Как дополнить до ортогонального базиса

Как дополнить векторы до ортогонального базиса

линейная-алгебра — Дополнить до ортонормированного базиса:

Найдем скалярное произведение данных векторов: $%(x_1,x_2 )= 2-2-3+3 = 0.$% Следовательно, $%x_1,x_2 – $%ортогональны.

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть $%z = (z_1,z_2,z_3,z_4)$% попарно ортогонален с данными векторами, т.е. $%(x_1,z) = 0$% и $%(x_2,z) = 0.$% Получаем следующую систему:

задан 20 Апр ’16 1:37

Что значит как найти? Тут два независимых уравнения и 4 переменных. Это значит, что две неизвестные будут главными, и они будут выражаться через две другие свободные. Какие именно — не так важно (чаще всего z1, z2 выражаем через z3, z4). Это даёт общее решение, оно двумерно. В нём выбирается базис. Самый простой способ его выбора — положить сначала z3=1, z4=0 (и выразить остальное), а потом z3=0, z4=1. Это даст два вектора. Оба будут ортогональны двум предыдущим. Чтобы не было дробных чисел, всегда можно сделать домножения. Потом эти два вектора ортогонализовать процессом Грама — Шмидта.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Пример 3. Построение ортонормированного базиса

Построить ортонормированный базис подпространства пространства натянутого на систему векторови

Решение.Нам требуется построить ортонормированный базис евклидова пространствакоторое является линейной оболочкой векторовПрименим к этим векторам процесс ортогонализации.

Вначале возьмём Векторбудем искать в видеИз условия перпендикулярностиполучаем:Следовательно,Далее, следующий базисный вектор будем искать в видеИз условийиполучаем:и

Отсюда Таким образом, ортогональный базис пространстватаков:Ортонормированный базис получится, если мы разделим каждый вектор на его длину:

Пример.4 Дополнение системы векторов до ортогонального базиса.

Убедиться в том, что векторы ортогональны, и дополнить систему этих векторов до ортогонального базиса.

Решение.Проверим ортогональность. Имеем:Следовательно,Таким образом, мы можем положитьДругие векторыортогонального базиса удовлетворяют условиямиПустьУсловиедаёт систему

Найдём фундаментальную систему решенийэтой системы. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 4:Перенесёмв правую часть:Переменныездесьсвободные, а переменные–связанные. Придадим свободным переменным значения: вначалезатеми найдёмСоставим таблицу:

Как дополнить векторы до ортогонального базиса

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Задача 2. Найти А +В, если

Задача 3. Найти АВ , если

Дополнить до ортогонального базиса

Дан один вектор a1=(2,-4,3,1)
Взял ортогональный ему вектор a2=(1/2,1,1,0)
Для нахождения a3 решил систему:
2y1-4y2+3y3+y4=0
1/2y1+y2+y3=0
Получил вектор a3=(1,-1/2,0,-4)
Для a4 не могу решить систему:
2z1-4z2+3z3+z4=0
1/2z1+z2+z3=0
z1-1/2z2-4z4=0
Как её решить?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Дополнить до ортоганального базиса
Дан вектор a1 = (2,1,3,-5). Дополнить до ортоганального базиса. Подскажите как делать?

Дополнить до ортонормированного базиса систему векторов
Дополнить до ортонормированного базиса базиса следующие систему векторов a1=(-1;3;2); a2=(2,0,1);.

Дополнить вектор до базиса линейной оболочки системы.
дополнить вектор x=(1,0,1,0) до базиса линейной оболочки системы а1=(1,1,1,1) а2=(1,-1,1,-1).

Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства
Доказать, что векторы вида (3a+2b, -a-b, 2a+4b) образуют линейное подпространство в пространстве.

2684 / 1745 / 179
Регистрация: 05.06.2011
Сообщений: 5,049
Как предыдущую.
Регистрация: 20.12.2012
Сообщений: 75

Сообщение от iifat

Как предыдущую.
А методом Гауса она решается?
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038
Методом Гаусса всё решается. Только зачем это всё, если есть Грам—Шмидт?
618 / 281 / 10
Регистрация: 22.01.2013
Сообщений: 874

Затем, что Angel of death в предыдущей теме по той же самой задаче (правда, с другим вектором) так и не назвал ни одного «стандартного базисного вектора».

4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038
Чувствую, форум будет завален континуумом тем.
Регистрация: 20.12.2012
Сообщений: 75

Сообщение от rahim

Затем, что Angel of death в предыдущей теме по той же самой задаче (правда, с другим вектором) так и не назвал ни одного «стандартного базисного вектора».

Я не знаю что такое стандартный базисный вектор, в задаче дан только вектор а1
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

Стандартный базис в состоит из векторов

(i-я компонента вектора e_i равна 1, остальные — 0). Этот базис является ортонормированным относительно стандартного скалярного произведения (сумма произведений соответствующих координат).

Вы за сутки не нашли ответ на этот вопрос ни в глубинах учебников, ни на просторах интернета?

Регистрация: 20.12.2012
Сообщений: 75

Сообщение от helter

Стандартный базис в состоит из векторов

(i-я компонента вектора e_i равна 1, остальные — 0). Этот базис является ортонормированным относительно стандартного скалярного произведения (сумма произведений соответствующих координат).

Вы за сутки не нашли ответ на этот вопрос ни в глубинах учебников, ни на просторах интернета?

Но как это поможет решить задачу?
4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

Сообщение от Thinker

с помощью ортогонализации грама-шмидта и дополнения тремя стандартными базисными векторами
Но чтобы узнать, что такое ортогонализация Грама—Шмидта, у вас, наверно, уйдут годы.
Регистрация: 20.12.2012
Сообщений: 75

Сообщение от helter

Но чтобы узнать, что такое ортогонализация Грама—Шмидта, у вас, наверно, уйдут годы.

Это я знаю, я просто не знал как называются эти вектора

Добавлено через 10 минут
Для Грама-Шмидта нужно 4 вектора, как я понял нужно взять еще 3 стандартных базисных вектора?

4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

Ограничений на число векторов нет. Граму—Шмидту скармливают любую систему векторов, он выдаёт ортогональную систему. (Причём такую, что на первые k векторов и исходной, и полученной системы натягивается одно и то же подпространство.) Если процессу попадается вектор, линейно выражающийся через предыдущие, он выплёвывает нулевой.

Добавлено через 1 минуту
То есть вы к своему вектору добавляете весь стандартный базис и перемалываете их процессом ортогонализации, пока не получите четыре ненулевых вектора. В силу ортогональности они будут линейно независимы, то есть базисом.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Базис ортогонального дополнения подпространства
Пусть А линейная оболочка векторов _=(1,1,1,1,1),_=(0,1,1,1,1),_=(0,1,1,1,0).

Найти матрицу ортогонального проектирования
Не в ладах с векторами, объясните как решить задачку Найти матрицу ортогонального проектирования.

Найти матрицу оператора ортогонального проектирования и образ вектора
— оператор ортогонального проектирования на плоскость x-y+z=0 в пространстве V3. Найти матрицу.

Как дополнить до ортогонального базиса

Построить ортонормированный базис подпространства пространства натянутого на систему векторови

Решение.Нам требуется построить ортонормированный базис евклидова пространствакоторое является линейной оболочкой векторовПрименим к этим векторам процесс ортогонализации.

Вначале возьмём Векторбудем искать в видеИз условия перпендикулярностиполучаем:Следовательно,Далее, следующий базисный вектор будем искать в видеИз условийиполучаем:и

Отсюда Таким образом, ортогональный базис пространстватаков:Ортонормированный базис получится, если мы разделим каждый вектор на его длину:

Пример.4 Дополнение системы векторов до ортогонального базиса.

Убедиться в том, что векторы ортогональны, и дополнить систему этих векторов до ортогонального базиса.

Решение.Проверим ортогональность. Имеем:Следовательно,Таким образом, мы можем положитьДругие векторыортогонального базиса удовлетворяют условиямиПустьУсловиедаёт систему

Найдём фундаментальную систему решенийэтой системы. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 4:Перенесёмв правую часть:Переменныездесьсвободные, а переменные–связанные. Придадим свободным переменным значения: вначалезатеми найдёмСоставим таблицу:

линейная-алгебра — Дополнить до ортонормированного базиса:

Найдем скалярное произведение данных векторов: $%(x_1,x_2 )= 2-2-3+3 = 0.$% Следовательно, $%x_1,x_2 – $%ортогональны.

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть $%z = (z_1,z_2,z_3,z_4)$% попарно ортогонален с данными векторами, т.е. $%(x_1,z) = 0$% и $%(x_2,z) = 0.$% Получаем следующую систему:

задан 20 Апр ’16 1:37

Что значит как найти? Тут два независимых уравнения и 4 переменных. Это значит, что две неизвестные будут главными, и они будут выражаться через две другие свободные. Какие именно — не так важно (чаще всего z1, z2 выражаем через z3, z4). Это даёт общее решение, оно двумерно. В нём выбирается базис. Самый простой способ его выбора — положить сначала z3=1, z4=0 (и выразить остальное), а потом z3=0, z4=1. Это даст два вектора. Оба будут ортогональны двум предыдущим. Чтобы не было дробных чисел, всегда можно сделать домножения. Потом эти два вектора ортогонализовать процессом Грама — Шмидта.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Как дополнить до ортогонального базиса

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Задача 2. Найти А +В, если

Задача 3. Найти АВ , если

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Задача 5. Найти , если

Задача 6. Найти , если

Задача 7. Вычислить определитель

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Мы сами можем проверить результат, Известно, что . Так ли это?

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: det А =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Решение:

Задача 11. Вычислить :

Раскроем скобки и получим:

Так как , то получаем:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Представим число z в тригонометрической форме.

, следовательно, а=1, b =1 и .

Применим формулу Муавра:

Задача 13. Выполнить деление с остатком f ( x )= x 3 — x 2 — x на x -1+2 i .

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Таким образом: f ( x )= x 3 — x 2 — x =( x -1+2 i ) ( x 2 -2 ix -5-2 i )-9+8 i .

Ответ : f(x)=x 3 -x 2 -x=(x-1+2i) (x 2 -2ix-5-2i)-9+8i.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: ( х , у) = 2+6+4-12 = 0 х , у – ортогональны .

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

https://amdy.su/wp-admin/options-general.php?page=ad-inserter.php#tab-8

Пусть z = (z₁, z₂, z ₃, z ₄) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Пусть теперь k = ( k ₁, k ₂, k ₃, k ₄) попарно ортогонален с векторами x , y , z . Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов и до ортонормированного базиса.

Пусть z = (z₁, z₂, z ₃) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e ₁, e ₂ параллельно оси координат вектора e ₃, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e ₁, e ₂, e _3..

Решение: Пусть L — трёхмерное пространство, e ₁, e ₂, e ₃ — базис L , преобразование — проектирование L на координатную плоскость векторов e ₁, e ₂ параллельно оси координат вектора e ₃.

Пусть х — произвольный вектор L , т.е. x Î L .

Пусть x =( x ₁, x ₂, x ₃) — координаты вектора x в базисе e ₁, e ₂, e ₃, т.е. x = x ₁ e ₁+ x ₂ e ₂+ x ₃ e ₃. Тогда при преобразовании j имеем:

Докажем, что для любых x Î L , y Î L и числа l

1) j ( x+y )= j (x)+ j (y),

2) j ( l x )= l j (x).

j ( l x ) = ( l x ₁, l x ₂, 0) = l ( x ₁, x ₂, 0) = l j ( x ) .

Следовательно, j — линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e ₁, e ₂, e ₃. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A _j следующим образом:

Откуда следует, что

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е ₁ , е₂, е₃, е₄ имеет матрицу

Выпишем матрицу перехода от базиса е ₁ ,е₂,е₃,е₄ к новому базису:

Теперь найдем матрицу преобразования В _j в новом базисе по формуле В _j =Т -1 А _j Т.

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j .

Составим характеристическую матрицу:

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Получим собственные значения: или .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: .

Но, в тоже время,

Беря значением = -1, получаем с.л.а .у . :

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а .у . Найдем ф.с.р. это с.л.а .у .

Таким образом, собственным вектором, отвечающим собственному значению = -1, является вектор .

Задача 20. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы: .

Решение: Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование:

после чего получим .

Найдем невырожденное линейное преобразование.

Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые.

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,\ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,\ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

y_1&\cdots& y_n \end

^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] , a [math]G(\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] .

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(\mathbf _1, \mathbf _2,\ldots,\mathbf _n)[/math] ортонормированной системы [math]\mathbf _1, \mathbf _2,\ldots, \mathbf _n[/math] равна единичной матрице: [math]G(\mathbf _1, \mathbf _2,\ldots,\mathbf _n)=E[/math] .

1. В ортонормированном базисе [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _n[/math] скалярное произведение векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] находится по формуле: [math]\langle \mathbf ,\mathbf \rangle= x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,\ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf [/math] , а [math]y_1,\ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf [/math] .

2. В ортонормированном базисе [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _n[/math] длина вектора [math]\mathbf [/math] вычисляется по формуле [math]|\mathbf |= \sqrt [/math] , где [math]x_1,\ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]\mathbf [/math] .

3. Координаты [math]x_1,\ldots,x_n[/math] вектора [math]\mathbf [/math] относительно ортонормированного базиса [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=\langle \mathbf ,\mathbf _1\rangle,\ldots, x_n=\langle \mathbf ,\mathbf _n\rangle[/math] .

В самом деле, умножая обе части равенства [math]\mathbf = x_1 \mathbf _1+\ldots+x_n \mathbf _n[/math] на [math]\mathbf _1[/math] , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](\mathbf )=(\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)[/math] и [math](\mathbf )= (\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]\mathbb [/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](\mathbf )[/math] к базису [math](\mathbf )\colon\, (\mathbf )=(\mathbf )S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](\mathbf )[/math] и [math](\mathbf )[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] в разных базисах:

где [math]\mathop \limits_ )>,\, \mathop \limits_ )>[/math] и [math]\mathop \limits_ )>,\, \mathop \limits_ )>[/math] — координатные столбцы векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]\mathop \limits_ )>= S \mathop \limits_ )>,[/math] [math]\mathop \limits_ )>= S \mathop \limits_ )>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](\mathbf )[/math] и [math](\mathbf )[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)= G(\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^ =S^T[/math] .

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots, \mathbf _k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]\mathbf _1, \mathbf _2, \ldots,\mathbf _k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,\ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]\mathbf _1[/math] , затем на [math]\mathbf _2[/math] и т.д. на [math]\mathbf _k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=\begin

^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]\mathbf _1, \mathbf _2,\ldots,\mathbf _k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]\det _1,\mathbf _2, \ldots, \mathbf _k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _k[/math] получены векторы [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots,\mathbf _k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots,\mathbf _k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]\det G(\mathbf _1, \mathbf _2, \ldots,\mathbf _k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-\alpha_ )[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-\alpha_ )[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _k)[/math] Грама ортогональной системы [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots,\mathbf _k[/math] векторов является диагональной, так как [math]\langle \mathbf _i,\mathbf _j\rangle=0[/math] при [math]i\ne j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots, \mathbf _k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]\mathbf _1,\mathbf _2,\ldots, \mathbf _k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]\mathbf _1,\mathbf _2, \ldots, \mathbf _k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]\langle \mathbf _j,\mathbf _j\rangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]\mathbf _j= \mathbf _j+ \alpha_ \mathbf _1+ \ldots+ \alpha_ \mathbf _ [/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]\langle a_i,a_j\rangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,\ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,\ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]\mathbb ^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,\ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,\ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]\mathbb [/math] и [math]\mathbb ‘[/math] называются изоморфными [math](\mathbb \leftrightarrow \mathbb ‘)[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где [math](\cdot,\cdot)[/math] и [math](\cdot,\cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]\mathbb [/math] и [math]\mathbb ‘[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb [/math] с вещественным арифметическим пространством [math]\mathbb ^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]\mathbb [/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](\mathbf )=(\mathbf _1,\ldots,\mathbf _n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]\mathbf \in \mathbb [/math] его координатный столбец [math]x\in \mathbb ^n

(\mathbf \leftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]\mathbb \leftrightarrow \mathbb ^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]\mathbf [/math] и [math]\mathbf [/math] пространства [math]\mathbb [/math] находится по формуле

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства [math]\mathbb [/math] и [math]\mathbb ^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]\mathbb ^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).

Похожие публикации:

1. Анализ что если в excel
2. В какой цвет красил забор том сойер
3. Как вывести чат трово в обс
4. Как подписать рисунок в ворде по госту

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть — базис евклидова пространства, в котором векторы имеют координаты и соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

где — координатные столбцы векторов , a — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов .

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама ортонормированной системы равна единичной матрице: .

1. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов находится по формуле: , где — координаты вектора — координаты вектора .

2. В ортонормированном базисе длина вектора , где — координаты вектора 3. Координаты вектора находятся при помощи скалярного произведения по формулам: .

В самом деле, умножая обе части равенства на , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть и — два базиса евклидова пространства к базису . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов и

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов в разных базисах:

где и — координатные столбцы векторов в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов и , получаем , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: . Поэтому матрица

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система линейно зависима, то существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на и т.д. на , получаем однородную систему уравнений , которая имеет нетривиальное решение . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов получены векторы , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица Грама ортогональной системы векторов является диагональной, так как при . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы неравенству Адамара :

Действительно, обозначив столбцы матрицы можно представить как скалярные произведения (8.27): . Тогда — матрица Грама системы векторов пространства

4. Если положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения как матрицы Грама системы линейно независимых векторов — столбцов матрицы

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где и — скалярные произведения в пространствах , поставим в соответствие каждому вектору его координатный столбец . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: пространства

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).