Найдите все значения а при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума

Задания типа С5

8. Найти все значения а, при каждом из которых
уравнение 1=|x – 3| — |2x + a| имеет единственное
решение.
у
Решение:
Перепишем
уравнение:
|2x + a| = |x – 3| — 1.
Построим графики
функций:
у = |x – 3| — 1 и
у = |2x + a|.
0
2
4
х

3.

Очевидно, что данное уравнение будет иметь
единственное решение, если вершина движущегося
«уголка» попадет в точку с координатами (2; 0) или
(4; 0). Следовательно, координаты этих точек
удовлетворяют уравнению у = |2x + a|. Значит,
0 = |4 + a|
а=-4
или
0 = |8 + a|
а = — 8.
Ответ: — 8 или – 4.

4.

2
ПАМЯТКА
x, если х ≥ 0
Пользоваться определением модуля |x| = – x, если х ˂ 0
А так же |x| < а → -а < x < а |x|>а → x < -а и х >а
Знать и строить: уравнение, линию, алгоритм построения:
надо иметь, хотя бы, 2 точки
y = kx + b – линейная, прямая
*направление ветвей
y = аx² + bх + с – квадратная, парабола
*пересечение с ОХ
*х₀ = -b/2a – абсцисса вершины – ось симметрии
*выделять полный квадрат
x² + y² = R² – окружность,
Центр (0;0), R — радиус
(x-а)² + (y-b)² = R² – окружность, Центр (a; b), R — радиус
k>0
y = — гипербола
y = f(x)
график
y = |f(x)|
график
линии выше ОХ
оставляем
точки оси ОХ
линии ниже ОХ симметрично
в верхнюю полуплоскость

5.

Преобразования графика
3
y = Ikf(mx + c) + bI
y = Ikf(m (x + a)) + bI
1. y
= f(х)
Как построить график …
исходная
по точкам
m = ¹∕₃
2. y
= f(mх)
растянуть в 3 раза
вдоль оси ОХ
a = -2
сдвинуть на 2 вправо
3. y
= f(m(х + a)
4. y
= kf(m(х + a))
5. y
= kf(m(х + a)) + b
6. y
а, если
а, если
— —
k=2
растянуть в 2 раза
вдоль оси ОY
b = -2
сдвинуть на 2
вниз
= kf(m( IхI + a)) + b
a=2?
—
m = -2 ?
❹
❸
❷
—❺— — — а, если k = -¹∕₂ ?
сжать и (-)
влево
сжать и (-) а, если
? вверх
b = ¹∕₂ ?
Линия при Х ≥ 0 и
симметричная ей
при Х ≤ 0
относительно оси ОУ

6.

9 Найдите все значения параметра а, при
которых уравнение 2 х а х 3 1имеет
единственное решение.
у
4
А
В
2
-4
-2
0
х
РЕШЕНИЕ.
Правая часть этого уравнения задает неподвижный
«уголок», левая – «уголок», вершина которого
двигается по оси абсцисс.

7.

Очевидно, что данное уравнение будет иметь
единственное решение, если вершина движущегося
«уголка» попадет в точку А, или точку В. Имеем,
х 3 1 0 х 4, х 2,
тогда А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек
удовлетворяют уравнению у 2х а .
у
8 а 0
а 8
.
а 4
4 а 0
Ответ:
а 8, а 4
А
-4
В 2
-2
0
х

8. Задача 2. Найдите все значения a, при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума.

Задача 2. Найдите все значения a, при каждом из которых функция
имеет более двух точек
f x x 2 2 x a 2 8x
экстремума.
Решение.
1. Функция f имеет вид:
а) при
, поэтому ее график есть часть параболы
с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=5;
б) при
, поэтому ее график есть часть параболы с
ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=3.
Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках:

9. Задача 2. Найдите все значения a, при каждом из которых функция

f ( x) x 2 2 x a 2 8 x
имеет более двух точек экстремума.
5
2) График обеих квадратичных функций проходят через точку (a2;f(a2)) .
3) Функция y=f(x)имеет более двух точек экстремума, а именно – три, в
единственном случае (рис. 1):
2
3 a 5 3 a 5.
5 a 3;
Ответ:
3 a 5.

10. С5.Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

7
С5.Найдите все положительные значения a,
при каждом из которых система уравнений
2
2
х 9 у 5 9,
2
2
2
х 3 у а
имеет единственное решение.
По определению модуля:
Заметим:
x – 9, если х ≥ 0 ,
|x| – 9 = – x – 9, если х ˂ 0 ,
х² = ( – х)² = ( –1∙ х)² = ( –1)² ∙ х² = х²
(– x – 9)²= (-(х+9))² =( –1)² ∙(х+9)² = (х+9)²
х ≥0
(х – 9)² + (у – 5)² = 9
центры
(-(хх+–9)²
9)²++(у(у––5)²
5)²==99
График уравнения — совокупность
(9; 5) двух окружностей. R = 3
х (-9; 5)

11.

х 9 у 5
Первые
Второе
уравнения
График
1-гоуравнение
уравнения
системы:
у
(х + 9)² + (у – 5)² = 9
Центр (-9; 5)
первый
ответ:
2
R 61 3
окружность Центр (-3;0)
Радиус
МЕНЯЕТСЯ
5
3
8
9
(х – 9)² + (у – 5)² = 9
Центр (9; 5)
АС = 13
R 13 3 16
BC² = 61
ВB R=3
2
R=3 А
3
13
-9-9
-6
С
-3
О 1
Ответ :
61 3; 16.
99
6
12
12
Второй случай
R=а2
х 3 у а
2
2
х

12.

10
Найти значения а, при которых уравнение
2
имеет более двух корней.
х+1 = a|x-5| на [0; + ∞)
Корни
— абсциссы точек
пересечения
f(x)=
2
х+1
гипербола 5
на [0; + ∞]
f(x) g(x)
g(x) =a|x-5|
y = x-5
y = |x-5|
a(5-x)
a(x-5)
величина «УГОЛКА» модуля
зависит от а
при х = 0 → а = ²⁄5 3 корня
2 ●❶
0,5
2 корня левый луч «УГОЛКА»
● ●❷
касается гиперболы
❸
●
1 корень точку
2 корня
Определим
касания
2
g(x)
f(x)
=
Должны выполняться условия:
х+1 = a(5-x) – левый
луч
f ′(x) =g ′(x) -2 = — a
3
5
(х+1)²
-5
2 = 2(5-x) х+1
5-x х = 2 в точке касания
|∙
1=
а = ²⁄9 (2 корня)
х+1 (х+1)²
х+1
2
Ответ: лучи «УГОЛКА»
а Є (²⁄5; ²⁄9]
ЕГЭ. 07.06.12.

13.

ЗАДАЧИ ИЗ КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ И
ДЕМОНСТРАЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Пример 1. Найдите сумму целых значений параметра а , при которых
уравнение a 2 x x 2 19 a 3 x 4 0 имеет три корня.
Решение.
a x 2 2 x 19
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
a x 4 3 ,
График этой совокупности — объединение
«уголка» и параболы.
Подвижная прямая а=а0 пересекает график
совокупности в трёх точках, если а=а1,
а=а2, а=а3.
1) а=а1 а = 3.
2) При х >4 x2 2x 19 x 4 3,
х2-3х-18=0, х1=-3, х2=6. Число -3
не удовлетворяет условию х >4.
а(6) = 6-4+3 = 5 а2= 5.
2
3) При x < 4 x 2 x 19 ( х 4) 3 ,
x2 x 26 0, x1,2 Z а3 .
а
.
а33 = ?
а2=
=5?
а1= 3
3
0 1
4
-20
Ответ: 8.
х

14.

15.

10. Найдите все значения р, при каждом из которых
найдётся q такое, что система имеет единственное
решение:
2
2
x y 1,
y q | x | p
Решение:
у
Графиком функции х2 + у2 = 0
является окружность с
центром (0; 0) и R = 1.
1) q = 0, у = р; р = 1 или р = -1.
2) q > 0, y = q | x | + p; p = 1.
3) q < 0, y = q | x | + p; p = -1.
Ответ: р = 1 или р = -1.
1
х
-1
0
-1
1

16.

С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых система уравнений 4 у 3 12 3 х ,
2
y a 2 3 2у 3 х 2 .
имеет ровно 4 решения.
Решение. Преобразуем данную систему:
3 х 4 у 3 12,
3 х 4 у 3 12,
2
2
2
2
2
2
y
6
у
9
х
a
;
y
3
х
a
.
Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:
3 х 4 t 12,
2
t х 2 a 2 .
1
2
Заметим, что количество решений полученной системы
совпадает с количеством решений исходной системы.
Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt.

17.

С5.
t
График первого уравнения – ромб,
диагонали которого, равные 8 и 6,
лежат на осях Ох и Оt, а графиком
3
второго уравнения является
окружность с центром в начале
координат и радиусом r = a .
Графики уравнений системы имеют -4
ровно четыре общих точки, и,
следовательно, система имеет ровно
-3
4 решения, тогда и только тогда,
когда окружность либо вписана в ромб,
либо ее радиус удовлетворяет условию
3 < r < 4.
В первом случае радиус окружности является высотой
прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, откуда
3 4
r a
2,4;
5
х
4
a 2,4.
В втором случае получаем 3 < a < 4, откуда −4 < a < −3; 3 < a < 4.
Ответ: а = 2,4; −4 < a < −3; 3 < a < 4.

Найдите все значения a, при каждом из которых функция
имеет более двух точек экстремума

antonovm

Підприємство за місяць виготовляє х одиниць продукції. Сумарні витрати виробництва описуються функцією V(x), а залежність між ціною і кількістю одиниц … ь продукції х — р(х). Розрахувати за яких умов прибуток буде максимальним. Визначити маржинальні і сумарні витрати, а також прибуток при цих умовах.

Найдите все значения а, при каждом из которых функция

Решение. Экстремум (минимум или максимум) функции возможен в точке, в которой производная функции меняет знак. Раскроем модульные скобки.

1) Случай. Пусть х-а 2 ≥ 0 → х ≥ а 2 . Получаем f(x) = x 2 -3x + 3a 2 -5x;

f(x) = x 2 -8x + 3a 2 . Находим производную. f ’(x) = 2x-8 = 2(x-4). Критическая точка х = 4. Производная в точке х = 4 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке х = 4 функция f(x) = x 2 -8x + 3a 2 имеет минимум.

Найдём значение функции в точке х = 4.

f(4) = 4 2 -8 ∙ 4 + 3a 2 = 3a 2 -16.

Итак, x_min = 4; f_min = 3a 2 -16.

f(x) = x 2 -2x-3a 2 . Находим производную.

f ’(x) = 2x-2 = 2(x-1). Критическая точка х = 1. Производная в точке х = 1 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке

х = 1 функция f(x) = x 2 -2x-3a 2 имеет минимум.

Найдём значение функции в точке х = 1.

f(1) = 1 2 -2 ∙ 1-3a 2 = -1-3a 2 .

Итак, x_min = 1; f_min = -1-3a 2 .

Чтобы изобразить функции графически в каждом из двух рассмотренных случаев нам нужно определиться со значением числа а 2 .

Возможны три варианта расположения числа а 2 .

Функция f(x) = x 2 -8x + 3a 2 имеет x_min = 4; f_min = 3a 2 -16 = -16.

Строим параболу f(x) = x 2 -8x + 3a 2 , вершина которой A(4; -16).

Так как функцию f(x) = x 2 -8x + 3a 2 мы получили при условии,

что х ≥ а 2 , то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 0.

Функция f(x) = x 2 -2x-3a 2 имеет

Строим параболу f(x) = x 2 -2x-3a 2 с вершиной В(1; -1).

Так как функцию f(x) = x 2 -2x-3a 2 мы получили при условии, что х < а 2 , то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 0.

Смотрите рис.1. Получается только 1 экстремум.

Вывод: вариант 1 не подойдёт.

Функция f(x) = x 2 -8x + 3a 2 имеет x_min = 4; f_min = 3a 2 -16 = 3 ∙ 3-16 = -7.

Строим параболу f(x) = x 2 -8x + 3a 2 , вершина которой A(4; -7).

Так как функцию f(x) = x 2 -8x + 3a 2 мы получили при условии,

что х ≥ а 2 , то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 3.

Функция f(x) = x 2 -2x-3a 2 имеет x_min = 1; f_min = -1-3a 2 = -1-3 ∙ 3 = -10.

Строим параболу f(x) = x 2 -2x-3a 2 с вершиной В(1; -10).

Так как функцию f(x) = x 2 -2x-3a 2 мы получили при условии, что х < а 2 , то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 3. Смотрите рис.2. Получается 3 экстремума.

Получаем а (-2; -1) (1; 2).

Для определённости возьмём а 2 = 5.

Функция f(x) = x 2 -8x + 3a 2 имеет

x_min = 4; f_min = 3a 2 -16 = 3 ∙ 5-16 = -1.

Строим параболу f(x) = x 2 -8x + 3a 2 , вершина которой A(4; -1).

Так как функцию f(x) = x 2 -8x + 3a 2 мы получили при условии, что х ≥ а 2 , то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 5.

Функция f(x) = x 2 -2x-3a 2 имеет

x_min = 1; f_min = -1-3a 2 = -1-3 ∙ 5 = -16.

Строим параболу f(x) = x 2 -2x-3a 2 с вершиной В(1; -16).

Так как функцию f(x) = x 2 -2x-3a 2 мы получили при условии, что х < а 2 , то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 5.

Смотрите рис.3. Получается только 1 экстремум. Вывод: вариант 3 не подойдёт.

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума

n = f(m) = f(6) = 6 2 -12 ∙ 6 + 4a 2 = 36-72 + 4a 2 = 4a 2 -36.

A(6; 4a 2 -36). Ветви параболы f(x) = x 2 -12x + 4a 2 направлены вверх, следовательно,

A(6; 4a 2 -36) – точка минимума функции.

f(x) = x 2 + 4x-4a 2 -8x;

f(x) = x 2 -4x-4a 2 . Вершина параболы В(m; n).

n = f(m) = f(2) = 2 2 -4 ∙ 2-4a 2 = 4-8-4a 2 = -4-4a 2 .

В(2; -4-4a 2 ). Ветви параболы f(x) = x 2 -4x-4a 2 направлены вверх, следовательно,

В(2; -4-4a 2 ) – точка минимума функции.

Как могут быть расположены на оси Ох числа а 2 , 2 и 6, чтобы функция имела точку максимума?

Точка, соответствующая значению а 2 должна лежать между точками, соответствующими числам 2 и 6. Тогда возрастание функции

Итак, данная функция будет иметь точку максимума при условии, что 2 < a 2 < 6. Значение а найдём из решения системы неравенств: