Площади кругов относятся как квадраты их радиусов
ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ.
26. (262.) Лемма. При неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника сторона его может сделаться как угодно малой.
Пусть п есть число сторон правильного вписанного многоугольника и р — его периметр; тогда длина одной стороны этого многоугольника выразится дробью p /n. При неограниченном удвоении числа сторон многоугольника знаменатель этой дроби будет, очевидно, возрастать неограниченно, а числитель, т. е. р, хотя и будет возрастать, но не беспредельно (так как периметр всякого вписанного выпуклого многоугольника всегда остаётся меньшим периметра любого описанного многоугольника). Если же в какой-нибудь дроби знаменатель неограниченно возрастает, а числитель остаётся меньше некоторой постоянной величины, то дробь эта может сделаться как угодно малой. Значит, то же самое можно сказать о стороне правильного вписанного многоугольника: при неограниченном удвоении числа сторон она может сделаться как угодно малой.
27. (263.) Следствие. Пусть АВ (черт. 25) есть сторона правильного вписанного многоугольника, ОА — радиус и ОС — апофема. Из /\ ОАС находим:
Но при неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника сторона его, как мы сейчас доказали, может сделаться как угодно малой, значит, то же самое можно сказать и о разности АО — ОС. Таким образом, при неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника разность между радиусом и апофемой может сделаться как угодно малой. Это же можно высказать другими словами так: при неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника предел, к которому стремится апофема, есть радиус.
28. (264.) Площадь круга. Впишем в круг, радиус которого обозначим R, какой-нибудь правильный многоугольник. Пусть
площадь этого многоугольника будет q,
периметр » » » р,
апофема » » » а.
По формуле вычисления площади правильного многоугольника имеем:
Вообразим теперь, что число сторон этого многоугольника неограниченно удваивается. Тогда периметр р и апофема а (следовательно, и площадь q) будут увеличиваться, причём периметр будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности, апофема будет стремиться к пределу, равному радиусу R круга. Из этого следует, что площадь многоугольника, увеличиваясь при удвоении числа сторон, будет стремиться к пределу, равному 1 /2 С • R. Предел этот принимается за численную величину площади круга. Таким образом, обозначив площадь круга буквой К, можем написать:
т. е. площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус.
Так как С = 2πR, то
К = 1 /2 • 2πR • R = πR 2 ,
т. е. площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на отношение длины окружности к диаметру.
29. (265.) Следствие. Площади кругов относятся, как квадраты радиусов или диаметров.
Действительно, если K и K1 будут площади двух кругов, a R и R1 — их радиусы, то
30. (266.) Зада.ча 1. Вычислить площадь круга, длина окружности которого равна 2 м.
Для этого предварительно находим радиус R из равенства:
2πR = 2, откуда R = 1 /π = 0,3183. .
Затем определим площадь круга:
K = πR 2 = π( 1 /π ) 2 = 1 /π = 0,3183 . м 2 .
31. (267.) Задача 2. Построить квадрат, равновеликий данному кругу.
Эта задача, известная под названием квадратуры к р у г а, не может быть решена при помощи циркуля и линейки. Действительно, если обозначим буквой х сторону искомого квадрата, а буквой R радиус круга, то получим уравнение:
πR : х = х : R,
т. е. х есть средняя пропорциональная между полуокружностью и радиусом. Следовательно, если известен отрезок, длина которого равна длине полуокружности, то легко построить квадрат, равновеликий данному кругу, и, обратно, если известна сторона квадрата, равновеликого кругу, то можно построить отрезок, равный по длине полуокружности. Но с помощью циркуля и линейки нельзя построить отрезок, длина которого равнялась бы длине полуокружности; следовательно, нельзя в точности решить задачу о построении квадрата, равновеликого кругу. Приближённое решение можно выполнить, если предварительно найти приближённую длину полуокружности и затем построить среднюю пропорциональную между отрезком этой длины и радиусом.
32. (268.) Теорема. Площадь сектора равна произведению длины его дуги на половину радиуса.
Пусть дуга АВ (черт. 26) сектора АОВ содержит п°. Очевидно, что площадь сектора, дуга которого содержит 1°, составляет 1 /360 часть площади круга, т. е. она равна
. Следовательно, площадь S сектора, дуга которого содержит п°, равна:
Так как дробь — выражает длину дуги АВ (§ 23), то, обозначив её буквой s, получим:
33. (269.) Площадь сегмента. Для нахождения площади сегмента, ограниченного дугой s и хордой АВ, надо отдельно вычислить площадь сектора AOBsA и площадь треугольника АОВ. Затем из площади сектора AOBsA вычесть площадь треугольника АОВ, если дуга сегмента меньше 180°. Если же дуга сегмента больше 180°, то к площади сектора AOBsA надо прибавить площадь треугольника АОВ (черт. 26 и 27).
Площадь круга, сектора
Разделим окружность на возможно большее число равных частей, все полученные точки деления соединим с центром окружности, а соседние — друг с другом хордами.
Таким образом получим ряд равных равнобедренных треугольников (черт. 339).
Площадь каждого треугольника равна ah /2, где а — основание его, h — высота.
Обозначив через S’ сумму площадей всех полученных треугольников, получим формулу:
Сумма площадей всех треугольников (S’) весьма близка к площади круга (S), сумма оснований всех треугольников (an) весьма близка к длине окружности (C), а высота (h) каждого треугольника весьма близка к радиусу (r) круга.
Если пренебречь незначительными различиями в размерах, то получим формулу площади круга:
После преобразования получим \( S_ = \frac<2\pi r \cdot r> \), или Sкр = π r 2 ; а обозначив через D диаметр круга, получим:
$$ S_ = \frac<\pi D^2> $$
Примечание. В формуле \(S_ = \frac\) поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах доказывается, что равенство \(S_ = \frac\) не приближённое, а точное.
Впишем в круг, радиус которого обозначим R, какой-нибудь правильный многоугольник.
Пусть площадь этого многоугольника будет q, периметр — р, апофема — а.
По формуле вычисления площади правильного многоугольника имеем:
Вообразим теперь, что число сторон этого многоугольника неограниченно удваивается. Тогда периметр р и апофема а (следовательно, и площадь q) будут увеличиваться, причём периметр будет стремиться к пределу, принимаемому за длину C окружности, апофема будет стремиться к пределу, равному радиусу R круга. Из этого следует, что площадь многоугольника, увеличиваясь при удвоении числа сторон, будет стремиться к пределу, равному 1 /2С • R. Предел этот принимается за численную величину площади круга. Таким образом, обозначив площадь круга буквой К, можем написать:
т. е. площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус.
Так как С = 2πR, то
К = 1 /2• 2πR • R = πR 2 ,
т. е. площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на отношение длины окружности к диаметру.
Следствие. Площади кругов относятся, как квадраты радиусов или диаметров.
Действительно, если K и K1 будут площади двух кругов, a R и R1 — их радиусы, то
Площадь сектора
Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. На чертеже 340 сектор AOB заштрихован.
Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.
Получаем формулу:
$$ S = \frac<\pi r^2 n> $$ где S — площадь сектора.
§ 35. Площадь круга
Начертите несколько окружностей и измерьте их площадь палеткой. Во сколько» раз площадь каждого круга больше площади квадрата, сторона которого равна, радиусу? Если у вас есть роговые весы, то определите также отношение площадей названных фигур по весу, т. е. узнайте, сколько бумажных квадратов надо взять, чтобы уравновесить вырезанный из той же бумаги круг, радиус которого равен стороне квадрата.
Та часть плоскости, которая охватывается окружностью, называется к р у г о м (черт. 107). Площадь круга, т. е. величину этой части плоскости, крайне неудобно, а иногда и невозможно находить помощью палетки, разделения на полосы или посредством взвешивания. Гораздо более точный и всегда применимый способ определения площади круга состоит в ее в ы ч и с л е н и и по длине диаметра или радиуса. Установим правило вычисления.
Представим себе, что в круге проведено близко друг к другу множество радиусов.
Они разделяют круг на фигуры, которые можно принять за узкие треугольники. Короткая сторона каждого такого треугольника, строго говоря, есть не отрезок прямой, а дуга; но если радиусы проведены очень близко, то дуга эта мало отличается от отрезка прямой. Длину высоты каждого из наших треугольников можно считать равной радиусу (если короткая сторона – основание). Площадь одного такого треугольника равна произведению дуги на половину радиуса (почему?); а площадь всех этих треугольников вместе равна произведению всех дуг вместе на половину радиуса.[9] Но все треугольники вместе составляют площадь круга, а все дуги вместе составляют длину окружности. Значит,
п л о щ а д ь к р у г а р а в н а д л и н е о к р у ж н о с т и, у м н о ж е н н о й н а п о л о в и н у р а д и у с а.
Обозначив площадь круга через S, а длину, как раньше, через С, имеем
т. е. площадь круга равна, умноженному на квадрат радиуса.
На практике чаще приходится вычислять площадь круга не по радиусу, а по диаметру, который удобнее измерять, нежели радиус. Так как d= 2R, а R = d/2, то
Эти формулы нужно твердо помнить.
Повторительные вопросы
Как вычисляется площадь круга по радиусу? Как выразить эти соотношения формулами?
Применения
43. Найти площадь просвета трубы, диаметр которой равен 17 см.
Р е ш е н и е. Искомая площадь равна
44. Окружность древесного ствола 91 см. Найти площадь поперечного сечения.
Р е ш е н и е. Сначала находим диаметр окружности ствола; он равен 91: 3,14 = 29 см. Искомая площадь равна
45. Две кадки с квашеной капустой покрыты лежащими на капусте деревянными кругами с камнями. В первой кадке круг имеет в поперечнике 24 см и нагружен 10 кг; во второй поперечник круга равен 32 см, а груз – 16 кг. В какой кадке капуста находится под большим давлением?
Р е ш е н и е. Площадь круга в первой кадке равна 3,14 122= 450 кв. см; следовательно, на каждый кв. см. под ним приходится нагрузка 10: 450 = 22 г. Площадь круга во второй кадке 800 кв. см, и нагрузка составляет 16: 800 = 20 г. В первой кадке капуста сдавлена сильнее.
46. Чтобы горячий чай скорее охладился, его переливают в блюдце. Во сколько раз увеличивается при этом свободная поверхность жидкости? Диаметр стакана примите равным 7 см, блюдца – 16 см.
Р е ш е н и е. Площади кругов относятся как квадраты диаметров (почему)?. Следовательно, поверхность жидкости увеличивается в отношении 162: 72, т. е. в 5 раз.
Почему площади кругов относятся как квадраты их радиусов?
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры.
—->Площади кругов относятся как квадраты их радиусов
Поскольку радиус большего круга в 5 раза больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга в 25 раз больше площади меньшего. Следовательно, она равна 300. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 300 − 12 = 288.
(P.S) Мне в гугле выдало только Киселёва, но там ничего не понял, а в моём учебнике нету, давно было.
Лучший ответ
Существует квадрат со стороной 2R, в который вписывается круг радиусом R.
При этом круг всегда занимает конкретную долю площади квадрата, равную п/4.
Площадь квадрата равна произведению его сторон:
Sкв = 2R • 2R = 4R²
Площадь круга равна известной доле от площади квадрата:
Sкр = п/4 • Sкв = п/4 • 4R² = пR²
Итак, мы видим, что площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса.
Пусть у нас есть два круга с радиусами R1 и R2.
S1 / S2 = пR1² / пR2² = R1² / R2²
Площади кругов соотносятся как квадраты их радиусов, ч. т. д.