Как определить модуль равнодействующей силы

2. Равнодействующая сил

На тело достаточно редко действует только одна сила. Как правило, действует сразу несколько сил. Для простоты решения задачи используют понятие равнодействующей сил .

Что же это такое? Это одна сила, которая производит такое же действие на тело, как и другие вместе взятые силы.

Рассмотрим демонстрацию:
Рис. $1$. Динамометры с грузами
К динамометру подвесим два груза, вес которых соответственно равен $1$ Н и $3$ Н.

Измерим длину пружины при подвешивании этих двух грузов. Заменим два груза на один, вес которого $4$ Н. Измерив длину пружины, убеждаемся в том, что она такая же, как и в первом случае.

Из опыта можно сделать вывод:
1. если силы направлены в одну сторону, то равнодействующая этих сил направлена в ту же сторону;
2. модуль равнодействующей силы равен сумме модулей составляющих ее сил.
Рис. $2$. Изображение сил, действующих на тело
R = F 1 + F 2 , где $R$ — равнодействующая сил.

Если на тело действуют силы по одной прямой, но направленные в противоположные стороны, то равнодействующая этих сил направлена в сторону большей по модулю силы, а её модуль равен разности модулей составляющих сил.

Рис. $3$. Изображение сил, действующих на тело
R = F 2 − F 1 , где $R$ — равнодействующая сил.

Равенство нулю равнодействующей сил, которые действуют на тело, обеспечивает его прямолинейное и равномерное движение или состояние покоя.

Рис. 1. Динамометры с грузами. © ЯКласс.
Рис. 2. Изображение сил, действующих на тело. © ЯКласс.
Рис. 3. Изображение сил, действующих на тело. © ЯКласс.

Модуль равнодействующей силы

В большом числе случаев на тело действует не одно, а несколько других тел, при этом говорят, что на тело действует несколько сил. Так при перемещении автобуса по дороге на него действуют: сила тяжести ( ), сила реакции полотна дороги ( ), сила трения колес о дорогу ( ), сила сопротивления воздуха ( ).

В том случае, если на тело оказывают воздействие несколько сил ( ) в один и тот же момент времени, то ускорение ( ) этого тела будет прямо пропорционально векторной сумме этих сил:

$\overline{a}=\frac{{\overline{F}}_1+\ {\overline{F}}_2+{\overline{F}}_3+\dots}{m} \qquad (1)$

m – масса, рассматриваемого тела. Находя векторную сумму сил, действующих на тело, мы находим равнодействующую этих сил, и заменяем несколько сил, одной.

Определение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

И так, сила, производящая на тело действие аналогичное, действию нескольких сил, называется равнодействующей силой.

Следует заметить, что действие каждой силы не зависит от того, есть ли другие силы или их нет.

Вычисление модуля равнодействующей силы

Пусть на тело действуют три силы, которые направлены по одной прямой (рис.1). Из рисунка видно, что они направлены в одну сторону.

Модуль равнодействующей силы, рисунок 1

Равнодействующая сил ( ), приложенных к телу, будет равна:

$\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+{\overline{F}}_3 \qquad (2)$

Для нахождения модуля равнодействующей сил выберем ось, обозначим ее X, направим по направлению действия сил. Тогда проектируя выражение (2) на ось X мы получим, что величина (модуль) равнодействующей (F) равен:

$F=F_1+F_2+F_3 \qquad (3)$

где – модули соответствующих сил.

Пусть на тело действуют две силы и , которые направлены под прямым углом друг по отношению к другу (рис.2).

Модуль равнодействующей силы, рисунок 2

Равнодействующая этих двух сил, приложенных к телу, будет равна:

$\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2 \qquad (4)$

Так как силы и направлены под углом друг к другу, то следует выбрать две оси координат. Мы выберем декартову систему координат, двух осей будет достаточно, оси X и Y перпендикулярны друг другу. В проекциях на эти оси выражения (4) имеем:

$X:\ F_x=F_2 \qquad (5)$

$Y:\ F_y=F_1 \qquad (6)$

Для нахождения модуля равнодействующей силы воспользуемся теоремой Пифагора:

$F=\sqrt{F^2_x+F^2_y}=\sqrt{F^2_2+F^2_1}$

Пусть на тело действуют две силы и , которые направлены под некоторым углом друг к другу (рис.3). Равнодействующая этих сил находится по правилу параллелограмма. Модуль равнодействующей будет равен длине диагонали этого параллелограмма.

Модуль равнодействующей силы, рисунок 3

Можно сразу вспомнить формулу для вычисления длины диагонали параллелограмма, а можно действовать по предложенной выше схеме. Записать, что:

$\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2 \qquad (7)$

Выбрать оси X и Y (см. рис.3). Спроектировать на выбранные оси уравнение (7):

$X:\ F_x=F_1+F_2{\cos \alpha} \qquad (8)$

$Y:\ F_y=F_2{\sin \alpha} \qquad (6)$

По теореме Пифагора:

$F=\sqrt{F^2_x+F^2_y}=\sqrt{{F_2}^2\ +F^2_1+2F_1F_2{\cos \alpha}}$

Примеры решения задач

Задание	Чему равна равнодействующая сил, действующая на автобус, если он имеет массу 1000 кг, трогается с места и равноускоренно увеличивает скорость до 20 за 10 с?
Решение	Основой для решения задачи является второй закон Ньютона:

Так как все действие можно считать происходящим вдоль одной прямой, то в проекции на эту прямую выражения (1.1) имеем:

По условию задачи автобус увеличивает скорость с постоянным ускорением, следовательно:

$a=\frac{v-v_0}{t}=\frac{v}{t} \qquad (1.3)$

где , начальная скорость автобуса (по условию автобус трогается с места). Подставим выражение для ускорения в формулу (1.2), получим, что величина равнодействующей силы равен:

$F=1000\cdot \frac{20}{10}=2000\ \left(N\right)$

Модуль равнодействующей силы, пример 1

$F_{12}=\sqrt{F^2_1+F^2_2} \qquad (2.1)$

Сила , исходя из рисунка, направлена вдоль той же прямой, что и вектор силы , но в противоположную сторону, значит модуль равнодействующей всех сил приложенных к телу С равен:

$F=\sqrt{F^2_1+F^2_2}-F_3 \qquad (2.2)$

По условию задачи тело находится в покое, значит равнодействующая F=0. Используя (2.2) выразим модуль силы :

Как найти равнодействующую?

Когда говорят о равнодействующей, то имеют в виду силу, которая равна действию двух или более сил, одновременно приложенных к телу.

Когда на тело действует несколько сил, то их совместный эффект может быть различным, он зависит как от направления разных сил, так и от их числовых значений. В любом случае всегда можно найти одну равнодействующую им силу.

Например, на батут положили кирпич. На кирпич действуют две силы — сила тяжести и сила упругости батута. В момент, когда кирпич только положили, сила тяжести была больше, чем сила упругости, и кирпич двигался вниз. Как только силы сравнялись, кирпич остановился.

Если бы кирпич не клали на батут, а бросили со всей силы сверху, то он бы двигался вниз не только под действием силы тяжести, но и переданной ему силы броска. Под действием этих двух сил батут бы прогнулся сильнее, так как сила упругости, которая уравновесит эти силы, должна быть больше.

Когда равновесие сил будет достигнуто, и движение остановится, то равновесие снова нарушится, так как на кирпич уже не будет действовать сила броска, а только силы тяжести и упругости. Но ведь сила упругости была достигнута не только за счет веса кирпича, но за счет силы броска. Поэтому сила упругости будет больше силы тяжести, и кирпич подпрыгнет, то есть начнет двигаться вверх.

В самых простых случаях рассматривают равнодействующую сил, направленных либо в одну сторону, либо противоположно.

Если две силы, действующие на тело, направлены в одну сторону, то равнодействующая им будет равна их сумме: F₁ + F₂. Например, если тело толкают в одну сторону две силы в 10 Н и 20 Н, то равнодействующая сила этим двум будет равна 30 Н.

Если две силы, действующие на тело, направлены в противоположные стороны, то равнодействующая им равна модулю разности между силами и направлена в сторону большей: |F₁ – F₂|. Например, если одна сила в 10 Н толкает тело влево, а другая сила в 15 Н — вправо, то тело будет двигаться вправо под действием силы в 5 Н (|10 – 15| = 5).

Когда силы направлены противоположно, но равны по численному значению, то равнодействующая им будет равна нулю. Это значит, что равнодействующая сила не оказывает никакого влияния на тело. Если тело находилось в покое, оно в нем и останется. Если тело двигалось прямолинейно и равномерно, оно так и продолжит двигаться. Таким образом, хотя две новые силы подействовали на тело, они «взаимно уничтожились».

Допустим, на тело действуют три силы, две из которых направлены в одну сторону, а третья в другую. В этом случае сначала надо найти равнодействующую двух сил, направленных в одну сторону, сложив их. Потом сравнить ее с третьей силой, чтобы определить в какую сторону будет направлена равнодействующая трех сил. И найти модуль разности между суммой первых двух и третьей: |F₁ + F₂ – F₃|.

Формула модуля равнодействующей силы

Сила является вектором, то есть обладает как модулем (величиной) так и направлением. Однако чаще всего приходится иметь дело с телами, на которые действуют не одна, а несколько сил. Тогда рассматривают сумму всех сил, оказывающих действие на тело, такую сумму сил называют равнодействующей силой ( ):

$\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+\dots +{\overline{F}}_N \qquad(1)$

Равнодействующая сила – это гипотетический (искусственный) параметр, который вводят для того, чтобы удобнее было производить расчеты. Следует учитывать, что равнодействующая сила (как и любая сила) – это векторная величина, имеющая модуль и направление.

Модуль равнодействующей двух сил

Допустим, тело находится под воздействием двух сил. Они направлены по одной прямой (рис.1).

Если силы имеют одинаковые направления (рис.1 (а)), то модуль равнодействующей вычисляется как:

$F=F_1+F_2 \qquad(2)$

На рис 1(б) силы направлены по одной прямой, но имеют противоположные направления. Формулой для вычисления модуля равнодействующей в таком случае будет выражение:

$F=F_1-F_2 \qquad(2)$

Рассмотрим случаи, когда две силы, действующие на тело, направлены под углом друг другу (рис.2).

В случае, который представлен на рис.2 (а) силы и направлены под углом 900 по отношению друг к другу. Модуль равнодействующей силы можно найти по теореме Пифагора:

$F=\sqrt{F^2_1+F^2_2} \qquad(3)$

Если угол между векторами сил и отличен от прямого угла, то модуль равнодействующей силы находят по теореме косинусов:

$F=\sqrt{F^2_1+F^2_2-2F_1F_2{\cos \alpha } } \qquad(4)$

где – угол между векторами и

Модуль равнодействующей нескольких сил

Пусть на тело действуют силы: , тогда равнодействующая этих сил ( ) находится в соответствии с формулой (1). Для того чтобы вычислить модуль равнодействующей нескольких сил приложенных к телу выполняют следующую последовательность действий:

Вводят декартову систему координат, выбирают направления осей (X,Y).
Записывают проекции сил, действующих на тело на избранные оси: $\left\{ \begin{array}{c} X:\ F_{1x},F_{2x},\dots ,\ F_{Nx}; \\ Y:\ F_{1y},F_{2y},\dots ,\ F_{Ny} \end{array} \right. \qquad(5)$
Вычисляют проекции равнодействующей силы на оси X и Y, при этом складывают проекции сил по осям. Необходимо отметить, что суммирование проводят алгебраическое, то есть учитывают знаки проекций: $\left\{ \begin{array}{c} X:\ F_x=F_{1x}+F_{2x}+\dots ,+\ F_{Nx}; \\ Y:\ F_y=F_{1y}+F_{2y}+\dots ,\ {+F}_{Ny} \end{array} \right. \qquad(6)$
И в заключении модуль равнодействующей силы находят, применяя теорему Пифагора: $F=\sqrt{F^2_x+F^2_y} \qquad(7)$

Примеры решения задач по теме «Модуль равнодействующей силы»

Задание	Чему равен модуль подъемной силы ( ), действующей на однородное тело массы m плотностью , находящееся в жидкости, плотность которой равна
Решение	Подъемной силой называют равнодействующую силу, получающуюся, при действии на тело силы тяжести ( ) и силы Архимеда ( )(рис.3).

${\overline{F}}_p={\overline{F}}_A{+m}\overline{g}{} \left({1.1}\right).$

Силы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. За положительное направление примем направление силы Архимеда ( ) (рис.3), тогда модуль подъемной силы равен:

$F_p=F_A-mg\ \qquad(1.2)$

Величину силы Архимеда найдем как:

$F_A={\rho }_{sh}Vg={\rho }_{sh}g\frac{m}{\rho }\ \qquad(1.3)$

где . Получаем, что модуль подъемной силы равен:

$F_p=mg\frac{{\rho }_{sh}}{\rho }\ -mg=mg\left(\frac{{\rho }_{sh}}{\rho }-1\right)$

Задание

Каким будет модуль силы взаимодействия тела с горизонтальной поверхностью ( ), если тело равномерно перемещается по этой поверхности при воздействии силы F направленной под углом к горизонту? Коэффициент трения тела о поверхность равен .

Решение

Сделаем рисунок.