Как найти матрицу в базисе

6.4.2. Матрица линейного преобразования в различных базисах

Как мы выяснили ранее, матрица линейного преобразования порождается базисными векторами. Но базисов существует очень много! (в том или ином векторном пространстве). И из этого следует, что одно и то же линейное преобразование в разных базисах в общем случае имеет разные матрицы.

Так, мы рассмотрели матрицу перекоса плоскости в направлении вектора в декартовой системе . Но на плоскости можно задать несчётное множество аффинных («косоугольных») систем , где – произвольные неколлинеарные векторы. И тот же самый перекос запишется совершенно другой матрицей – в зависимости от того, какие векторы мы выбрали в качестве базиса.

Следующие задачи посвящены вопросам взаимосвязи матриц одного и того же линейного преобразования в разных базисах, после чего я приведу общие формулы:

Пример 135

Линейный оператор задан матрицей в базисе . Найти матрицу этого преобразования в базисе , если

Решение: в условии опять ничего не сказано о природе векторов, но зато бросается в глаза линейное преобразование. Коль скоро речь идёт о некоем базисе , то любой вектор двумерного пространства раскладывается по этому базису , и линейный оператор – удваивает его вторую координату.

Для наглядности снова предположим, что это геометрические векторы и базис. Тогда предложенное линейное преобразование вытягивает все ненулевые объекты плоскости в направлении координатного вектора в 2 раза, и наша задача состоит в том, чтобы записать матрицу этого же преобразования в новом базисе .

Для решения данного вопроса существует специальная формула:

, где – матрица перехода от базиса к базису .

Составляется она просто: берём вектор и «укладываем» коэффициенты его разложения в 1-й столбец (!) матрицы: . Затем рассматриваем вектор и заносим коэффициенты его разложения во 2-й столбец:

Внимание! Базисные векторы, в данном случае , следует «перебирать» строго по порядку!

Остальное дело техники.

и, наконец, матрицу рассматриваемого линейного преобразования в новом базисе:

Пользуясь ассоциативностью матричного умножения, сначала можно найти , а затем , но, в общем-то, это уже несущественные детали.

Ответ:

Ещё раз повторим смысл задания: само линейное преобразование не поменялось – оно по-прежнему растягивает ненулевые объекты плоскости вдоль «старого» вектора в 2 раза и не деформирует их в направлении вектора , но в новом базисе матрица данного преобразования уже другая. И вы видите её в ответе.

Очевидно, что найденная матрица задаёт обратное преобразование, т. е. выражает старые базисные векторы через новые. Аккуратно «транспонируем» столбцы матрицы в коэффициенты соответствующей системы: .

Таким образом, при желании всегда можно вернуться к матрице преобразования в старом базисе: (выполнив, кстати, проверку). Эта формула следует из простых логических соображений, но её можно вывести и формально – разрешив матричное уравнение относительно .

Какой базис удобнее? Ну конечно, , где матрица преобразования имеет вид , и сразу виднА характерная особенность этого преобразования. Следует заметить, что на практике как раз и стараются отыскать такой особый базис, чем мы займёмся в ближайшем будущем. Пока же всё вышло наоборот 🙂

Трехмерный случай для самостоятельного решения:

Пример 136

Найти матрицу линейного преобразования в базисе , где , , , если она задана в базисе :

Не помешает проверка по формуле , где – найденная матрица, благо, Матричный калькулятор приложен к Книге.

Теперь обещанный общий случай и крайне интересные факты из теории: пусть невырожденное линейное преобразование задано матрицами и в произвольных базисах и n-мерного линейного пространства. Тогда эти матрицы связаны отношением , где – матрица перехода к базису , составленная из координат векторов .

Матрицы и , представимые в виде называют подобными. И у таких матриц есть несколько инвариантов. В курсе геометрии сиё понятие уже встречалось: инвариант – это величина, которая не меняется в результате преобразования.

Так, определители подобных матриц равны: . И в самом деле, рассмотрим матрицы , из Примера 135 и вычислим их определители:
, ч. т. п.

Другой инвариант – след матрицы: (англ. trace – след). Напоминаю, что это сумма элементов главной диагонали: и .

Данные факты можно использовать для «быстрой» проверки решения, в частности, Примера 136. Хотя, это, конечно, не железобетон.

Любой паре подобных матриц соответствует определённое линейное преобразование, и скоро мы узнАем его другие, более важные инварианты.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Матрица линейного оператора. преобразование подобия. собственные значения и собственные векторы линейного оператора. диагонализация матриц

Задание 1. Линейный оператор преобразует векторы , , в векторы , , . Найти матрицу линейного оператора.

Связаны между собой соотношением , откуда .

Так как , то , а искомая матрица линейного оператора .

Задание 2. Пусть линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если матрица является матрицей перехода от базиса к базису .

Решение. Матрицы и линейного оператора , заданного в разных базисах, связаны между собой соотношением . Так как , то

Задание 3. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .

Решение. Связь между матрицами и линейного оператора в разных базисах определяется формулой , где – матрица перехода от базиса к базису .

Составим матрицу : , тогда и, следовательно,

Задание 4. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .

Решение. Матрицы и связаны между собой соотношением , где – матрица перехода от базиса к базису .

Составим матрицу : , тогда и, следовательно,

Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей .

Решение. Для нахождения собственных значений линейного оператора составим характеристическое уравнение , т. е. . Раскрывая определитель, получим , т. е. , .

По определению называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному значению , если .

Найдём собственные векторы и , соответствующие собственным значениям и .

При получим: , что равносильно такой однородной системе уравнений:

Если – базисная переменная, а – свободная, то .

При : , что равносильно однородной системе уравнений

Пусть – базисная переменная, – свободная. Примем , тогда , а следовательно, .

Так как собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, то они должны быть линейно независимы. Проверим линейную независимость полученных собственных векторов и .

Составим матрицу . Так как , то собственные векторы и линейно независимы.

Ответ: собственные числа , ; собственные векторы , .

Задание 6. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.

Решение. Матрица линейного оператора будет диагональной в базисе из собственных векторов, если такой базис существует. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Запишем характеристическое уравнение: , т. е. или , откуда получаем , .

Найдём собственные векторы И .

При получим: , что соответствует следующей однородной системе уравнений:

Пусть – базисная переменная, – свободная. Полагая , получим .

При : . Соответствующая однородная система уравнений имеет вид:

Откуда . Пусть – базисная переменная, – свободная, примем тогда , а, следовательно, .

Собственные векторы и отвечают различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, т. е. могут составить базис. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов и имеет диагональный вид: .

Можно проверить полученный результат. Так как , где матрица в случае перехода к базису из собственных векторов и имеет вид , следовательно,

Задание 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Построить, если это возможно, базис из собственных векторов и найти матрицу этого линейного оператора в базисе из собственных векторов.

Решение. Запишем характеристическое уравнение:

Найдём собственные векторы линейного оператора.

При : , тогда соответствующая однородная система уравнений примет вид:

Что равносильно такой системе:

Пусть и – базисные переменные, – свободная. Полагая , получим .

При : , или, переходя к однородной системе уравнений, получим

Пусть и – базисные переменные, – свободная. Если , то .

При получим: , и однородная система уравнений примет вид:

Пусть и – базисные переменные, – свободная. Тогда если , то . Найденные собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, значит, существует базис из собственных векторов. Матрица перехода к такому базису , тогда

Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет вид: .

Можно сделать проверку полученных результатов:

Ответ: , , ; , , ; матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов .

Главная
Заказать работу
Стоимость решения
Варианты оплаты
Ответы на вопросы (FAQ)
Отзывы о нас
Примеры решения задач
Методички по математике
Помощь по всем предметам
Заработок для студентов

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Матрица в другом базисе

Матрица в другом базисе
06.06.2012, 17:17

Последний раз редактировалось Deggial 19.12.2012, 17:03, всего редактировалось 1 раз.

формулы поправил

Линейный оператор в базисе $e_1, e_2, e_3$ задается матрицей
$\begin2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end$
Найти его матрицу в новом базисе $a_1, a_2, a_3$ если изветсно разложение векторов $a_1=e_1+e_2+e_3, a_2 = e_1+2e_2-2e_3, a_3 = e_1-e_3$

$a_1=(2, 3, 1)+(1, 2, 1) + (-1, -1, 2)$

Я правильно понял, что для того что бы найти матрицу перехода надо сложить по этим формулам базисы.
т.е.

и т.д.?

Re: Матрица в другом базисе
06.06.2012, 18:54

$$\begin Нет-нет-нет. Матрица перехода здесь 1&1&1\\1&2&0\\1&-2&-1\end$» /> К Вам вопрос: и как я это получил? Re: Матрица в другом базисе 06.06.2012, 21:05 Последний раз редактировалось AlR 06.06.2012, 21:18, всего редактировалось 1 раз. Я подумал что по разложению векторов найти новые вектора из них собрать матрицу потом привести к виду A|B и а сделать диагональной. В Б будет матрица перехода. Значит я не прав. 🙁 Дошло до дурака. Спасибо. Re: Матрица в другом базисе 06.06.2012, 21:20 Э, теорию-то учить надо. Если линейный оператор <img decoding=$ имеет в базисе $e$ матрицу $A_e$ , а в базисе $u$ — матрицу $A_u$ , то они связаны следующим образом: $A_e=P_A_u P_\quad (*),$ где $P_$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $u$ . В самом деле, если вектор $\mathbf x$ имеет в базисах $e$ и $u$ координаты соответственно $x_e$ и $x_u$ , то $(\mathcal A\mathbf x)_e=P_(\mathcal A \mathbf x)_u = P_(A_u x_u) = (P_ A_u P_)x_e.$ Но с другой стороны, $(\mathcal A\mathbf x)_e=A_e x_e$ , поэтому и верно написанное выше равенство $(*)$ .

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 4 ]

Дан оператор, найти его матрицу в базисе

Помогите найти матрицу в базисе, особенно в пункте б.

Лучший ответ

Задание а) уже было для вас сделано (Ответ Следственный эксперимент)
Знак × это векторное произведение
б)
1-я строка матрицы: e1×(i-j+k)
2-я строка матрицы: e2×(i-j+k)
3-я строка матрицы: e3×(i-j+k)
Например,
1-я строка (0; 1; 1)

Тролль lvl exp(2πi)Профи (801) 2 года назад

Вы так найдете матрицу оператора в паре разных базисов, что обычно делают, когда оператор действует из одного линейного пространства в другое.
Ни разу не видел, чтобы матрицу заведомо эндоморфизма записывали в паре разных базисов, это же только путает читателя.

Alexander Alenitsyn Высший разум (758440) Тролль lvl exp(2πi), Ну, такое было задание.
Остальные ответы

Александр так найдет координаты векторов Ae1, Ae2, Ae3 в базисе ijk, а надо в базисе e1, e2, e3.

При смене базиса матрица линейного оператора-эндоморфизма изменяется по правилу C^-1BC, где B — матрица оператора в старом базисе, C — матрица перехода от старого базиса к новому базису.

Умножение ответа Александра слева на C^-1 превращает его в правильный ответ.