Правило округления чисел
В приближенных вычислениях зачастую приходится округлять некоторые числа, как приближенные, так и точные, то есть убирать одну или несколько конечных цифр. Для того чтобы обеспечить наибольшую близость отдельного округленного числа к округляемому числу, следует соблюдать некоторые правила.
Первое правило
Если первая из отделяемых цифр больше, чем число 5 , то последняя из оставляемых цифр усиливается, иначе говоря, увеличивается на единицу. Усиление так же предполагается и тогда, когда первая из убираемых цифр равна 5 , а за ней имеется одна или некоторое количество значащих цифр.
Число 25,863 округлённо записывается как – 25,9 . В данном случае цифра 8 будет усилена до 9 , так как первая отсекаемая цифра 6 , больше чем 5 .
Число 45,254 округлённо записывается как – 45,3 . Здесь цифра 2 будет усилена до 3 , так как первая отсекаемая цифра равна 5 , а за ней следует значащая цифра 1 .
Второе правило
В случае если первая из отсекаемых цифр меньше чем 5 , то усиления не производится.
Число 46,48 округлённо записывается как – 46 . Число 46 наиболее близко к округляемому числу, чем 47 .
Третье правило
Если отсекается цифра 5 , а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.
Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046 . В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной.
Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94 . Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной.
Примеры округления чисел:
| 6,527 → 6,5 | 2,195 → 2,2 | 0,950 → 1,0 | 0,850 → 0,8 |
| 0,456 → 0,5 | 1,450 → 1,4 | 4,851 → 4,9 | 0,05 → 0,0 |
В какую сторону округлять число, которое заканчивается на 5?
Как мы знаем, цифр (чисел десять, начиная от 0 )нуля). Тогда получается. что цифра (число) 5 находится во второй половине всего ряда расположенных чисел.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. И эти числа занимают следующие порядки:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
К чему эти рассуждения, да к тому, что вроде бы пятёрка (5) занимает пятое место, равной половине от 10, но нет, по этому порядку 5 занимает шестую позицию, и дальше от середины- между 5-м и 6-м местами, значит, её целесообразно округлять в большую сторону.
Принимаем то, что уже приняли без нас за правило:
цифра 5 стоит после округляемого числа — округляем в большую сторону
Округление 345 до десятков будет 350 или 35 десятков.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
Ксарф акс [156K]
4 года назад
Как я понимаю, речь здесь идет об округлении именно дробных чисел, а не целых.
Я хорошо запомнил со школы правило, которое гласит так:
Число, чья дробная десятичная часть оканчивается на 5, должно округляться в большую сторону.
1) Если округлять число 30,5 до целого, то получится 31.
2) Если округлять число 101,55 до десятых, то получится 101,6.
3) Если округлять число 50,235 до сотых, то получится 50,24.
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
lady v [641K]
5 лет назад
Имея дело с целыми числами мы редко используем правило округления в большую или меньшую сторону, потому что 95 рублей это все-таки именно 95 рублей, а не 100. Но иногда, когда точность не особо важна, то можно округлить и целое число. Например 95 лет — это почти век. Мы округлили 5 в большую сторону и так делается всегда.
С дробями округление используется гораздо чаще, но опять же мы не станем округлять 0.5 пирога в целый пирог. А вот в числах, где дробная часть значительно меньше целой, округление чаще всего оправдано. В само деле, какая нам разница длина пути 1.005 километра или 1.01 километра.
И здесь мы также пятерку округляем в большую сторону, хотя уже число 1.0499 мы будем округлять в меньшую сторону.
Пятерка является границей, меньше ее округляем в меньшую сторону, больше и саму пятерку — в большую.
В какую сторону округлять число 0,5? Это 0 или 1?
Так например при заполнении форм статистических данных, программа принимает только целые числа. А если значение фактическое 0,5 куда его округлить до ноля или до единицы?
комментировать
в избранное
10 ответов:
ЧипИД ейл [37.2K]
4 года назад
При округлении числа 0,5 до ближайшего целого, формально нет разницы, в какую сторону («вверх» или «вниз») его округлять. Так как в обоих случаях погрешность округления составит ровно половину младшего разряда. В данном случае (для чисел вида …,05) при расчетах следует выбирать один из существующих вариантов округления:
- Математическое округление (самый распространенный вариант) — округляется всегда «вверх» (предыдущий разряд всегда увеличивается на единицу), то есть 0,5→1; 1,5→2; 2,5→3.
- Банковское округление — в этом варианте округление к ближайшему четному, то есть 0,5→0; 1,5→2; 2,5→2; 3,5→4.
- Чередующееся округление — поочередное округление в большую и меньшую сторону.
- Случайное округление (используется в статистике) — округление «вниз» или «вверх» с равной вероятностью в случайном порядке.
А в вашем случае при заполнении статистической формы я бы округлил 0,5 до 1 (математическое округление).
Или же «по науке» крутнул бы монетку, и по результату вписал 1 — если орел, или 0 — если решка (случайное округление).
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное ссылка отблагодарить
СТЭЛС [320K]
4 года назад
Привычное нам, и знакомое еще со школы, это округление до следующего целого числа если после запятой стоят цифры 5, 6, 7, 8 или 9.
Цифры 1, 2, 3, и 4 округляются в меньшую сторону, так же до целого числа.
Применительно к вопросу, число 0,5 должно бы быть округлено до целого 1. Однако, если алгоритм программы будет настроен по этому общему правилу, то в итоге множества вычислений, в выражении которых присутствует число 0,5 до единицы, может получится вполне ощутимая погрешность и общая картина будет не точной. Так в случае «лояльного» отношения к точности округляем «в гору» то есть до 1, а при множестве вычислений создающих один итог, или же при строгой точности, можно применить чередующий алгоритм вариантов округления — в половине подобных случаев число 0,5 будет округляться до 0, а в половине до 1. Так можно будет немного поддерживаться золотой середины в итоговой сумме.
Округление
Округле́ние — замена числа на его приближённое значение (с определённой точностью) в определённом разряде, записанное с меньшим количеством значащих цифр [1] . Модуль разности между двумя числами в процессе округления (заменяемое число и заменяющее число) называется ошибкой округления.
- 1 Основные методы округления
- 1.1 Округление к ближайшему целому
- 1.2 Округление к большему
- 1.3 Округление к меньшему
- 1.4 Случайное округление
Основные методы округления
Разные сферы используют разные методы округления. Во всех этих методах лишние знаки до нужного числа отбрасываются — предшествующее корректируется по тому или иному правилу.
Округление к ближайшему целому
Округление к ближайшему целому — наиболее часто используемое округление, при котором число округляется до целого. В общих случаях округление выглядит следующим образом:
- если N+1 знак < 5, то N-й знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;
- если N+1 знак ≥ 5, то N-й знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют;
Округление к большему
Округление к большему работает следующим образом: если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу, если число положительное, или сохраняют, если число отрицательное. В экономическом жаргоне такое округление называется «округление в пользу продавца/кредитора». В Excel и других редакторах таблиц, а также в англоязычных источниках и учебниках по математике данная операция называется «celling» (потолок). Как пример:
Погрешность округления находится в пределах +1 последнего сохраняемого разряда.
Округление к меньшему
Округление к меньшему работает следующим образом: если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак сохраняют, если число положительное, или увеличивают на единицу, если число отрицательное. В жаргоне экономистов такое явление называется «округление в пользу покупателя/дебитора». Англоязычные источники, учебники по математике, а также Excel обозначают это как «floor» (пол). Например:
Погрешность округления — в пределах −1 последнего сохраняемого разряда.
Случайное округление
При случайном округлении округление в большую или меньшую сторону происходит в случайном порядке. Вероятность округления вверх равна дробной части. Этот способ делает накопление ошибок случайной величиной с нулевым математическим ожиданием.
Варианты округления 0,5 к ближайшему целому
Отдельного описания требуют правила округления для специальных случаев, когда (N+1)-й знак = 5 [2] , а последующие знаки равны нулю. Есть следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:
- математическое округление — округление всегда в большую сторону (по модулю); предыдущий разряд всегда будет увеличиваться на единицу;
- округление до ближайшего чётного — число округляют к ближайшему чётному числу соответственно; 2,5 при округлении станет 2, 3,5 станет 4, 1,5 также будет равняться 2;
- случайное округление — числа округляются в случайном порядке в большую или меньшую сторону, но с равной вероятностью (что используется в статистике);
- поочередное округление (чередующееся округление) — числа округляются поочередно в большую или меньшую сторону
Математическое округление имеет довольно фатальный недостаток в виде накопления ошибки округления; это приводит к тому, что значения числа или чисел после процедуры округления становятся больше, и это искажает точность. Например: округление до целых денежных сумм или веса предметов. Если в реестрах строк окажутся значения после запятой, что больше 50, то и итоговая сумма станет на 50 больше.
Остальные три варианта как раз и нужны для того, чтобы ошибка округления не сказалась на точности расчётов. При округлении до ближайшего чётного ошибки округления взаимно погашаются (правда, это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда).
Два последних варианта предполагают, что одна половина данных будет округлена в другую сторону, а другая — в другую, что повысит точность расчётов. Но и у них есть два недостатка:
- случайное округление требует для каждой строки создавать числа. Для замены каждого числа требуется проводить сложение, деление, умножение и вычитание; если чисел много — то работа с ними сильно замедляется;
- чередующееся округление требует сохранять «флаг», показывающий в какую из сторон было произведено округление в последний раз и при каждом округлении этот самый «флаг» переключать. Если чисел много, что нагрузка из-за вычислительных процессов возрастает, что также замедляет работу со значениями.
Применение
Округление используется в тех случаях, когда точные вычисления произвести не представляется возможным, или можно дальше работать с некоторой погрешностью. Например, абсолютно точно нельзя указать вес сахара в одной чайной ложке — он будет колебаться в зависимости от того, сколько сахара человек зачерпнул; и в таких случаях делают приписку «приблизительно n грамм сахара».
Округление является одним из важнейших статистических инструментов. Как пример: нельзя абсолютно точно выверить количество проживающих в городе людей — естественная миграция, умершие и родившиеся будут влиять на колебания численности жителей. Округление можно применить и для простоты восприятия цифр в графиках, округлив процент респондентов до десятых или сотых долей.
В физике округление применяется для расчёта реальных физических величин, при этом есть определённая специфика применения — расчёт точности идёт до определённой конечной точности, где погрешность будет минимальна [3] .
Ссылки и источники
- ↑Математика с нуля(рус.) . Математика с нуля. Дата обращения: 24 марта 2023.
- ↑ Генри С. Уоррен, мл. Глава 3. Округление к степени 2 // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker’s Delight. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 288. — ISBN 0-201-91465-4..
- ↑В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. Техника вычислений и алгоритмизация. — Просвещение, 1987. — С. 160.
Данная статья имеет статус «готовой». Это не говорит о качестве статьи, однако в ней уже в достаточной степени раскрыта основная тема. Если вы хотите улучшить статью — правьте смело!
- Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN
- Наука
- Все статьи
- Математика
- Математические понятия