острому углу.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
4. Равенство по гипотенузе и катету.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету
5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.
Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу
Свойства прямоугольного треугольника:
1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.
И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚
3. Теорема Пифагора:
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
c 2 = a 2 + b 2 ,
где a, b – катеты, c – гипотенуза.
4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.
,
где c – гипотенуза.
Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность
5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.
Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу
АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2
6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.
Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла
АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ
Формулы прямоугольного треугольника:
Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).
Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:
c 2 = a 2 + b 2 ,
a 2 = c 2 – b 2 ,
b 2 = c 2 – a 2 .
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность
Формула радиуса описанной окружности (R):
.
Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:
.
Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:
.
Khan Academy does not support this browser.
Чтобы пользоваться «Академией Хана», необходимо обновить ваш веб-браузер. Чтобы начать обновление, выберите один из предложенных ниже вариантов.
If you’re seeing this message, it means we’re having trouble loading external resources on our website.
Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.
Основное содержание
Тригонометрия
Course: Тригонометрия > Модуль 1
Урок 3: Нахождение стороны в прямоугольном треугольнике при помощи тригонометрических соотношений
Нахождение стороны прямоугольного треугольника при помощи тригонометрии.
Нахождение стороны прямоугольного треугольника при помощи тригонометрии.
Найдите сторону прямоугольного треугольника
© 2023 Khan Academy
Нахождение стороны прямоугольного треугольника при помощи тригонометрии.
Узнайте, как найти неизвестную сторону в прямоугольном треугольнике при помощи тригонометрических функций.
Мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями, чтобы найти неизвестные стороны прямоугольных треугольников.
Взглянем на пример.
Найдите A C
в данном △ A B C
Решение
Шаг 1. Определим, какое тригонометрическое отношение нужно использовать.
Посмотрим на угол B
, поскольку он явно явно указан на чертеже.
Обратите внимание, что нам дана длина гипотенузы гипотенузы
, а нас просят найти длину катета, противолежащего противолежащего
. Тригонометрическое отношение, в котором встречаются эти две стороны, — это синус.
Шаг 2. Составим уравнение, используя синус, и решим его, найдя неизвестную сторону.
противолежащий катет гипотенуза Определение синуса Подстановка значений Умножим обе части на Найдём значение с помощью калькулятора sin ( B ) = противолежащий катет гипотенуза Определение синуса. sin ( 50 ∘ ) = A C 6 Подстановка значений. 6 sin ( 50 ∘ ) = A C Умножим обе части на 6. 4 , 60 ≈ A C Найдём значение с помощью калькулятора.
Информатика 11 КЛАСС
Откройте файл электронной таблицы 9-96.xls , содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек чисел может являться сторонами треугольника, то есть удовлетворяет неравенству треугольника. В ответе запишите только число.
Откройте файл электронной таблицы 9-97.xls , содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек чисел могут быть пифагоровыми тройками, то есть являться сторонами прямоугольного треугольника.
Откройте файл электронной таблицы 9-97.xls , содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какие тройки чисел являются пифагоровыми тройками, то есть являться сторонами прямоугольного треугольника. В ответе запишите максимальную сумму двух катетов найденных прямоугольных треугольников.
Откройте файл электронной таблицы 9-130.xls , содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек могут перестановкой образовать арифметическую прогрессию с не нулевой разностью прогрессии.
9 задача ЕГЭ часть 1
Внимание! Все тесты в этом разделе разработаны пользователями сайта для собственного использования. Администрация сайта не проверяет возможные ошибки, которые могут встретиться в тестах.
Решите аккуратно и внимательно 9 задачу из ЕГЭ по информатике
Система оценки: 5* балльная
Список вопросов теста
Вопрос 1
Видеоразбор 9 задач из ЕГЭ по информатике по ссылке.
В ответе запишите «разобрался».
Вопрос 2
Откройте файл электронной таблицы 9-96.xls, содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек чисел может являться сторонами треугольника, то есть удовлетворяет неравенству треугольника. В ответе запишите только число.
Вопрос 3
Откройте файл электронной таблицы 9-97.xls, содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек чисел могут быть пифагоровыми тройками, то есть являться сторонами прямоугольного треугольника.
Вопрос 4
Откройте файл электронной таблицы 9-107.xls, содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек чисел могут являться величинами углов треугольника, выраженных в градусах. В ответе запишите только число.
Вопрос 5
Откройте файл электронной таблицы 9-107.xls, содержащей в каждой строке три натуральных числа. Выясните, какое количество троек чисел могут являться величинами углов равностороннего треугольника, выраженных в градусах. В ответе запишите только число.
Вопрос 6
Откройте файл электронной таблицы 9-127.xls, содержащей в каждой строке три натуральных числа, являющиеся коэффициентами (a,b,c) квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0. Коэффициенты a, b и с записаны соответственно в столбцах A, B и C электронной таблицы. Выясните, какое количество уравнений имеют два действительных корня.