3. Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс
Чтобы считать значение тангенса угла поворота, через точку \((1;0)\) проводится касательная к единичной окружности.
Эта прямая называется осью тангенса.
Значения тангенса читаются с оси \(Oy\)
Чтобы считать значение котангенса угла поворота, через точку \((0;1)\) проводится касательная к единичной окружности.
Прямая называется осью котангенса.
Значения котангенса читаются с оси \(Ox\)
Чаще всего единичная окружность используется для определения знака тригонометрической функции, числовые значения находятся в таблицах или вычисляются с помощью калькулятора.
Знаки тангенса и котангенса в квадрантах определяются с использованием уже известных знаков синуса и косинуса и основных тригонометрических тождеств:
tg α = sin α cos α ; ctg α = cos α sin α .
Чтобы определить знак:
1. на единичной окружности отмечается данный угол поворота;
2. определяется знак синуса;
3. определяется знак косинуса;
4. определяется знак частного.
2. Числовая окружность, макеты числовой окружности
Если взять π ≈ 3,14 , то длина окружности \(l\) может быть выражена числом 2 π ≈ 2 ⋅ 3,14 = 6,28 .
В единичной окружности \(CA\) является горизонтальным диаметром, \(DB\) — вертикальным диаметром (см. рис.)
Дуга \(AB\) соответствует первой четверти, дуга \(BC\) — второй четверти, дуга \(CD\) — третьей четверти, дуга \(DA\) — четвёртой четверти, причём это открытые дуги, т. е. дуги без их концов.
Длина каждой четверти равна 1 4 ⋅ 2 π = π 2 .
Принято в обозначении дуги на первом месте писать букву, обозначающую начало дуги, а на втором месте писать букву, обозначающую конец дуги.
Числовую окружность удобно разбивать на \(8\) или \(12\) одинаковых частей.
Первый случай
Разобьём каждую четверть числовой окружности пополам, получим \(8\) точек, возле каждой напишем соответствующее число:
Второй случай
Разделим каждую четверть на три равные части, вся числовая окружность будет поделена на \(12\) равных частей. Каждую полученную точку подпишем соответствующим числом промежутка 0 ; 2 π (первый обход числовой окружности в положительном направлении).
Верно следующее утверждение:
если точка \(M\) числовой окружности соответствует числу \(t\), то она соответствует и числу вида t + 2 π k , k ∈ ℤ .
Таким образом,
единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называется числовой окружностью .
Тригонометрические формулы приведения 
Назад Вперёд
Загрузить презентацию (797 кБ)
Тип урока: дифференцированный, проблемный.
Цель урока: Совершенствование навыков взаимодействия на уроке в группах, решая проблемные задачи. Развитие способности самооценки учащихся. Организация совместной учебной деятельности, дающая возможность формулировать и решать проблемные задачи.
- повторить числовые значения точек числовой окружности, которые получены делением каждой четверти на 2 и 3 равные части; закрепить умения нахождения значения синуса и косинуса числовых значений числовой окружности и определения их знака; познакомить учащихся с углами вида , где ; разработать алгоритм вывода формул приведения для функции синус и косинус; закрепить умение применения тригонометрических формул приведения в различных заданиях.
Развивающая: Научить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение. Уметь распознавать и решать проблемные задачи. Проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
Воспитательная: Повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
| Этапы урока | Время | Методы и приемы |
| 1. Организационное введение. Постановка учебной задачи. | 2 | Запись темы урока. |
1. Организационное введение. Постановка учебной задачи. (2 мин)
- I группа “А” Лидер учащийся А
- II группа “В” Лидер учащийся В
- III группа “С” Лидер учащийся С
- IV группа “D” Лидер учащийся D
Каждая группа учащихся получает форму схемы-конспекта (см. Приложение 2) и лист учета активности в группе (см. Приложение 1).
Учитель: Рассмотрите внимательно форму схемы-конспекта и лист учета активности в группе. Запишите фамилию и имя каждого ученика группы
- повторим числовые значения точек числовой окружности, которые получены делением каждой четверти на 2 и 3 равные части;
- закрепимумения нахождения значения синуса и косинуса числовых значений числовой окружности и определения их знака;
- познакомимся с углами вида , где ;
- разработаем алгоритм вывода формул приведения для функции синус и косинус;
- закрепим умение применения тригонометрических формул приведения в различных заданиях.
2. Повторение (3+3 мин)
Повторение значений чисел числовой окружности проводится с помощью слайдов (см. Презентация.ppt).
Учитель: “Назовите число, которое соответствует точке выделенной на окружности” (задание той группе, чей номер совпадает с номером четверти, в которой выделяется точка).
Затем, показываются симметричные точки относительно оси OX , оси OY и центра системы координат, для которых учитель просит назвать число тем группам, чьи номера совпадают с номером четверти.
На слайде появляются точки по следующим схемам:
I — (III, IV, II) III — (II, I, IV) II — (I, III, IV)
(раскрывается 3 лист слайда постепенно шаг за шагом):
Учитель: (задание той группе, чей номер совпадает с номером четверти, в которой находится угол синуса или косинуса) “Назовите значение синуса (косинуса) числа”.
На слайде появляются точки по следующей схеме:
(раскрывается 4 лист слайда постепенно шаг за шагом):
Учитель: В “Лист учета активности в группе” лидер каждой группы выставляет баллы.
2. Работа в группах (5 мин)
Учитель: На слайде изображены две схемы, используя эти схемы, запишите тригонометрические тождества, продолжив равенство одной из функций или .
(раскрывается 5 лист слайда постепенно шаг за шагом):
Учитель: Ответьте на вопросы:
Зависит ли от аргумента название функции в двух частях равенства?
Как проявляется эта зависимость?
Объясните появление или отсутствие знака перед функцией в тождествах.
Можно ли ваши рассуждения применить на выражениях вида , где и , где ?
Учитель: Каждая группа у доски приводит доводы своим рассуждениям, отвечая на вопросы учителя.
Учитель: В “Лист учета активности в группе” лидер каждой группы выставляет баллы.
4. Групповой зачет по проблемной теме (3+3+3 мин)
Учитель: Заполните схему-конспект по теме “Тригонометрические формулы приведения”
Учитель: Каждая группа у доски приводит доводы своим рассуждениям, дополняя ответы учащихся из других групп.
Формулы приведения (10 мин)
Учитель: У доски выходят решать задание, учащиеся
той группы, чей номер совпадает с номером четверти аргумента тригонометрической функции. Каждое решение будет проверяться демонстрацией слайдов.
Задания учитель выписывает на доске в следующем порядке: , , , , , , , , , , , .
(раскрываются 6-17 листы слайдов постепенно шаг за шагом):
Учитель: В “Лист учета активности в группе” лидер каждой группы выставляет баллы.
6. Тренинг по применению формул приведения (10 мин)
Учитель: Решите два задания на применение формул приведения, обсуждая решение внутри каждой группы:
Учитель: Задание получает каждый учащийся группы, решение будет проверено лидерами групп. Не выводя формулы приведения для тангенса и котангенса, решите задания, предложенные в тренинге:
A) cosctg B) —cos ctg C) —cos tg
Учитель: В “Лист учета активности в группе” лидер каждой группы выставляет баллы.
7. Подведение итогов (2 мин)
- повторили числовые значения точек числовой окружности, которые получены делением каждой четверти на 2 и 3 равные части;
- повторили нахождения значения синуса и косинуса числовых значений числовой окружности и определения их знака;
- познакомились с выражением вида , где ;
- разработали алгоритм вывода формул приведения для функции синус и косинус;
- вывели формулы приведения для синуса и косинуса;
- упрощали выражения, применения тригонометрические формулы приведения.
8. Домашняя работа (1 мин): Выведите формулы приведения для тангенса и котангенса, содержащих выражения под знаком тригонометрической функции.
Алгебра. Практикум. 10 класс
Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.
На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.
Обобщим полученные знания утверждением:
Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:
- Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f’(x) < 0, а при x >x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
- Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f ’(x)>0, а при x> x0 выполняется f’(x)
- Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет .
Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:
Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:
- Найти производную y’.
- Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
- Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
- По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.
Пример нахождения точки экстремумов:
Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x 3
Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y’= 12 — 3x 2 ,
б) y’= 0, при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.
Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.