Какие операции или операция относятся к бинарным

автор: admin
10.12.2023

Бинарная операция

Бинарная операция (от лат. bi — два) — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат (то есть с арностью два).

Определение

Пусть $A,\;B,\;C$ — тройка непустых множеств. Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией в паре $A,\;B$ со значениями в называется отображение $P \to C$ , где $P \subset A\times B$

Если A=B=C , то действие называется внутренним, если A=C или B=C — внешним. В частности, любое внутреннее действие является внешним.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами (инфиксная форма записи). Например, для произвольной бинарной операции $\circ$ результат её применения к двум элементам и записывается в виде $x\circ y$ .

Это не значит, что не используются другие формы записи бинарных операций. Существуют и другие виды записи:

префиксная (польская запись) — $\circ\,x\;y$ ;
постфиксная (обратная польская запись) — $x\;y\,\circ$ .

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Основная статья: Коммутативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$x\circ y=y\circ x,\quad\forall x,\;y\in M.$

Ассоциативная операция

Основная статья: Ассоциативная операция

$\circ$

Бинарная операция называется ассоциативной, если

$(x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z),\quad\forall x,\;y,\;z\in M.$

Для ассоциативной операции $\circ$ результат вычисления $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\circ x_2\circ\ldots\circ x_n$ при n>2″ width=»» height=»» /> однозначно не определено.</p>
<h4>Альтернативная операция</h4>
<p><img decoding=

Бинарная операция называется альтернати́вной если

$(x\circ x)\circ y=x\circ(x\circ y)$ и $y\circ(x\circ x)=(y\circ x)\circ x,\quad\forall x,\;y\in M$ .

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на называют умноже́нием, то её результат для элементов $x,\;y\in M$ называют их произведе́нием и обозначают $x\cdot y$ или . В этом случае нейтральный элемент $e\in M$ , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

$x\cdot e=e\cdot x=x,\quad\forall x\in M,$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $x,\;y\in M$ называют су́ммой и обозначают x+y . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

$x+0=0+x= x,\quad\forall x\in M.$

Обратная операция

Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Если операция обладает биективностью, то у неё существуют обратные операции. Для бинарной операции может быть до двух обратных операций (левая и правая), в случае коммутативной операции — они совпадают.

Теорема 1

Для любой бинарной операции, существует не более одного нейтрального элемента

Теорема 2

Если бинарная операция ассоциативна, то для каждого элемента существует не более одного обратного

См. также

арность
унарная операция
тернарная операция

Литература

Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. — М.: Наука, 1988. — 430 с. — ISBN 5-02-013792-8.

Бинарная операция

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Бинарная операция» в других словарях:

бинарная операция — двуместная операция Операция, выполняемая над двумя аргументами. Например, сложение аргументов «х», «у». Кроме двуместных выполняются и одноместные операции. Двуместную операцию также называют бинарной. [Гипертекстовый… … Справочник технического переводчика
Операция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… … Википедия
Коммутативная операция — Первое известное использование термина коммутативность … Википедия
Унарная операция — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка… … Википедия
Ассоциативная операция — Ассоциативная операция это бинарная операция , обладающая ассоциативностью (лат. associatio соединение), или сочетательностью: для любых элементов . Для ассоциативной операции результат вычисления не зависит от порядка вычисления … Википедия
Логическая операция — В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и … Википедия
БЭРА УМНОЖЕНИЕ — бинарная операция на множестве классов эквивалентных расширений модулей; предложена Р. Бэром [1]. Пусть Л и В произвольные модули. Расширением Ас ядром Вназ. точная последовательность: Расширение (1) наз. эквивалентным расширению если существует… … Математическая энциклопедия
Антикоммутативность — Бинарная операция, определённая в кольце, называется антикоммутативной, если в кольце выполняется тождество . Из этого вытекает тождество . Если в кольце не является делителем нуля, тогда первое тождество следует из второго, и они равносильны. Но … Википедия
Битовые операции — Не следует путать с булевой функцией. Битовая операция в программировании некоторые операции над цепочками битов. В программировании, как правило, рассматриваются лишь некоторые виды этих операций: логические побитовые операции и… … Википедия
Калькулятор — У этого термина существуют и другие значения, см. Калькулятор (значения). Современный инженерный калькулятор Калькулятор … Википедия

Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте

�� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
Искать во всех словарях
Искать в переводах
Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Бинарная алгебраическая операция

Определение 1. Бинарная операция 1) на непустом множестве $X$ — это отображение $\mu:X\times X\rightarrow X$ из прямого произведения $X\times X$ в $X$ .

Для обозначения бинарной алгебраической операции часто вместо записи $\mu(x,y)$ используют запись $x\mu y$ . Обычно также для обозначения бинарных алгебраических опреаций используют специальные символы , $\ast$ , $\circ,\,\cdot$ и так далее.

На множестве $X$ может быть определено сразу несколько бинарных алгебраических операций. Чтобы подчеркнуть, какая именно операция имеется ввиду, используют скобки, например, $(X,\ast)$ .

Пример 1. Операции сложения и умножения в основных алгебраических структурах: группах, кольцах, полях — являются бинарными алгебраическими операциями.

Пример 2. Пусть $$\mathcal<P>(U)$» /> — множество всех подмножеств множества <img decoding=$ . Операции пересечения $\cap$ и объединения $\cup$ — это бинарные алгебраические операции на множестве $$\mathcal<P>(U)$» />.</p> <p><em>Пример 3.</em> Операция, ставящая в соответствие двум натуральным числам <img decoding=$ и $m$ их наибольший общий делитель НОД $(n,m)$ , является бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел.

Виды бинарных операций

Определение 2. Бинарная алгебраическая операция $\ast$ на множестве $X$ называется коммутативной 2) , если $x\ast y=y\ast x$ для всех $x,y\in X$ .

Определение 3. Бинарная алгебраическая операция $\ast$ на множестве $X$ называется ассоциативной 3) , если $(x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z)$ для всех $x,y,z\in X$ .

Пример 4. Операция сложения на множестве целых чисел $$\mathbb<Z>$» /> является коммутативной и ассоциативной.</p><div class='code-block code-block-7' style='margin: 8px 0; clear: both;'>  <script src=$

$X$

Пример 5. Операция композиции отображений на множестве ассоциативна, но не коммутативна.

$[,]$

Пример 6. Операция умножения в кольце Ли не является ни коммутативной, ни ассоциативной.

Группоид

$X$

Определение 4. Множество с заданной на нем бинарной алгебраической операцией, называется группоидом 4) .

Если операция в группоиде обозначается символом , то ее называют сложением 5) и говорят, что группоид записан аддитивно 6) . Если операция в группоиде обозначается символом $\cdot$ , то ее называют умножением 7) и говорят, что группоид записан мультипликативно 8) .

Бинарные операции, их свойства

В данном параграфе главной целью является изучение основ теории групп. Группа – это множество, на котором задана некоторая бинарная (зависящая от двух аргументов) алгебраическая операция, удовлетворяющая определенным условиям. Понятие бинарной алгебраической операции лежит, следовательно, в основе всего задания теории групп.

Каждому ученику средней школы, известно слово «операция» и, одним из первых его значений, приходящих в голову, являются понятия арифметических операций – сложения, умножения, вычитания или деления. Операции можно производить не только над числами, но и над другими объектами: дизъюнкции и конъюнкции высказываний, композиции преобразований и т.д.

Во всех названых примерах операций мы имеем дело с некоторым множеством А (множество чисел, высказываний, преобразований и т.д.). При выполнении операции по двум элементам этого множества находят третий элемент того же множества (по двум заданным числам находят их сумму, по двум заданным высказываниям их конъюнкцию и т.д.). При этом ответ, зависит от порядка этих элементов (например, при вычитании чисел).

Дадим определение бинарной алгебраической операции.

Определение 1. 1. 1. Пусть А – непустое множество, тогда всякое отображение φ: A × A → A называют бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве А.

Другими словами, бинарной операцией на А является правило или закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов a и b из А ставится в соответствие однозначно определенный элемент d из A (φ: (a, b)→ d). Следуя арифметической традиции, результат применения бинарной операции φ к элементам a и b обозначают a φ b и называют композицией элементов a и b. В каждом конкретном случае композиция элементов получает свое название – сумма, произведение и т.п.

Определение 1.1.2. Множество А вместе с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группоидом и обозначается < A, *>.

Нетрудно заметить, что вычитание на множестве N не является бинарной операцией. Действительно, по определению бинарной алгебраической операции должно выполнятся условие: ( (а, b) N 2 ) ( d N 2 ) d = a – b. Составим отрицание: (а, b) N 2 ( d є N) d ≠ a – b. При a = 2, b = 3 отрицание истинно, значит исходно утверждение – ложное. Следовательно, можно утверждать, что вычитание не является бинарной операцией на множестве N и < N, — > не является группоидом.

На конечных множествах, содержащих не слишком много элементов, бинарную алгебраическую операцию удобно задавать с помощью таблицы, которая называется таблицей Кэли (А. Кэли (1821-1895) английский алгебраист). Эта таблица для группоида < A, *>, A = < a ₁, a ₂, …, a_n > заполняется следующим образом:

*	a₁	a ₂	…	a_n
a ₁	a₁ a₁*	a₁ a₂*	…	a₁ a_n*
a ₂	a₂ a₁*	a₂ a₂*	…	a₂ a_n*
…	…	…	…	…
a_n	a_n a₁*	a_n	…	a_n a_n*

Например, следующая таблица задает операцию * на множестве A = < a, b >:

*	a	b
a	b	a
b	b	b

Причем a * a = b * b= b* a= b и a* b= b. Поскольку результаты операции

принадлежат А, следовательно, < A, *> — группоид.

Свойства операций. Полугруппы

Известны свойства арифметических действий – переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умножения действительных чисел. Сформулируем эти свойства для произвольной бинарной алгебраической операции. Поскольку мы рассматриваем, в определении группоида, операции на определенном множестве, то, чтобы не вводить дополнительных определений, и группоидом будем называть в соответствии с названием свойства операции.

Определение 1. 1. 3. Группоид < A, *> называется коммутативным (а сама операция коммутативной), если для любых двух элементов из A выполняется условие: ( a, b А) а * b = b * а.

Определение 1. 1. 4. Группоид < А, *> называется ассоциативным или полугруппой (а сама операция ассоциативной), если выполняется условие:

Пусть < А,? > — полугруппа. Легко доказать следующие свойства.

1. (Обобщённый ассоциативный закон). Для любого конечного семейства элементов a ₁ . a_к из А произведение a ₁? a ₂. a_к не зависит от расстановки скобок, т. е. от последовательности умножений по два сомножителя.

2. Естественным образом вводится понятие степени с натуральным показателем: а n = a? a. a (n сомножителей а) для любых а А и n N, причём выполняются обычные свойства степеней:

3. Если полугруппа коммутативна, то имеет место обобщённый коммутативный закон: произведение любого конечного числа элементов из А не зависит от порядка сомножителей.

Можно сформулировать аналогичные свойства для полугруппы < А,+ >.

Ещё из школы известны два правила: правило сложения любого числа с нулём и правило умножения любого числа на единицу. 0 и 1 — это нейтральные

элементы для операции сложения и умножения в R.

Определение 1. 1. 5. Элемент е А группоида А, * > называется нейтральным элементом, если для любого элемента a A a* e= e* a= a.

Теорема 1. 1. 1. Каждый группоид < А, * > содержит не более одного нейтрального элемента.

Доказательство. Предположим, что в группоиде А существуют два различных нейтральных элемента e ₁ и е ₂. Дважды воспользовавшись определением нейтрального элемента, получим: e ₁ = е ₁ ? e _{2 =} е ₂ .

Поэтому, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный.

Чтобы установить, имеет ли группоид нейтральный элемент, надо выяснить, является ли группоид коммутативным, если да, то достаточно проверить одно условие: ( е А) ( а А) а * е = а. Если же нет, то надо проверять два условия: а * е = а и е * а = а.

Пример. На множестве R операция * задана правилом: a * b = a + b – 1. Покажем, что < R, *> является группоидом, содержащим нейтральныйэлемент.

1. ( a, b R) (! (а + b — 1) R), следовательно, * — бинарная операция;

2. ( a, b R) a * b = a+b -1= b * а в силу коммутативности сложения в R;

3. Условие e R a R a* е = а + е — 1= a выполняется при е — 1 = 0, т.к. нейтральным элементом на R относительно сложения является 0. Таким образом, е = 1 является нейтральным элементом относительно операции *.

Определение 1. 1. 6. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.

Равенства а + (- а) = 0 и а? 1 = а напоминают нам о таких понятиях, как

противоположный и обратный элементы соответственно относительно операций сложения и умножения. Эти термины есть конкретизация такого математического понятия, как симметричный элемент. Правомерны следующие вопросы: каждый ли элемент множества имеет симметричный относительно операции в группоиде? При каких условиях элемент множества имеет симметричный?

Понятие симметричного элемента

Определение 1. 1. 7. Пусть группоид < А, * > имеет нейтральный элемент е, тогда элемент a A называется симметризуемым, если для него существует а’ А такой, что а* а’ = а’ * а = е. Сам элемент а’ называется в этом случае симметричным для а.

Теорема 1. 2. Если в полугруппе < А, * > элемент а симметризуем, то симметричный для него элемент а’ единственный.

Доказательство. Допустим, что для а А, существуют два симметричных элемента и и v. Тогда, учитывая, что дана полугруппа, получим:

Исторически сложились и существуют два языка для выражения различных фактов, касающихся бинарных алгебраических операций: мультипликативный и аддитивный.

Формы записи бинарной операции

Произвольная Аддитивная Мультипликативная

* а * b называется композицией a’ -симметричный элемент для а е нейтральный элемент + называется сложением а + b называется суммой -а -противоположный элемент для a нулевой элемент (нуль) ? называется умножением а • b называется произведением а -1 — обратный элемент для а единичный элемент (единица)

Далее в качестве основного языка выбран мультипликативный.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Бинарная операция

Бина́рная (или двуме́стная) опера́ция — обобщение сложения, умножения, возведение в степень.

1 Определение

2 Замечание

3 Типы бинарных операций

3.1 Коммутативная операция

3.2 Ассоциативная операция

3.3 Альтернативная операция

5.1 Мультипликативная запись

5.2 Аддитивная запись

Определение [ ]

Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией на множестве M называется отображение f : M × M → M , которое каждой упорядоченной паре элементов ( x , y ) ∈ M × M , называемых опера́ндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества x f y , называемый результа́том.

Замечание [ ]

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции ⋅ результат её применения к двум элементам x и y записывается в виде x ⋅ y .

Типы бинарных операций [ ]

Коммутативная операция [ ]

См. также основную статью: Коммутативная операция

Бинарная операция ⋅ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

x ⋅ y = y ⋅ x , ∀ x , y ∈ M .

Ассоциативная операция [ ]

См. также основную статью: Ассоциативная операция

Бинарная операция ⋅ называется ассоциативной, если

( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) , ∀ x , y , z ∈ M .

Для ассоциативной операции ⋅ результат вычисления x 1 ⋅ x 2 ⋅ … ⋅ x n \cdot x_\cdot \ldots \cdot x_> не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x 1 ⋅ x 2 ⋅ … ⋅ x n \cdot x_\cdot \ldots \cdot x_> при n > 2 2> однозначно не определено.

Альтернативная операция [ ]

Бинарная операция ⋅ называется альтернати́вной если

Примеры [ ]

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве Записи [ ]

Мультипликативная запись [ ]

Если абстрактную бинарную операцию на M называют умноже́нием, то её результат для элементов x , y ∈ M называют их произведе́нием и обозначают x ⋅ y или x y . В этом случае нейтральный элемент e ∈ M , то есть элемент удовлетворяющий равенствам

x ⋅ e = e ⋅ x = x , ∀ x ∈ M ,

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись [ ]

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов x , y ∈ M называют су́ммой и обозначают x + y . Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0 , называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

x + 0 = 0 + x = x , ∀ x ∈ M .

См. также [ ]

арность

унарная операция

Литература [ ]

Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. М.: Наука, 1988, с19, с430. ISBN 5-02-013792-8.

pl:Działanie dwuargumentowe sl:Dvočlena operacija

Похожие публикации:

Как вернуть поля сводной таблицы в excel

Как написать систему уравнений в ворде

Какое расширение нужно использовать для сохранения интернет страницы набранной в программе блокнот

Какое число будет результатом вычисления print 23 2

Какие операции или операция относятся к бинарным

Бинарная операция

Определение

Замечание

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Ассоциативная операция

Примеры

Записи

Мультипликативная запись

Аддитивная запись

Обратная операция

Теорема 1

Теорема 2

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Бинарная операция» в других словарях:

Бинарная алгебраическая операция

Виды бинарных операций

Группоид

Бинарные операции, их свойства

Бинарная операция

Определение [ ]

Замечание [ ]

Типы бинарных операций [ ]

Коммутативная операция [ ]

Ассоциативная операция [ ]

Альтернативная операция [ ]

Примеры [ ]

Мультипликативная запись [ ]

Аддитивная запись [ ]

См. также [ ]

Добавить комментарий Отменить ответ