Erf это что в математике

erf , erff , erfl , erfc , erfcf , erfcl

Вычисляет функцию ошибок или дополнительную функцию ошибок значения.

Синтаксис

double erf( double x ); float erf( float x ); // C++ only long double erf( long double x ); // C++ only float erff( float x ); long double erfl( long double x ); double erfc( double x ); float erfc( float x ); // C++ only long double erfc( long double x ); // C++ only float erfcf( float x ); long double erfcl( long double x ); #define erf(X) // Requires C11 or higher #define erfc(X) // Requires C11 or higher

Параметры

x
Значение с плавающей запятой.

Возвращаемое значение

Функция erf возвращает функцию Гаусса (нормального распределения) ошибок x . Функция erfc возвращает дополнительную функцию Гаусса (нормального распределения) ошибок x .

Замечания

Функции erf вычисляют функцию x ошибки Gauss, которая определяется следующим образом:

The error function of x equals two over the square root of pi times the integral from zero to x of e to the minus t squared d t.

Дополнительная функция ошибки Gauss определяется как 1 – erf(x). Функция erf возвращает значение в диапазоне от -1,0 до 1,0. Не возвращается ошибка. Функция erfc возвращает значение в диапазоне от 0 до 2. Если значение x слишком большое для erfc , переменная errno задается равной ERANGE .

Так как C++ разрешает перегрузку, можно вызывать erf и erfc перегрузки, которые принимают и возвращают float и long double типы. В программе C, если вы не используете для вызова этой функции, erf и erfc всегда принимаете и возвращаете значение double .

Если вы используете erf() , тип аргумента определяет, какая версия функции выбрана. Дополнительные сведения см . в разделе «Математика с универсальным типом».

По умолчанию глобальное состояние этой функции ограничивается приложением. Чтобы изменить это поведение, см . статью «Глобальное состояние» в CRT.

Требования

Функция	Обязательный заголовок
erf , erff , erfl , erfc , erfcf , erfcl
erf Макрос

Дополнительные сведения о совместимости см. в разделе Совместимость.

Научный форум dxdy

$$erf(x)=\frac<2> По какому алгоритму расчитывается функция ошибок erf(x) в том же ж Intel Fortran или библиотеке IMSL. Или скажем какие есть известные алгоритмы расчета, кроме разложения в ряд Тейлора <\sqrt\Pi>$\sum\limits_^N \frac>$» /> Re: erf(x), алгоритм расчета 10.04.2008, 11:04 <img decoding=$ Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Функция ошибок

$\operatorname<erf> \,x = \frac<\sqrt<\pi>>\int\limits_0^x e^\,\mathrm dt» width=»» height=»» />. Дополнительная функция ошибок, обозначаемая <img decoding=$

Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:

Свойства

Функция ошибок нечётна:

$\operatorname\,(-x) = -\operatorname\,x.$

Для любого комплексного выполняется

$\operatorname\,\bar = \overline<\operatorname\,x> » width=»» height=»» /> <img decoding=$

где черта обозначает комплексное сопряжение числа .

$\operatorname<erf> <ul> <li>Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:</li> </ul> \,x= \frac<\sqrt<\pi>>\sum_^\infin\frac>=\frac<\sqrt<\pi>> \left(x-\frac+\frac-\frac+\frac-\ \cdots\right)» width=»» height=»» /> <img decoding=$

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного [источник не указан 302 дня] , так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

$\operatorname<erf> <ul> <li>Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:</li> </ul> \,x= \frac<\sqrt<\pi>>\sum_^\infin\left(x \prod_^n>\right) = \frac<\sqrt<\pi>> \sum_^\infin \frac\prod_^n \frac» width=»» height=»» /> поскольку <img decoding=$ -й член ряда в (i+1) -й, считая первым членом .

Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка $z=\infty$ будет для неё существенно особой.

Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

$\frac<d>\,\operatorname\,x=\frac<\sqrt<\pi>>\,e^.» width=»» height=»» /> <ul> <li>Обратная функция ошибок представляет собой ряд</li> </ul> <img decoding=$

Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением $\sigma$ , то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на , равна $\operatorname<erf>\,\frac>» width=»» height=»» />. Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»). В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок. <h3>Асимптотическое разложение</h3> <img decoding=$

При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

$\operatorname<erfc> \,x = \frac><x\sqrt<\pi>>\left [1+\sum_^\infty (-1)^n \frac\right ]=\frac><x\sqrt<\pi>>\sum_^\infty (-1)^n \frac>.\,» width=»» height=»» /> Хотя для любого конечного <img decoding=$ этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления $\operatorname<erfc>\,x» width=»» height=»» /> с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно. Другое приближение даётся формулой <img decoding=$

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым

$\Phi(x) = \frac<1> \left(1+\operatorname\,\frac<\sqrt>\right)\,.» width=»» height=»» /> Обратная функция к <img decoding=$ , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается $\operatorname<probit>» width=»» height=»» /> и выражается через нормальную функцию ошибок как <img decoding=$

График обобщённых функций ошибок E_n(x) :
серая линия: $E_1(x)=(1-e^<-x>)/\sqrt<\pi>» width=»» height=»» /> красная линия: <img decoding=$
синяя линия: E_4(x)
жёлтая линия: E_5(x) .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

$E_n(x) = \frac <\sqrt<\pi>> \int\limits_0^x e^\,\mathrm dt =\frac<\sqrt<\pi>>\sum_^\infin(-1)^p\frac>\,.» width=»» height=»» /> Примечательными частными случаями являются: <ul> <li><img decoding=$ — прямая линия, проходящая через начало координат: $E_0(x)=\frac<x>>» width=»» height=»» /></li> <li><img decoding=$ — функция ошибок $\operatorname<erf>\,x» width=»» height=»» />.</li> </ul> После деления на <img decoding=$ все E_n с нечётными выглядят похоже (но не идентично). Все E_n с чётными тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на . Все обобщённые функции ошибок с n>0″ width=»» height=»» /> выглядят похоже на полуоси <img decoding= x fplot(erf(x),[-5 5]) grid on

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type functionline.

Входные параметры

X входной параметр
символьное число | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица

Введите в виде символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Больше о

Функция ошибок

Следующий интеграл задает функцию ошибок:

e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t

Советы

Вызов erf для номера, который не является символьным объектом, вызывает MATLAB ® erf функция. Эта функция принимает действительные аргументы только. Если вы хотите вычислить функцию ошибок для комплексного числа, использовать sym преобразовывать тот номер в символьный объект, и затем вызывать erf для того символьного объекта.
Для большинства символьных (точных) чисел, erf отвечает на неразрешенные символьные звонки. Можно аппроксимировать такие результаты использованием чисел с плавающей запятой vpa .

Алгоритмы

Тулбокс может упростить выражения, которые содержат функции ошибок и их инверсии. Для вещественных значений x , тулбокс применяет эти правила упрощения:

erfinv(erf(x)) = erfinv(1 — erfc(x)) = erfcinv(1 — erf(x)) = erfcinv(erfc(x)) = x
erfinv(-erf(x)) = erfinv(erfc(x) — 1) = erfcinv(1 + erf(x)) = erfcinv(2 — erfc(x)) = -x

Для любого значения x , система применяет эти правила упрощения:

erfcinv(x) = erfinv(1 — x)
erfinv(-x) = -erfinv(x)
erfcinv(2 — x) = -erfcinv(x)
erf(erfinv(x)) = erfc(erfcinv(x)) = x
erf(erfcinv(x)) = erfc(erfinv(x)) = 1 — x

Ссылки

[1] Gautschi, W. “Функция ошибок и Интегралы Френели”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

Смотрите также

Представлено до R2006a

Открытый пример

У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

MATLAB Answers
Помощь в установке
Отчеты об ошибках
Требования к продукту
Загрузка программного обеспечения

Условия использования
Патенты
Торговые марки
Список благодарностей

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте
Войти
Памятка переводчика

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

3. Сохраняйте структуру оригинального текста — например, не разбивайте одно предложение на два.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.

Erf это что в математике

erf , erff , erfl , erfc , erfcf , erfcl

Синтаксис

Параметры

Возвращаемое значение

Замечания

Требования

Научный форум dxdy

Кто сейчас на конференции

Функция ошибок

Свойства

Применение

Входные параметры

X входной параметр символьное число | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица

Больше о

Функция ошибок

Советы

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Открытый пример

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Добавить комментарий Отменить ответ

X входной параметр
символьное число | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица