В некотором базисе даны векторы а1 2 1 а2 1 3 найти все значения m при которых вектор b 1 m

Найдите координаты вектора, который является линейной комбинацией заданных векторов

Векторы a1(2,0,1) a2(0,2,-3) a3(-4,1,1) заданы координатами в некотором базисе.Найдите координаты вектора b который являеться линейной комбинацией векторов a1,a2,a3 с коэффициентами 2,1,-3 соответственно.
Проверьте решение
составляю базис и ищу его детерменант. умножаю вектор на базис.
(2,0,1)
2,1,3 * (0,2,-3) =(-8 5 2)
(-4,1,1)

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти все значения параметра, при которых вектор является линейной комбинацией векторов
3.Найти все значения лямда, при которых вектор b является линейной комбинацией векторов a1, a2.

Найти все значения параметра, при которых вектор является линейной комбинацией векторов
При каком значении параметра р вектор q= является линейной комбинацией векторов.

Проверка линейной не зависимости, найти координаты векторов
Помогите решить, или хотя бы подскажите аналогичный пример. Известно, что векторы e1,e2,e3 .

Найдите матрицу этого преобразования и координаты образа вектора
можете решить или хотябы написать как это решается Некоторое линейно преобразование ф переводит.

В некотором базисе даны векторы а1 2 1 а2 1 3 найти все значения m при которых вектор b 1 m

Решение задачи по высшей математике №441

1. . Даны четыре вектора (а1, а2, а3), (b1, b2, b3),
2. (c1, c2, c3) и (d1, d2, d3) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

(1,3,5), (0,2,0), (5,7,9), (0,4,16).
Решение: Как известно, базисом в пространстве является любая упорядоченная система из трёх линейно независимых векторов. Покажем, что векторы , и линейно независимы, т.е. выполняется равенство:

при условии, что все числа , , одновременно равны нулю. Подставляя в это равенство координаты векторов , , , получаем:
(е1 + 3е2 + 5е3) + (2е2) + (5е1 + 7е2 + 9е3) = 0
или ( + 5) • е1 + (3 + + 7) • е2 +(5 + 9) • е3 = 0
Для того, чтобы вектор, разложенный по базису е1, е2, е3 был равен нулевому вектору, его координаты должны равняться нулю, т.е.

Получим однородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными , , . Такая система имеет нулевое решение (=0, =0, =0), если её определитель не равен нулю.
Поскольку ,
то векторы , , линейно независимы. Следовательно, они образуют базис и вектор является линейной комбинацией векторов , , : =. Числа , , будут координатами вектора в базисе , , . Найдем их.
Воспользовавшись разложением , , , в базисе е1, е2, е3, имеем:
4 е2 + 16 е3 = ( е1 + 3 е2 + 5 е3) + (2 е2) + (5 е1 + 7 е2 + 9 е3)
Или 4 е2 + 16 е3 = ( + 5) е1 + (3 + 2 + 7) е2 + (5+ 9) е3.
Из равенства векторов следует равенство их координат, поэтому получаем систему:

Решая её по формулам Крамера =, , находим:
, , .
Следовательно, , , , т.е. координаты вектора в этом базисе: =(1,-1,0).

Как найти координаты вектора в базисе

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Пусть в R 3 относительно канонического базисы даны четыре вектора f₁ = (1,2,3) , f₂ = (2,3,7) , f₃=(1,3,1) , x = (2,3,4) . Докажите, что векторы f₁ , f₂ , f₃ можно принять за новый базис. Найдите координаты η₁ , η₂ , η₃ вектора х относительно этого базиса.

Решение:
Записываем матрицу перехода А:
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f₁ , f₂ , f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис.
Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор нельзя разложить по данному базису.

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α,β,γ что имеет место равенство:

Запишем данное равенство в координатной форме:
(-3;5;4)=α(5;1;2) + β(3;4;-1) + γ(-4;2;1)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(-3;5;4) = (5α;α;2α) + (3β;4β;-β) + (-4γ;2γ;γ)
(-3;5;4) = (5α+3β-4γ;α+4β+2γ;2α-β+γ)
По свойству равенства векторов имеем:
Решая полученную систему уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных из уравнений системы), выберем в качестве ведущего уравнения второе уравнение системы:

Выразим из первого уравнения полученной системы α и подставим полученное выражение во второе и третье уравнения системы:

Разделим второе уравнение системы на -1 ,а третье уравнение системы на -3 и выразим из полученного равенства γ :

Подставим полученное выражение для γ в третье уравнение системы:

В итоге получим разложение вектора в базисе :

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e ₁= AB , e ₂= AC , e ₃= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e ₁, e ₂, e ₃)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

Линейная алгебра 3-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата

В данном учебнике изложен четко структурированный и тщательно проработанный материал, включающий как базовые понятия, так и ряд новых тем и дополнительных вопросов. Каждая глава учебного издания содержит «Теоретический курс», в котором раскрыто основное содержание темы и приведены решенные практические примеры и задачи, и «Практикум», включающий в себя типовые и более сложные комплексные задачи с решениями и для самостоятельной работы. Особенностью предлагаемого «Практикума» является то, что часть задач и примеров имеет экономическое содержание. Представленные в издании учебно-тренировочные тесты и контрольные задания могут быть эффективно использованы для контроля уровня подготовленности студентов, а также при проведении аудиторных занятий.