Как понять что оператор простого типа
Самый простой линейный оператор — умножение вектора на число \(\lambda \). Этот оператор просто растягивает все вектора в \(\lambda \) раз. Его матричная форма в любом базисе — \(diag(\lambda ,\lambda . \lambda )\). Фиксируем для определенности базис \(\\) в векторном пространстве \(\mathit\) и рассмотрим линейный оператор с диагональной матричной формой в этом базисе, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n)\). Этот оператор, согласно определению матричной формы, растягивает \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, т.е. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) для всех \(k=1,2. n\). С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: для любой функции \(f(x)\) можно положить \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n))=diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2). f(\lambda _n))\). Таким образом возникает естественный вопрос: пусть имеется линейный оператор \(A\), можно ли выбрать такой базис в векторном пространстве, чтобы матричная форма оператора \(A\) была диагональной в этом базисе? Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов.
Пусть для линейного оператора \(A\) существует ненулевой вектор \(u\) и число \(\lambda \) такие, что \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Тогда вектор \(u\) называют собственным вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) — соответствующим собственным числом оператора \(A\). Совокупность всех собственных чисел называют спектром линейного оператора \(A\).
Возникает естественная : найти для заданного линейного оператора его собственные числа и соответствующие собственные вектора. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора.
Уравнение для собственных значений
Фиксируем для определенности базис в векторном пространстве, т.е. будем считать, что он раз и навсегда задан. Тогда, как обсуждалось выше, рассмотрение линейных операторов можно свести к рассмотрению матриц — матричных форм линейных операторов. Уравнение (59) перепишем в виде \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Здесь \(E\) — единичная матрица, а \(\alpha\) — матричная форма нашего линейного оператора \(A\). Это соотношение можно трактовать как систему \(n\) линейных уравнений для \(n\) неизвестных — координат вектора \(u\). Причем это однородная система уравнений, и нам следует найти ее нетривиальное решение. Ранее было приведено условие существования такого решения — для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных. Отсюда следует уравнение для собственных чисел: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]
Опишем свойства этого уравнения и его решений. Если его выписывать в явном виде, получим уравнение вида \[ (-1)^n\lambda ^n+. +det(A)=0. \quad \quad(61) \] В левой части стоит полином по переменной \(\lambda \). Такие уравнения называются алгебраическими степени \(n\). Приведем необходимые сведения об этих уравнениях.
Уравнение (61) имеет решение на комплексной плоскости \(\mathbb\).
Уравнение (61) имеет на комплексной плоскости столько решений, какова его степень (решения учитываются с учетом кратности).
Рассмотрим уравнение \[ \lambda (\lambda-1)^2(\lambda+1)^3=0. \] Это уравнение 6 степени. Оно имеет следующие решения: \( \lambda =0\), \( \lambda =1\), \( \lambda =-1\), причем кратность первого решения равна 1 (такие решения называют простыми корнями), кратность второго решения равна 2, кратность третьего решения равна 3. Решения, кратность которых выше 1, называют кратными . В нашем случае 1+2+3=6. Уравнения степени \(n \geq 5\) невозможно решить с помощью радикалов (теорема Абеля-Руффини). Для уравнений степени \(n=2,3,4\) такие явные формулы существуют. Однако на практике уравнения высокой степени можно успешно решать с помощью компьютеров. Таким образом, в дальнейшем будем считать, что мы тем или иным способом построили решения уравнения (61).
Собственные вектора
Рассмотрим вопрос о построении собственного вектора, соответствующего известному собственному числу \(\lambda _k\). Для этого обратимся к уравнению \[ (\alpha -\lambda_k E)u=0. \] Это уравнение можно понимать как систему линейных уравнений для координат вектора \(u\) — собственного вектора, соответствующего собственному числу \(\lambda _k\). При этом данная система имеет нетривиальное решение, так как ранг этой системы меньше числа неизвестных. Решая эту систему методом Гаусса, можно определить координаты вектора \(u\). Перебирая все значения \(\lambda _k\), \(k=1,2. n\), находим соответствующие собственные вектора \(u_k\).
Найдем собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, заданного в некотором базисе следующей матрицей: \[ A=\left ( \begin5 & -7 & 0 \\-3 & 1 & 0 \\12 & 6 & -3 \end \right ). \] Матрица \(A-\lambda E\) имеет в данном случае вид: \[ A- \lambda E=\left ( \begin5 -\lambda & -7 & 0 \\-3 & 1-\lambda & 0 \\12 & 6 & -3 -\lambda\end \right ). \] Вычисляем определитель \(det(A-\lambda E)\) и выписываем уравнение на собственные значения: \[ det(A-\lambda E)=-(\lambda +3)(\lambda ^2-6\lambda -16)=0. \] Отсюда находим 3 собственных значения: \(\lambda _1=-3, \lambda _2=8, \lambda _3=-2\). Мы получили 3 собсвенных значения, все они имеют кратность 1, т.е. это простые собственные числа. Вычислим соответствующие собственные вектора.
1. Рассмотрим \(\lambda _1=-3\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left( \begin8 & -7 & 0 \\-3 & 4 & 0 \\12 & 6 & 0\end \right) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта система уравнений для 3 неизвестных имеет следующее решение: \(u=(0,0,1)^T\).
2. Рассмотрим \(\lambda _2=8\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left ( \begin-3 & -7 & 0 \\-3 & -7 & 0 \\12 & 6 & 5 \end \right ) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта однородная система уравнений для неизвестных \(u_1,u_2,u_3\) имеет решение: \(u=(7, -3, 0)^T\).
3. Рассмотрим \(\lambda _3=-2\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left ( \begin7 & -7 & 0 \\-3 & 3 & 0 \\12 & 6 & -1 \end \right ) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта однородная система уравнений для неизвестных \(u_1,u_2,u_3\) имеет решение: \(u=(1,1,0)^T\).
Свойства собственных векторов
Пусть все собственные числа линейного оператора \(A\) — простые. Тогда набор собственных векторов, соответствующих этим собственным числам, образует базис векторного пространства.
Из условий теоремы следует, что все собственные числа оператора \(A\) различны. Предположим, что набор собственных векторов линейно зависим, так что существуют константы \(c_1,c_2. c_n\), не все из которых нули, удовлетворяющие условию: \[ \sum_^nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]
Рассмотрим среди таких формул такую, которая включает минимальное число слагаемых, и подействуем на нее оператором \(A\). В силу его линейности получаем: \[ A\left (\sum_^nc_ku_k \right )=\sum_^nc_kAu_k=\sum_^nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]
Пусть, для определенности, \(c_1 \neq 0\). Умножая (62) на \(\lambda _1\) и вычитая из (63), получим соотношение вида (62), но содержащее на одно слагаемое меньше. Противоречие доказывает теорему.
Итак, в условиях теоремы появляется базис, связанный с данным линейным оператором — базис его собственных векторов. Рассмотрим матричную форму оператора в таком базисе. Как упоминалось выше, \(k\)-ый столбец этой матрицы — это разложение вектора \(Au_k\) по базису. Однако по определению \(Au_k=\lambda _ku_k\), так что это разложение (то, что выписано в правой части) содержит только одно слагаемое и построенная матрица оказывается диагональной. В итоге получаем, что в условиях теоремы матричная форма оператора в базисе его собственных векторов равна \(diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n)\). Поэтому если необходимо развивать функциональное исчисление для линейного оператора разумно работать в базисе его собственных векторов.
Если же среди собственных чисел линейного оператора есть кратные, описание ситуации становится сложнее и может включать так называемые жордановы клетки. Мы отошлем читателя к более продвинутым руководствам для изучения соответствующих ситуаций.
Найти собственные числа и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей \(A\).
1. \[ A=\left ( \begin0 & 1 & 0 \\-3 & 4 & 0 \\-2 & 1 & 4 \end \right ). \]
2. \[ A=\left ( \begin-3 & 2 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\15 & -7 & 4 \end \right ). \]
3. \[ A=\left ( \begin4 & 0 & 5 \\ 7 & -2 & 9 \\3 & 0 & 6 \end \right ). \]
4. \[ A=\left ( \begin-1 & -2 & 12 \\0 & 4 & 3 \\0 & 5 & 6 \end \right ). \]
Линейные операторы простой структуры
Линейный оператор, действующий в линейном пространстве X, называют оператором простой структуры, если в X существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.
Теорема 5.17. Линейный оператор Пусть все векторы ei, ег, . еп базиса е являются собственными векторами линейного оператора р, отвечающими собственным значениям Ai, А2, . Ап. Тогда
Столбцами матрицы оператора в данном базисе е являются столбцы координат векторов реi, (ре2, реп в этом базисе, т.е. коэффициенты из разложений (5.20). Поэтому в базисе е линейный оператор р имеет матрицу
Наоборот, пусть в базисе ei, 62, . еп линейный оператор р имеет матрицу Л. Тогда для вектора е*, i = 1,2. гг, с координатным столбцом (0. 0,1,0. 0) т образ pei будет иметь столбец координат
Поэтому pei = Хг в = 1,2,,п. Это означает, что векторы ei, 62, . еп являются собственными векторами оператора р отвечающими собственным значениям Ai, А2, . Ап. ?
Следствие 5.4. Линейный оператор простой структуры в базисе, состоящем из собственных векторов, имеет диагональную матрицу, в которой по диагонали стоят собственные значения этого оператора.
Если матрица оператора р в некотором базисе имеет диагональную матрицу, то говорят, что матрица этого оператора приводится к диагональному виду.
Теорема 5.18. Для того чтобы в линейном пространстве Хп линейный оператор р имел базис из собственных векторов, необходимо и достаточно, чтобы все характеристические числа Ai оператора р принадлежали основному полю и чтобы каждому числу Хг соответствовало столько линейно независимых собственных векторов оператора р, какова алгебраическая кратность корня А,; характеристического многочлена оператора р.
> Утверждение о том, что характеристические числа А,; должны принадлежать основному полю, обеспечивает наличие в линейном пространстве X собственных векторов оператора р, принадлежащих этим числам, и наоборот.
Пусть Ai, А2, . A.s. — все различные характеристические числа линейного оператора р, а к, &2. ks и /1,12. ls — соответственно
их алгебраические и геометрические кратности. Тогда к + &2 +—-Ь
+ks = п, где п — размерность линейного пространства У, и по теореме 5.15 U ^ к-,: при i = 1,2. s.
Предположим, что в пространстве X существует базис из собственных векторов оператора р. Поскольку базис состоит из п векторов, то должны выполняться соотношения
из которых следует, что каждое U = кг. Это означает, что каждое Ai является собственным значением оператора р и, следовательно, принадлежит основному полю, а его алгебраическая и геометрическая кратности совпадают.
Обратно, пусть все различные характеристические числа Ai, А2, . A.s оператора р принадлежат основному полю и их алгебраические и геометрические кратности совпадают, т.е. Ц = ki при г = 1,2, . s. Тогда в пространстве X размерности п по каждому А* существует 1г =
ki линейно независимых собственных векторов оператора ip, причем их общее число
Поскольку собственные векторы оператора (р, принадлежащие различным собственным значениям, также линейно независимые, то рассматриваемые векторы составляют базис в пространстве X, и мы приходим к выводу, что в пространстве X существует базис из собственных векторов оператора Действительно, по условию все характеристические корни оператора ср различные и принадлежат основному полю. Следовательно, они являются собственными значениями этого оператора. Тогда в линейном пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов оператора Пример 5.9. Привести, если возможно, действительные матрицы
к диагональному виду и построить для них канонические разложения. Решение, а) Корнями характеристического многочлена
матрицы А являются числа Ai = 2, Л2 = 1 соответственно кратности к = 2, к2 = 1. Все они действительные и потому являются собственными значениями матрицы А. При Ai = 2 матрица
имеет ранг г = 1, и потому 1 = п — Г = 3 — 1 = 2 = к.
При А2 = 1 матрица
имеет ранг Г2 = 2, и потому I2 = п — Г2 = 3 — 2=1 =
Таким образом, у матрицы А геометрическая кратность каждого Ai совпадает с его алгебраической кратностью. Поэтому матрица А приводится к диагональному виду
В этом можно убедиться и непосредственным конструированием матрицы Т, удовлетворяющей соотношению Т~ 1 АТ = Л. Действительно, при А = 2 система — А Е) X = 0, т.е. система
имеет общее решение X = (х,Х2,— Зад + ЗХ2) 71 , в котором два (1 = к) свободных неизвестных. Из общего решения при Х = 1, Х2 = О и при х = О, Х2 = 1 получаем фундаментальную систему решений
При Л = 1 система — Е) X = 0, т.е. система
имеет общее решение X = х) т , в котором одно (I2 = к.2) свободное неизвестное. Поэтому ФСР этой системы состоит из одного решения, например из решения Х% = (1,1,1) т . Из решений Xi, Х2, Х3, как из столбцов, составляется невырожденная матрица
Поэтому матрица А приводится к диагональному виду и имеет каноническое разложение
Забегая вперед отметим, что к классу матриц простой структуры относятся матрицы простого спектра и нормальные матрицы, в частности, симметричные, эрмитовы и унитарные. В то же время этими подклассами матриц класс матриц простой структуры не исчерпывается. Например, матрица А, являясь матрицей простой структуры, к перечисленным подклассам матриц не принадлежит.
б) Корнями характеристического многочлена
являются Ai;2 = — 1, A3 = 0 соответственно кратности к = 2, &2 = 1. Все они действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы А‘2. При Ai = — 1 матрица
имеет ранг Г = 2, и потому l = n—ri = 3 — 2 ф к, т.е. геометрическая кратность /i = 1 характеристического числа Ai = —1 не равна его алгебраической кратности к = 2. Поэтому матрица Л2 не приводится к диагональному виду. Если бы строили для матрицы матрицу Т, удовлетворяющую соотношениям (5.21) и (5.22), то она получилась бы неквадратной.
Действительно, при А = — 1 система (Л2 — А Е) X = 0, т.е. система
имеет ФСР, состоящую из одного решения (Zi ф к), например из решения Х = (3,3, — 4) т .
При А = 0 система (А2 — А Е) X = 0, т.е. система
также имеет ФСР, состоящую из одного решения (/2 = А^) например из решения Х2 = (2,1,—1) т . Решений Xi и Х2 недостаточно для конструирования квадратной невырожденной матрицы Т третьего порядка. Поэтому матрица А2 не приводится к диагональному виду и не имеет канонического разложения. ?
Приведение матриц к диагональному виду и каноническое разложение матриц широко используется в теории и вычислительной практике. Например, если известно каноническое разложение А = Т ЛТ -1 матрицы Л, то ее т-я степень при натуральном числе т легко находится по формуле
так как А тп = ТАТ -1 • ТЛТ -1 . ТКТ~ 1 = ТА т Г х . Формула
(5.23) сохраняется и при га целом отрицательном для невырожденной матрицы А. В частности,
Один их корней га-й степени из матрицы А определяется формулой
Действительно, возведя правую часть равенства (5.25) по формуле
(5.23) в га-ю степень, получим А. Если в формуле (5.25) все А* > О, то, беря арифметические значения корней га-й степени из каждого А,;, получим единственный корень га-й степени из матрицы А, у которого все характеристические числа положительные. О всех корнях из матрицы см. [7], гл. VIII.
Решение системы АХ = b линейных уравнений также значительно упрощается, если известно каноническое разложение А = Т АТ -1 . В этом случае от системы Т А Т~ 1 X = Ь переходят к системе A T~ l X = Т~ х Ь. Затем вводят обозначение Z = Т~ г X и решают систему A Z = Т -1 Ь. Причем неизвестным 2r+i, . zn, при которых множителями стоят Ar+i, . Ап равные нулю, придают соответственно произвольные значения Сi, С2, ? ? ?, Сп—Г? В результате получают
По найденному Z находят
где Х, Х2, . ? ?, Хп — столбцы матрицы Т.
Пример 5.10. Решить систему АХ = (12,12, — 8) т , если известно каноническое разложение:
Решение. От системы АХ = (12,12,—8) т перейдем к системе AT -1 X = Т~ г (12,12, — 8) г , т.е. к системе
Полагая здесь Т 1 X = Z, получим систему
или в подробной записи
Отсюда находим Z = (—2,6,С) Т . Поэтому
Пример 5.11. Найти квадратный корень из матрицы А при известном ее каноническом разложении
Решение. По формуле (5.25) получаем:
§ 7.5. Линейные операторы простой структуры
Линейный оператор 
, действующий в 
— мерном линейном пространстве 
, называется оператором простой структуры, если в пространстве 
существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. В силу § 7.1 в базисе из собственных векторов матрица оператора простой структуры имеет вид 
, (7.5.1) где 
— собственные значения оператора. Если в исходном базисе 
оператор простой структуры имеет матрицу 
, а в базисе 
из собственных векторов — матрицу 
, то в силу соотношения (7.3.2) из § 7.3 имеем 
, (7.5.2) где 
— матрица перехода от базиса 
к базису 
. Она состоит из столбцов координат базиса 
в базисе 
, 
— матрица вида (7.5.1). На матричном языке соотношение (7.5.2) означает, что матрица 
приводится матрицей 
к диагональному виду. Разрешив соотношение (7.5.2) относительно матрицы 
, получим соотношение 
, (7.5.3) которое называется каноническим разложением матрицы 
. При построении матрицы 
для соотношений (7.5.2) и (7.5.3) нужно найти все собственные значения матрицы 
и при каждом собственном значении 
построить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений 
; из векторов всех построенных фундаментальных систем решений, как из столбцов, составить матрицу 
. Причём в матрице 
столбцами записываются решения по каждому 
в порядке нумерации собственных значений 
(одинаковые 
считаются столько раз, каковы их алгебраические кратности). Если матрица 
окажется квадратной, то она будет удовлетворять соотношениям (7.5.2) и (7.5.3). Если же матрица окажется неквадратной, то соотношения (7.5.2) и (7.5.3) для матрицы 
будут невозможны, т.е. матрица 
не приводится к диагональному виду и, следовательно, не имеет канонического разложения. Матрица 
будет квадратной лишь в случае, когда оператор 
с матрицей 
является оператором простой структуры. В соответствии с критерием простоты структуры линейного оператора для того, чтобы оператор 
имел простую структуру, необходимо и достаточно, чтобы для каждого его собственного значения 
алгебраическая кратность 
совпадала с геометрической кратностью, т.е. с максимальным числом линейно независимых собственных векторов матрицы 
по 
, равным 
, где 
— ранг матрицы 
. Справедлив следующий достаточный признак простой структуры линейного оператора: если все собственные значения линейного оператора попарно различны, то он имеет простую структуру. Пример. Выясните, является ли оператор, действующий в действительном трёхмерном линейном пространстве, с матрицей 
оператором простой структуры. Если да, то найдите матрицу 
, трансформирующую матрицу 
к диагональному виду, и запишите этот вид. Решение. Составим характеристический многочлен матрицы 
: 
. Решив характеристическое уравнение 
, получим собственные значения 
, 
и соответствующие им алгебраические кратности 
, 
. Найдём базисы собственных подпространств линейного оператора, попутно проверив, выполняется ли критерий простоты структуры оператора. 
. Геометрическая кратность первого собственного значения 
равна 
и совпадает с алгебраической кратностью 
. Общий вид собственных векторов, отвечающих 
, таков: 
. Полагая последовательно 
, 
и 
, 
, получаем базис первого собственного подпространства: 
; 
. 
Геометрическая кратность второго собственного значения 
равна 
и совпадает с алгебраической кратностью 
. Таким образом, критерий простоты структуры линейного оператора выполняется. Общий вид собственных векторов, отвечающих 
, таков : 
. Выбирая 
, получаем базис второго собственного подпространства: 
. В базисе 
линейный оператор имеет матрицу 
и трансформирующая матрица 
. Проверим это: 
. 7.5.1. Квадратная матрица называется матрицей простой структуры, если она подобна некоторой диагональной матрице. Докажите, что оператор 
из 
тогда и только тогда будет оператором простой структуры, когда его матрица в произвольном базисе пространства является матрицей простой структуры. 7.5.2. Покажите, что операторы проектирования и операторы отражения имеют простую структуру. 7.5.3. Докажите, что если матрица 
имеет простую структуру, то это же верно в отношении транспонированной матрицы 
. 7.5.4. Пусть 
— линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве 
. Докажите, что следующие высказывания равносильны: 
— оператор простой структуры; 
объединение базисов собственных подпространств является базисом в 
; 
алгебраическая кратность каждого корня характеристического уравнения равна размерности соответствующего собственного подпространства; 
является прямой суммой собственных подпространств. 7.5.5. Докажите, что у оператора простой структуры: 
образ есть линейная оболочка собственных векторов, относящихся к ненулевым собственным значениям; 
пересечение ядра и образа состоит только из нулевого вектора. 7.5.6. Выясните, какие из матриц линейных операторов в пространстве 
над 
можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису. Найдите этот базис и соответствующую ему матрицу: а) 
б) 
в) 
г) 
д) е) 
7.5.7. Подобна ли матрица а) 
б) 
в) 
диагональной матрице? 7.5.8. Для каждой из приведенных ниже матриц над полем 
выясните, является ли оператор с данной матрицей оператором простой структуры: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Если да, то найдите матрицу 
, трансформирующую эту матрицу к диагональному виду и укажите этот вид.
27.03.2015 2.39 Mб 211 Глава 7(1).doc
27.03.2015 3.13 Mб 147 Глава 7(2).doc
27.03.2015 11.78 Кб 45 Оглавление (2).doc
27.03.2015 1.36 Mб 49 Ответы и указания (2).doc
27.03.2015 12.29 Кб 41 Предметный указатель (2).doc
27.03.2015 11.26 Кб 41 Список литературы (2).doc
27.03.2015 71.68 Кб 41 Указатель обозначений (2).doc
Ограничение
Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:
Научный форум dxdy
То есть, — собственные значения
Собственные векторы : 
Если мы выберем по одному вектору из собственных и составим матрицу их координат, то получим
Однако, если мы составим матрицу в базисе из собственных векторов, то мы получим матрицу, ранг которой уже равен 2, а не 3. Определитель этой матрицы также равен нулю.
Install queued unity что делать